Về các quỹ đạo đẳng nghiêng của hệ động lực : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN NGUYỄN THỊ THU HẰNG VỀ CÁC QUỸ ĐẠO ĐẲNG NGHIÊNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập hyperbolic cho vi phôi 1.2 Nhị phân mũ 1.3 Đa tạp ổn định bất ổn định 1.4 Tính vững 1.5 Tính bóng 1.6 Tính co giãn 1.7 Bất đẳng thức kiểu Gronwall cho hệ nhị phân Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hồnh vi phơi 2.1 Giới thiệu động lực ký hiệu 2.2 Tập móng ngựa ánh xạ móng ngựa Smale 11 2.3 Tập hyperbolic kết hợp với quỹ đạo đẳng nghiêng 15 2.4 Xây dựng vi phôi có điểm đẳng nghiêng hồnh 26 2.5 Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 i Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ qúy báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, tơi muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn cha mẹ tôi, người yêu thương ủng hộ tơi vơ điều kiện ii Lời nói đầu Mỗi vi phôi f không gian Euclide Rn xác định động lực phương trình sai phân xn+1 = f (xn ), xn ∈ Rn Qua điểm bất động hyperbolic x0 vi phơi f , ta có đa tạp ổn định W s (x0 ) đa tạp bất ổn định W u (x0 ) Nói chung hai đa tạp không giao nhau, động lực quanh lân cận điểm x0 trường hợp đơn giản, tranh pha có dạng hyperbolic Nếu đa tạp ổn định W s (x0 ) đa tạp bất ổn định W u (x0 ) giao điểm y0 điểm gọi điểm đẳng nghiêng Điểm đẳng nghiêng gọi hồnh hay khơng hồnh tùy theo hướng tiếp tuyến y0 Động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng phức tạp Bước tiến khởi đầu Smale ông ta chứng minh động lực ánh xạ móng ngựa động lực ánh xạ dịch chuyển trái khơng gian tích hai ký hiệu Kết Smale cho phép hiểu rõ ràng mặt giải tích ánh xạ móng ngựa vốn xây dựng hình học Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng hoành dùng động lực ký hiệu dựa sách ” Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications ” Palmer Ken năm 2000 Luận văn cấu trúc sau: Chương trình bày khái niệm điểm bất động hyperbolic, tập hyperbolic cho vi phôi, nhị phân mũ, đa tạp ổn định bất ổn định Ngoài chúng tơi phát biểu tính bóng, tính co giãn tập hyperbolic bổ đề kiểu Gronwall cho hệ nhị phân Chương giới thiệu động lực ký hiệu, minh họa tập móng ngựa ánh xạ móng ngựa Smale, định nghĩa điểm đẳng nghiêng, điểm đẳng nghiêng hồnh vi phơi, xây dựng vi phơi có điểm đẳng nghiêng hồnh động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hồnh Các định lý nằm phần tập hyperbolic kết hợp với quỹ đạo đẳng nghiêng phần động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hồnh Định lý thứ (Định lý 2.3.2) coi ví dụ tập bất biến hyperbolic khơng tầm thường Định lý thứ hai (Định lý 2.5.1) phát biểu động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng hoành thực chất loại động lực ký hiệu tập không gian ký hiệu Do thời gian lực có hạn, luận văn cịn sai sót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, cô bạn đồng nghiệp Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Nguyễn Thị Thu Hằng iii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập hyperbolic cho vi phôi Giả sử U ⊂ Rn tập mở f : U −→ Rn C vi phôi Một điểm x0 ∈ U gọi điểm bất động hyperbolic f f (x0 ) = x0 tất giá trị riêng Df (x0 ) nằm ngồi đường trịn đơn vị Tập điểm bất động hyperbolic vi phôi f ký hiệu Fixh (f ) Tổng tất không gian riêng suy rộng sinh giá trị riêng nhỏ gọi đa tạp ổn định hay không gian ổn định ký hiệu E s (f ) Tổng tất không gian riêng suy rộng sinh giá trị riêng lớn gọi đa tạp bất ổn định hay không gian bất ổn định ký hiệu E u (f ) Một điểm x0 ∈ U gọi điểm tuần hoàn chu kỳ m ≥ điểm x0 , f (x0 ), f (x0 ), , f m−1 (x0 ) khác f m (x0 ) = x0 Nếu x0 điểm tuần hồn chu kỳ m, tập {x0 , f (x0 ), f (x0 ), , f m−1 (x0 )} gọi quỹ đạo x0 , ký hiệu Orb(f, x0 ) Điểm tuần hoàn x0 gọi hyperbolic x0 điểm bất động hyperbolic f m , tức giá trị riêng Df m (x0 ) nằm ngồi đường trịn đơn vị Tập tất điểm tuần hoàn hyperbolic ký hiệu Perh (f ) Định nghĩa 1.1.1 Một tập compact S ⊂ U gọi hyperbolic (i) S bất biến, tức là, f (S) = S; (ii) có phép phân tích Rn = E s (x) ⊕ E u (x), x ∈ S không gian E s (x) E u (x) có số chiều khơng đổi; nữa, khơng gian có tính chất bất biến Df (x)(E s (x)) = E s (f (x)), Df (x)(E u (x)) = E u (f (x)) có số dương K1 , K2 , λ1 < 1, λ2 < cho với k ≥ x ∈ S ||Df k (x)ξ|| ≤ K1 λk1 ||ξ|| với ξ ∈ E s (x) ||Df −k (x)ξ|| ≤ K2 λk2 ||ξ|| với ξ ∈ E u (x) K1 , K2 , λ1 , λ2 gọi số số mũ tập hyperbolic S Hai ví dụ đơn giản tập bất biến hyperbolic tập gồm điểm bất động hyperbolic tập gồm quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic, gọi hai tập hyperbolic tầm thường Trong chương 2, xét tập bất biến hyperbolic không tầm thường gồm điểm bất động x0 quỹ đạo điểm đẳng nghiêng hoành y0 tương ứng với x0 1.2 Nhị phân mũ Cho x0 điểm bất động hyperbolic C vi phôi f : U −→ Rn Chú ý không gian ổn định bất ổn định tương ứng E s E u phép chiếu bất biến Df (x0 )) Hơn nữa, cho λ1 λ2 số dương cho |λ| < λ1 < với giá trị riêng λ Df (x0 ) với |λ| < < λ−1 < |λ| với giá trị riêng λ với |λ| > 1, tồn số dương K1 K2 cho với k ≥ ||[Df (x0 )]k ξ|| ≤ K1 λk1 ||ξ|| với ξ ∈ E s (1.2.1) ||[Df (x0 )]−k ξ|| ≤ K2 λk2 ||ξ|| với ξ ∈ E u (1.2.2) Trong [Df (x0 )]k ξ −→ k −→ ∞ ξ ∈ E s [Df (x0 )]k ξ −→ k −→ −∞ ξ ∈ E u Định nghĩa 1.2.1 (Nhị phân mũ cho phương trình sai phân) Với k ∈ J khoảng Z, cho Ak ma trận khả nghịch cỡ n × n Phương trình sai phân uk+1 = Ak uk (1.2.3) gọi có nhị phân mũ J tồn phép chiếu Pk số K1 , K2 , λ1 , λ2 với λ1 < 1, λ2 < cho với k, m ∈ J phép chiếu thỏa mãn điều kiện bất biến Φ(k, m)Pm = Pk Φ(k, m), bất đẳng thức ||Φ(k, m)Pm || ≤ K1 λk−m , k≥m ||Φ(k, m)(I − Pm )|| ≤ K2 λm−k , k≤m thỏa mãn Ở Φ(k, m) ma trận tiến hóa phương trình (1.2.3) xác định   Ak−1 Am Φ(k, m) = I   Φ(m, k)−1 với k > m, với k = m, với k < m thỏa mãn tính chất Φ(k, p)Φ(p, m) = Φ(k, m) K1 , K2 gọi số nhị phân λ1 , λ2 số mũ 1.3 Đa tạp ổn định bất ổn định Các đa tạp ổn định bất ổn định điểm bất động hyperbolic đóng vai trị phân chia dáng điệu nghiệm lân cận điểm hyperbolic Định nghĩa 1.3.1 Cho x0 điểm bất động hyperbolic C vi phơi f : U −→ Rn Khi tập W s (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) −→ x0 k −→ ∞} gọi đa tạp ổn định x0 tập W u (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) −→ x0 k −→ −∞} gọi đa tạp bất ổn định x0 Định nghĩa 1.3.2 Cho U ⊂ Rn tập mở, lồi f : U −→ Rn C vi phôi với điểm bất động hyperbolic x0 Với ε > ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương W s,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) −→ x0 k −→ ∞ ||f k (x) − x0 || < ε với k ≥ 0} đa tạp bất ổn định địa phương W u,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) −→ x0 k −→ −∞ ||f k (x) − x0 || < ε với k ≤ 0} Dễ dàng thấy với ε > 0, f −k (W s,ε (x0 )) W s (x0 ) = k≥0 Chú ý ta có tính chất bất biến f (W s (x0 )) = W s (x0 ) f (W s,ε (x0 )) ⊂ W s,ε (x0 ) 1.4 Tính vững Tính vững phương trình sai phân nói ta thêm nhiễu nhỏ vào hệ nhị phân mũ ta thu hệ nhị phân mũ Định lý 1.4.1 (Định lý tính vững) Cho phương trình sai phân uk+1 = Ak uk có nhị phân mũ khoảng J = [a, b] (và coi khoảng [a, ∞) b = ∞, v.v.) với số K1 , K2 , số mũ λ1 , λ2 phép chiếu Pk Giả sử β1 , β2 số thỏa mãn λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < Khi tồn số dương δ0 = δ0 (K1 , K2 , λ1 , λ2 , β1 , β2 ) cho ||Bk || ≤ δ ≤ δ0 Ak + Bk khả nghịch với k ∈ J, phương trình sai phân có nhiễu uk+1 = (Ak + Bk )uk có nhị phân mũ J với số L1 , L2 , số mũ β1 , β2 phép chiếu Qk thỏa mãn ||Qk − Pk || ≤ N δ, L1 , L2 N số phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 ✷ Chứng minh Xem [5, tr 33-41] Tập bất biến hyperbolic vi phơi có tính vững: ta nhiễu vi phơi cho trước tập bất biến hyperbolic vi phôi nằm lân cận nhỏ tập bất biến hyperbolic vi phôi ban đầu Định lý 1.4.2 Cho U tập lồi, S tập hyperbolic compact C vi phôi f : U −→ Rn Định nghĩa 1.1.1 Chọn số β1 , β2 cho λ1 < β1 < λ2 < β2 < Khi tồn số dương σ0 d0 phụ thuộc vào S, β1 β2 cho O lân cận mở S với d = maxdist(x, S) thỏa mãn d ≤ d0 g : U −→ Rn C ¯ t∈O vi phôi thỏa mãn sup ||g(x) − f (x)|| + sup ||Dg(x) − Df (x)|| ≤ σ với σ ≤ σ0 , x∈U x∈U ¯ : g k (x) ∈ O ¯ với k ∈ Z} tập hyperbolic compact g với SO = {x ∈ O số mũ β1 β2 Ngoài chiều tập ổn định chiều f S, số liên hợp với tính hyperbolic chặn chuẩn phép chiếu chọn để phụ thuộc vào f, S, β1 β2 ✷ Chứng minh Xem [5, tr 47-48] 1.5 Tính bóng Tính bóng hệ quan trọng tính hyperbolic Sau dùng tính bóng để nghiên cứu động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng hoành Định nghĩa 1.5.1 Một dãy {yk }∞ k=−∞ điểm U gọi δ giả quỹ đạo f ||yk+1 − f (yk )|| ≤ δ với k ∈ Z Một quỹ đạo {xk }∞ k=−∞ f , tức là, xk+1 = f (xk ) với k, gọi ε bóng δ giả quỹ đạo {yk }∞ k=−∞ ||xk − yk || ≤ ε với k ∈ Z Định lý 1.5.2 (Định lý bóng cho tập hyperbolic compact) Cho S tập hyperbolic compact C vi phôi f : U −→ Rn Khi tồn số dương δ0 , σ0 M phụ thuộc vào f S cho g : U −→ Rn C vi phôi thỏa mãn ||f (x) − g(x)|| + ||Df (x) − Dg(x)|| ≤ σ với x ∈ U σ ≤ σ0 , δ giả quỹ đạo f S với δ ≤ δ0 ε bóng quỹ đạo thật g (gọi quỹ đạo bóng) với ε = M (δ + σ) ✷ Chứng minh Xem [5, tr 77-83] 1.6 Tính co giãn Tính co giãn hệ tính hyperbolic Người ta thường dùng tính co giãn để quỹ đạo bóng Mệnh đề 1.6.1 Cho S tập hyperbolic compact C vi phôi f : U −→ Rn Định nghĩa 1.1.1 với M s , M u số Chọn số β1 β2 thỏa mãn λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < Khi đó, d đủ nhỏ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u , β1 , β2 module liên tục ω(δ) = sup{||Df (y) − Df (x)|| : x ∈ S, ||y − x|| ≤ δ}, tồn số L1 , L2 phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u cho {xk }bk=a {yk }bk=a quỹ đạo f với xk ∈ S, a ≤ k ≤ b thỏa mãn ||xk − yk || ≤ d với a ≤ k ≤ b, bất đẳng thức ||xk − yk || ≤ L1 β1k−a ||xa − ya || + L2 β2b−k ||xb − yb || với a ≤ k ≤ b ✷ Chứng minh Xem [5, tr 42-43] P hình chiếu lên E s dọc theo không gian bất ổn định E u Tương tự, với µ cố định, ξ −→ x0 + φ(ξ, µ) C vi phơi Bây tồn N > cho α ∈ I, fµN0 (ζ(α)) ∈ M s,µ0 fµN0 (ζ(α)) = x0 + φ(ζ(α), µ0 ), ξ0 (α) hàm C Khi với µ cố định gần µ0 , hàm số ψ(ξ, µ) = fµ−N (x0 + φ(ξ, µ)) cho tham số hóa mảnh W s (x(µ)) nằm gần đường cong ζ(α) Ta tham số lại cách sử dụng (α, µ) thay cho (ξ, µ) Khi đó, ta giải phương trình g(ξ, α, µ) = ψ(ξ, µ) − ζ(α), ζ(α) = (2.4.1) với ξ hàm (α, µ), , tích R2 Nghĩa là, với α µ cho trước ta chọn ξ cho ψ(ξ, µ) − ζ(α) vng góc với ζ (α) Ta áp dụng định lý hàm ẩn Chú ý α gần α0 g(ξ0 (α), α, µ0 ) = ψ(ξ0 (α), µ0 ) − ζ(α), ζ (α) = fµ−N (fµN0 (ζ(α))) − ζ(α), ζ (α) = ζ(α) − ζ(α), ζ (α) =0 ∂ψ ∂g (ξ0 (α), α, µ0 ) = (ξ0 (α), α, µ0 ), ζ (α) ∂ξ ∂ξ ∂φ = Dfµ−N (fµN0 (ζ(α))) (ξ0 (α), µ0 ), ζ (α) ∂ξ = 0, ∂φ (ξ0 (α), µ0 ) ∈ TfµN (ζ(α)) W s (x0 ) ∂ξ suy Dfµ−N (fµN0 (ζ(α)) ∂φ (ξ0 (α), µ0 ) ∈ Tζ(α) W s (x0 ) ∂ξ bội khơng ζ (α) Bởi ta áp dụng định lý hàm ẩn để giải phương trình (2.4.1) với ξ = ξ(α, µ), ξ(α, µ) hàm C với ξ(α, µ0 ) = ξ0 (α) Khi với µ gần µ0 hàm C θs (α, µ) = ψ(ξ(α, µ), µ) 27 cho tham số hóa mảnh W s (x(µ)) gần ζ(α) cho θs (α, µ0 ) = ζ(α) θs (α, µ) − ζ(α), ζ (α) = Thực tế, θs (α, µ) giao W s (x(µ)) với đường qua ζ(α) vng góc với ζ (α) Bây ta biến đổi cách lập luận Arrowsmith Place, ban đầu áp dụng cho phương trình vi phân, cho vi phơi Ta định nghĩa ds (α, µ) = ζ (α) ∧ θs (α, µ) − ζ(α) , ∧ tích định nghĩa a1 b ∧ = a1 b − a2 b a2 b2 Chú ý ds (α, µ) độ đo có dấu khoảng cách θs (α, µ) ζ(α) Lưu ý ds (α, µ0 ) = với α Tiếp theo ta tính ∂ds /∂µ(α, µ0 ), cho ∂ds ∂θs (α, µ0 ) = ζ (α) ∧ (α, µ0 ) ∂µ ∂µ Khi đó, với α cố định với k ≥ 0, đặt Ak = Dfµ0 (fµk0 (ζ(α))), d k f (ζ(α)), φk = dα µ0 ∂f k hk = (f (ζ(α)), µ0 ), ∂µ µ0 θks (α, µ) = fµk (θs (α, µ)), ∂θs ξk = k (α, µ0 ) ∂µ Ta khẳng định ξk bị chặn với k ≥ Để có điều này, ta sử dụng θks (α, µ) = fµk (ψ(ξ(α, µ), µ) = fµk−N (x0 + φ(ξ(α, µ), µ)) = x0 + yk−N (ξ(α, µ), µ) 28 với k ≥ N Do đó, ∂θks ∂yk−N ∂ξ ∂yk−N (α, µ0 ) = (ξ(α, µ0 ), µ0 ) (α, µ0 ) + (ξ(α, µ0 ), µ0 ) ∂µ ∂ξ ∂µ ∂µ ξk = bị chặn với k ≥ N (và k ≥ 0) Hơn nữa, s θk+1 (α, µ) = f (θks (α, µ), µ), suy ξk+1 = ∂f k ∂f k (fµ0 (ζ(α)), µ0 )ξk + (f (ζ(α)), µ0 ) = Ak ξk + hk ∂x ∂µ µ0 Tiếp theo lưu ý φk+1 = d d fµ0 (fµk0 (ζ(α))) = Dfµ0 (fµk0 (ζ(α))) fµk0 (ζ(α)) = Ak φk dα dα Bây xét ∆k = φk ∧ ξk Ta thấy ∆k+1 = Ak φk ∧ (Ak ξk + hk ) = detAk ∆k + φk+1 ∧ hk Do ∆k+1 = λk ∆k + gk , (2.4.2) λk = detAk , gk = φk+1 ∧ hk Lặp lại việc áp dụng phương trình (2.4.2), ta tìm với k ≥ k ∆k = λk−1 λ0 ∆0 + λk−1 λm gm−1 m=1 Do k−1 −1 ∆0 = −λ−1 λk−1 ∆k − −1 λ−1 λm gm (2.4.3) m=0 Bây φ0 = ζ (α) ∈ Tζ(α) W s (x0 ), suy từ Mệnh đề 2.3.1 φk = Dfµk0 (ζ(α))ζ (α) bị chặn với k ≥ Thực tế, ||φk || ≤ constant.β1k với k ≥ 0, 29 β1 chọn cho gần giá trị riêng µ Dfµ0 (x0 ) bên đường trịn đơn vị ta muốn Do vậy, ||ξk || bị chặn, ta có |∆k | = |φk ∧ ξk | ≤ constant.β1k với k ≥ Tiếp theo lưu ý λk = detDfµ0 (fµk0 (ζ(α))) −→ detDfµ0 (x0 ) = λµ k −→ ∞, λ giá trị riêng Dfµ0 (x0 ) ngồi đường trịn đơn vị Khi với k ≥ −1 k |λ−1 λk−1 | ≤ constant.γ , γ chọn cho gần với (λµ)−1 ta muốn Như với k ≥ −1 k |λ−1 λk−1 ∆k | ≤ constant.(γβ1 ) , γβ1 gần với λ−1 ta muốn Tương tự −1 m |λ−1 λm−1 gm−1 | ≤ constant.(γβ1 ) , với m ≥ Bây giờ, |λ| > 1, ta chọn cho |γβ1 | < Như ta cho k −→ ∞ phương trình (2.4.3) để thu ∞ −1 λ−1 λk gk ∆0 = − k=0 Hay ∞ detDfµk+1 (ζ(α)) ∆0 = − k=0 ∞ −1 d k+1 ∂f k fµ0 (ζ(α)) ∧ (f (ζ(α)), µ0 ) dα ∂µ µ0 detDfµ−k−1 (fµk+1 (ζ(α))) 0 =− k=0 d k+1 ∂f k fµ0 (ζ(α)) ∧ (f (ζ(α)), µ0 ) dα ∂µ µ0 ∞ ∂ds d ∂f k−1 (α, µ0 ) = − detDfµ−k (fµk0 (ζ(α))) fµk0 (ζ(α)) ∧ (f (ζ(α)), µ0 ) ∂µ dα ∂µ µ0 k=1 Tương tự, tồn hàm khả vi liên tục θu (α, µ) cho θu (α, µ0 ) = ζ(α), cho ta giao W u (x(µ)) với đường qua ζ(α) vng góc với ζ (α) Ta tìm khoảng cách du (α, µ) = ζ (α) ∧ [θu (α, µ) − ζ(α)] 30 có tính chất du (α, µ0 ) = ∞ ∂du ∂f k−1 d (α, µ0 ) = − (fµ0 (ζ(α)), µ0 ) detDfµ−k (fµk0 (ζ(α))) fµk0 (ζ(α)) ∧ ∂µ dα ∂µ k=0 Khi độ đo có dấu khoảng cách giao W s (x(µ)) W u (x(µ)) với đường qua ζ(α) vng góc với ζ (α) d(α, µ) = du (α, µ) − ds (α, µ) Như d(α, µ) hàm C với d(α, µ0 ) = với α gần α0 Nếu ta định nghĩa    d(α, µ) µ = µ0  µ − µ h(α, µ) =  ∂d    (α, µ) µ = µ0 , ∂µ h(α, µ) hàm C với h(α, µ0 ) = ∂d (α, µ0 ) ∂µ Bây ta định nghĩa hàm Melnikov ∆(α) = ∂d (α, µ0 ) ∂µ ∞ (fµk0 (ζ(α))) detDfµ−k = k=−∞ d k ∂f k−1 fµ0 (ζ(α)) ∧ (f (ζ(α)), µ0 ) dα ∂µ µ0 Suy từ định lý hàm ẩn ∆(α0 ) = 0, ∆ (α0 ) = phương trình h(α, µ) = 31 có nghiệm α = α(µ) với α gần α0 µ −→ µ0 Hơn α(µ) hàm C α(µ0 ) = α0 Như µ = µ0 , θs (α(µ), µ) = θu (α(µ), µ) ∈ W s (x(µ)) ∩ W u (x(µ)) giao hồnh đánh giá sau cho thấy: d ∂θs (α(µ), µ) dµ ∂α ∂ θs ∂ θs (α0 , µ0 ) (α , µ )α (µ ) + 0 ∂α2 ∂α∂µ ∂ θs = ζ (α0 )α (µ0 ) + (α0 , µ0 ) ∂α∂µ = µ=µ0 tương tự, d ∂θu (α(µ), µ) dµ ∂α µ=µ0 = ζ (α0 )α (µ0 ) + ∂ θu (α0 , µ0 ) ∂α∂µ Do ∂θs ∂ θs (α(µ), µ) = ζ (α0 ) + ζ (α0 )α (µ0 ) + (α0 , µ0 ) (µ − µ0 ) + o(µ − µ0 ) (2.4.4) ∂α ∂α∂µ ∂θu ∂ θu (α(µ), µ) = ζ (α0 ) + ζ (α0 )α (µ0 ) + (α0 , µ0 ) (µ − µ0 ) + o(µ − µ0 ) (2.4.5) ∂α ∂α∂µ Bây lưu ý ∆ (α0 ) cho ζ (α0 ) ∧ ∂ θs ∂θu ∂θs ∂ θu (α0 , µ0 ) − (α0 , µ0 ) + ζ (α0 ) ∧ (α0 , µ0 ) − (α0 , µ0 ) ∂α∂µ ∂α∂µ ∂µ ∂µ (2.4.6) thấy ∂θu ∂θs (α0 , µ0 ) = (α0 , µ0 ) ∂µ ∂µ nên ζ (α0 ) ∧ ∂θu ∂θs (α0 , µ0 ) − (α0 , µ0 ) = ∆(α0 ) = ∂µ ∂µ Tuy nhiên, ta biết với α µ, θs (α, µ) − ζ(α), ζ (α) = θu (α, µ) − ζ(α), ζ (α) = Khi ∂θu ∂θs (α0 , µ0 ) − (α0 , µ0 ), ζ (α0 ) = ∂µ ∂µ 32 (2.4.7) Như (2.4.7) chứng minh ζ (α0 ) ∧ ∂ θs ∂ θu (α0 , µ0 ) − (α0 , µ0 ) = ∆ (α0 ) = ∂α∂µ ∂α∂µ Kết hợp với (2.4.4) (2.4.5), biểu thức sau trở thành ∂θs (α(µ), µ), ζ ∂α ∂θu (α(µ), µ), ζ ∂α (α0 ) −→ µ −→ µ0 (α0 ) s ζ (α0 ) ∧ ζ (α0 )α (µ0 ) + ζ (α0 ) ∧ ∂θ (α(µ), µ) ∂α −→ ∂θu ζ (α0 ) ∧ ∂α (α(µ), µ) ζ (α0 ) ∧ ζ (α0 )α (µ0 ) + ∂ θs (α0 , µ0 ) ∂α∂µ ∂ θu (α0 , µ0 ) ∂α∂µ =1 µ −→ µ0 Khi đó, ∂θs /∂α(α(µ), µ) ∂θu /∂α(α(µ), µ) khơng thể phụ thuộc tuyến tính với µ = µ0 , µ đủ gần µ0 Như vậy, W s (x(µ)) W u (x(µ)) hồnh θs (α(µ), µ) = θu (α(µ), µ) Do ta chứng minh định lý sau Định lý 2.4.1 Giả sử U tập mở R2 f : U × R −→ R2 hàm C cho với µ cố định, hàm fµ (x) = f (µ, x) vi phơi U lên ảnh Giả sử fµ0 điểm yên ngựa x0 cho ζ(α) ∈ W s (x0 ) ∩ W u (x0 ), ζ : I ⊂ R −→ R2 hàm C với ζ (α) = với α khoảng I Chính xác hơn, giả sử với ε > tồn số nguyên dương N cho fµN0 (ζ(α)) ∈ W s,ε (x0 ) fµ−N (ζ(α)) ∈ W u,ε (x0 ) với α I Ta định nghĩa hàm Melnikov ∞ detDfµ−k (ζk (α))ζk (α) ∧ ∆(α) = k=−∞ ∂f (ζk−1 (α)), µ0 ), ∂µ ζk (α) = fµk0 (ζ(α)) "∧" ký hiệu tích hai vec tơ R2 Khi µ gần µ0 , vi phơi fµ điểm n ngựa x(µ) gần x0 , ∆(α) có nghiệm đơn α0 , đa tạp ổn định bất ổn định x(µ) hồnh điểm gần ζ(α0 ) µ = µ0 33 2.5 Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành Cho U tập mở nằm Rn f : U −→ Rn C vi phôi Giả sử x0 k ∞ điểm bất động hyperbolic f {yk }∞ k=−∞ = {f (y0 )}k=−∞ quỹ đạo đẳng nghiêng hồnh Khi ta chứng minh phần 2.3 tập S = {x0 } ∪ {yk : k ∈ Z} tập hyperbolic compact f Trong định lý sau đây, ta đặc trưng tập bất biến cực đại ¯ : g k (x) ∈ O ¯ với k ∈ Z} SO = {x ∈ O lân cận mở S đưa mô tả động lực ký hiệu tập bất biến Trực quan hình học, ta thấy động lực xung quanh S giống với tình ánh xạ móng ngựa tập móng ngựa xét Định lý 2.5.1 Cho x0 điểm bất động hyperbolic C vi phôi f : U −→ Rn với quỹ đạo đẳng nghiêng hoành liên kết {yk = f k (y0 )}∞ k=−∞ Khi tồn số nguyên dương J cho với số nguyên dương L đủ lớn, tồn lân cận mở O tập S = {x0 } ∪ {yk : k ∈ Z}, tồn đồng phôi φ : Y −→ φ(Y ) ⊆ SO cho φ ◦ σ = f ◦ φ, σ : Y −→ Y hàm dịch chuyển (trái) ∞ σ({ak }∞ k=−∞ ) = {ak+1 }k=−∞ , Y = {( a−1 a0 a1 ), ak ∈ {0, 1, , J}} tập ký hiệu dãy hai chiều {ak }∞ k=−∞ với ak ∈ {0, 1, , J} mơ tả có tính chất sau đây: (i) ak = = ak+1 ak+1 = 1; (ii) ak = j ∈ {1, , J − 1} ak+1 = j + 1; (iii) ak = J ak+l = với ≤ l ≤ L Lược đồ chứng minh sau: 34 • Xác định số ký hiệu J + 1; • Xây dựng tập Y phát biểu định lý; • Xây dựng tập O chứa S; • Dùng tính bóng tính co giãn để xây dựng đồng phôi φ cho φ ◦ σ = f ◦ φ Nhắc lại, Smale chứng minh (f, Λ) liên hợp với (σ, ) Định lý nói (f, SO ) liên hợp với (σ, Y ) Chứng minh Giả sử M δ0 số tương ứng với tập hyperbolic S định lý 1.5.1 đặt ε0 = M δ Ta điều chỉnh δ0 đủ bé cho tập bất biến cực đại f lân cận ε0 bóng S hyperbolic (xem Định lý 1.4.2) cho d số mở rộng tập bất biến cực đại ứng với lựa chọn β1 , β2 (xem Mệnh đề 1.6.1) Khi đặt δ1 = min{δ0 , ε0 /4, d/4} chọn số nguyên dương k + số nguyên âm k − cho ||yk − x0 || < δ1 k ≥ k + k ≤ k − Tiếp theo đặt J = k+ − k− − định nghĩa I0 = {x0 } ∪ {yk : k ≤ k − k ≥ k + } Chọn ε > với ε ≤ ε0 /2 ε ≤ d/6 cho bao đóng tập mở V0 = B(I0 , ε) = {x : ||x − z|| < ε với z ∈ I0 }, Vj = B(yk− +j , ε) (j = 1, 2, , J) 35 rời đôi cho f (V0 ) ∩ Vi rỗng với ≤ i ≤ J f (Vj ) ∩ Vi rỗng với ≤ j ≤ J − 1, i = j + j = J, i = Bây đặt δ = ε/2M cho ε/2 = M δ chọn số dương k ∗ cho với k ≥ k ∗ ||yk− −k − x0 || ≤ δ, ||yk+ +k − x0 || ≤ δ Khi lấy L ≥ 2k ∗ + L thay VJ giao với f −k (V0 ) Cuối ta định nghĩa lân cận mở O k=1 S J O= Vj j=0 Xét quỹ đạo {wk }∞ k=−∞ S nằm hoàn toàn O Từ tính chất tập Vj ta thấy wk ∈ V0 , wk+1 ∈ / V0 =⇒ wk+1 ∈ V1 ; wk ∈ Vj ≤ j ≤ J − =⇒ wk+1 ∈ Vj+1 ; wk ∈ VJ =⇒ wk+l ∈ V0 với ≤ l ≤ L Ta định nghĩa ak = j wk ∈ Vj Rõ ràng ta có dãy hai phía {ak }∞ k=−∞ ∈ Y viết ∞ {ak }∞ k=−∞ = α {wk }k=−∞ Ta ánh xạ α xác định quỹ đạo O sang Y 1-1 Do cho ∞ ∞ α {wk }∞ k=−∞ = {ak }k=−∞ Ta định nghĩa δ0 giả quỹ đạo {zk }k=−∞ f S cách lấy   yk− +j zk = x0   yk− Ta thấy f (zk ) = zk+1 ak = j, ak = j, ≤ j ≤ J, ak = ak+1 = 0, ak = 0, ak+1 = 1 ≤ j ≤ J − ak = 0, ak+1 = ak = ak+1 = ak+2 = Nếu ak = J, ||zk+1 − f (zk )|| = ||x0 − yk+ || < δ1 ≤ δ0 36 ak = ak+1 = ak+2 = ||zk+1 − f (zk )|| = ||yk− − x0 || < δ1 ≤ δ0 Do {zk }∞ k=−∞ δ0 giả quỹ đạo Tiếp theo ta lưu ý wk ∈ Vj ⊂ B(yk− +j , ε) zk = yk− +j ak = j ≤ j ≤ J cho ||wk −zk || ≤ ε < ε0 Nếu ak = 0, wk ∈ V0 cho tồn l với l ≤ k − l ≥ k + cho ||wk − yl || < ε Khi đó, zk = x0 yk− , ||wk − zk || ≤ ||wk − yl || + ||yl − x0 || + ||zk − x0 || < ε + 2δ1 ≤ ε0 Như {wk }∞ k=−∞ ε0 bóng với δ0 giả quỹ đạo đó, theo Định lý 1.5.1 cách chọn ε0 , δ0 Như α 1-1 Tiếp theo ta α lên cho dãy {ak }∞ k=−∞ tập Y Ta định nghĩa δ giả quỹ đạo {zk }∞ k=−∞ f S với zk ∈ Vak sau Nếu ak = j, ≤ j ≤ J, ta lấy zk = yk− +j ; tương ứng với đoạn (ít L) số khơng J 1, ta lấy số điểm yk+ , , yk+ +k∗ −1 , x0 , , x0 , yk− −k∗ , yk− −k∗ +1 , , yk− tương ứng với vô số số trước 1, ta lấy vô số điểm , x0 , , x0 , yk− −k∗ , yk− −k∗ +1 , , yk− ; tương ứng với vô số số sau J, ta lấy vô số điểm yk+ , , yk+ +k∗ −1 , x0 , , x0 , Nếu ak = với k, ta lấy zk = x0 với k Chỉ có số k để zk+1 = f (zk ) cho zk = yk+ +k∗ −1 , zk+1 = x0 ||zk+1 − f (zk )|| = ||x0 − yk+ +k∗ || ≤ δ giá trị mà zk = x0 , zk+1 = yk− −k∗ ||zk+1 − f (zk )|| = ||yk− −k∗ − x0 || ≤ δ Như {zk }∞ k=−∞ thực δ giả quỹ đạo với zk ∈ Vak Theo Định lý 1.5.1 chọn ε, δ, tồn quỹ đạo {wk }∞ k=−∞ f tạo nên ε/2 bóng 37 giả quỹ đạo Nếu ak = j với j = 1, , J − 1, zk = yk− +j ||wk −yk− +j || ≤ ε/2, suy wk ∈ Vj Nếu ak = 0, zk ∈ I0 ||wk −zk || ≤ ε/2 < ε, suy wk ∈ V0 Nếu ak = J, zk = yk− +J wk ∈ B(yk− +J , ε) Cũng vậy, ak+l = với l = 1, , L, suy wk+l = f l (wk ) ∈ V0 với l = 1, , L Như vậy, ak = J, wk ∈ VJ Khi quỹ đạo thực {wk }∞ k=−∞ nằm O sinh {ak }∞ k=−∞ Như α ánh xạ lên, ta hoàn tất chứng minh ∞ Nếu α {wk }∞ k=−∞ = {ak }k=−∞ , ta định nghĩa φ({ak }∞ k=−∞ ) = w0 Rõ ràng φ : Y −→ Rn định nghĩa 1-1 Bây ta φ liên tục Trước hết ta lưu ý tập hợp dãy hai phía {ak }∞ k=−∞ với ak ∈ {0, 1, , J} không gian metric compact Rõ ràng, Y tập đóng khơng gian metric compact Tiếp theo cho ε1 > chọn số nguyên dương N cho [L1 β1N + L2 β2N ]d < ε, L1 , L2 , β1 , β2 số từ Mệnh đề 1.6.1 xác định đầu (m) (m) ∞ ∞ chứng minh Giả sử {ak }∞ k=−∞ −→ {ak }k=−∞ m −→ ∞, cho {zk }k=−∞ {zk }∞ k=−∞ tương ứng δ giả quỹ đạo xây dựng chứng minh α (m) ∞ lên cho {wk }∞ k=−∞ {wk }k=−∞ tương ứng ε/2 bóng quỹ đạo cho (m) (m) ∞ φ({ak }∞ k=−∞ ) = w0 , φ({ak }k=−∞ ) = w0 (m) Lưu ý ||wk (m) − wk || ≤ ε + ||zk (m) − zk || = 2M δ + ||zk tồn số nguyên dương M0 cho m ≥ (m) zk − zk || với k Bây (m) M0 , ak = ak với −N ≤ k ≤ N và zk nằm Vj −N ≤ k ≤ N Do m ≥ M0 , (m) ||wk − wk || ≤ 2M δ + 4M δ + 2δ1 ≤ d (m) ∞ với −N ≤ k ≤ N Khi đó, hai {wk }∞ k=−∞ {wk }k=−∞ quỹ đạo f lân cận ε0 bóng S, suy từ Mệnh đề 1.6.1 lựa chọn d (m) ||w0 − w0 || ≤ [L1 β1N + L2 β2N ]d Như vậy, m ≥ M0 , (m) ∞ ||φ({ak }∞ k=−∞ ) − φ({ak }k=−∞ )|| < ε1 38 Như φ liên tục Bây giờ, Y không gian metric compact, suy φ : Y −→ φ(Y ) ⊂ Rn vi phơi lên ảnh Cuối ∞ ∞ α({wk+1 }∞ k=−∞ ) = {ak+1 }k=−∞ = σ({ak }k=−∞ ), suy ∞ φ(σ({ak }∞ k=−∞ )) = w1 = f (w0 ) = f (φ({ak }k=−∞ )) Khi φ◦σ =f ◦φ định lý chứng minh ✷ 39 Kết luận Trong luận văn này, chứng minh động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng hoành thực chất loại động lực ký hiệu tập không gian ký hiệu Y với Y = {( a−1 a0 a1 ), ak ∈ {0, 1, , J}} tập ký hiệu dãy {ak }∞ k=−∞ với ak ∈ {0, 1, , J} mơ tả có tính chất sau đây: (i) ak = = ak+1 ak+1 = 1; (ii) ak = j ∈ {1, , J − 1} ak+1 = j + 1; (iii) ak = J ak+l = với ≤ l ≤ L Kết cho phép chuyển tính chất định tính vi phôi tập bất biến cực đại tính chất tương ứng hệ động lực ký hiệu Động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng khơng hồnh phức tạp nhiều Chúng dự định nghiên cứu vấn đề thời gian tới 40 Tài liệu tham khảo [1] D.V Anosov and V.V Solodov, (1995), "Hyperbolic sets", Dynamical Systems IX, Springer -Verlag, Berlin, 10-92 [2] D.V Arrowsmith and C,M Place, (1990), An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [3] E Akin, (1993), The General Topology of Dynamical Systems, Amer.Math.Soc, R.I Providence [4] F Botelho and L Chen, (1993), "On the rotation shadowing property for annulus maps", Continuum Thoery and Dynamical Systems, New York, 35-42 [5] Palmer Ken, (2000), Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers [6] N Aoki, (1982), "Homeomorphisms without the pseudo-orbit tracing property", Nagoya J Math, (88), 155-160 [7] N Aoki, (1983), "On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property", Tokyo J Math, (6), 329-334 [8] N Aoki, (1989), "Topological dynamics", Topics in General Topology, North- Holland, Amsterdam, 625-740 [9] N Aoki and N Hiraide, (1994), Topological Theory of Dynamical Systems, Recent Advances, North-Holland, Amsterdam [10] Perko Lawrence, (1991), Differential equation and dynamical systems, Springer Press 41