SHAMO2~2.PDF toán học

Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 20 Được soạn Nguyễn Trung Tuân Bài Một số nguyên dương n gọi tốt có số nguyên dương a < b < c cho a|b, b|c n = a + b + c a) Chứng minh hầu hết số nguyên dương tốt, nghĩa có hữu hạn số ngun dương khơng tốt; b) Tính tổng tất số khơng tốt Bài Cho tam giác ABC Biết có điểm D, E, F cạnh BC, CA, AB cho BD = CE = AF BDF = CED = AF E Chứng minh tam giác ABC tam giác Bài Cho dãy số (xn ) xác định x1 = xn+1 = Tìm lim yn với yn = n i=1 x2010 + 3xn + 16 n ∀n ≥ x2009 − x + 11 n n x2009 +7 i , n = 1, 2, · · · Bài Cho tam giác ABC a) Nếu 6S = 2a2 + bc, tính góc √ tam giác; 2 b) Chứng minh 3a + 3b − c ≥ 3S Bài Cho n, k số nguyên dương thoả mãn n ≥ k + Chứng minh số Cnk , Cnk+1 , Cnk+2 , Cnk+3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự Bài Hai đường trịn C1 , C2 cắt A, B CD tiếp tuyến chung hai đường tròn (C ∈ C1 , D ∈ C2 ) với B gần CD A CB cắt AD E, DB cắt CA F , EF cắt AB N K hình chiếu vng góc N CD a) Chứng minh CAB = DAK; b) Gọi O tâm (ACD) H trực tâm ∆KEF Chứng minh O, B H thẳng hàng Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 21 Được soạn LATEX Nguyễn Trung Tuân Bài Cho số dương x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = biểu thức S= − 16xyz Tìm giá trị nhỏ x + y + z + 4xyz + 4xy + 4yz + 4zx Bài Kí hiệu P tập tất số nguyên tố Giả sử M tập P thoả mãn điều kiện sau a) M có ba phần tử; b) Với tập thực sự, khác rỗng hữu hạn A M , ước nguyên tố số p∈A p − thuộc M Chứng minh M = P Bài Xét 2002 số hữu tỉ x1 , x2 , · · · , x2002 Biết với tập I gồm phần tử tập {1, 2, · · · , 2002} tồn tập J gồm 11 phần tử tập {1, 2, · · · , 2002} 1 cho xj Chứng minh x1 = x2 = · · · = x2002 i∈I xi = 11 j∈J Bài Cho tam giác ABC điểm X, Y, Z nằm cho ABZ = ZBX = XBC = C A B , BCX = XCY = Y CA = , CAY = Y AZ = ZAB = 3 Chứng minh XY = 8R sin A B C sin sin , từ suy tam giác XY Z tam giác 3 Bài Cho đường trịn Γ có tâm Z Hai tiếp tuyến đường tròn cắt P với A, B tiếp điểm, điểm C chọn cung nhỏ AB mà khác điểm cung Gọi D giao điểm AC P B, E giao điểm BC AP Chứng minh tâm (ACE), (BCD), (P CZ) thẳng hàng Bài Cho x1 , x2 , · · · , xn ; y1 , y2 , · · · , yn số thực dương thỏa mãn i) x1 y1 < x2 y2 < · · · < xn yn , ii) x1 + x2 + · · · + xk ≥ y1 + y2 + · · · + yk ∀k = 1, n 1 1 1 Chứng minh + + ··· + ≤ + + ··· + x1 x2 xn y1 y2 yn Áp dụng Bài (hoặc cách khác) giải toán sau Bài Cho A = {a1 , a2 , · · · , an } tập gồm n số nguyên dương cho với hai tập 1 B, C rời A ta có x∈B x = x∈C x Chứng minh + +· · ·+ < a1 a2 an Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 22 Được soạn LATEX Nguyễn Trung Tuân Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 2(x + y + z) Chứng minh xyz ≤ x + y + z + A 36p2 B C Bài Tam giác ABC thỏa mãn cot + cot + cot = Chứng minh 2 49r2 a b c = = 13 40 45 Bài Cho ba số thực dương a, b, c Giải hệ phương trình   ax + by = (x − y) by + cz = (y − z)2   cz + ax = (z − x)2 Bài Cho x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ≥ thoả mãn xj ≤ 400 √ √ x1 + x2 ≥ 10 Bài Tìm tất số nguyên không âm x, y, z cho x2j ≥ 104 Chứng minh 12x + y = 2008z Bài Có 1985 người phịng Mỗi người biết nhiều ngôn ngữ Trong ba người, có hai người biết ngơn ngữ Chứng minh có ngơn ngữ mà phịng có 200 người biết Bài Các dãy (xn ), (yn ) xác định x1 = 2, y1 = xn+1 = x2n + 1, yn+1 = xn yn ∀n ≥ xn < ∀n ≥ 1; yn √ b) Chứng minh dãy số (xn /yn )n≥1 hội tụ giới hạn bé Bài Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE vng góc với CD AB = AC Bài Cho n ≥ số nguyên x1 , x2 , · · · , xn thỏa mãn a) Chứng minh x21 + x22 + · · · + x2n + n3 ≤ (2n − 1)(x1 + x2 + · · · + xn ) + n2 Chứng minh a) Các số x1 , x2 , · · · , xn số tự nhiên; b) Số x1 + x2 + · · · + xn + n + số phương Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 23 Được soạn LATEX Nguyễn Trung Tuân Bài Tính giới hạn lim ( 8x3 − 2x2 + − x→+∞ 4x2 + 3x + 1) Bài Chứng minh với ba số thực dương a, b c ta có (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 + + ≥ (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 (a + b)2 + c2 Bài Cho ∆ABC với trọng tâm G Gọi P điểm đoạn BC Các điểm Q, R nằm cạnh AC, AB tương ứng cho P Q||AB P R||AC Chứng minh P thay đổi đoạn BC, đường trịn (AQR) ln qua điểm cố định X thỏa mãn BAG = CAX Bài Cho dãy số nguyên dương (an ) xác định a0 = 1, a1 = 3, an+2 a2n+1 =1+ an ∀n ≥ (Ở [x] phần nguyên x.) Chứng minh với số tự nhiên n ta có an+2 an − a2n+1 = 2n Bài Tìm tất số nguyên dương n cho số 2n+2 · (2n − 1) − · 3n + số phương Bài Cho I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi A1 , B1 , C1 điểm nằm đoạn IA, IB, IC tương ứng Các đường trung trực AA1 , BB1 , CC1 cắt A2 , B2 , C2 Chứng minh tâm (A2 B2 C2 ) trùng với tâm (ABC) I trực tâm A1 B1 C1 Bài Cho n số nguyên dương, a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an số nguyên dương thoả mãn a1 + a2 + · · · + an = 2n an = n + Chứng minh n số chẵn tồn tập K {1, 2, · · · , n} thoả mãn i∈K = n Chứng minh điều n số lẻ ta thêm vào giả thiết an = 1 Bài Chứng minh α, β số vô tỷ dương cho + = hai tập α β {[nα]|n = 1, 2, · · · } {[nβ]|n = 1, 2, · · · } phân hoạch tập số nguyên dương Bài Chứng minh với số nguyên dương n ta có n k=1 π tan 3k 1+ n −1 n = k=1 π cot 3k 1− n −1 Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 24 Được soạn LATEX Nguyễn Trung Tuân Bài Cho trước số thực dương u v a) Chứng minh phương trình 2x3 +√(u + v + 1)x2 − uv = có nghiệm dương, nữa, nghiệm nằm khoảng (0; uv) b) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh giá trị nhỏ biểu thức x2 + uy + vz 2t, t nghiệm dương phương trình phần a) Bài Cho M tập gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, khơng số có ước ngun tố lớn 26 Chứng minh M chứa tập gồm phần tử cho tích chúng lũy thừa bậc số nguyên Bài AP, AQ, AR AS dây đường tròn cho trước cho P AQ = QAR = RAS Chứng minh AR(AP + AR) = AQ(AQ + AS) Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = 2011 u1 + u2 + · · · + un = n2 un ∀n ≥ Tính u2011 Bài Chứng minh tam giác ta có OG2 ≤ R(R − 2r) Bài Chứng minh với ba số thực dương a, b c ta có a b c b+c c+a a+b + + ≥ + + + a b c b+c c+a a+b Bài Cho a, b số nguyên n số nguyên dương Chứng minh số bn−1 a(a + b)(a + 2b) · · · (a + (n − 1)b) n! số nguyên Bài Hai đường tròn tâm O, O cắt A, B cho OA⊥O A Đường thẳng OO cắt đường tròn C, E, D, F cho điểm C, O, E, D, O , F thẳng hàng theo thứ tự BE cắt lại đường trịn K cắt AC M BD cắt lại đường tròn L cắt AF N Chứng minh KE LN OE · = KM LD OD Bài Cho ∆ABC tam giác D điểm nằm cạnh BC Một đường tròn tiếp xúc với BC D, cắt đoạn AB M N , cắt đoạn AC P Q Chứng minh BD + AM + AN = CD + AP + AQ Bài 10 S ⊂ Q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện a) ∈ S; x b) Nếu x ∈ S ∈ S ∈ S x+1 x+1 Chứng minh S chứa tất số hữu tỷ (0; 1) Bài 11 Cho n > số nguyên dương = d1 < d2 < · · · < dk = n tất ước dương n Đặt Sn = d1 d2 + d2 d3 + · · · + dk−1 dk Chứng minh Sn < n2 tìm n để Sn |n2 Bài 12 Chứng minh với ba số thực dương a, b c ta có a b c + + b c a ≥ (a + b + c) 1 1 + + a b c Bài 13 Cho X = {A1 , A2 , · · · , An } tập chứa tập gồm ba phần tử tập {1, 2, · · · , 36} cho hai điều kiện sau thỏa mãn đồng thời a) Ai , Aj có giao khác rỗng với i, j; b) Giao tất tập Ai tập rỗng Chứng minh n ≤ 100 Có tập X n = 100? (n − 1)! số chẵn Bài 14 Chứng minh với số nguyên dương n ta có số n(n + 1) Bài 15 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y + y z + z x Bài 16 Cho n số nguyên dương cho có 2011 cặp (x, y) số nguyên dương thỏa 1 mãn + = Chứng minh n số phương x y n Bài 17 Tìm tất số nguyên dương n cho n + 2008|n2 + 2008 n + 2009|n2 + 2009 Bài 18 Chứng minh cos A+cos B+cos C ≥ (3+cos(A−B)+cos(B−C)+cos(C−A)) ∀∆ABC Bài 19 Với số nguyên dương n, gọi d(n) số ước dương Tìm số nguyên dương n cho d3 (n) = 4n Bài 20 Tìm tất số nguyên dương n cho n có 16 ước dương = d1 < d2 < · · · < d16 = n thoả mãn d6 = 18 d9 − d8 = 17 Bài 21 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có (cos A + cos B)2 + (cos B + cos C)2 + (cos C + cos A)2 ≤ d(n2 ) = k d(n) Bài 23 Chứng minh có dãy số nguyên u1 , u2 , · · · thoả mãn u1 = 1, u2 > u3n+1 + = un un+2 ∀n ≥ Bài 24 Cho dãy Fibonacci xác định F (1) = F (2) = Bài 22 Tìm tất số nguyên k cho có số nguyên dương n thoả mãn F (n + 2) = F (n + 1) + F (n) ∀n ≥ Chứng minh (F (F (1998)))2 + (F (F (1999)))2 = F (F (1997)) · F (F (2000)) Bài 25 Chứng minh với hai số nguyên dương m, n số (36m + n)(m + 36n) luỹ thừa 1 Bài 26 Chứng minh a, b, c > x = a + , y = b + , z = c + b c a xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z) Bài 27 Chứng minh tam giác khơng cân ta có GIH > 90◦ Bài 28 Cho p số nguyên tố lẻ f : {1, 2, · · · , p − 1} → {1, 2, · · · , p − 1} song ánh Chứng minh có i = j cho p|if (i) − jf (j) Bài 29 Hai dãy (an ), (bn ) thỏa mãn a1 = 1, a2 = 7, an+2 = 14an+1 − an ∀n ≥ b1 = 0, b2 = 1, bn+2 = 14bn+1 −bn ∀n ≥ Chứng minh số tự nhiên a, b thỏa mãn a2 −48b2 = có số nguyên dương k cho a = ak , b = bk Bài 30 Với số nguyên dương n, gọi un số hoán vị (a1 , a2 , · · · , an ) tập n số nguyên dương cho kak số phương với ≤ k ≤ n Tìm số nguyên dương n bé để 2010|un √ √ Bài 31 Chứng minh m, n, r số nguyên dương thỏa mãn + m + n = (2 + 3)2r−1 m số phương Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 25 Bài luyện cho học sinh Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1 Cho a1 , a2 , · · · , an n số thực dương Đặt M = max1≤i≤n , m = min1≤i≤n Chứng minh m ak m m 2n ≤ + ≤n 1+ M M 1≤k≤n ak M 1≤k≤n n2 ≤ ak 1≤k≤n (m + M )2 ≤ n2 a 4mM k 1≤k≤n A2 Với số nguyên dương k, ta xét dãy (an )n≥1 xác định an = k+ k + ··· + √ k (Biểu thức có n dấu căn.) Chứng minh dãy số hội tụ với số nguyên dương k Tìm k để giới hạn dãy số nguyên Chứng minh k lẻ giới hạn dãy số vô tỷ A3 Cho tam giác vuông ABC(A = 900 ) điểm D cạnh huyền BC Gọi E điểm đối xứng với D qua AB G giao điểm AB với DE Từ giao điểm H AB CE, hạ đoạn HI vng góc với BC I Các tia CH IG cắt K Chứng minh tia KC tia phân giác IKA A4 Cho M tập điểm mặt phẳng có tọa độ (x; y) với x ∈ {1, 2, · · · , 12} y ∈ {1, 2, · · · , 13} Chứng minh tập gồm 49 phần tử M chứa bốn đỉnh hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ Cho ví dụ tập gồm 48 phần tử khơng có tính chất M B1 Dãy số a0 , a1 , · · · xác định a0 = 0, √ an+1 = [ an + n]3 ∀n ≥ a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy; b) Tìm tất n để an = n (Ở [x] số nguyên lớn không vượt x.) B2 Giải hệ sau R   x + y = 3x + 2y + z = 6y +   3z + x = 9z + B3 Tìm tất số thực x ∈ [0; 2π) cho tất số hạng dãy an = số nguyên , n = 1, 2, · · · cos nx Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 26 Bài luyện cho học sinh Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh a3 + a3 + (b + c)3 b3 + b3 + (c + a)3 c3 ≥ c3 + (a + b)3 A2 Tìm tất số thực a, b cho √ lim ( − n3 − an − b) = n→+∞ A3 Cho tam giác ABC có đường cao, đường phân giác trong, đường trung tuyến chia góc C thành bốn phần Tính góc tam giác A4 Tìm tất cặp (m, n) số nguyên dương thỏa mãn m! + n! = mn B1 Cho tứ giác lồi ABCD có AC phân giác DCB Gọi E giao điểm đoạn AB với (ACD), F giao điểm đoạn AD với (ABC) Chứng minh AC, DE, BF đồng quy B2 Cho n số nguyên dương Có 2n + điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm chúng thẳng hàng Một đường thẳng l gọi tốt qua hai điểm điểm cho bên có n điểm 2n điểm cịn lại Tìm m lớn để ln có m đường thẳng tốt B3 Cho dãy (xn ) xác định sau x1 = , Chứng minh x4k + · xk+1 = x21 + xk−1 ∈ Q ∀k ≥ xk+1 x22 xk ∀k ≥ + · · · + x2k Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 27 Bài luyện cho học sinh Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1 Tìm tất số nguyên dương x, y cho x + y + 1|2xy x + y − 1|x2 + y − A2 Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O1 , O2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ABD tương ứng Đường thẳng O1 O2 cắt đoạn BC, AD E, F tương ứng a) Chứng minh có đường trịn Γ tiếp xúc với đường thẳng BC, AD E, F tương ứng; b) Chứng minh Γ tiếp xúc với (ABCD) A3 Cho a, b c số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a2 1 + + ≤ − bc + b − ca + c − ab + B1 ∆ABC nhọn với AB < AC, AD đường cao P điểm đoạn AD Vẽ P E⊥AC, P F ⊥AB với E ∈ AC, F ∈ AB Gọi O1 tâm (BDF ), O2 tâm (CDE) Chứng minh O1 , O2 , E, F đồng viên P trực tâm ∆ABC B2 Tìm tất hàm f : S → S cho f (x) + f (y) + 2xyf (xy) = f (xy) ∀x, y ∈ S f (x + y) Ở S tập tất số hữu tỷ dương B3 Tìm tất ba (a, b, c) số nguyên dương cho abc + 1|a2 + b2 C1 ∆ABC nhọn với AB > BC, AC > BC Gọi O, H tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Giả sử (AHC) giao với đường thẳng AB hai điểm khác A, M ; (AHB) giao với đường thẳng AC hai điểm khác A, N Chứng minh tâm (M N H) nằm đường thẳng OH C2 Cho (an ) dãy thỏa mãn an+1 = a2n + (an − 1)2 ∀n ≥ Tìm a0 ∈ Q để có bốn số phân biệt p, q, r, s cho ap − aq = ar − as C3 Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A1 , A2 , · · · , An , n số thực khác không λ1 , λ2 , · · · , λn 1 1 + + + = cho Ai A2j = λi + λj ∀i = j Chứng minh n ≤ n = λ1 λ2 λ3 λ4 Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 28 Bài luyện cho học sinh Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 + (a + b + c)2 ≤ Chứng minh ab + bc + ca + + + ≥ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 A2 Cho dãy (an )n≥0 xác định a0 = 5, an = an−1 + an−1 ∀n ≥ Chứng minh 45 < a1000 < 45, A3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Giả sử AB ∩ CD = E, BC ∩ DA = F, AC ∩ BD = G Chứng minh a) PE/(O) + PF/(O) = EF ; b) O trực tâm ∆EF G A4 Cho m, n số nguyên dương Tìm giá trị bé |3 · 5m − 11 · 13n | B1 Một bảng vng cỡ 50 × 50 lát miếng hình chữ L, T, Z Tìm giá trị nhỏ lớn số miếng hình chữ L B2 Cho tứ giác nội tiếp ABCD, đường chéo AC BD cắt E đường thẳng AD BC cắt F Các trung điểm AB CD G H, tương ứng Chứng minh EF tiếp tuyến EGH B3 Cho k số nguyên dương Xét dãy (an ) định a1 = k + 1, an+1 = a2n − kan + k ∀n ≥ Chứng minh gcd(am , an ) = ∀m, n ∈ N∗ , m = n Blog Sharing http://trungtuan.wordpress.com/ ShaMO 29 Bài luyện cho học sinh Người soạn: Nguyễn Trung Tuân A1 Cho ∆ABC với điểm M, N cạnh AB, BC tương ứng cho AM + AN = CM + CN Các đoạn CM, AN cắt O Chứng minh AO + AB = CO + CB A2 Xác định tất hàm f, g : R → R cho với x, y ∈ R, f (x)f (y) = g(x)g(y) + g(x) + g(y) A3 Tìm tất số nguyên dương n cho phương trình x3 + y + z = n · x2 · y · z có nghiệm nguyên dương B1 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = x + y + z Chứng minh 1 + + ≤ x +y+1 y +z+1 z +x+1 B2 Cho f đa thức monic có hệ số nguyên Biết với số nguyên dương n, phương trình f (x) = 2n có nghiệm nguyên dương Chứng minh deg f = B3 Tìm tất số nguyên dương n cho ta lát nhà cỡ n × n viên gạch cỡ × × C1 Dãy (an )n≥1 xác định a1 = 0, an+1 = an + 4n + ∀n ≥ Tính giới hạn √ √ √ √ an + a4n + a42 n + · · · + a410 n lim √ √ √ √ n→+∞ an + a2n + a22 n + · · · + a210 n C2 Cho ω đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Hai tiếp tuyến ω qua B C cắt P , AP BC cắt D Các điểm E, F nằm AC AB cho DE BA DF CA 1/ Chứng minh F, B, C, E đồng viên 2/ Ký hiệu A1 tâm đường tròn qua F, B, C, E B1 , C1 xác định tương tự Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy C3 Cho trước số nguyên a Tìm tất hàm f : Z ∩ [a; +∞) → R cho f (x + y) = f (x)f (y) với số hai nguyên x, y thỏa mãn x ≥ a, y ≥ a x + y ≥ a