ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN CƠ TIN PHAN THỊ THANH VÂN TÍNH THUẬN VÀ TÍNH NGHỊCH CỦA HỆ TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU TRÊN ĐA TẠP TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN
PHAN THỊ THANH VÂN
TÍNH THUẬN VÀ TÍNH NGHỊCH CỦA HỆ
TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU
TRÊN ĐA TẠP TÂM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Mã số : 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS LÊ HUY TIỄN
Hà Nội - Năm 2012
Trang 2Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Hệ tam phân mũ 2
1.1.1 Hệ tam phân mũ đều 2
1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều 3
1.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định 6
1.2 Đa tạp tâm 8
1.2.1 Các khái niệm cơ bản 8
1.2.2 Sự tồn tại của đa tạp tâm 9
2 Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach 12 2.1 Hệ đối xứng 12
2.2 Tính nghịch của phương trình vi phân không ôtônôm 14
2.3 Tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm 16
2.4 Ví dụ 18
2.5 Tính thuận của phương trình vi phân trong không gian Banach 22 3 Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 24 3.1 Tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 24
3.1.1 Xây dựng kết quả chính 24
3.1.2 Các kết quả phụ 27
3.1.3 Chứng minh tính nghịch 37
3.2 Tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 39
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 41
Trang 3Lời nói đầu
Luận văn đã trình bày được các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều vàkhông đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tamphân mũ không đều trên đa tạp tâm Đối xứng thuận nghịch thời gian là mộttrong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên, nó xuấthiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử Trong khuônkhổ của luận văn này tôi chỉ trình bày tính thuận và tính nghịch của phươngtrình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gianBanach vô hạn chiều
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1: Giới thiệu sơ lược các khái niệm tam phân mũ đều, tam phân
mũ không đều của phương trình vi phân, khái niệm đa tạp tâm
Chương 2: Trình bày tính thuận nghịch của phương trình vi phân trongkhông gian Banach vô hạn chiều
Chương 3: Trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân
có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạnchiều
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS LêHuy Tiễn - Giảng viên khoa Toán-Cơ-Tin học, trường ĐH Khoa học tự nhiên.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học,những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong suốt khóahọc
Cuối cùng, tôi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và đặc biệt là chồng tôi, đãluôn ở bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này
Hà Nội, tháng 12 năm 2012Phan Thị Thanh Vân
Trang 4Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Hệ tam phân mũ
Cho X là không gian Banach, xét một ánh xạ liên tục t 7→ A(t) sao cho A(t)
là toán tử tuyến tính bị chặn trên X với mỗi t ∈R và phương trình
Nghiệm của (1.1) với v(s) =v s có thể được viết dưới dạng v(t) =T(t, s)v(s), với
T(t, s) là toán tử tiến hóa liên kết Ta có
T(t, t) =Id và T(t, s)T(s, r) = T(t, r)
với mọi t, s, r ∈ R, T(t, s) khả nghịch và T(t, s)−1 = T(s, t) với mọi t, s ∈ R Giả
sử A(t) có dạng chéo khối tương ứng với các thành phần hợp thành E, F1, F2(X =E ⊕ F1⊕ F2), với E, F1, F2 tương ứng là các không gian con tâm, ổn định
và không ổn định Khi đó nghiệm của (1.1) có thể được viết dưới dạng
v(t) = (U(t, s), V1(t, s), V2(t, s))v(s)trong đó U(t, s),V1(t, s) và V2(t, s) là các toán tử tiến hóa liên kết tương ứng với
ba khối của A(t), T(t, s) = (U(t, s), V1(t, s), V2(t, s))
Định nghĩa 1.1 Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đều nếu tồn tạicác hằng số b > a ≥0, d > c ≥ 0, và D >0 sao cho
Trang 51 Với mọi s, t ∈R, t ≥ s,
||U(t, s)|| ≤ Dea(t−s), ||V2(t, s)−1|| ≤ De−b(t−s),
2 Với mọi s, t ∈R, t ≤ s
||U(t, s)|| ≤ Dec(s−t), ||V1(t, s)−1|| ≤ De−d(s−t).
Hệ tam phân mũ không đều là một trường hợp mở rộng của hệ tam phân
mũ đều, chúng ta tìm hiểu sự giống và khác nhau căn bản giữa chúng
Giả sử X là không gian Banach, và A: R→ B(X) là một hàm liên tục, trong
đó B(X) là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.
Xét bài toán giá trị ban đầu
v0=A(t)v, v(s) =vs, (1.2)
với s ∈ R và vs ∈ X Giả thiết rằng tất cả các nghiệm của (1.2) là toàn cục
Ta viết nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu trong (1.2) dưới dạng
v(t) =T(t, s)v(s), ở đó T(t, s) là toán tử tiến hóa liên kết
Trang 62 Với mọi t, s ∈R, t ≤ s,
||T(t, s)P(s)|| ≤ D2ec(s−t)+c0|s|, ||T(t, s)−1Q1(t)|| ≤ D4e−d(s−t)+d0|t|. (1.6)
Các hằng số trong a, b, c, d được coi như các số mũ Lyapunov, trong khi tínhkhông đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số trong a0, b0, c0, d0.Khi ba thành phần của nghiệm tương ứng với các thành phần tâm, ổn định vàkhông ổn định của A(t) ta có thể lấy a=c= 0 (do đó b >0 và d >0)
Nhận xét 1.1 So sánh hai định nghĩa về tam phân mũ đều và tam phân
mũ không đều ta thấy hệ tam phân mũ không đều có thêm một lượng mũ
a0|s|, b0|t|, c0|s|, d0|t| Khi a0 = b0 = c0 = d0 = 0 thì khái niệm tam phân mũ khôngđều trùng với khái niệm tam phân mũ đều
Ví dụ 1.1 Cho ω > ε >0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R3
x0= 0, y0 = (−ω − εtsint)y, z0 = (ω+εtsint)z. (1.7)
Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ không đều
Chứng minh Ta thấy nghiệm của hệ (1.7) được viết dưới dạng
x(t) =U(t, s)x(s), y(t) =V1(t, s)y(s), z(t) =V2(t, s)z(s),
trong đó
U(t, s) = 1,
V1(t, s) =e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s,
V2(t, s) =eωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s.Toán tử tiến hóa T(t, s) của hệ (1.7) được cho bởi
T(t, s)(x, y, z) = (U(t, s)x, V1(t, s)y, V2(t, s)z).Giả sử P(t), Q1(t), Q2(t) : R3 →R3 là các phép chiếu được xác định bởi
P(t)(x, y, z) =x, Q 1(t)(x, y, z) =y, Q 2(t)(x, y, z) = z
Rõ ràng các phép chiếu này thỏa mãn các điều kiện về phép chiếu trong địnhnghĩa của hệ tam phân mũ không đều Chọn b = d = ω − ε, b0 = d0 = 2ε
Trang 7||V1(t, s)−1|| ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s (1.8)và
||V2(t, s)−1|| ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s (1.9)
Ta viết lại V1(t, s) như sau:
V1(t, s) =e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t),suy ra
Với 0≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có
V1(s, t)≤ e2εe−(ω−ε)(s−t)+2εt,với t ≤ 0≤ s ta có
V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t),với t ≤ s ≤ 0 ta có
V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2εe−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|
mà V1(s, t) =V1(t, s)−1 suy ra V1(t, s)−1 ≤ e 2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|.
Điều này cho ta (1.8) Để thu được (1.9) ta chứng minh tương tự Từ
V2(s, t) =e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t)
ta có
V2(t, s)−1≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|
Từ việc thỏa mãn (1.9) và (1.8) ta có hệ (1.7) có một tam phân mũ khôngđều
Trang 81.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định
Giả sử rằng phương trình v0=A(t)v có một tam phân mũ không đều Ta xét
ba không gian con tuyến tính
E(t) = P(t)X, Fi(t) =Qi(t)X, i= 1,2với mỗi t ∈ R Ta gọi E(t), F1(t) và F2(t) tương ứng là không gian con tâm, ổnđịnh và không ổn định tại thời điểm t Ta có:
X =E(t)⊕ F1(t)⊕ F2(t) với mọi t ∈ R
và dimE(t),dimF 1(t),dimF 2(t) không phụ thuộc vào thời điểmt Nghiệm của (1.2)
có thể được viết dưới dạng
v(t) = (U(t, s)ξ, V1(t, s)η1, V2(t, s)η2) vớit ∈ R (1.11)với vs = (ξ, η1, η2) ∈ E(s)× F1(s)× F2(s), trong đó
||U(t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a0|s|, ||V2(t, s)−1|| ≤ De−b(t−s)+b0|t|
Trang 9||U(t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c|s|, ||V1(t, s)−1|| ≤ De−d(s−t)+d|t|.Tiếp theo ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F1 và F2, E và F1, E và F2tương ứng như sau
α(t) = inf{||y − z||:y ∈ F 1(t);z ∈ F 2(t);||y||=||z||= 1} (1.12)
β1(t) = inf{||x − y||:x ∈ E(t);y ∈ F1(t);||x||=||y||= 1}
β2(t) = inf{||x − z||:x ∈ E(t);z ∈ F2(t);||x||=||z||= 1}Mệnh đề 1.1 Với mọi t ∈R ta có:
tự Chú ý rằng Q1(t)(y − z) =y với y, z được cho bởi (1.12) Do đó,
1 = ||Q1(t)(y − z)|| ≤ ||Q1(t)||.||y − z||,
suy ra
1
||Q1(t)|| ≤ α(t).Tiếp theo ta chứng minh α(t)≤ 2
||Q 1(t)||.Thật vậy, với mỗi v, ω ∈ X mà ¯v =Q1(t)v 6= 0 và ¯ω=Q2(t)ω 6= 0 thì
||v|| −
¯ω
||ω||
=
... Rn Trong trường hợp biến thời gian t liên tụcxét phương trình vi phân thường ơtơnơm có dạng:
dx
Trong F : Rn −→Rn... rằngv0=L(v) có tính nghịchđối với ánh xạ T :< small>X → X nếu
và thực tế trường hợp ôtônôm Φ (t, τ) =ϕt−τ...
∂qTính chất hệ Hamilton: H(q, p) =H(q, −p)
Trong trường hợp học cổ điển, phương trình vi phân thường nhận
từ