SỞ GD&ðT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT THÁI THUẬN ðỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút x−2 có đồ thị (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số Câu I (4 ñiểm) Cho hàm số y = 2) Chứng minh ñường thẳng ( ∆) : 2x + y + m = ln cắt đồ thị (C) hai ñiểm phân biệt A B thuộc hai nhánh ñồ thị Xác ñịnh m cho AB ngắn Câu II (4 ñiểm) 1) Giải phương trình: 5π π π 5x 9x sin( + 3x) + cos( − 7x) = 2sin ( + ) − 2cos 2 2 xy + x + y = x − 2y 2) Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) x − + 2y − = n 3 Câu III (2 ñiểm) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 2x + x Trong ñó n ∈ ℕ thỏa mãn: log (n − 3) + log (n + 6) = Câu IV (2 điểm) Tìm m để bất phương trình: m.4 x + ( m − 1) x + + m − > ñúng ∀x ∈ ℝ Câu V (6 điểm) 1) Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC SBC tam giác ñều cạnh a (Hình chiếu S nằm miền tam giác ABC) a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SAC) b Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2) Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ABC có diện tích ; trọng tâm G ∆ABC thuộc ñường thẳng (d): 3x – y – = Tìm tọa độ điểm C bán kính đường trịn nội tiếp ∆ ABC Câu VI (2 ñiểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: a3 b3 c3 + + =1 a + ab + b b + bc + c2 c2 + ca + a Tìm giá trị lớn biểu thức S = a + b + c Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………; Số báo danh: ………………… ðÁP ÁN CHỌN HSG TOÁN 12 – 2014 Câu ðáp án Học sinh tự giải I (4 Pthñgñ chung: 2x + (3 + m)x + m − = với x ≠ −1 điểm Cm pt có nghiệm pb tm: x1 < −1 < x ⇔ x1 x + x1 + x + < ⇔ −3 < ñúng với m ) GS A(x1 ; −2x1 − m), B(x ; −2x − m) Có AB2 = 5(x1 − x ) = (x1 + x ) − 4x1x = (m − 1) + 24 ≥ 30 Suy ABmin = 30 m = Câu 5π π π 5x 9x sin( + 3x) + cos( − 7x) = 2sin ( + ) − cos II 2 2 (4 ⇔ ( cos 3x + cos 9x ) + ( sin 7x − sin 5x ) = ñiểm ⇔ cos 6x ( cos 3x + sin x ) = ) π kπ x = 12 + cos 6x = x = π + mπ ⇔ ⇔ cos 3x = cos( π + x) x = − π + nπ ðKXð: x ≥ 1; y ≥ k, m, n ∈ Ζ 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 2 2 (xy + x ) + x + y = 2x − 2y Hệ phương trình tương đương: x − + 2y − = x + y = ( loai ) ( x + y )(1 − x + 2y ) = ⇔ ⇔ 1 − x + 2y = x − + 2y − = x − + 2y − = 2y = x − ⇔ x − + x − = (*) x ≥ PT ( *) ⇔ 2x − + x − 5x + = x ≥ 4 ≤ x ≤ 4 ≤ x ≤ ⇔ x = ( TM ) ⇔ ⇔ 2 ⇔ x = x − 5x + = − x x − 5x + = ( − x ) Với x = ⇒ y = KL Câu III (2 ñiểm ) 0.5 0.5 0.5 KL ðiểm 2.0 0.25 0.5 0.25 Phương trình: log (n − 3) + log ( n + 6) = có nghiệm n = 19 (Vì VT hàm số ñồng biến nên ñồ thị cắt ñường thẳng y = ñiểm nhất) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 1.0 n 19 3 k 19− k k 38−3k 2x + = ∑ C19 x x k =0 0.5 0.25 Từ gt suy 38 − 3k = ⇔ k = 10 10 KL: C10 19 0.25 ðặt t = x > m.4 x + ( m − 1) x + + m − > ñúng ∀x ∈ ℝ m.t + ( m − 1) t + ( m − 1) > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > Câu IV (2 ñiểm ) ⇔ g(t) = [ 0; +∞ ) 4t + < m, ∀t > Ta có g′ ( t ) = −4t − 2t < nên g ( t ) nghịch biến t + 4t + ( t + 4t + 1) 2 suy ycbt ⇔ Max g ( t ) = g ( ) = ≤ m 0.5 0.5 t≥0 Câu Gọi M trung điểm BC O hình chiếu S V a lên AM CM SO ⊥ mp(ABC) (6 SM =AM = a ; AMS = 600 ñiểm ) ⇒ d(S; BAC) = SO = 3a Gọi VSABC- thể tích khối chóp S.ABC ⇒ VS.ABC = S∆ABC SO = a (ñvtt) 16 Mặt khác, VS.ABC = S∆SAC d(B;SAC) ∆SAC cân C có CS =CA =a; SA = a A a 13 ⇒ S∆SAC = 16 3VS.ABC = 3a (ñvñd) Vậy: d(B; SAC) = S∆SAC 13 Tam giác SAM ñều suy O trung ñiểm AM b Gọi G trọng tâm tg ABC, suy G tâm đường trịn ngoại tiếp tg ABC Trong (SAM) dựng ñường thẳng (d) qua G song song với SO suy d ⊥ (ABC) Dựng trung trực SA (SAM) cắt (d) I CM I tâm mặt cầu 0.5 0.5 Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = a−b−5 ( = 0.5 0.5 S 0.5 N I O B C 0.5 G M 0.5 0.5 0.5 0.5 2S∆ABC AB 0.5 ) a − b = 8(1) ; Trọng tâm G a + ; b − ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) ⇒ a−b−5 =3⇔ 0.5 3 a − b = 2(2) Từ (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = S = p + 65 + 89 0.5 S Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r = = p 0.5 +2 Câu 0.5 a 2a − b CM: ≥ (1) ⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2) VI a + ab + b (2 0.5 ⇔ a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ ñiểm ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ (h/n) ) b3 2b − c c3 2c − a 0.5 ≥ (2) , ≥ (3) Tương tự: 2 2 b + bc + c c + ac + a Cộng vế theo vế ba bñt (1), (2) (3) ta ñược: 0.5 a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Vậy: S ≤ ⇒ maxS = a = b = c = Lưu ý chấm bài: Trên ñây sơ lược đáp án, làm HS phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, ñúng cho ñiểm tương ñương