Đề&HD TS ĐH Toán 2010 số 13

Sở GD-ĐT phú thọ Trờng T.H.p.t long châu sa é THI thử I HC NM học: 2009-2010 Mụn thi : TON Thời gian làm bài:150 phút(không kể thời gian giao đề) PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu I:(2 im) Cho hm s : 1x2 1x y + + = (C) 1. Kho sỏt v v th hm s. 2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C), bit tip tuyn ú i qua giao im ca ng tim cn v trc Ox. Cõu II:(2 im) 1. Gii phng trỡnh: sin 2 cos2 cot cos sin x x tgx x x x + = 2. Gii phng trỡnh: ( ) 1 xlog1 4 3logxlog2 3 x93 = Cõu III: (2 im) 1.Tính nguyên hàm: sin 2 ( ) 3 4sin 2 xdx F x x cos x = + 2.Giải bất phơng trình: 1 2 3x x x Cõu IV: (1 im) Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(2, 0) bit phng trỡnh cỏc cnh AB, AC theo th t l 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 =+ . Tỡm ta cỏc nh A, B, C. PHN RIấNG (3 im) Chú ý:Thí sinh chỉ đợc chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không đợc chấm A. Theo chng trỡnh chun Cõu Va : 1. Tỡm h s ca x 8 trong khai trin (x 2 + 2) n , bit: 49CC8A 1 n 2 n 3 n =+ . 2. Cho ng trũn (C): x 2 + y 2 2x + 4y + 2 = 0. Vit phng trỡnh ng trũn (C') tõm M(5, 1) bit (C') ct (C) ti cỏc im A, B sao cho 3AB = . B. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu Vb : 1. Gii phng trỡnh : ( ) ( ) 21x2log1xlog 3 2 3 =+ 2. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc vi đáy hỡnh chúp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gi H v K ln lt l hỡnh chiu vuông góc ca A lờn SB, SD. Chng minh SC (AHK) v tớnh th tớch khối chúp OAHK. Ht. (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Hớng dẫn chấm môn toán Câu ý Nội Dung Điểm I 2 1 Khảo sát hàm số (1 điểm) 1 TXĐ: D = R\ {-1/2} Sựự Biến thiên: ( ) , 2 3 0 2 1 y x D x = < + Nên hàm số nghịch biến trên 1 1 ( ; ) ( ; ) 2 2 va + 0,25 + Giới hạn ,tiệm cận: 1 2 lim x y + =+ 1 2 lim x y = ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2 1 lim 2 x y = 1 lim 2 x y + = đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2 0,25 + Bảng biến thiên: 0,25 x y y + -1/2 - - -1/2 + -1/2 • §å ThÞ : 0,25 2 Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là       − 0, 2 1 A Phương trình tiếp tuyến (∆) qua A có dạng       += 2 1 xky (∆) tiếp xúc với (C) / x 1 1 k x 2x 1 2 x 1 k co ù nghieäm 2x 1 − +   = +  ÷   +   ⇔  − +    =  ÷  +    0,25 y x 0 I -1/2 1 1 -1/2 ( )        = + −       += + +− ⇔ )2( k 1x2 3 )1( 2 1 xk 1x2 1x 2 Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là ( ) 2 1 3 x x 1 2 2x 1 2x 1   +  ÷ − +   = − + + 0,25 1 (x 1)(2x 1) 3(x ) 2 ⇔ − + = + và 1 x 2 ≠ − 3 x 1 2 ⇔ − = 5 x 2 ⇔ = . Do đó 12 1 k −= 0,25  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1 1 y x 12 2   = − +  ÷   0,25 II 2 1 1. Giải phương trình: gxcottgx xsin x2cos xcos x2sin −=+ (1) (1) xsin xcos xcos xsin xcosxsin xsinx2sinxcosx2cos −= + ⇔ ( ) xcosxsin xcosxsin xcosxsin xx2cos 22 − = − ⇔ 0,25 cosx cos2x sin2x 0⇔ = − ∧ ≠ 2 2cos x cosx 1 0 sin2x 0⇔ + − = ∧ ≠ 0,25 1 cosx (cos x 1 :loaïi vì sin x 0) 2 ⇔ = = − ≠ 0,25 π+ π ±=⇔ 2k 3 x 0,25 2 2. Phương trình: ( ) 1 xlog1 4 3logxlog2 3 x93 = − −− (1) (1) ( ) 1 xlog1 4 x9log 1 xlog2 33 3 = − −−⇔ 0,25 1 xlog1 4 xlog2 xlog2 33 3 = − − + − ⇔ đặt: t = log 3 x 0,25 thành 2 2 t 4 1 t 3t 4 0 2 t 1 t − − = ⇔ − − = + − (vì t = -2, t = 1 không là nghiệm) t 1 hay t 4⇔ = − = 0,25 Do đó, (1) 3 1 log x 1 hay x 4 x hay x 81 3 ⇔ = − = ⇔ = = 0,25 III 2 1 1 Ta cã 2 2 sin 2 2sin cos ( ) 3 4sin (1 2sin ) 2sin 4sin 2 xdx x xdx F x x x x x = = + − − + + ∫ ∫ 0,25 §¨t u = sinx cosdu xdx⇒ = O,25 Ta cã: ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 ( 1) 1 1 ln 1 1 udu du du F x G u u u u u c u = = = − + + + = + + + + ∫ ∫ ∫ 0,25 VËy 1 ( ) ln 1 sin 1 F x sinx c x = + + + + 0,25 2 1 §k: 3x ≥ Bpt 2 1 2 3 2 5 6 4 x x x x x x ⇔ + ≥ − + − ⇔ − + ≤ − 0,25 2 4 0 3 12 8 0 3 4 6 2 3 6 2 3 3 3 6 2 3 3 3 x x x x x x − ≥  ⇔  − + ≤  ≤ ≤   ⇔  − + ≤ ≤   + ⇔ ≤ ≤ 0,25 0,25 0,25 IV 1 . Tọa độ A là nghiệm của hệ { { 4x y 14 0 x 4 2x 5y 2 0 y 2 + + = = − ⇔ + − = = ⇒ A(–4, 2) 0,25 Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên    −=+ −=+ ⇔    ++= ++= 2yy 2xx yyyy3 xxxx3 CB CB CBAG CBAG (1) 0,25 Vì B(x B , y B ) ∈ AB ⇔ y B = –4x B – 14 (2) C(x C , y C ) ∈ AC ⇔ 5 2 5 x2 y C C +−= ( 3) 0,25 Thế (2) và (3) vào (1) ta có    =⇒= −=⇒−= ⇒      −=+−−− −=+ 0y 1x 2y3x 2 5 2 5 x2 14x4 2xx CC BB C B CB Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 0,25 V.a 3 1 1 1. Điều kiện n ≥ 4 Ta có: ( ) ∑ = − =+ n 0k knk2k n n 2 2xC2x Hệ số của số hạng chứa x 8 là 4n4 n 2C − 0,25 Hệ số của số hạng chứa x 8 là 4n4 n 2C − 0,25 Ta có: 3 2 1 n n n A 8C C 49− + = ⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 ⇔ n 3 – 7n 2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n 2 + 7) = 0 ⇔ n = 7 0,25 Nên hệ số của x 8 là 2802C 34 7 = 0,25 2 2 Phương trình đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) 3R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB. 0,25 Ta có 2 3 2 AB BHAH === 0,25 Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B' 0,25 Ta có: 2 2 2 3 3 IH' IH IA AH 3 2 2   = = − = − =  ÷  ÷   Ta có: ( ) ( ) 2 2 MI 5 1 1 2 5= − + + = 0,25 và 2 7 2 3 5HIMIMH =−=−= ; 3 13 MH' MI H'I 5 2 2 = + = + = 0,25 Ta có: 13 4 52 4 49 4 3 MHAHMAR 2222 1 ==+=+== 43 4 172 4 169 4 3 'MH'H'A'MAR 2222 2 ==+=+== 0,25 Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5) 2 + (y – 1) 2 = 13 hay (x – 5) 2 + (y – 1) 2 = 43 0,25 V.b 3 1 1 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 21x2log1xlog 3 2 3 =−+− §k: 1 1 2 x< ≠ ( ) 3 3 2log x 1 2log 2x 1 2⇔ − + − = 0,25 ( ) 3 3 log x 1 log 2x 1 1⇔ − + − = ( ) 3 3 log x 1 2x 1 log 3⇔ − − = 0,25 ( ) x 1 2x 1 3⇔ − − = ⇔ {   > < <  − − =  − + =  2 2 1 x 1 x 1 hoac 2 2x 3x 2 0 2x 3x 4 0(vn) 0,25 x 2 ⇔ = 0,25 2 2 +BC vuông góc với (SAB) ⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB ⇒ AH vuông góc với (SBC) ⇒ AH vuông góc SC (1) 0,25 + Tương tự AK vuông góc SC (2) (1) và (2) ⇒ SC vuông góc với (AHK ) 0,25 2 2 2 2 SB AB SA 3a= + = ⇒ SB = a 3 AH.SB = SA.AB ⇒ AH= a 6 3 ⇒ SH= 2a 3 3 ⇒ SK= 2a 3 3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A) 0,25 Ta có HK song song với BD nên HK SH 2a 2 HK BD SB 3 = ⇒ = . 0,25 kÎ OE// SC ( )( ( ))OE AHK doSC AHK⇒ ⊥ ⊥ suy ra OE lµ ®êng cao cña h×nh chãp OAHK vµ OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 0,5 Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có 2 2 2 2 4a AM AH HM 9 = − = ⇒ AM= 2a 3 0,25 = = = 3 OAHK AHK 1 1 a 1 a 2 V OE.S . HK.AM 3 3 2 2 27 (®vtt) S 0,25 A M I E O H K M C D [...]... tuyến cần tìm là: y = −  x + ÷ 12  2 Câu Va: 1 Điều kiện n ≥ 4 n 2 k 2 k n −k Ta có: (x + 2 ) = ∑Cn x 2 n k =0 Hệ số của số hạng chứa x8 là C4 2 n −4 n 3 2 1 Ta có: A n − 8Cn + Cn = 49 ⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 ⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7 Nên hệ số của x8 là C4 23 = 280 7 2 Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R = 3 Đường tròn... =2 ÷   2 Ta có: MI = ( 5 − 1) 2 2 + ( 1 + 2) = 5 2 và MH = MI − HI = 5 − 3 7 = 2 2 MH ' = MI + H ' I = 5 + 3 13 = 2 2 3 49 52 + = = 13 4 4 4 3 169 172 R 2 = MA'2 = A' H'2 +MH'2 = + = = 43 2 4 4 4 2 2 2 2 Ta có: R1 = MA = AH + MH = Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I 1 y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R 3 y’ = 8x – 8x; y’ = 0 ⇔ x... k2 π ⇔ ⇔ π  4x = − 3x + k2π  x = π + k 2π   6 42 7   xy + x + 1 = 7y 2 x 2 y 2 + xy + 1 = 13y 2 { y = 0 hệ vơ nghiệm x 1  x + y + y = 7  y ≠ 0 hệ ⇔  x 1  x 2 + + 2 = 13 y y   1 x 1 x 1 2 2 2 2 Đặt a = x + ; b = ⇒ a = x + 2 + 2 ⇒ x + 2 = a − 2b y y y y y a+b=7 a+b=7 Ta có hệ là a 2 − b = 13 ⇔ a 2 + a − 20 = 0 { { 1 1   x + y = 4  x + y = −5   a=4 a = −5 ⇔ b = 3 hay b = 12 Vậy ... = 8 ⇔ m = 24 ⇔ m = ±2 6  4  Hết ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Mơn thi : TỐN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0 2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 2 Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình... (P): x + 2y – 3z 1 1 −1 + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vng góc với đường thẳng ∆ Câu VII.b (1,0 điểm) x2 + x − 1 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân x biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung ]BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I 1 m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 ⇔ x = 0... SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x+2 2x + 3 ( 1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ... phẳng (P): x + y + z – 20 = 0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= 2 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1 Gọi I là tâm của (C) Xác định... + 2(z – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0 Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A 2 2 4 5 Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt min ⇔ ∆ qua A và H x = 1 + t  Pt tham số BH:  y = −1 − 2t z = 3 + 2t  Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trình :  x = 1 + t, y = −1 − 2t, z = 3 + 2t 10  1 11 7  ⇒ H− ; ; ÷ ⇒t=−  9  9 9 9  x − 2y + 2z + 1 = 0 uu uuu 1 r r ∆ qua A... ⇔ CD ⊥ n ( P) 1 5 1  ⇔ 1(1 − t) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ t = − Vậy : D  ; ; − 1÷ 2 2 2  2 2 Câu VI.b 1 (x – 1) + y = 1 Tâm I (1; 0); R = 1 · · Ta có IMO = 300, ∆OIM cân tại I ⇒ MOI = 300 1 0 ⇒ OM có hệ số góc k = ± tg30 = ± 3 1 x x2 =0 +k=± ⇒ pt OM : y=± thế vào pt (C) ⇒ x 2 − 2x + 3 3 3 3 3 3 ⇔ x= 0 (loại) hay x = Vậy M  ; ± ÷ 2  2 2 Cách khác: Ta có thể giải bằng hình học phẳng · · OI=1, IOM...   x + 3 y −1 z −1 = = −1 2 1 Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) = 2 ⇔ (x − 3) 2 + (y + 4) 2 = 2 ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4 Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2 x2 + x − 1 Câu VII.b pt hồnh độ giao điểm là : (1) = −2x + m x ⇔ x2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0 khơng là nghiệm của (1)) ⇔ 3x2 + . ≥ 4 Ta có: ( ) ∑ = − =+ n 0k knk2k n n 2 2xC2x Hệ số của số hạng chứa x 8 là 4n4 n 2C − 0,25 Hệ số của số hạng chứa x 8 là 4n4 n 2C − 0,25 Ta có: 3 2 1. chấm môn toán Câu ý Nội Dung Điểm I 2 1 Khảo sát hàm số (1 điểm) 1 TXĐ: D = R {-1/2} Sựự Biến thiên: ( ) , 2 3 0 2 1 y x D x = < + Nên hàm số nghịch