ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 1999 Ngày thi thứ Bài p Cho số nguyên tố lẻ p thỏa 2h 1(mod p) với h p 1, h * số chẵn a ( ; p ) Xét dãy số (an ) xác định bởi: a0 a, an 1 p bn , n 0,1, 2, với bn ước số lẻ lớn an Chứng minh (an ) dãy số tuần hồn tìm chu kì dương nhỏ Bài Hai đa thức f ( x ) g ( x) có hệ số thực gọi “đồng dạng” tồn số thực q thỏa mãn f ( x ) q g ( x ), x Chứng minh tồn đa thức P( x ) có bậc 1999 với hệ số thực thỏa mãn P ( x) ( P ( x)) ( x 4) “đồng dạng” Hỏi có đa thức bậc 1999 thỏa mãn điều kiện trên? Bài Cho đa giác lồi (H) Chứng minh với số thực a (0,1) , tồn điểm phân biệt nằm cạnh (H), kí hiệu A1 , A2 , , A6 theo chiều kim đồng hồ, thỏa đồng thời hai điều kiện sau: A1 A2 A5 A4 a A6 A3 Các đường thẳng A1 A2 , A5 A4 cách đường thẳng A6 A3 Ngày thi thứ hai Bài Cho dãy số thực dương (un ) Với số nguyên dương n, kí hiệu kn số nguyên dương nhỏ kn thỏa mãn n i u i 1 i i 1 k Chứng minh dãy n 1 có giới hạn hữu hạn (un ) có giới hạn hữu hạn kn Bài Cho tam giác A1 A2 A3 nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K1) tiếp xúc với cạnh A1 A2 , A1 A3 tiếp xúc với đường tròn (O) điểm M , N1 , P1 Các điểm M , N , P2 M , N , P3 xác định cách tương tự Chứng minh đoạn thẳng M N1 , M N , M N cắt trung điểm đoạn Bài Cho p số nguyên tố Xét đa giác có p cạnh với khỉ đỉnh Người ta cho p hạt đậu cho khỉ với quy tắc sau: Cho hạt đậu cho khỉ đó, hạt đậu cho khỉ đỉnh thứ ba tính từ vị trí khỉ nhận hạt đậu theo chiều kim đồng hồ, hạt đậu thứ ba cho khỉ thứ năm tính từ vị trí khỉ nhận hạt đậu thứ hai theo chiều kim đồng hồ thế…Tức hạt đậu thứ k cho khỉ đỉnh thứ 2k tính từ vị trí khỉ nhận hạt đậu thứ k Hỏi có khỉ khơng nhận hạt đậu nào? Có cạnh đa giác có tính chất hai khỉ đầu cuối cạnh nhận hạt đậu?