DE ABC

Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường ĐH năm học 2009-2010 Phương trình, hệ phương trình 1 (Đại học Vinh) Giải phương trình: Giải : (Phạm Đạt) 2x +  1 log ( x + 2) + x + = log +  + ÷ + x + ( 1) x  x −1 ∨x>0 Điều kiện : −2 < x < 2 (1) ⇔ log 2  1   1 x + − x + + x + = log  + ÷−  + ÷+ + +  + ÷ x  x x   x 1  1  1  x + − x + + x + = log  + ÷−  + ÷+  + ÷ (*) x x  x   ⇔ log Xét f (t ) = log t − 2t + t (t > 0) Có : f '(t ) = + 2t − ≥ t ln t ln Nên f (t ) đồng biến ( 0; +∞ ) (*) ⇔ f ( ⇔ )   x + = f 2+ x+2 = 2+ x 2t − = 2 ln − > ( AM − GM ) 1 ÷ x (do f (t ) đồng biến ( 0; +∞ ) ) ⇔ x+2= 4+ x + x ⇔ x + 2x = 4x + 4x + 2 ⇔ x − 2x − 4x −1 =   x = −1( n)  + 13 ⇔ x = ( n)    x = − 13 ( l )   Vậy tập nghiệm phương trình cho S =  −1; + 13    Bình luận : Với tốn vừa có hàm log (hay mũ) vừa có hàm đa thức (phân thức) thơng thường việc nghĩ đến dùng tính đơn điệu hàm số để giải điều dễ hiểu Bài khó đề đại học tí  (Hà Nội) Giải phương trình 9( x + − x − ) = x + Giải Cách 1: Điều kiện x ≥ 2/3 Nhân hai vế phương trình với ta x + + 3x − , 9[(4 x + 1) − (3 x − 2)] = ( x + 3)( x + + x − ) ⇔ 9( x + 3) = ( x + 3)( x + + 3x − ) ⇔ = x + + 3x − Đến ta giải nhiều cách Cách Kết hợp với phương trình x + − 3x − = x+3 để phương trình x + 84 từ giải cách bình phương hai vế Cách Giải phương trình = x + + 3x − phương pháp bình phương 4x + = liên tiếp Cách Chú ý f ( x) = x + + x − hàm số tăng miền xác định Do phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Nhận thấy x = nghiệm phương trình f(x) = 9, suy x = nghiệm phương trình f(x) = 9, nghiệm phương trình đề Cách 2: ( u − v ) ( u + v − ) = 9(u − v) = u − v  x + = u    ⇒  11 ⇔  11 Điều kiện x ≥ Đặt  3 x − = v u − v = u − v =  3  3  u − v =  + Với u − v = ta có hệ:  11 dễ dàng có hệ vơ nghiệm u − v = u + v − = u = − v   + Với u + v − = ta có hệ sau:  11 ⇔  11 u − v = u − v = 232 = giải phương trình ta Thay u vào phương trình ta được: − v − 18v + 3  x + = ⇔ x=6 nhận nghiệm v = ⇒ u = ⇒   x − = (Ninh Bình) Giải hệ phương trình x = y + a  y = z + a z = x + a  Trong a tham số thoả mãn điều kiện < a < Giải (Võ Thành Văn) 2 2 Không tính tổng quát ta giả sử x = Max{x, y, z} ⇒ z = Max{x , y , z } Đến ta xét trường hợp: *Trường hợp 1: z ≥ ⇒ z = Max{x, y, z} ⇒ x = y = z = Nếu *Trường hợp 2: 1 + +a 2 Nếu z < ⇒ x < , x ≥ ⇒ z ≥ a ⇒ z ≤ − a < −a ⇒ y < (mâu thuẫn) ⇒ y ≤ ⇒ > x ≥ y ≥ z ⇒ x2 = y + a ≥ z + a = y ⇒ x ≤ y ⇒x= y=z= 1 − +a Vậy hệ phương trình có nghiệm (Đồng Nai) Giải phương trình sin x − cos x sin x − cos x = sin x − cos x sin x + cos x Giải Sử dụng đẳng thức sin3x – cos3x = 3sinx – 4sin3x + 3cosx – 4cos3x = (sinx+cosx)(3 - 4(sin2xsinxcosx+cos2x) = (sinx+cosx)(2sin2x-1) ta điều kiện để phương trình có nghĩa (sinx+cosx)(2sin2x-1) ≠ điều kiện đó, phương trình rút gọn lại thành sinx – cosx = (sin3x – cos3x)(2sin2x-1)  (sinx – cosx)(1 – (sin2x+sinxcosx+cos2x)(2sin2x-1)) =  (sinx – cosx)(–sin22x – 3/2sin2x + 2) = Từ giải phương trình Bình luận Bài giống đề thi đại học hơn, khơng có ý tưởng (Đồng Nai) Giải hệ phương trình  x − xy + x + y = ( 1)  2  x − x y + x + y = ( 2) Giải Cách 1: Từ phương trình ( 1) ta có: x2 + x y= thay vào ( ) ta được: 2x −1 x − 12 x + 10 x − x + x = ⇔ x ( x − 1) ( x − ) ( x + 1) = ⇔ x = 0; x = 1; x = thay vào phương trình ( 1) ta giá trị tương ứng y Từ ta có căp nghiệm hệ: ( x; y ) = ( 0;0 ) = ( 1; ) = ( 2; ) Cách 2: Nhận thấy hệ có nghiệm x = 0, y = Với x ≠ , chia phương trình ( 1) cho x , phương trình ( ) cho x đó:  x + y 2 y  = ( y − 1)  x + = y − ÷   x  x ⇔ Hệ ⇔   2  x + y = y −  x + y    x ÷ = y − x2   2 + Với y = thay vào PT ( 1) ta được: x − x + = ⇔ x = 1; x = 1 + Với y = thay vào PT ( 1) ta được: x + = PTVN 2 Kết luận: Cặp nghiệm hệ: ( x; y ) = ( 0;0 ) = ( 1; ) = ( 2; ) ⇒ ( y − 1) = y − ⇔ y − 10 y + = ⇔ y = 2; y = Cách (Võ Thành Văn) Ta có Đến ta đặt Khi hệ phương trình cho trở thành Từ phương trình thứ suy Trường hợp 1: Thay ,thay vào phương trình thứ 2,ta vào phương trình (1),ta có: Trường hợp 2: Thay vào phương trình (1),ta có: hoặc Ứng với giá trị ta có Vậy nghiệm hệ phương trình (Bình Định) Giải phương trình: − x + 10 x − 17 x + = x x − x Giải (Dựa theo ý tưởng nguyenvannam) Dễ thấy x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x3, ta −2+ 10 17 − + = 23 − ⇔ 8t − 17t + 10t − = 23 5t − (1) x x x x với t = 1/x (t ≠ 0) Ta biến đổi phương trình (1) tiếp tục sau (1) ⇔ (2t − 1) + 2(2t − 1) = 5t − + 23 5t − Xét hàm số f(x) = x3 + 2x f’ = 3x2 + > nên f hàm số tăng R Phương trình cuối viết lại thành f ( 2t − 1) = f (3 5t − 1) Do f hàm số tăng nên phương trình tương đương với 2t − = 5t − ⇔ 8t − 12t + 6t − = 5t − Giải ta t = (loại), t = 17 ± 97 17 ± 97 Tương ứng ta tìm x = 16 12 a Tìm tất giá trị tham số thực a cho phương trình: a(sin2x+1) + = (a-3)(sinx+cosx) có nghiệm b Phương trình 2x – – x2 = có nghiệm số thực? Hãy giải thích Giải a) Hướng dẫn: Đặt t = sinx + cosx t ∈ [− ; ] Đưa tốn tìm a cho phương trình at2 + (3-a)t + = có nghiệm t ∈ [− ; ] Có thể giải phương pháp tam thức bậc khảo sát hàm số y = Đáp số: a ≤ a ≥ 3t + đoạn [− ; ] t −t2 b) Hướng dẫn: Đặt f(x) = 2x – – x2 f”(x) = 2x(ln2)2 – Phương trình f”(x) = có nghiệm thực, suy f’(x) có khơng q nghiệm thực f(x) có khơng q nghiệm thực Mặt khác, ta có 0, nghiệm f(x), ngồi f(4) = -1, f(5) = nên f(x) có nghiệm nằm Suy số nghiệm thực phương trình (Đồng Nai) Giải hệ phương trình  x + xy = y 10 + y (1)   x + + y + = (2) Giải Nếu y = từ phương trình (1) suy x = 0, phương trình (2) khơng thoả mãn Vậy y ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho y 5, ta  x x   + = y + y (3) Xét hàm số f(x) = x + x, ta có f’(x) = 5x + > 0, suy f y  y hàm số tăng R Phương trình (3) viết lại thành f(x/y) = f(y) f hàm tăng nên tương đương với x/y = y, suy x = y Thay vào phương trình (2), ta x + + x + = (4) Giải ta x = nghiệm phương trình (4) Từ hệ ban đầu có nghiệm (x ; y) = (1 ; 1) (1 ;-1) Ghi Tham khảo thêm lời giải (Hà Nội) (Bình Định) (Cần Thơ) Tìm tất nghiệm thực phương trình x + 11x − = 13 x + x + x − Hướng dẫn: x + 11x − − 13( ax + b) = 13( x + x + x − − ( ax + b)) Nhân lượng liên hợp cho VP cần xác định a,b để x + (2 − a ) x + (1 − 2ab) x − − b chia hết cho x + (11 − 13a ) x − − 13b 10 (Đại học Sư phạm) Giải tập hợp số thực hệ phương trình sau: 2009  ∑ xi = 2009  i =1 2009 2009  x8 = x ∑ i i  ∑ i =1 i =1 Giải Giả sử (x1, x2, …, x2009) nghiệm hệ Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có 2009  2009  2009 ∑ xi2 ≥  ∑ xi  i =1  i =1  2009 Suy ∑x i =1 i ≥ 2009 (1) Bây áp dụng bất đẳng thức Chebysev cho số (x 12, x22, …, x20092) (x16, x26, …, x20096) thứ tự nhau, ta có 2009  2009  2009  x x ≤ 2009 xi8 (2)  ∑ i  ∑ i  ∑ i =1  i =1  i =1  Từ (1) (2) ta suy 2009 2009 i =1 i =1 ∑ xi8 ≥ ∑ xi6 (3) Từ phương trình (2) ta suy dấu xảy (3), tức dấu phải xảy (1) (2), tức ta phải có tất x i Từ suy tất xi Kết luận: Vậy x1 = x2 = … = x2009 = nghiệm hệ phương trình 11 (PTNK) Cho a, b, c số thực dương Giải hệ phương trình  ax − aby + xy = bc   =a abz − bc x + zx   bc − az + yz = ab  Hướng dẫn Viết hệ dạng   Ax − By + xy = C   =A  Bz − Cx + zx   C − Az + yz = B  giải hệ tìm A, B, C theo x, y, z (phương pháp giải theo tham số) 9y3(3x3 − 1) = −125 11 (Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:  2  45x y + 75x = 6y Giải Cách 1: 3 27x y + 125 = 9y ( 1) 2  45x y + 75x = 6y Hệ phương trình ⇔  Từ pt ( 1) ⇒ y ≠  27x3y3 + 125 = 9y3  Hệ ⇔ 135 2 225 trừ vế theo vế hệ ta được: xy + xy = 9y3      xy = −  y = 0(Loai)   135 225 10 27( xy) − xy) − xy + 125 = ⇔  xy = ⇒ x = ; y = ( 2 3   5  xy = x = ; y =    x =  x =  Vậy hệ có nghiệm:  ∨   y =  y =  Cách 2; 3 27x y + 125 = 9y ( 1) 2  45x y + 75x = 6y Hệ phương trình ⇔  Từ pt ( 1) ⇒ y ≠  125 5  3 ( x ) +  ÷ = 27 x + y =    y ⇔ Hệ ⇔  5  45 x + 75 x =  5  y 3 x y  x + y ÷ = y2    a = x 3 a + b =  a =  a =  a + b = ⇔ ⇔ ⇔ ∨ Đặt  Hệ  b = a b = b = ab a + b = ( )   b =    y   x =  x =  Vậy hệ có nghiệm:  ∨   y =  y =  Thực chất hệ xuất phát từ đề thi “Đề Nghị 30-4” lần thứ XIV Trường 3 8x y + 27 = 18y 2  4x y + 6x = y THPT Chuyên LTV – Đồng Nai: Giải hệ   x + xy + + x + y + x + y + + y = 18 12 (An Giang) Giải hệ phương trình:   x + xy + − x + y + x + y + − y = 13 (Phú Yên) a) Giải phương trình: ( x − 1) ( x + ) − ( x − 1) x+2 −2 =0 x −1 Giải:  x ≤ −2 Điều kiện:  x > Cách 1: Đặt t = ( x − 1) ⇒ t = ( x − 1) ( x + ) x+2 ,t > x −1 x = 2 Phương trình cho trở thành: t − t − = ⇔ t = ⇒ ( x − 1) ( x + ) = ⇔   x = −3 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm: x = 2, x = −3 Cách 2: Ta có PT ⇔ ( x − 1)( x + 2) − ( x − 1)( x + 2) − =  ( x − 1)( x + 2) = −1(loai ) ⇔  ( x − 1)( x + 2) = ⇔ x + x − = ⇔ x = 2, x = −3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 2, x = −3  x + y + z =3  b) Tìm x, y, z biết:   ( + x ) ( + y ) ( + z ) = + xyz ( ) Giải (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = + ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx) + xyz ≥ + 3 xyz + 3 x y z + xyz = (1 + xyz )3 Dấu “ =” xảy ⇔ x = y = z = Do hệ có nghiệm x = y = z = 14 (Quảng Trị) x2 + x + = x − x + ( 1) a) Giải phương trình: log 2x − 2x + Giải 2 Phương trình ⇔ log ( x + x + 1) − log ( x − x + 3) = x − 3x + ⇔ log ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = log ( x − x + 3) + ( x − x + 3) 2 Đặt u = ( x + x + 1) , v = ( x − x + 3) phương trình ( 1) trở thành: ⇔ log u + u = log v + v ( ) + > 0, ∀t ∈ ( 0; + ∞ ) nên hàm số đồng biến t ln 2 phương trình ( ) có dạng f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x + x + = x − x + Đặt f ( t ) = log t + t ⇒ f ' ( t ) = ⇔ x − x + = ⇔ x = 1; x =  x + y ≤  x + y + x ( y − 1) + a = b) Tìm a để hệ sau có nghiệm:  Giải  − x − y ≥ Hpt ⇔   x( y − 1) + a = − x − y ⇔ x( y − 1) + a = (2 − x − y ) ⇔ xy − x + a = + x + y − x − y + xy ⇔ x2 + y − x − y − a + = Đây pt đường tròn tâm I (1; 2) bán kính R = a + − x − y ≥ chia mặt phẳng tọa độ làm miền với đt ranh giới (d ) : x + y − = Vẽ hình minh họa ta thấy hệ có nghiệm ⇔ d (I / d ) ≤ R |1 + − | ⇔ ≤ a +1 1 ⇔ a +1 ≥ ⇔ a ≥ − 2 c) Giải bất phương trình: x − 8e x −1 > x( x e x −1 − 8) Hướng dẫn: BPT ⇔ ( x − e x −1 )( x3 + 8) > 15 (LQĐ Ninh Thuận) a) Giải bất phương trình: − − x + x + < x + (2 − x)( x + 5)  xy + x − y = ( 1)  b) Giải hệ phương trình:  yz + z − y = ( )  zx − x − z = −6 ( 3)  Hướng dẫn giải + 3y y +1 + 5y Từ phương trình ( ) ta có: z = y +1 Từ phương trình ( 1) ta có: x = Thay vào phương trình ( 3) ta phương trình: (4 + y )(9 + y ) 5(4 + y ) 3(9 + y) − − = −6 ( y + 1) y +1 y +1 16 (NGT Vĩnh phúc) a) Giải phương trình: x3 − x − x + = x + x − x + y2 + z2 =  2 b) Giải hệ phương trình:  y + x + z =  z + x2 + y2 =  17 (Đồng Tháp vòng 2) 3x + ln( x − x + 1) = y − x +  Giải hệ phương trình: 3 y + ln( y − y + 1) = z − y + 3z + ln( z − z + 1) = x − z +  Giải  x + x − + ln( x − x + 1) = y  Ta đưa hệ dạng :  y + y − + ln( y − y + 1) = z  z + 3z − + ln( z − z + 1) = x  Xét f(t) = t3 + 3t – + ln(t2 – t + 1), t ∈ R  f ( x) = y  Hệ trở thành :  f ( y ) = z  f ( z) = x  3t − t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến/ R t2 − t +1 Khơng tính tổng qt giả sử x ≥ y ≥ z , với x, y, z ∈ R Vì f hàm đồng biến nên f(y) ≥ f(z) ⇔ z ≥ x Suy x = y = z nên ta f(x) = x ⇔ x3 + 3x – + ln(x2 – x + 1) = x ⇔ x3 + 2x – + ln(x2 – x + 1) = Đặt g(x) = x3 + 2x – + ln(x2 – x + ) , x ∈ R Ta có : f’(t) = 3t2 + 2x2 + g ( x) = x + > , ∀x ∈ R → g (x) đồng biến/ R x − x +1 g ( ) = ⇒ Mà x = nghiệm g ( x ) = ⇔ x = nghiệm f ( x ) = x  f ( x) = y ⇒ x = y ⇒ x = y = z = nghiệm hệ Mặt khác :  f ( y ) = z ⇒ y = z  ' 18 (Kon Tum) a) Giải bất phương trình: Giải x + x + x + 16 > + − x  x + x + x + 16 ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ Cách 1: Điều kiện:  − x ≥  x + x + x + 16 − − x > ⇔ f ( x ) > Bất phương trình: Trong đó: f ( x ) = x + 3x + x + 16 − − x f '( x) = ( x + x + 1) + ( 1) hàm liên tục D = [ −2; 4] > nên f ( x ) hàm đồng biến D 4− x x + x + x + 16 Mà ta lại có: f ( 1) = ⇒ ( 1) ⇔ f ( x ) > f ( 1) ⇔ x > Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình: ≤ x ≤ Nhận xét: Bài toán lấy từ tương tự: Giải bất phương trình: x3 + x + x + 16 < + − x sách “Cách tìm lời giải tốn đại số THPT” Thầy: Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Phú Khánh, Trần Văn Thương  x + x + x + 16 ≥ Cách 2: Điều kiện:  4 − x ≥ Bất phương trình ⇔ ⇔ ( ⇔ −2 ≤ x ≤ ) ( x + x + x + 16 − 3 + x + 3x + x − 11 + ) 3− 4− x > x −1 >0 3+ 4− x x + x + x + 16 + 3   x + x + 11 ⇔ ( x − 1)  + ÷> 3 + − x x + x + x + 16 + 3   ⇔ x > Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình: ≤ x ≤ y −3   x+ y + x+3 = x b) Giải hệ phương trình:   x+ y + x = x+3  Giải: Điều kiện: x > 0, y ≥ Viết phương trình ( 1) hệ thành: ⇔ x + y − ( x + 3) x+ y − x+3 = ( 1) ( 2) x + y − ( x + 3) x 1 − ÷= x+ y − x+3 x ÷  x+ y + x+3 =  x + y − ( x + 3) ⇔ ( y − 3)   x  y −3=  1  − = ⇔ x+ y − x+3 = x  x + y − x + x + Với y = thay vào phương trình ( ) ta được: x + + x = x + (phương trình vơ nghiệm)  x + y − x + = x x + y − x + = x ta hệ  giải hệ ta cặp  x + y + x = x + nghiệm ( x; y ) = ( 1;8 ) + Với Nguyễn Văn Năm