KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 – 2020 SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ MƠN: TỐN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) U U Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x3 = +1 2x −1 Câu (2, điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm B′ C ′ cho AB AB′ = AC AC ′ Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ B′C ′ Câu (3,0 điểm) Cho phương trình cos x + sin x + m − = a Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt b Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; π ) Câu (4,0 điểm) Cho f ( x)= mx + 4(m − 1) x + m − ( m tham số) a Tìm tất giá trị tham số m để f ( x) > với x ∈ b Tìm tất giá trị tham số m để f ( x) < với x ∈ ( 0; ) x + + y + =m Câu (4,0 điểm) Cho hệ phương trình ( m tham số) 3m x + y = a Giải hệ phương trình m = b Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi O điểm tùy ý nằm tam giác Kẻ OM , ON OP vng góc với cạnh BC , AC AB Chứng minh BC AC AB p + + ≥ OM ON OP r p nửa chu vi tam giác ABC r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông B Kéo dài AC phía C đoạn CD = AB = 1; = 300 Tính độ dài đoạn AC CBD HẾT SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2019 – 2020 TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ Mơn Tốn – Thời gian: 150 phút Đáp án Câu Câu1 (2,0 điểm) Đặt:= y Điểm x − 1,0 3 = = x + y = x + y x + y Ta có: ⇔ ⇔ 2 y + 1= x x − y = 2( y − x) ( x − y )( x − xy + y + 2)= 0,25 y 3y2 Do x − xy + y + = x − + + > ∀x, y 2 x3 + =2 y Nên ta có hệ: x = y 0,5 ⇒ x3 + 1= x ⇔ ( x − 1)( x + x − 1)= x = −1 + ⇔ x = x = −1 − Câu (2,0 điểm) 0,25 Vì M trung điểm BC nên = AM AB + AC ( B ) B' A C' Ta có: AM B′C ′ = AB + AC AC ′ − AB′ = AC AC ′ − AB AB′ = ( )( C ) Vậy: AM ⊥ B′C ′ Câu 0,5 M a (1,5 điểm) cos x + sin x + m − = ⇔ 2sin x − sin x = m − 1,5 0,25 (3,0 điểm) Đặt: = t sin x, t ∈ [ −1;1] Phương trình trở thành 2t − t = m − 0,5 Xét hàm số = y 2t − t với t ∈ [ −1;1] Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ m − =1 ⇔ m = 0,75 b (1,5 điểm) x ∈ ( 0; π ) ⇒ t ∈ ( 0;1] Xét hàm số = y 2t − t nửa khoảng ( 0;1] 1,0 Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ − < m − < ⇔ Câu (4,0 điểm) 15 ⇔ x < − (loại) 0,5 + Khi m ≠ để 1,0 m > m > ⇔ ⇔1< m < f ( x) > 0∀x ∈ ⇔ ∆′ < (m − 1)(3m − 4) < b (2,5 điểm) + Khi m = f ( x) < ⇔ −4 x − < ⇔ x > − m < (thỏa mãn) 0,5 m < + ⇔ ⇒ VN ∆′ < (m − 1)(3m − 4) < 0,5 + Khi m > đề f ( x) < 0∀x ∈ (0; 2) f ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x ≤ < x2 (1) x1 ≤ < ≤ x2 ⇔ x1 < ≤ x2 (2) 0,5 m −1 ≤ ⇔ < m ≤1 m 0,5 (1) ⇔ (2) ⇔ ( x1 − 2)( x2 − 2) ≤ ⇔ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + ≤ ⇔ < m ≤ Vậy: ≤ m ≤ Câu (4,0 điểm) 13 10 0,5 13 10 a (1,5 điểm) y 12 − x x + + y + = = ⇔ 12 x + + 14 − x = x + y = Khi m = ta có ( −1 ≤ x ≤ 14; −2 ≤ y ≤ 13) 1,0 13 + 14 x = ⇒ ( x + 1)(14 − x) = ⇔ −4 x + 52 x + 55 = ⇔ 13 − 14 x = 11 − 14 y = 11 + 14 y = 0,5 13 + 14 11 − 14 13 − 14 11 + 14 ; ; 2 2 Vậy: hệ có hai nghiệm b (2,5 điểm) Đặt: = a b x + = m a + b = y + Hệ trở thành a + b = 3m + a ≥ 0, b ≥ m có điểm chung với Để hệ có nghiệm đường thẳng a + b = 2 đường tròn a + b = 3m + a ≥ b ≥ m − 6m − ≤ + 21 ≤ m ≤ + 15 3m + ≤ m ≤ 6m + ⇔ m − 3m − ≥ ⇔ m ≥ Vậy: Câu (2,0 điểm) 0,5 1,0 1,0 + 21 ≤ m ≤ + 15 Theo BĐT Bunhiacopski, ta có BC AC AB BC.OM + AC.ON + AB.OP ON OP OM BC AC AB ≤ + + ( BC.OM + AC.ON + AB.OP ) OM ON OP 1,0 BC AC AB ⇔ ( BC + AC + AB) ≤ + + ( BC.OM + AC.ON + AB.OP ) OM ON OP BC AC AB p BC AC AB (do S ABC = pr ) ⇔ + + + + ≥ S ABC ≥ p ⇔ OM ON OP r OM ON OP 0,5 Dấu xảy OM = ON + OP ⇔ O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (3,0 điểm) Qua D kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC E 0,5 E Tứ giác ABDE nội tiếp 1,0 ∠DBC = ∠DAE D C B A Đặt AC = x > ⇒ AD = x + π DE = AD.tan= x +1 ; BC = ∆CDE ∆CBA ⇒ CD BC = ⇔ =( x + 1) x − ED BA x2 −1 0,5 1,0 ⇔ x( x − 2) + 2( x − 2) = ⇔ ( x3 − 2)( x + 2) = ⇔ x = Vậy: AC = 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2019 – 2020 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ Mơn Tốn – Thời gian: 150 phút Đáp án Câu Câu1 (2,0 điểm) Đặt:= y Điểm x