Đề toán thi vào 10 Chuyen quang nam

Tailieumontoan.com  Sưu tầm, tổng hợp TUYỂN TẬP ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN QUẢNG NAM Sưu tầm, ngày 02 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi: Ngày 10 tháng năm 2019 Mơn: TỐN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (khơng tính thời gian giao đề) Đề số Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = b) Cho biểu thức B= 12 + ( − 1) − ⋅ 3− 2 x với x > x ≠ + − x + x x −1 x − x Rút gọn biểu thức B tìm x để B = Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = x a) Vẽ parabol (P) b) Hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ 2; − Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x + x − = b) Cho phương trình x − (2m + 1) x + m + = (m tham số) Tìm giá trị nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức P = x1 x2 có giá trị nguyên x1 + x2 Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 6cm Điểm N nằm cạnh CD cho DN = 2cm, P điểm nằm tia đối tia BC cho BP = DN a) Chứng minh ∆ABP = tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn  ADN ∆ b) Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP  = 450 Chứng minh MP = MN tính diện c) Trên cạnh BC, lấy điểm M cho MAN tích tam giác AMN Câu (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 3; y ≥  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= 21 x +  1  1  + 3 y +  ⋅ y  x - HẾT Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi: Ngày 10 tháng năm 2019 Mơn: TỐN (Chung) Thời gian làm bài: 120 phút (khơng tính thời gian giao đề) Câu Nội dung Điểm 1a (1,0đ) Rút gọn biểu thức: A = = A 4.3 + 3− 12 + ( − 1) − − − ( + 2) 0,5 (Nếu biến đổi ý 0,25) = A + −1− − 0,25 = A 0,25 −1 1b (1,0đ) x + − với x > 0, x ≠ x + x x −1 x − x Cho biểu thức: B= Câu (2đ) Rút gọn biểu thức 𝐵 Tìm tất giá trị x để B = B= x ( x + ) ( x +1 )( x +1 ) x −1 − x ( ) x −1 0,25 (Nếu biến đổi ý 0,25) = x −1+ x x − x = ( )( x +1 ( B =8 ⇔ )( 0,25 x 0,25 ) x −1 ( x − 1) = x x +1 x −1 ( ) x +1 ) =8 ⇔ = x ⇔ x =1 16 x Vậy để B = 8  x = 16 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2a (1,0đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (𝑃): y =  1   2  x Vẽ parabol (𝑃) 1 2 Parabol (P) qua điểm ( 0;0 ) ,  1;     ,  −1;   , ( −2; 2 ) , ( 2; ) 0,5 (Xác định điểm 0,25) 0,5 Vẽ parabol (P) 2b (1,0đ) Hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ 2; − Viết phương trình đường Câu (2đ) thẳng qua hai điểm A B x = ⇒ y = ⇒ A(2;2) 0,25 1 x =−1 ⇒ y = ⇒ B (−1; ) 2 y ax + b Phương trình đường thẳng qua hai điểm A B có dạng: = 2a + b =  Lập hệ   =− a + b 0,25  a = Giải hệ kết quả:    b =1 0,25 x +1 0,25 Đặt 𝑥 = 𝑡, điều kiện 𝑡 ≥ Phương trình trở thành: 𝑡 + 2𝑡 − = 0,25 y Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm A B là:= 3a (1,0đ) Câu (2đ) Giải phương trình: 𝑥 + 2𝑥 − = ⇔� 𝑡 = −4 (loại) 𝑡 = (nhận) 𝑥 = √2 𝑡 = ta có 𝑥 = ⇔ � 𝑥 = −√2 Vậy phương trình cho có nghiệm: 𝑥 = √2, 𝑥 = −√2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 0,25 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3b (1,0đ) Cho phương trình x − (2m + 1) x + m + = (m tham số) Tìm giá trị nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 có giá trị nguyên x1 + x2 cho biểu thức P = = 4m − Tính ∆ Pt có nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ m > 0,25 Theo định lý Viet, ta có:  x1 + x2 = 2m + x1 x2 m2 + ⇒= P =  m + 1       x1 + x2 2m +  x1 x= P= 0,25 2m − 5 + ⇒ P= 2m − +  4 ( 2m + 1) 2m + Để 4P ∈  2m + ước Mà m > 0,25 nên 2m + > 0,25 Suy 2m + = ⇔ m = Thử lại m = P = (thỏa) Vậy m = thỏa ycbt P A B 450 Câu (3,5đ) 6cm D 2cm N 0,5 M C Hình vẽ phục vụ câu a 0,25 đ; câu c 0,25 đ 4a (1,0đ)   + Xét hai tam giác ADN ABP có: ADN = ABP = 900 , AD = AB, DN = BP ∆ABP ( c − g − c ) Suy ∆ADN = 0,5 (Đúng hai ý cho 0,25) =  + ∆ADN = ∆ABP ⇒ PAB NAD  = NAB  + BAP  = NAB  + DAN  = DAB  = 900 Suy NAP Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  + NCP  = 1800 Suy NAP 0,25 Vậy tứ giác ANCP nội tiếp đường trịn 4b (1,0đ) 0,25 Ta có: NC = ; CP = = NP 0,25 = NC2 +CP Chỉ NP đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP Suy độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP: = C π= d 4π (cm) 4c (1,0đ) ∆ANM ( c − g − c ) Suy ra: MN = MP Chứng minh ∆APM = S= S= AMN AMP AB.MP 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt BM = x Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng NCM, ta có: 0,25 ( x + 2) =(6 − x) + ⇔ x = 2 Tính diện tích tam giác AMN 15cm2 0,25 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 3; y ≥  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= 21 x +   Ta có: 21 x + Câu (0,5đ)  1  1  + 3 y +  ⋅ y  x 1  1 7 21   x  62 x  + 3 y +  =  y +  +  +  + y + y  x 3 y  3 x 3 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 21 21 y+ ≥2 y⋅ = 14 ; y y x x + ≥2 ⋅ = x x  1  1 62 Mà x ≥ ; y ≥ nên T = 21 x +  +  y +  ≥ 14 + + ⋅ + ⋅ = 80 ⋅ y  x 3  0,25 Vậy giá trị nhỏ T 80 x= y= Ghi chú: Thí sinh giải theo cách khác, giám khảo dựa đáp án để phân chia thang điểm hợp lý Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi ngày 10 tháng năm 2019 Mơn: TỐN (Chun Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Đề số Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức = A x+ x − x −1 x ( x ) x −1 với x > x ≠ Rút gọn biểu thức A tìm x để A = x Câu (1,0 điểm) Tìm tất cặp số tự nhiên ( x ; y ) thỏa mãn − y + y + = Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình − x − x +1 =  x2 + y + x + y = b) Giải hệ phương trình  2 x + y − xy = Câu (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = m ( m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB (với O gốc tọa độ) Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC, tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt đường thẳng BC D Vẽ dây cung AE đường trịn (O) vng góc với BC Gọi H giao điểm AE BC, K hình chiếu vng góc  cắt BC F A lên CE Tia phân giác BAC a) Chứng minh AB.HC = AC.HA  = CAK  b) Chứng minh CDE c) Chứng minh DF2 = DB.DC Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y , z Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy yz zx + + ⋅ (2 x + z )(2 y + z ) (2 y + x)(2 z + x) (2 z + y )(2 x + y ) - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi ngày 10 tháng năm 2019 HDC CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Chun Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Câu Nội dung Cho biểu thức = A x+ x − x −1 x ( x ) x −1 Điểm , với x > x ≠ Rút gọn biểu thức A 1,5 tìm x để A = = A Câu = (1,5đ) x ( x + 1) (Đúng ý 0,25đ) − ( x + 1)( x − 1) x ( x − 1) x − = x −1 x ( x − 1) A= 3⇔ ( x )2 − = x ( x − 1) 0,5 x +1 (đúng ý sau, ý 0,25đ) x x +1 = 3⇔ x = x 0,5 0,25 ⇔x= 0,25 - Đối chiếu điều kiện suy x = giá trị cần tìm x Tìm tất cặp số tự nhiên ( x ; y ) thỏa mãn − y + y + = 1,0 2x − y + y + = ⇔ x = ( y + 1)( y − 3) (1) 0,25 * y + y − hai số chẵn, lẻ y + > y − > Do từ (1) ta Câu (1đ) có:  y + =2m ( với m, n hai số tự nhiên m > n )  n y − =  0,25 ⇒ 2m − 2n = ⇒ 2n (2m−n − 1) = = 4.1 (2) n = n 2 4= Suy ra:  ⇔  m−n m = 1 − =   Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  y + =23 Khi  ⇔ y= ⇒ x = (7 + 1)(7 − 3) ⇒ x = 2  y − = 0,25 Vậy ( x; y ) = (5;7) Câu Nội dung a) Giải phương trình Điểm 1,0 − x − x +1 = x −1 ≥ − x − x +1 = ⇔ − x = x −1 ⇔  3 − x = ( x − 1) 0,25 (Nếu học sinh ghi điều x ≤ cho 0,25) x ≥ ⇔ x − x − = 0,25 x ≥ ⇔ −1 hoac x = x = 0,25 ⇔x= (thỏa điều kiện) 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2 Câu b) Giải hệ phương trình  x + y + x + y =  2 x + y − xy = (2đ)  x + y += ( x + y ) − xy + ( x= x+ y + y) ⇔ (*)  y − xy y ) − xy 2 x + = 2( x += 1,0 0,25 Đặt S = x + y, P = xy Khi hệ (*) trở thành: 0,25 S − 2P + S = S = S =  ⇔   P = −1 P = 2S − P = • = +y = S  x= x Với  ⇔ ⇔ =  P 1=  xy = y 0,25 •  1−  1+ x=  x = = S = x + y     Với   ⇔ ⇔ P = − xy = − 1 +   y =  y = 1−   2  0,25 Câu Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = m ( m tham số) Tìm m để (d) (1đ) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB (với O gốc tọa độ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 1,0 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = m 0,25 + Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt m> x = m Với điều kiện trên, ta có: x 2= m ⇔   x = − m Khi ta có: A( − m ; m), B( m ; m) 0,25 Gọi H trung điểm AB 0,25 Tam giác OAB cân O, tam giác OAB khi: OH = AB ⇔m= m ⇔ m = 3m ⇔ m = (vì m > ) 0,25 Vậy m = giá trị cần tìm Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC, tiếp tuyến đường trịn (O) A cắt đường thẳng BC D Vẽ dây cung AE đường trịn (O) vng góc với BC Gọi H giao điểm AE BC, K hình chiếu vng góc A  cắt BC F lên CE Tia phân giác BAC a) Chứng minh AB.HC = AC.HA  = CAK  b) Chứng minh CDE c) Chứng minh DF2 = DB.DC Câu (3,5đ) 0,5 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 97 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013 Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 17 Câu 1: (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = b) Cho x = a − a −6 − 4−a a −2 (với a ≥ a ≠ 4) 28 − 16 Tính giá trị biểu thức: P = (x + 2x − 1) 2012 −1 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3(1 − x) − + x = 2 −6  x + xy − 4x = b) Giải hệ phương trình:  −1  y + xy = Câu 3: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = − x2 đường thẳng (d): y = (3 − m)x + − 2m (m tham số) a) Chứng minh với m ≠ −1 (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B b) Gọi yA, yB tung độ điểm A, B Tìm m để |yA − yB| = Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm, AD = cm Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng AB AD E F a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường tròn b) Gọi I giao điểm đường thẳng BD EF Tính độ dài đoạn thẳng ID c) M điểm thay đổi cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD N Gọi S1 diện tích tam giác CME, S2 diện tích tam giác AMN Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ Chứng minh: + a − 2b + ≥ + a + 2b - Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 98 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013 Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Câu (1,5 điểm) Nội dung a) (0,75) A = A= = a − a −6 − 4−a a −2 Điểm (a ≥ a ≠4) ( a + 2)( a − 3) − (2 + a )(2 − a ) a −2 0,25 a −3 + 2− a 2− a 0,25 = −1 0,25 b) (0,75) Cho x = = x 28 − 16 Tính: P = (x + 2x − 1) 2012 −1 (4 − 3)2 − ( − 1) = −1 = = −1 −1 −1 ⇒ x + 2x − = 0,25 0,25 ⇒ P = (x + 2x − 1) 2012 = 0,25 Câu (2,0 điểm) a) (1,0) Giải phương trình: 3(1 − x) − + x = (1) Bình phương vế (1) ta được: 3(1 − x) + + x − 3(1 − x)(3 + x) = ⇒ 3(1 − x)(3 + x) =− x ⇒ 3(1 − x)(3 + x) =1 − 2x + x ⇒ x +x−2= ⇒ x = x =−2 0,25 0,25 0,25 Thử lại, x = −2 nghiệm 0,25 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 99 Website:tailieumontoan.com  x + xy − 4x = −6 (1) b) (1,0) Giải hệ phương trình:  (I) y + xy = − (2)  Nếu (x;y) nghiệm (2) y ≠ Do đó: (2) ⇔ x = 0,25 − y2 − (3) Thay (3) vào (1) biến đổi, ta được: y 0,25 4y3 + 7y2 + 4y + = ⇔ (y + 1)(4y2 + 3y + 1) = (thí sinh bỏ qua bước này) 0,25 ⇔y=–1 y=–1 ⇒x=2 0,25 Vậy hệ có nghiệm: (x ; y) = (2 ; −1) Câu Câu (1,5 điểm) Nội dung Điểm a) (0,75) (P): y = − x2 , (d): y = (3 − m)x + − 2m Chứng minh với m ≠ −1 (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A, B Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): − x2 = (3 − m)x + − 2m ⇔ x2 + (3 − m)x + − 2m = (1) 0,25 ∆ = (3−m)2 − 4(2 − 2m) = m2 + 2m + 0,25 Viết được: ∆ = (m + 1)2 > 0, với m ≠ − kết luận 0,25 b) (0,75) Tìm m để |yA − yB| = Giải PT (1) hai nghiệm: x1 = − x2 = m − 0,25 Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1)2 |yA − yB| = |y1 − y2| = |m2−2m−3| |yA − yB| = ⇔ m2−2m−3 = m2−2m−3 = −2 0,25 0,25 ⇔ m = ± m = ± Câu (4,0 điểm) a) (1,0) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường trịn Ta có:  = ACB  ADB  = ACB  ( phụ với BAC ) AEC  = AEC  ⇒ ADB ⇒ tứ giác EBDF nội tiếp Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 0,25 0,25 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 100 Website:tailieumontoan.com b) (1,5) Tính ID 0,25 Tam giác AEC vng C BC ⊥ AE nên: BE.BA = BC2 BC2 ⇒= BE = BA IB ID BE = CD BE//CD ⇒ = ⇒ 0,25 0,25 BD = ID 0,25 ⇒ ID = BD tính được: BD = 0,25 ⇒ ID = (cm) 0,25 Câu Câu (tt) Nội dung Điểm c) (1,5 điểm) Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 Đặt AM = x, < x < 0,25 ⇒ MB = 4−x , ME = 5−x 0,25 Ta có: 0,25 AN AM BC.AM 2.x = ⇒ AN = = BC MB MB 4− x 1 x2 S1= BC.ME= = − x , S2 = AM.AN 2 4−x S1 = 0,25 0,25 3 x S2 ⇔ 5−x = ⇔ x2+18x−40=0 2 4−x ⇔ x = (vì < x < 4) Vậy M trung điểm AB Câu (1,0 điểm) 0,25 Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh : + a − 2b + ≥ + a + 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: + ≥ + a + 2b 1 + = (1) (bđt Côsi) + ≥2 a + 2b + a + b + 1 (a + 1)(b + ) 2 (a + 1)(b + ) ≤ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 a +1+ b + 0,25 0,25 ≤ (bđt Cơ si) TÀI LIỆU TỐN HỌC 101 Website:tailieumontoan.com ⇒ (a + 1)(b + ) Từ (1) (2) suy ra: ≥ (2) 0,25 + ≥ + a + 2b Dấu “=” xảy : a+1 = b + a+b=2 ⇔ a= b= 4 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 102 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Mơn TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số 18 Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm ): a) Thực phép tính: 10 + 20 − − 12 5− b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − x − 2008 mx − y = Bài ( 1,5 điểm ): Cho hệ phương trình:  3x + my = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài (1,5 điểm ): a) Cho hàm số y = − x , có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hồnh độ − b) Giải phương trình: 3x + 3x − x + x = Bài ( điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh: MO MO = + CD AB b) Chứng minh: 1 + = AB CD MN c) Biết S AOB = m ; S COD = n Tính S ABCD theo m n (với S AOB , S COD , S ABCD diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM ⊥ BC Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 103 Website:tailieumontoan.com c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định Bài ( điểm ): a) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng: x y2 ≥ x + y + x y b) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n + n hợp số ======================= Hết ======================= SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Mơn TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung ( − )(3 + 2) a) Biến đổi được: Điểm 0,25 5− =3 2+2 0,25 b) Điều kiện x ≥ 2008 (1đ) 1 x − x − 2008 = ( x − 2008 − x − 2008 + ) + 2008 − 4 8031 8031 = ( x − 2008 − ) + ≥ 4 Dấu “ = “ xảy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 8033 (thỏa mãn) Vậy giá trị x − 2008 = ⇔ x = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 104 Website:tailieumontoan.com nhỏ cần tìm a) Khi m = 8031 8033 x = 4 0,25  x − y = 2 ta có hệ phương trình  3x + y = 0,25  2 +5 2 x − y = 2 x = ⇔ ⇔ 3x + y = y = 2x −  0,25  2 +5 x =  ⇔ y = −  (1,5đ) 0,25 b) Giải tìm được: x = 2m + 5m − ;y= 2 m +3 m +3 Thay vào hệ thức x + y = − 2m + 5m − m m + = 1− ; ta 2 m +3 m +3 m +3 m +3 0,25 2 Giải tìm m = 0,25 0,25 a) Tìm M(- 2; - 2); N (1 : − ) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M 0,25 N nên (1,5đ) − 2a + b = −2   a + b = − Tìm a = y= 0,25 ; b = −1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm 0,25 x −1 b) Biến đổi phương trình cho thành 3( x + x ) − x + x − = Đặt t = x + x ( điều kiện t ≥ ), ta có phương trình 3t − t − = 0,25 Giải tìm t = t = − (loại) Với t = 1, ta có x + x = ⇔ x + x − = Giải x = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 −1+ 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 105 Website:tailieumontoan.com x = −1− 0,25 Hình vẽ A B N M O 0,25 D a) Chứng minh C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD 0,25 MO MO AM + MD AD Suy + = = = (1) CD AB AD AD (2đ) b) Tương tự câu a) ta có (1) (2) suy 0,50 NO NO + = (2) CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 CD AB CD AB 1 Suy + = CD AB MN 0,25 0,25 c) S AOB OB S AOD OA OB OA S S ; ; = = = ⇒ AOB = AOD S AOD OD S COD OC OD OC S AOD S COD ⇒ S 2AOD = m n ⇒ S AOD = m.n 0,25 Tương tự S BOC = m.n Vậy S ABCD = m + n + 2mn = (m + n ) 2 0,25 (phục vụ câu 0,25 Hình vẽ a) A D I O M B C Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh được: - hai cung AB CD (3đ) 0,25 0,25 - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB 0,25 O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp 0,25 b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1) 0,25 - M nằm đường trung trực BC (2) 0,25 Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy OM ⊥ BC c) Từ giả thiết suy d ⊥ OM 0,25 0,25 Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 90 , OI đường kính đường 0,25 trịn Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường trịn 0,25 ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định 0,25 Vậy d qua điểm I cố định a) Với x y dương, ta có x y2 + ≥x+y y x ⇔ x + y ≥ xy( x + y) ⇔ ( x + y)( x − y) ≥ (1) (2) (2) với x > 0, y > Vậy (1) với x > 0, y > 0,25 0,25 b) n số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k (1đ) số tự nhiên lớn - Với n = 2k, ta có n + n = (2k ) + k lớn chia hết cho Do n + n hợp số 0,25 -Với n = 2k+1, tacó n + n = n + k = n + (2.4 k ) = (n + 2.4 k ) − (2.n.2 k ) = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n hợp số 0,25 ======================= Hết ======================= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 107 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn TỐN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Đề số 19 Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (1,5 điểm ): a) Thực phép tính: 10 + 20 − − 12 5− b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − x − 2008 mx − y = Bài (2 điểm ): Cho hệ phương trình:  3x + my = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài (2 điểm ): a) Cho hàm số y = − x , có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hoành độ − b) Giải phương trình: 3x + 3x − x + x = Bài ( 1,5 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh: MO MO + = CD AB b) Chứng minh: 1 + = AB CD MN Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM ⊥ BC c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định ======================= Hết ======================= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn TỐN (Dành cho học sinh chun Tin) Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung ( − )(3 + 2) a) Biến đổi được: Điểm 0,50 5− =3 2+2 0,25 b) Điều kiện x ≥ 2008 (1,5đ) 1 x − x − 2008 = ( x − 2008 − x − 2008 + ) + 2008 − 4 8031 8031 = ( x − 2008 − ) + ≥ 4 0,50 8033 (thỏa mãn) Vậy giá trị ⇔x= 8031 8033 nhỏ cần tìm x = 4 Dấu “ = “ xảy x − 2008 = 0,25 a) Khi m =  x − y = 2 ta có hệ phương trình  3x + y = 2 x − y = 2 ⇔ 3x + y =  2 +5 x = ⇔ y = 2x −  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 109 Website:tailieumontoan.com (2đ)  2 +5 x =  ⇔ y = −  0,25 0,25 b) Giải tìm được: x = 2m + 5m − ;y= 2 m +3 m +3 m2 m2 2m + 5m − − = + ; ta Thay vào hệ thức x + y = − m +3 m2 + m2 + m2 + Giải tìm m = a) Tìm M(- 2; - 2); N (1 : − ) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M 0,50 0,25 0,25 0,25 N nên (2đ) − 2a + b = −2   a + b = − Tìm a = 0,25 ; b = −1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = 0,25 x −1 0,25 0,25 b) Biến đổi phương trình cho thành 3( x + x ) − x + x − = Đặt t = x + x ( điều kiện t ≥ ), ta có phương trình 3t − t − = 0,25 Giải tìm t = t = − (loại) Với t = 1, ta có x = x + x = ⇔ x + x − = Giải x = −1+ 0,25 −1− 0,25 Hình vẽ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 110 Website:tailieumontoan.com A B N M D a) Chứng minh 0,25 O C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD 0,25 MO MO AM + MD AD Suy = = = (1) + AD AD CD AB 0,50 (1,5đ) b) Tương tự câu a) ta có (1) (2) suy Suy NO NO + = (2) CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 CD AB CD AB 0,25 1 + = CD AB MN 0,25 Hình vẽ (phục vụ câu a) 0,25 A D I O M B C a) Chứng minh được: - hai cung AB CD (3đ) 0,25 0,25 - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB 0,25 O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp 0,25 b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1) 0,25 - M nằm đường trung trực BC (2) 0,25 Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy OM ⊥ BC c) Từ giả thiết suy d ⊥ OM Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 0,25 TÀI LIỆU TỐN HỌC 111 Website:tailieumontoan.com Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 90 , OI đường kính đường 0,25 trịn Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường tròn 0,25 ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định 0,25 Vậy d qua điểm I cố định ======================= Hết ======================= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...1 Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi: Ngày 10 tháng năm 2019 Mơn: TỐN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian... 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi: Ngày 10 tháng năm 2019 Mơn:... HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2019 – 2020 Khóa thi ngày 10 tháng năm 2019 Mơn: TỐN (Chun Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời