Đề thi trường tỉnh năm học 2012-2013 Hình học 1 (Nam Định, vịng 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc A cắt BC A1 cắt (O) A Định nghĩa tương tự với điểm B1 , B2 ,C1 ,C tương ứng Chứng minh rằng: a) CA AB + BA AC = BC.AA b) A1A B1B2 C1C + + ≥ BA + A 2C CB2 + B2A AC + C B (Nam Định, vòng 2) Cho tam giác ABC vuông A Điểm D thuộc đoạn thẳng BC (D ≠ B,C) Đường thẳng qua D song song với AC cắt đường trịn đường kính CD M ( M ≠ D ) Đường thẳng qua D song song với AB cắt đường tròn đường kính BD N ( N ≠ D ) Gọi P giao điểm AD đường tròn đường kính · BC (P ≠ A) Chứng minh MPN = 90° (Hà Tĩnh, vòng 1) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực Tâm H.Gọi A',B',C' theo thứ tự giao điểm AH, BH, CH với (O).Một điểm D nằm đường tròn (O) (khác với A, B, C, A', B', C') Gọi A'', B'', C'' giao điểm DA' với BC,DB' với AC,DC' với AB.Chứng minh A'', B'', C'', H thẳng hàng (Hà Tĩnh, vòng 2) Cho điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng (theo thứ tự đó) Gọi d đường thẳng vng góc với đường thẳng AC A C; M điểm di động Từ M kẻ tiếp tuyến MD, ME đến đường trịn đường kính AB với D, E tiếp điểm Các tiếp tuyến cắt d tương ứng điểm P, Q Gọi R S giao điểm d với đường thẳng BD BE a Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác BRS ln qua hai điểm cố định b Xác định vị trí điểm M để tam giác MPQ có chu vi nhỏ (PTNK) Cho tam giác ABC Các diểm M, N thuộc cạnh BC cho ∠BAM = ∠CAN = α ( M nằm B, N) Gọi I trung điểm BC Kẻ BH ⊥ AM,CK ⊥ AN H, K a) Chứng minh đường tròn (IHK) ln thuộc đường thẳng cố định b) Tính α theo ∠ABC ∠ACB cho (IKH) tiếp xúc với đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính AC (Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM cắt cạnh SB, SD B', D' Gọi V = VS.ABCD V1 = VS.AB′MD′ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tỉ số V1 V (KHTN, vòng 1, ngày 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) với AB khơng đường kính (O) Gọi P điểm di chuyển cung CD không chứa A,B (O) Giả sử PA cắt DB, DC E F Giả sử PB cắt CA, CD G H Biết GF giao EH Q Chứng minh PQ qua điểm cố định P di chuyển (KHTN, vòng 1, ngày 2) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) Gọi P điểm nằm tam giác ABC không trùng O Giả sử AP cắt (O) D khác A Gọi DE, AF đường kính (O) Giả sử EP, FP cắt (O) G H khác E, F Giả sử AH giao DG K Gọi L hình chiếu K lên đường thẳng OP a) Chứng minh điểm A,L,K,D thuộc đường tròn Gọi đường tròn (S) b) Chứng minh ràng đường thẳng OP cắt EF điểm T thuộc (S) (Mai Sơn - Sơn La) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn tâm I Tìm giá trị lớn biểu thức: IA.IB.IC T= a.IA + b.IB2 + c.IC 10 (Chuyên Sơn La) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P,Q,R chân đường cao vng góc hạ từ D xuống đường thẳng BC,CA,AB Chứng minh · · PQ = QR phân giác góc ABC ADC cắt AC 11 (Chun Sơn La) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi SA vng góc với đáy, SA = a Gọi M điểm thay đổi đoạn AC, AM = x , (0 < x < ) a) Tính diện tích thiết diện qua M theo a x , biết thiết diện song song với BD vng góc với mp(ABCD) B b) Khi thiết diện có diện tích lớn chia hình chóp thành hai phần có tỉ số thể tích bao nhiêu? 12 (Chun Lam Sơn, Thanh Hóa) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I Gọi D điểm thuộc cạnh BC Xét đường tròn ω tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với DC; DA E; F tương ứng Chứng minh điểm E; I; F thẳng hàng 13 (Chuyên Bến Tre) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Gọi M, N, P hình chiếu D AB, BC, CA Chứng minh PM = PN AB.CD = AD.BC 14 (Chuyên ĐHSP HN) Cho tam giác ABC, O tâm đường trịn ngoại tiếp Điểm G khơng thuộc đường thẳng BC, CA, AB Trung trực đoạn AG, BG, CG đôi cắt định tam giác DEF Chứng minh O trọng tâm tam giác DEF G trọng tâm tam giác ABC 15.(Quảng Bình - Vịng 1) Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh · BC, N chân đường phân giác góc BAC Đường thẳng vng góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P, Q theo thứ tự Đường thẳng vng góc với AB P cắt AN O Chứng minh OQ vuông BC 16.(Quảng Bình - Vịng 2) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N trung điểm DB, AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, đường thẳng DN lấy điểm Q cho PQ // CM Tính độ dài PQ thể tích khối AMNP 17.(Chọn ĐT Cần Thơ) Cho nửa đườn tròn (T ) tâm , đường kính di động (T ) ( khác ) Gọi (O1 ), (O2 ) hai đường tròn nhận tuyến chung, đồng thời (O1 ) tiếp xúc với (T ) xúc với (T ) theo thứ tự H, L a) Chứng minh qua điểm cố định điểm làm thứ tự M, N ; (O2 ) tiếp di động (T ) đường thẳng ln b) Gọi C, D theo thứ tự giao điểm thứ hai (O1 ) với M, B, E giao điểm CN với giao điểm với Chứng minh di động (T ) , ta ln có bất đẳng thức , chu vi tứ giác 18 (Tphố Hải Phòng) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) từ điểm D cung nhỏ AB đường trịn kẻ đường thẳng vng góc AD, đường thẳng cắt BC M Đường trung trực đoạn thẳng DM cắt cạnh AB,AC,BD,DM,MA E,F,N,K,I Chứng minh rằng: a) B,N,F,C nằm đường trịn b) Tứ giác AEMF hình bình hành 19 (Đồng Nai - Vịng 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SAvng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AB = a, BC = 2a, SA = a (với a ∈ R, a > 0) Gọi M, Nlà trung điểm SB AD Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BN 20 (Th phố HCM - Vòng 1) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AH, BK M di động cung nhỏ BC MA cắt BK E MF cắt AH F Chứng minh M di động trung điếm EF thuộc đường thẳng cố định 21 (Th phố HCM - Vòng 2) Cho hai đường trịn (C1) (C2) tiếp xúc ngồi D tiếp xúc với với đường tròn (C) B C Tiếp tuyến chung (C1) (C2) cắt (C) A E AB cắt (C 1) (C2) N Chứng minh rằng: M , AC cắt 1 + = DA DE MN 22 (Hà Nội) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N hai điểm đoạn thẳng AB AD (M, N không trùng A) cho AB AD + =4 AM AN 1) Chứng minh M,N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm cố định 2) Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABCD S.MBCDN Chứng minh rằng: V' ≤ ≤ V 23 ( Chọn ĐT Bắc Ninh) Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E chân đường cao hạ từ B xuống cạnh AC Vẽ hình bình hành PAQB PARC, AQ giao với HR X Chứng minh EX song song với AP 24.(Ninh Bình Vịng 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AM, BN Điểm D cung BC khơng chứa A đường trịn (O) khác B, C Hai đường thẳng DA BN cắt Q, hai đường thẳng DB AM cắt P Gọi I trung điểm PQ Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng 25 (Thái Ngun) Cho đường trịn tâm O bán kính R , AB đường kính cố định đường trịn (O) Điểm M thay đổi (O) , N điểm cung MB Xác định M để diện tích tứ giác AMNB đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn