(2012 ~3

Đề thi trường tỉnh năm học 2012-2013 Lời giải Bình luận Dãy số Giới hạn dãy số (ĐH KHTN, Vòng 1) Cho dãy số xn xác định bởi: x1 = 2; x2 = 3, x n +1 = n +1 n−2 xn + xn −1 + với n ≥ 2n 3n Chứng minh dãy xn hội tụ tìm giới hạn dãy n +1 n−2 1 xn + xn −1 + ⇒ xn +1 ≤ xn + xn − + 2n 3n 3 Ta có xn +1 = Đặt yn = max( xn , xn −1 ) Suy dãy yn giảm bị chặn Giả sử giới hạn A chứng minh giới hạn xn Thay vào tìm giới hạn a1 1,= a 2 (Hà Tĩnh) Dãy số (an) xác định:= a n= 2a n +1 − a n + ∀n ∈ N * +2 Xét xem số không? u k = a k + 2012 a k + 2013 với k ∈ N * có phải số hạng dãy số (an) hay C1 Đặt bn=an-(n-1)2-1, ta có b1=b2=0, bn+2=2bn+1-bn Bằng quy nạp ta thấy bn=0 n Do đó, ta a m a m +1 = [(m − 1) + 1].[m + 1] Biến đổi làm gọn, ta có: a m a m +1= (m − m + 1) + , kết hợp với m − m + ∈ N* nên a m a m +1 = a m2 − m + số hạng thuộc dãy (an) C2 Giả thiết:= a1 1,= a 2 a n= 2a n +1 − a n + (1) ∀n ∈ N * +2 Đặt k + 2012 = m k + 2013 =+ m với m ≥ 2013 , ta cần xét xem a m a m +1 có phải số hạng dãy (an) hay không Đặt b n =a n +1 − a n (n ∈ N* ) (1) trở thành b n +1 = b n + ∀n ∈ N* , suy dãy (bn) cấp số cộng có b1 = a − a1 = , công sai d = nên b n =b1 + (n − 1)d =1 + (n − 1).2 ⇒ b n =2n − Từ đó, ta có: b n −1 + b n − + b n −3 + ⋅⋅⋅ + b + b= (a n − a n −1 ) + (a n −1 − a n − ) + (a n − − a n −3 ) + ⋅⋅⋅ + (a − a ) + (a − a1 ) ⇒ [2(n − 1) − + 1](n − 1) = a n − ⇒ a n = (n − 1) + ∀n ∈ N* (PTNK) Cho dãy {un} giảm limun = Với số nguyên dương n, đặt: = u1 + u2 + + un – nun+1 zn = u1 + u2+ + un Chứng minh dãy {vn} bị chặn dãy {zn} hội tụ Do zn dãy tăng nên ta cần chứng minh bị chặn Giả sử L chặn , ta có xn giảm nên zn − nxn + ≤ +1= x1 + x2 + … + xn + xn +1 − (n + 1) xn + ≤ L Suy zn ≤ L + nxn + Tương tự zn − nxn +3 ≤ + 2= x1 + x2 + … + xn + xn +1 + xn + − (n + 2) xn +3 ≤ L nên zn ≤ L + nxn +3 Qua hai bước trên, làm tương tự, cho n cố định, ta suy zn ≤ L + n lim xN = L N →∞ Ta có điều phải chứng minh (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số (xn) xác định xn+1 = xn2 – 5xn + với n nguyên dương a) Chứng minh (xn) dãy số tăng; b) Chứng minh (xn) khơng có giới hạn hữu hạn; n c) Xét dãy (yn) xác định y n = ∑ k =1 Tìm lim yn xk − a) Xét hiệu: xn +1 − xn = x − xn + − xn = ( xn − 3) ≥ n Do= x1 2012 > nên xn +1 − xn > suy dãy cho dãy tăng b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limx = a (a > 2012) n Từ công thức truy hồi xn +1 =xn2 − xn + Lấy giới hạn vế, ta được: a = a − 5a + ⇔ a = (khơng thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn xn − c) Ta có: = 1 − xn − xn +1 − x1 = 2012, Do đó, ta có: y= n n 1 1 = − − = − x1 − xn +1 − 2009 xn +1 − n −2 ∑x k =1 Mà limxn = +∞ nên limyn = 2009 (Ninh Bình) Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương) x + 2x2 + 3x3 + + nxn - 3/4 = a) Chứng minh với số nguyên dương n phương trình có nghiệm dương nhất, kí hiệu nghiệm xn b) Chứng minh lim xn = n →∞ a) Đặt f n ( x) = x + x + 3x3 + + nx n − liên tục tồn trục số Ta có f ′( x) = + x + x + + n x n −1 > 0∀x ∈ (0; +∞) Ta suy f ( x) đồng biến (0; +∞) Mặt khác f ( x) liên tục (0; +∞) f (0) = −3 < 0, f (1) = + + + + n > Từ ta suy f (0) f (1) < 4 Từ điều kiện ta suy tồn xn ∈ (0; +∞) cho f n ( x) = hay nói cách khác f n ( x) có nghiệm dương xn với n b) Ta dễ thấy xn dãy giảm bị chặn Thật xn + xn2 + + nxnn = Do xn nguyên dương < nên n → +infty xn giảm Vậy xn tồn giới hạn hữu hạn Đặt lim xn = L(0 ≤ L < 1) ⇒ lim xnn = n →+∞ n →+∞ Từ cơng thức truy hồi ta có: *xn + xn2 + + nxnn = n +1 *xn2 + xn3 + + nx = n xn ( xn > 0) 3 ⇒ xn + xn2 + + xnn − nxnn +1 = − xn 4 ⇒ xn (1 − xnn ) n 3 − n +1 =− xn (a > 1, x n +1 =n +1 ) − xn 4 a a Ta chứng minh bổ đề sau: n = Từ ta có lim nxnn +1 = n →+∞ a n n →+∞ Theo quy tắc Lopital, với a > 1, n ∈ ¥ lim Chuyển giới hạn ta có L 1 = (1 − L) ⇒ L= (0 ≤ L < 1) Vậy lim xn = n →+∞ 1− L 3 (Hải Phòng) Cho dãy số {an} thỏa mãn điều kiện a0 = -1, a1 = 1, a2 = a n +3 = a n +1a n + − 15 ∀n ≥ Chứng minh an a k −1 + a k = k =1 a k − 5a k n lim ∑ n →∞ Ta có a= 3an − an −1 ( dùng quy nạp) n +1 Từ suy ak3 − 5ak = ak −1 ak ak +1 (an ) không bị chặn Dễ thấy a2 k −1 + a2 k 1 = − ak −1 ak +1 ak − 5ak Suy điều phải chứng minh 10 (Hà Nội) Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 2, un +1 a) Chứng minh dãy số (un) giảm bị chặn b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un) un2 un+1 , n ≥ = 2u n − (un − 1) Ta có un +1 − = Đặt v= un − Suy dãy đa cho trở thành: n 2(un − 1) + +1 vn2 = ⇒ = + 2vn + +1 vn Tiếp tục đặt xn = ta xn += xn2 + xn ⇒ xn +1 + = ( xn + 1) = = ( x1 + 1) n = 22 n Từ ngược nên ta suy = un 22 n − , n ≥ 2, n ∈ ¥ 22 n − − 11 (Sơn La) Cho dãy số {un} xác định bởi: u1 = 2, un +1 = + un Gọi p số lẻ, q số chẵn bất kì, chứng minh up > uq n 1 12 (Nghệ An) Cho dãy số (Sn): S n = ∑ ln1 +  ln1 +  ln1 + k =1  k  2k     2k +  Tìm: lim Sn Theo định lí lagrange ta có k +1 k 1 ln(1 + )= ln(k + 1) − ln(k )= ln( ) − ln( )= ck ∈ (k , k + 1) k n n n ck 1 ) ln(1 + ) 2k 2k + n 1 c p ∈ ( p, p + 1) Ta có S n = ∑ k =1 n ck c2 k c2 k +1 Tương tự với ln(1 + Lại có n n n 1 ≤ ≤ ∑ ∑ ∑ 1)(2k + 2) k = ck c2 k c2 k +1 k 2k (2k + 1)(2k − 1) k (2k + 3)(2k + = = n 1 1 ⇔ − ≤∑ ≤ − 12 (2n + 2)(2n + 3) k =1 ck c2 k c2 k +1 2n.(2n + 1) Do lim S n = Đây đề thi Olympic Toán học sinh viên quốc tế 1 3 13 (Quảng Bình) Cho dãy số (un) xác định công thức: u1 = 3, un +1 =  2un +  3 un  Tìm lim un Từ giả thiết dễ dàng chứng minh un > với n ∈ ¥ * Từ theo AM - GM, ta có un +1= (un + un + ) ≥ 3 un Nhận thấy dấu đẳng thức không xảy ra, xảy un += u= n 3 nên u1 = 3 , (vơ lí) Vậy ta ln có un > 3 Mặt khác 3(un +1 − un ) = − un3 − u = < n un2 un2 Suy dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn L Khi từ công thức truy hồi suy 3L = L + ⇒L= L2 3 Vậy lim un = 3 14.(Bến Tre) Cho dãy số {xn} xác định sau: x1 = x n +1 = + x n + + 24 x n 16 với n = 1, 2, 3, Tìm cơng thức tổng qt dãy Ta có ⇔ 96 xn +1 =+ 24 xn + + 24 xn ⇔ 96 xn +1 + 4= ( + 24 xn + ) ⇔ + 24 xn +1 = + 24 xn + Đặt + 24 xn = un , ta có dãy sau: 2un +1 = un + ⇒ un =   + 3 − un −  2n −  Vậy = = xn 24 24 15 (TP HCM) Cho dãy số (un): u1 = 3u + với n ∈ N* , un +1 = n 2u n + 1 n−2 +3 Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Đây 16 (Quảng Ngãi) Cho dãy số (an) thỏa mãn điều kiện: a1 = 2, (4 - an)(6 + an-1) = 24 Tính S 2012 = 1 + + + a1 a a 2012 Từ công thức truy hồi ta suy= an Đặt = tn 4an −1 = + an −1 1 ⇒ = + an 3an −1 + 3an −1 1 1 (t1 ) ⇒ t= (tn −1 + ) = tn −1 + ⇔ tn += n 2 2 an 3 Đặt un =+ tn (u1 = 1) ⇒ un =un −1 ⇒ S= 2[( ) n − 1] n Cho n = 2012 , ta có = S 2012 2[( ) 2012 − 1] − 1006 17 (Phú Yên) a/ Chứng minh b/ Cho f ( x ) = x + > với x > x +1 2 n x S n = f   + f   + + f   Tìm lim Sn x +1 n  n  n  a) Nhân vào vế sau cộng vào vế ta x +1 + x +1 + x + ≥ theo si b) Ta có = Sn lim n n2 + + n +1 = 2n Áp dụng phần a ta có : x x +1 > x− x2 2 n n2 + + + n n n2 + n < n n(n + 1) n + + + += = 2n 2n n n n2 Do Sn > n 1 n2 n +1  n2  + + + − + + + = − + + + ( )   2n  n n n2 n2 n2 n4 n4 n4 n4   n2 + + + n4 n4 n Mà lim   nên theo định lý kẹp ta có S n có giới hạn =  18 (Phú Yên) Cho dãy số gồm 2012 số không âm x1, x2, , x2012 thỏa mãn điều kiện a/ x1 = x2012 = 2012 b/ xn+1 = xn2 - xn-12 + xn-1 với ≤ n ≤ 2011 Xác định x2000 19 (Phú Yên) Cho dãy số (un) xác định sau, u1 = 3, un+1 = un2 - Tìm lim n →∞ un +1 u1u2 u n Ta có lim un = +∞ xn2+1 − = ( xn2 − 2) − = xn2 ( xn2 − 4) = xn2 xn2−1 ( xn2−1 − 4) = = 5.xn2 xn2−1 x12 n →∞ xn +1 xn +1 4 Do lim( )2 = + lim )2= + = 2 n →∞ x x n →∞ ( x x xn xn −1 x1 ( xn xn −1 x1 ) n n −1 x1 n n −1 x1 ) xn +1 Vậy lim = n →∞ x x n n −1 x1 Suy ( 20 (Long An) Cho dãy số {un} xác định u1 = 1, un+1 = un + 2n với n ≥ a Chứng minh un = 2n - b Tính tổng S= u1 + u2 + + un theo n 21 (Cần Thơ) Cho dãy số (an ) xác định bởi: u1 = 1, un = 2, un = 4un-1 - un-2 với n ≥ Chứng minh rằng: a) un2 + un2−1 − 4un un −1 = −3, ∀n ≥ 2, n ∈ N un2 − b) Với số nguyên dương n, số phương Dễ thấy với n = 1, ta có điều phải chứng minh Do đó, ta xét với n ≥ Ta có: = un 4un −1 − un − ⇔ un − 2un −1= 2un −1 − un − Bình phương vế đẳng thức trên, ta được: un2 − 4un un −1 + 4un2−1 = 4un2−1 − 4un −1un − + un2− ⇔ un2 − 4un un −1 = un2− − 4un −1un − Thay n = 3, 4, , k vào đẳng thức cộng theo vế, ta uk2 + uk2−1 − 4uk uk −1 = u12 + u22 − 4u1u2 Do= u1 1,= u2 nên ta có u +u k k −1 − 4uk uk −1 (2uk − uk −1 ) = −3 ⇔ (uk −1 − 2uk ) = −3(1 − u ) ⇔ u − = 2 k k Do= un 4un −1 − un − nên số hạng dãy un số nguyên nên (2uk − uk −1 ) chia hết cho 3, suy 2uk − uk −1 chia hết cho Đặt 2uk − uk −1 uk2 − = 3a (với a nguyên) u − = 3a ⇔ = a2 k Vậy ta có điều phải chứng minh Cách khác a) Ta chứng minh: un2 + un2−1 − 4unun −1 =−3, ∀n ≥ 2, n ∈  (1) phương pháp quy nạp tốn học + Với n = 2, ta có u22 + u12 − 4u2u1 =4 + − =−3 ⇒ (1) với n = + Giả sử (1) với n = k ≥ 2, tức ta có đẳng thức đúng: uk2 + uk2−1 − 4uk uk −1 = −3 + Xét (1) với n = k + Từ cách cho dãy số ta có: uk +1 = 4uk − uk −1 ⇒ uk2+1 = 4uk +1uk − uk +1uk −1 (3) Từ : uk2+1 + uk2 − 4uk +1uk = 4uk +1uk − uk +1uk −1 + uk2 − 4uk +1uk = uk2 − uk +1uk −1 = uk2 − (4uk − uk −1 )uk −1 = = uk2 + uk2−1 − 4uk uk −1 = −3 (do giả thiết quy nạp) Vậy (1) với n = k + ⇒ (đpcm) un2 −  2un − un−1  b) Từ kết ta có: (2un − un −1 ) = 3u − ⇔ =   3   2 n Yêu cầu toán tương đương với việc chứng minh 2un − un −1 ≡ 0(mod 3), ∀n ≥ 2, n ∈  (2) Trước hết từ cách cho dãy ta dễ dàng nhận thấy un ∈ Z , ∀ n ∈ N * ⇒ 2un − un−1 ∈ ¢ , ∀ n ≥ 2, n ∈ N + Với n = 2, ta có 2u2 − u1 =3 ≡ 0(mod 3) ⇒ (2) với n = + Giả sử (2) với n = k, tức 2uk − uk −1 ≡ 0(mod 3) + Với với n = k + ta có: 2uk +1 − uk = 2(4uk − uk −1 ) − uk = 7uk − 2uk −1 = 3(3uk − uk −1 ) − (2uk − uk −1 ) ≡ 0(mod 3) Vậy (2) với n = k + ⇒ (đpcm) 22 (Đồng Tháp) Cho a ≥ dãy số {xn } xác định sau a  = x0 a, x1 2= ,     x= x2 n −1 x2 n − , x2 n= +1 2n   x2 n + x2 n −1 = , n 1, 2, … a) Chứng minh dãy cho có giới hạn ứng với a cho trước b) Tính giới hạn dãy theo a 23 (Bến Tre) Xét dãy số { xn }1 thỏa x1 = a xn +1 = xn3 − xn2 + xn với n = 1, 2,3, ∞ Tìm giá trị a để dãy có giới hạn hữu hạn 24 (Vĩnh Long) Cho dãy số thực a1 , a , a , a , xác định a1 = 2012 với số tự nhiên n > ta có a1 + a + + a n = n a n Tính a 2012 25 (Yên Bái) Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình: x n+1= x + có nghiệm thực Gọi nghiệm xn , tìm lim xn 26 (Sơn La) Cho dãy số {un } xác định u1 = , un +1 = + un Gọi p số lẻ, q số chẵn bất kì, chứng minh u p > uq Trước tiên ta xét hàm số f ( x) = + −1 có f ′( = < suy f ( x) hàm nghịch biến x) x x2  u1 = Dãy cho có thê viết dạng  un +1 = f (un ) Ta có u1= > u3 suy f (u1 ) < f (u3 ) ⇒ u2 > u4 Tiến hành tương tự ta suy u1 > u3 > u5 ⇒ u2 n +1 dãy giảm bị chặn Suy u2 n +1 có giới hạn hữu hạn Chứng minh hoàn toàn tương tự suy u2n dãy tăng bị chặn Suy u2n có giới hạn hữu hạn Chuyển qua giới hạn, ta suy hai dãy có giới hạn L = u2 n +1 > L > u2 n Từ suy dpcm 1+ Suy 27 (Đồng Tháp) Chứng minh với số thực a ≥ cho trước, tồn dãy số nguyên dương { xn= } x1 1; xn +1 > xn , với n ≥ , cho: lim((2 / 3) n −1 xn ) = a c [a] − Kí hiệu [x], {x} tương ứng phần nguyên phần lẻ số x Với a ≥ 3, xét số = n −1 Xét dãy xn [(3 / 2) a ] − c Ta có x1 = xn nguyên dương với n = Ta dễ dàng chứng minh xn < xn +1∀n ≥ Mặt khác, theo tính chất phần nguyên 3   2 Do lim n →∞ xn 3   2 n −1 n −1 3 a − c − < xn ≤   2 n −1 a−c = a Vậy dãy xn thỏa mãn điều kiện toán un2 − 2{un }2 với a ≥ cho [un ]2 trước ký hiệu [α ],{α } tương ứng cho phần nguyên phần lẻ số α Tìm lim un 28 (Bình Định) Dãy số {un } xác định sau = u1 a= , un +1 x →+∞ 29 (Hà Nội) Cho dãy số= x1 20, = x2 30, = xn + xn +1 − xn , với n ∈ N , n ≥ Tìm tất giá trị n để xn +1 xn + số phương 3± (*) Ta tìm CTTQ = xn 10(t1n −1 + t2n −1 ) với t1 , t2 nghiệm PT (*) C1 PT đặc trưng t 2= 3t − có nghiệm t = Suy = A xn xn += 500( x1n + x2n )( x1n −1 + x2n −1= ) + 500( x12 n −1 + x22 n −1 + 3) + +1 Chú ý = x1 y= y với y1 , y2 nghiệm phương trình x 2= x + nên viết lại , x2 A 500( y14 n − + y24 n − − 2) += = 2501 500( y12 n −1 − y22 n −1 ) + 2501 A v , v ∈ ¢ ta có phương trình Ta chứng minh y12 n −1 − y22 n −1 = u ∈ ¢ nên đặt= 500u + 2501 = v2 C2 Ta có xn2+1 − xn +1 xn + xn2 + 500 = Suy ( xn +1 + xn ) + 501 = xn +1 xn + Đặt m= xn +1 + xn ,5 xn +1 xn + 1= n ta có n − m = = n 251, = m 250 nên 501 Tìm xn +1 + xn = 250 xn +1 xn = 12600 Suy xn = 70 hay n = (do xn +1 > xn ) Xét phương trình đặc trưng x − x + có hai nghiệm α , β Với α , β hai nghiệm phương trình: t − t − =0 dãy Fibonaci: F= F= 1, Fn += Fn +1 + Fn 2 α n − β n Do= Số hạng tổng quát dãy Fibonaci= Fn un 10 α n − + β n − ( ) ( ) Ta có + un +1un = 501 + ( 50 F2 n −1 ) Đặt + un +1un = 501 + ( 50 F2 n −1 ) , với k nguyên dương, ta 2 501 = ( k − 50 F2 n−1 )( k + 50 F2 n−1 ) Từ đó: tìm n = 4n − + + + n Tính lim un 2 Đây bản, tử cấp số cộng, mẫu cấp số nhân 31 (An Giang) Cho dãy số (un ) xác định sau x x π x = u1 sin = ; u2 3sin = ; ; un 3n −1 sin n ; x ∈ (0; ) 3 Xét tính đơn điệu dãy số tính: lim(u1 + u2 + + un ) 30 (Sơn La) Cho dãy số un = Dề thấy (un ) tăng, gọi giới hạn cần tìm L, ta thấy L = x − sin x  U1 = 32 (Quảng Bình) Cho dãy số (U n ) xác định sau  Tìm giới U = U − 12U + 20n + 21 n n  n +1 n +1 hạn (U n ) Câu báo THTT 33 (An Giang) Cho dãy un với u1 = u2 = 1; un + = 7un +1 − un − Chứng minh số hạng dãy số phương Đây toán  x0 >  34 (Sơn La) Cho dãy số {xn } xác định  xn +1 xn + = Xác định giá trị x0 để dãy cho hội tụ ( ) Đây dạng 35 (Vĩnh Phúc) Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 , u2 > un + = + Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn un +1 với n = 1, 2,3, un 36 (KHTN, vòng 2, ngày 2) Cho dãy số xn xác định 17  = x1 5;= x2  n≥2   x= xn xn −1 − xn − n +1  Tìm tất số nguyên dương n cho [ xn ] + lập phương số tự nhiên Đặt dãy = U n 22 n −1 +1 ∀n ∈ ¥ * Ta chứng minh quy nạp xn= U n + ∀n ∈ ¥ * Un = n k , (k ≥ 3) Thật n =1,2 Giả sử tới Khi với n= k + 1 4 xk xk2−1 − xk −= (U k + ).(U k −1 + ) − 2.(U k + )−4 x= k +1 4 Uk U k −1 Uk U k2−1 nên U2 8 ).(2U k + + ) − 2.(U k + ) − = k + =U k +1 + xk +1 = (U k + Uk Uk Uk U k +1 Uk Do U k = Suy n= k + Theo nguyên lý quy nạp ta có : = xn 22 Do : [ = xn ] 22 n −1 +1 n −1 +1 + 2n −1 −1 ; ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ ∀n ≥ Với n ≥ n −1 Ta cần tim n ∈ N * cho 22 +1 + = A3 n −1 +) n ≥ ta có 22 +1 ≡ 1( mod 7) nên A3 ≡ (mod 7) Mặt khác A3 ≡ 0,1, 6( mod 7) + n=1 thỏa mãn Như có n = thỏa mãn toán 37 Cho dãy số an xác định = = a1 33; a2 49, a3 177 =  an +3 = 8an + − 8an +1 + an  Chứng minh với giá trị của n , an không chia hết cho $2013$ Chú ý 20013=61.33 Điều gợi ý ta nghĩ tới xét theo modun 61 (61 nguyên tố) Gọi rn số dư phép chia an cho 61 Khi chứng minh ( rn ) tuần hồn chu kì 14 Bằng tính tốn 14 số hạng đầu dãy ta thấy khơng có số hạng an chia hết cho 61 Do an khơng chia hết cho 61 với n, từ ta có đpcm 38 (Kiểm tra đội tuyển Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho dãy số (un ) xác định u1 = −1, u2 = −2, nun + − (3n + 1)un +1 + 2(n + 1)un = với n ≥ 2012 Đặt S =∑ un − 2(22012 − 1) Chứng minh S chia hết cho 2013 n =1 Đặt = un − 2n + 3n, ta có v1 =v2 =0; nvn + − (3n + 1)vn +1 + 2(n + 1)vn =0, n =1, 2,3 Từ đó, suy u= 2n − 3n với n ≥ Ta có: n 2012 2012 2012 S =∑ (2n − 3n) − 2(22012 − 1) =∑ 2n − 3.∑ n − 2(22012 − 1) =(−3.1006.2013)M2013 n = n 1= n = Bài ta dùng phương pháp dự đoán cơng thức tổng qt sau quy dãy khơng để chứng minh quy nạp cho dễ 39 Cho dãy số {un } xác định sau u1 =  un + un2013  un += n Tìm lim n →+∞ ∑( xi2012 ) ui +1 Ta có un += un + un2013 ⇔ un +1 − un = un2013 ⇔ n ⇒∑ un2012 1 = − un +1 un un +1 ui2012 1 = − ui +1 u1 un +1 Do n ui2012 1 )= lim∑ = lim( − u1 un +1 ui +1 40 Bến Tre) Cho phương trình x n +1= x + (1) (với n ∈ ¥ * ) Chứng minh với giá trị nguyên dương n , phương trình (1) có nghiệm dương Xét dãy số ( xn ) xác định sau xn nghiệm dương của: x n +1= x + Tính lim xn n →∞ Phương trình tương đương với x( x n − 1) = Từ suy x < nghiệm n +1 phương trình Đặt f ( x= ) x − x − Ta có f ′( x)= (2n + 1) x n − > với x > Lại có f (1) =−1 < nên phương trình có nghiệm lớn Áp dụng bất đẳng thứcCơsi ta có 2n + xn + 2n + 1 xn = n +1 xn + ≤ ⇔ xn ≤ = 1+ ⇒ ≤ xn ≤ + 2n + 2n 2n 2n Theo ngun lí kẹp ta có lim xn = n →+∞ 42 Xét dãy số U n xác định bởi= U1 1,= U 2 (2n + 1)U n +1 (4n + 2)U n = U n+2 + (n + 1)U n +1 + 6n + nU n + 6n + Chứng minh dãy U n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Dễ thấy U n > 0, ∀n > 6n + n +1 n 6n + Ta có = + + + U n + (2n + 1)U n +1 2n + 4n + (4n + 2)U n (6n + 4) xn +1 (6n + 5) xn 2n + 1 xn + = (*) Đặt = xn > , ta có= x1 1,= x2 + + Un 2n + 4n + 4n + Bằng quy nạp, ta chứng minh dãy tăng với n > Giả sử dãy bị chặn có giới hạn, đặt giới hạn u ≥ , chuyển (*) qua giới 3u hạn, ta có u = 3u + + hay u < , vơ lí 2 Do đó, dãy khơng bị chặn suy lim xn = +∞ Từ suy lim U n = 42 (ĐH KHTN) Cho dãy số {an} xác định bởi: a1 =33 ; a2 = 49 , a3=177, an+3 = 8an+2-8an+1+an Chứng minh với giá trị của n, an không chia hết cho 2013 Bổ đề: Cho dãy số nguyên (an ) thỏa mãn a= c1an +1 + c2 an + + + ck an + k c1 ; c2 ; ; ck ∈ ¢ , m ∈ ¥ *; m > n Gọi rn số dư phép chia an cho m Khi rn dãy tuần hồn Trước hết ta chứng minh nhận xét sau: Cho dãy số nguyên (an ) truy hồi cấp k (k ∈ ¥ * Nếu dãy bị chặn tuần hồn kể từ lúc Thật vậy, giả sử dãy bị chặn M, tức | an |≤ M Xét k số (a0 ; a1 ; ; ak −1 );(a1 ; a2 ; ; ak ); Có tối đa (2 M + 1) k khác nên (2 M + 1) k + có trùng Giả sử = (ai ; +1 ; ; + k ) (a j ; a j +1 ; ; a j + k ), j > k ⇒ + k =aj + k Đặt T = j − k ⇒ Dãy tuần hồn chu kì T từ n0= j + k Áp dụng vào bổ đề: Dễ thấy rn bị chặn nên ta có đpcm Trở lại toán: a1 ≡ 33(mod 61); a2 ≡ 49(mod 61); a3 ≡ 55(mod 61); Sau số tính tốn ta thấy (rn ) dãy tuần hồn chu kì 15 kể từ r1 Mà 15 số ko có số chia hết cho 61 nên an ko chia hết cho 61 với ∀n ∈ ¥ * Do ta có đpcm 43 (Hải Phịng) Tìm số nguyên a cho với số tự nhiên k ≥ tất số hạng dãy {un }, n ≥ sau số phương u1 = 1,u2 = a ,un +1 = (k − 2)un − un −1 + 2a − (2k + 6)a + 20 ∀n ≥ Ta thấy u2 = (k − 2)a − + 2a − (2k + 6)a + 20 = (ka − 1) + 18 − 6a , u2 phải số phương với k nên suy 18 − 6a = hay a = Dãy số thu u1 = 1, u2 = 9, un + = (k − 2)un +1 − un −1 − 2(3k − 10) Ta nhớ lại định lí sau: Cho dãy số (un ) có= c u3u1 − u22 Xét dãy số (vn ) có u1 a= , u2 b, u= aun +1 − un Đặt= n+2 v1 = a , v2 = b , + = (a − 2)vn +1 − − 2c Khi = un2 với n Áp dụng trực tiếp định lí này, ta có điều kiện đủ Vậy a = giá trị thỏa mãn đề 42 (Hưng Yên) Cho dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: x1 = xnxn+1 + 3xn+1 = với n ≥ Tìm số hạng tổng quát xn Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 43 Dãy số (xn) dãy tuần hồn tồn số nguyên dương p cho xn+p = xn với n ≥ Cho dãy số hữu tỉ (xn) với x1 = 2; xn +1 = + xn với n ≥ Chứng minh − xn 1) xn ≠ với ≥ 1; 2) Dãy (xn) dãy tuần hồn 44 (Đà Nẵng) Tìm số thực a cho cos(3na) < với số tự nhiên n Đề thi trường tỉnh năm học 2012-2013 Lời giải Bình luận Dãy số Giới hạn dãy số (Ninh Bình) Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương) x + 2x2 + 3x3 + + nxn - 3/4 = a) Chứng minh với số nguyên dương n phương trình có nghiệm dương nhất, kí hiệu nghiệm xn b) Chứng minh lim xn = n →∞ (Hải Phòng) Cho dãy số {an} thỏa mãn điều kiện a0 = -1, a1 = 1, a2 = a n +3 = a n +1a n + − 15 ∀n ≥ Chứng minh an a k −1 + a k = k =1 a k − 5a k n lim ∑ n →∞ 10 (Hà Nội) Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 2, un +1 un2 un+1 , n ≥ = 2u n − 1) Chứng minh dãy số (un) giảm bị chặn 2) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un) 11 (Sơn La) Cho dãy số {un} xác định bởi: u1 = 2, un +1 = + un Gọi p số lẻ, q số chẵn bất kì, chứng minh up > uq n 1 12 (Nghệ An) Cho dãy số (Sn): S n = ∑ ln1 +  ln1 +  ln1 + k =1 Tìm: lim Sn  k  2k     2k +  1 3 13 (Quảng Bình) Cho dãy số (un) xác định công thức: u1 = 3, un +1 =  2un +  3 un  Tìm lim un 14.(Bến Tre) Cho dãy số {xn} xác định sau: x1 = x n +1 = + x n + + 24 x n 16 với n = 1, 2, 3, Tìm cơng thức tổng qt dãy 15 (TP HCM) Cho dãy số (un): u1 = 3u + với n ∈ N* , un +1 = n 2u n + Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 16 (Quảng Ngãi) Cho dãy số (an) thỏa mãn điều kiện: u1 = 2, (4 - un)(6 + un-1) = 24 Tính S 2012 = 1 + + + a1 a a 2012 17 (Phú Yên) a/ Chứng minh b/ Cho f ( x ) = x + > với x > x +1 x n S n = f   + f   + + f   Tìm lim Sn x +1 n  n  n  18 (Phú Yên) Cho dãy số gồm 2012 số không âm x1, x2, , x2012 thỏa mãn điều kiện a/ x1 = x2012 = 2012 b/ xn+1 = xn2 - xn-12 + xn-1 với ≤ n ≤ 2011 Xác định x2000 19 (Phú Yên) Cho dãy số (un) xác định sau, u1 = 3, un+1 = un2 - Tìm lim n →∞ un +1 u1u2 u n 20 (Long An) Cho dãy số {un} xác định u1 = 1, un+1 = un + 2n với n ≥ a Chứng minh un = 2n - b Tính tổng S= u1 + u2 + + un theo n 21 (Cần Thơ) Cho dãy số (an ) xác định bởi: u1 = 1, un = 2, un = 4un-1 - un-2 với n ≥ Chứng minh rằng: a) un2 + un2−1 − 4un un −1 = −3, ∀n ≥ 2, n ∈ N b) Với số nguyên dương n, un2 − số phương 22 (Đồng Tháp) Cho a ≥ dãy số {xn } xác định sau a  = x0 a, x1 2= ,     x= x2 n −1 x2 n − , x2 n= +1 2n   x2 n + x2 n −1 = , n 1, 2, … a) Chứng minh dãy cho có giới hạn ứng với a cho trước b) Tính giới hạn dãy theo a