SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 sin x + + = 2cos x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3mx + m (1), m tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác ABC có diện tích 2, C (0; −1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m tham số thực 2 3 x + x y − 3x − xy = 2m (x, y ∈ ¡ ) x + x + y = − m a) Giải hệ m = b) Tìm m để hệ cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung · điểm BC H trung điểm AM Biết HB = HC = a , HBC = 300 ; góc mặt phẳng ( SHC ) mặt phẳng ( HBC ) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng ( SHC ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D; AB = AD, CD = AD Đường thẳng BD có phương trình x − y + = , đường thẳng AC qua điểm M ( 4;2 ) Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = 3abc − 2014a − b − c ……… Hết……… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh không vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (2,0 điểm) Phương trình tương đương: Nội dung sin x + + = + cos x 3 cos x − sin x = 2 π ⇔ cos x + ÷ = 3 ⇔ π x = − 12 + kπ ⇔ x = − π + kπ 0,5 0,5 ( k ∈¢) Vậy phương trình có nghiệm x = − Điểm 0,5 0,5 π π + kπ x = − + kπ (k ∈ ¢ ) 12 Câu (2,0 điểm) Nội dung a) (1,0 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3mx + m = − x + m x = ⇔ x − 3mx + = (1) Yêu cầu tốn tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ 9m − > Điểm 0,25 0,25 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word m > 2 ⇔ Vậy giá trị cần tìm m m > m < − 3 m < − b) (1,0 điểm) Ta có y ' = 3x − 6mx ; y ' = ⇔ x = x = 2m Đồ thị có hai điểm cực trị m ≠ (*) 4 Các điểm cực trị đồ thị A ( 0; m ) ; B ( 2m; m − 4m ) 0,25 0,25 0,25 4 Suy AC = m + = m + ; C ∈ Oy ⇒ d ( B, AC ) = m AC.d ( B, AC ) = m ( m + 1) ; S ABC = ⇔ m ( m + 1) = Đặt m = t > ta t + t − = ⇔ (t − 1)(t + t + t + t + 2) = ⇔ t = Do S ABC = Do m = ±1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m = ±1 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 3 x + x y − x − xy = ( x − x )(3x + y ) = ⇔ Với m=2 ta có hệ x + x + y = ( x − x) + (3 x + y ) = 0,25 ab = ⇒ a =b = Đặt x − x = a;3 x + y = b , ta có hệ: a + b = x2 − x = ab = Giải hệ ta a = b = Suy a + b = 3 x + y = Giải hệ ta ( x; y ) = (−1;5);(2; −4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (−1;5);(2; −4) Chú ý: HS làm theo phương pháp b) (1,0 điểm) ( x − x )(3x + y ) = 2m Hệ tương đương ( x − x ) + (3x + y ) = − m ab = 2m a + b = − m 6a − a ab = 2m a (6 − m − a ) = 2m = m (1) ⇔ ⇔ a+2 a + b = − m b = − m − a b = − m − a 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt x − x = a, a ≥ − ;3 x + y = b , ta có hệ: Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn a ≥ − 2 a + 4a − 12 6a − a Xét hàm số f (a ) = ; a ≥ − Ta có f '(a) = − (a + 2) a+2 0,25 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word f '(a) = ⇔ a = Bảng biến thiên: Với a ≥ − 0,25 Suy giá trị cần tìm m là: m ≤ Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm 0,5 a2 HB.HC.sin1200 = Gọi K hình chiếu vng góc A HC S HBC = a a ⇒ AK = AH sin 600 = 3a · = 600 ⇒ SA = AK tan 600 = Góc (SHC) (ABC) SKA Ta có AH = HM = HB sin 300 = 0,25 0,5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 3a a 3a Vậy VS HBC = SA.S HBC = = 3 4 16 · Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB ' 0,25 Gọi I hình chiếu A SK ⇒ AI ⊥ ( SHC ) Ta có BB ' = d ( B, ( SHC )) = 2d ( M , ( SHC )) = 2d ( A, ( SHC )) = AI Trong tam giác vng SAK, ta có AI = · Do sin BCB '= AK AS AK + AS = 0,25 3a 2 3a 3a = ⇒ BB ' = 16 a BB ' 3a 3a = = = BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 · Vậy cos BCB ' = 1− 0,25 13 = 16 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm 0,25 Gọi I = AC I BD , H hình chiếu B CD 1 + tan D + tan C = ⇒ ·AID = 450 1 · = Ta có tan AID = tan ( D1 + C1 ) = − tan D1 tan C1 − Đường thẳng AC có dạng: a ( x − 4) + b( y − 2) = ⇔ ax + by − 4a − 2b = (a + b > 0) Góc AC BD 450 nên cos 45 = a − 2b a +b 2 ⇔ 3a + 8ab − 3b = 0,25 Chọn b=1 ta a = ; a = −3 Từ suy phương trình AC x + y − 10 = x − y − 10 = BE AB IA AD = =2⇒ = = Gọi E = BH I AC , ta có EH CH IE BE Ta có S ABCD ( AD + AD ) AD = 10 ⇔ AD = Từ tìm = 10 AI = 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 17 11 10 * Nếu AC : x + y − 10 = , suy I ; ÷ Gọi A ( 10 − 3t ; t ) từ AI = ta có 5 2 17 11 32 29 ⇔ t = 3; t = Suy A ( 1;3) ; A ; ÷ 10 − 3t − ÷ + t − ÷ = 5 5 5 5 Do x A < ⇒ A ( 1;3) 21 13 10 * Nếu AC : x − y − 10 = , suy I ; ÷ Gọi A ( t ;3t − 10 ) từ AI = ta có 5 0,25 13 32 17 21 ⇔ t = 5; t = (không thỏa mãn x A = t < ) t − ÷ + 3t − 10 − ÷ = 5 5 5 Vậy điểm A cần tìm A ( 1;3) Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD = cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) ……… Hết……… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word