Phương trình thế năng như phương trình Poisson và Laplace miêu tả ứng xử của một vài hiện tượng vật lý khác nhau. Phương pháp phần tử biên đã được sử dụng thành công để xác định nghiệm chính xác của bài toán thế năng. Cơ sở của phương pháp này là biểu diễn nghiệm dưới dạng hàm của các giá trị biên bằng cách áp dụng đồng nhất thức Green và nghiệm số cơ bản của nó. Tuy nhiên khó khăn nảy sinh trong phương pháp phần tử biên là việc xử lý các nhân suy biến xuất hiện trong các biểu thức tích phân. Nghiên cứu này giới thiệu kỹ thuật cải tiến để xác định các giá trị suy biến xuất hiện trong trường nghiệm của dòng chảy Darcy hai chiều qua môi trường vật liệu rỗng. Trong bài toán này, sự suy biến được loại bỏ bằng cách ứng dụng sơ đồ sai phân hữu hạn và giải tích tích phân.
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue (04/2020), 230-240 Transport and Communications Science Journal TREATMENT OF SINGULARITIES IN BOUNDARY ELEMENT METHOD AND APPLICATION IN DARCY’S FLOW THROUGH POROUS MEDIA Tran Anh Tuan1,3*, Nguyen Dinh Hai2,3 Section of Bridge and Tunnel Engineering, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Section of Materials of Construction, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Research and Application Center for Technology in Civil Engineering (RACE), University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 12/12/2019 Revised: 24/3/2020 Accepted: 29/3/2020 Published online: 24/4/2020 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.3.7 * Corresponding author Email: anh-tuan.tran@utc.edu.vn Abstract The potential equation such as Poisson and Laplace, describes the behavior of many varied physical situations The boundary element method has been used successfully to determinate accurate solutions of this potential problem The basic of this method is the expression of the solution in terms of the boundary values by applying Green’s identity and its fundamental solution However, one difficulty that arises in the boundary element method is the treatment of kernel singularities appear in integrals This work presents an improved technique for the evaluation of singular values that appear in the solution of two-dimensional Darcy’s flow through porous media using the boundary element method In this case study, the singularities are removed by employing a finite difference scheme and an analytical integration scheme The comparative results of the velocity and pressure fields of Darcy’s flow determined by the present method and the finite element method showed the accuracy as well as efficiency of the proposal approach Keywords: singularity, boundary element method, potential equation, Darcy’s flow © 2020 University of Transport and Communications 230 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số (04/2020), 230-240 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải XỬ LÝ TÍNH SUY BIẾN TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN VÀ ỨNG DỤNG CHO DÒNG CHẢY DARCY QUA MÔI TRƯỜNG VẬT LIỆU RỖNG Trần Anh Tuấn1,3*, Nguyễn Đình Hải2,3 Bộ mơn Cầu hầm, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Bộ môn Vật liệu xây dựng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Trung tâm nghiên cứu ứng dụng công nghệ xây dựng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THƠNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 12/12/2019 Ngày nhận sửa: 24/3/2020 Ngày chấp nhận đăng: 29/3/2020 Ngày xuất Online: 24/4/2020 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.3.7 * Tác giả liên hệ Email: anh-tuan.tran@utc.edu.vn Tóm tắt Phương trình phương trình Poisson Laplace miêu tả ứng xử vài tượng vật lý khác Phương pháp phần tử biên sử dụng thành công để xác định nghiệm xác tốn Cơ sở phương pháp biểu diễn nghiệm dạng hàm giá trị biên cách áp dụng đồng thức Green nghiệm số Tuy nhiên khó khăn nảy sinh phương pháp phần tử biên việc xử lý nhân suy biến xuất biểu thức tích phân Nghiên cứu giới thiệu kỹ thuật cải tiến để xác định giá trị suy biến xuất trường nghiệm dịng chảy Darcy hai chiều qua mơi trường vật liệu rỗng Trong toán này, suy biến loại bỏ cách ứng dụng sơ đồ sai phân hữu hạn giải tích tích phân Kết so sánh cho trường vận tốc áp suất dòng chảy Darcy xác định phương pháp phương pháp phần tử hữu hạn cho thấy xác hiệu phương pháp đề xuất Từ khóa: suy biến, phương pháp phần tử biên, phương trình năng, dịng chảy Darcy © 2020 Trường Đại học Giao thông vận tải 231 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue (04/2020), 230-240 ĐẶT VẤN ĐỀ Những vật liệu đất, cát, đá, bê tông, bê tông nhựa vật liệu tổng hợp khác sử dụng lĩnh vực xây dựng nói chung ngành kỹ thuật xây dựng cơng trình giao thơng nói riêng xác định loại vật liệu rỗng Trong đặc tính thấm tính chất quan trọng cần phân tích cách chi tiết nghiên cứu, ứng dụng loại vật liệu Để phân tích, nắm bắt tính chất đó, nhà nghiên cứu sử dụng nhiều phương pháp thực nghiệm, giải tích mơ số Bản chất việc phân tích tốn thấm tìm lời giải cho trường vận tốc áp suất thoả mãn phương trình Darcy biểu diễn ˆ x) ˆ =− u( K ˆ ∇pˆ ( x) µ ˆ yˆ ) ∈Ω, ˆ x, x( (1) ˆ yˆ ) thuộc miền vật liệu rỗng xem ˆ pˆ trường vận tốc áp suất điểm x( ˆ x, u, xét Ω K, µ độ thấm vật liệu rỗng hệ số nhớt động lực học chất lỏng chảy lỗ rỗng ∇ toán tử gradient Những năm gần đây, phát triển bùng nổ khoa học máy tính hỗ trợ mạnh mẽ cho phương pháp mô số Một phương pháp mô số tỏ hữu hiệu cho toán thấm vật liệu rỗng phương pháp phần tử biên Có thể kể sau số nghiên cứu đặc tính thấm có sử dụng phương pháp phần tử biên nghiên cứu Arcila cộng năm 2016, 2018 [1,2], Teimoori cộng năm 2005 [3], Onyejekwe năm 1998 [4] Trong phương pháp phần tử biên dành cho toán Darcy, trường nghiệm gồm áp suất vận tốc biểu diễn dạng hàm tích phân giá trị biên chưa biết, bao gồm áp suất đạo hàm theo phương pháp tuyến với biên Các giá trị biên phải xác định cách giải hệ phương trình tuyến tính xây dựng sở điều kiện biên tốn Darcy Sau có giá trị biên, áp suất vận tốc dòng chảy Darcy nơi miền tính tốn xác định thơng qua hàm tích phân tương ứng Phương pháp phần tử biên tỏ hiệu việc giải kết số (numerical results) cho phương trình vi phân mơ tả ứng xử tượng vật lý, cụ thể nghiên cứu cột nước thấm vật liệu rỗng Tuy nhiên phương pháp tồn nhược điểm, số tính suy biến nghiệm số vị trí đặc biệt miền tính tốn, tồn lớn mà người nghiên cứu, sử dụng phương pháp phần tử biên quan tâm song song với hình thành phát triển phương pháp số Tính suy biến xuất tồn biểu thức suy biến (hay gọi nhân suy biến) dấu tích phân phương trình tích phân biên, biểu thức suy biến tồn chủ yếu hai dạng suy biến yếu (weak singularity) suy biến mạnh (strong singularity) Việc loại bỏ tính suy biến nói đến nhiều sách hướng dẫn công bố giới, người đọc tìm hiểu kỹ vấn đề tài liệu Katsikadelis năm 2002 [5], Gaul, Kogl Wagner năm 2003 [6], Brebbia, Telles Wrobel năm 1984 [7], Dehghan Hosseinzadeh năm 2012 [8], Marin cộng năm 2004 [9], Huang Cruse năm 1993 [10], Sladek Sladek năm 1998 [11] Trong nghiên cứu nhóm tác giả hướng đến việc loại bỏ tính suy biến trường nghiệm tốn Darcy cách kết hợp phương pháp tính tích phân trực tiếp phương pháp sai phân hữu hạn Trong phương pháp tích phân trực tiếp dùng để loại bỏ suy biến cho trường áp suất, trường vận tốc giá trị suy biến loại bỏ sơ đồ sai phân hữu hạn biên 232 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số (04/2020), 230-240 Đây nội dung trung tâm mà nhóm nghiên cứu muốn giới thiệu báo THIẾT LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Xem xét miền vật liệu rỗng Ω có biên ∂Ω nằm khơng gian chiều có hệ quy chiếu O − xˆyˆ mơ tả hình Hình Miền vật liệu rỗng xem xét Trước thiết lập phương trình tiến hành chuyển đổi đại lượng dạng không thứ nguyên Để thực việc trước tiên gọi σ , L độ lớn tham chiếu gradient áp suất chiều dài lấy làm giá trị đơn vị Tiếp đại lượng vận tốc, áp suất độ thấm có độ lớn đơn vị lựa chọn σ L2 ,σ L, L2 , tc l u = L2 ì u, pˆ = σ L × p, K = L2 × k, µ (2) u(u,v), p,k vận tốc, áp suất độ thấm không đơn vị Trên sở quy ước nêu trên, phương trình Darcy (1) biểu diễn lại dạng không thứ nguyên sau u(x) = −k∇p(x) x(x, y) ∈Ω (3) Giả thiết chất lỏng chảy lỗ rỗng chất lỏng không nén thoả mãn phương trình bảo tồn khối lượng có dạng sau ∇ ⋅ u(x) = 0, (4) ∇ ⋅ tốn tử divergence Thay phương trình (3) vào phương trình (4) thu phương trình đạo hàm riêng áp suất sau ∇ ⋅ ( −k∇p(x) ) = ⇔ ∇ p(x) = 0, (5) phương trình (5) biết đến phương trình Laplace với ∇ tốn tử Laplace Nghiệm phương trình Laplace (5) thoả mãn phương trình tích phân biểu diễn dạng sau ε (x ) p(x ) = − ∫ q(x) ⋅G (x − x )ds(x) − ∂Ω ∫ p(x) ⋅Q(x − x )ds(x), ∂Ω ε hàm vơ hướng phụ thuộc vào biến vector vị trí x , nhận giá trị sau 233 (6) Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue (04/2020), 230-240 ⎧ ⎪ ε (x ) = ⎨ ⎪ ⎩ khi x ∈Ω & x ∉∂Ω, x ∈∂Ω & x ∉Ω, (7) x ∉∂Ω & x ∉Ω G(x − x ) nghiệm số hay gọi hàm Green không gian vô hạn, Q(x − x ) đạo hàm theo hướng pháp tuyến với biên hàm Green Biểu thức hai hàm biểu diễn sau G(x − x ) = ln r, 2π Q(x − x ) = −∇G(x − x ) ⋅ n(x) = − ∂G(x − x ) ri ⋅ ni =− , ∂n 2π r (8) (9) r = r = x − x = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 , n(x) vector pháp tuyến với biên ∂Ω điểm x p(x),q(x) áp suất đạo hàm theo phương pháp tuyến áp suất biên, q(x) hiểu giá trị vận tốc dịng chảy vng góc với biên Thay phương trình (6) vào phương trình (3) thu trường nghiệm vận tốc biểu diễn dạng hàm tích phân hai biểu thức ε (x )u(x ) = k ∫ q(x) ⋅Gx (x − x )ds(x) + k ∫ p(x) ⋅Qx (x − x )ds(x), ∂Ω ∂Ω ε (x )v(x ) = k ∫ q(x) ⋅G y (x − x )ds(x) + k ∫ p(x) ⋅Qy (x − x )ds(x), ∂Ω (10) ∂Ω với Gx ,G y ,Qx ,Qy đạo hàm hàm G,Q điểm x diễn giải sau ∂G (x − x0 ) =− , ∂x0 2π r (11) n n n ∂Q = − x (x − x0 )2 − y4 (x − x0 )( y − y0 ) + x , ∂x0 πr πr 2π r (12) ∂G ( y − y0 ) =− , ∂ y0 2π r2 (13) n n n ∂Q = − x (x − x0 )( y − y0 ) − y4 ( y − y0 )2 + y ∂ y0 πr πr 2π r (14) Gx (x − x ) = Qx (x − x ) = G y (x − x ) = Qy (x − x ) = 234 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số (04/2020), 230-240 Hình Sơ đồ rời rạc hố biên miền tính tốn Để xác định giá trị p(x),q(x) biên tiến hành rời rạc hoá biên ∂Ω thành N phần tử số ký hiệu Γ j (xem hình 2), phần tử số hình dạng biên xấp xỉ hàm tuyến tính cịn giá trị biên xấp xĩ số phần tử, ký hiệu p j ,q j , ( j = 1,2, , N ) Tiến hành dịch chuyển điểm x biên đặt điểm nút x 0i (i = 1,2, , N ) , thu N phương trình với × N ẩn số biểu diễn dạng tổng quát sau N N pi = − ∑ q j ∫ G(x j − x 0i )ds − ∑ p j ∫ Q(x j − x 0i )ds j=1 j=1 Γ Γ j (15) j Phương trình (15) thể mối quan hệ áp suất nút phần tử biên thứ "i" với tất giá trị áp suất đạo hàm theo phương pháp tuyến nút tất phần tử thứ " j" , bao gồm "i ≡ j" tức Mặt khác miền tính tốn Ω phải xem xét điều kiện biên đó, toán thấm điều kiện biên chủ yếu gồm hai dạng gọi tên Dirichlet Neumann Dirichlet tương ứng với điều kiện áp vào áp suất Neumann tương ứng với điều kiện áp vào đạo hàm theo phương pháp tuyến áp suất hay nói cách khác thành phần vng góc với biên vận tốc Để cụ thể hoá, biểu diễn điều kiện biên theo hai biểu thức sau p(x) = p & x ∈∂Ω D , q(x) = ∂ p(x) = q & x ∈∂Ω N , ∂n (16) (17) ∂Ω D ∪ ∂Ω N = ∂Ω Sau rời rạc hố biên, phương trình (16) (17) cho phép xây dựng hệ gồm N phương trình biểu diễn p j = p j , j = 1,2,!,m, (18) q j = q j , j = m + 1,m + 2,!, N (19) Kết hợp (15), (18) (19) giải giá trị biên chưa biết p j ,q j tương ứng với phần tử Thay giá trị trở lại biểu thức (6) (10) thu áp suất vận tốc điểm miền Ω 235 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue (04/2020), 230-240 Khi thực giải hệ tính tốn trường nghiệm áp suất vận tốc phải thực tính tích phân sau Gij = ∫ G(x j − x 0i )ds, Qij = ∫ Q(x j − x 0i )ds, G x = ∫ Gx (x j − x 0i )ds, Γj ij Γj Γj (20) G y = ∫ G y (x j − x 0i )ds, Q x = ∫ Qx (x j − x 0i )ds, Q y = ∫ Qy (x j − x 0i )ds ij ij Γj ij Γj Γj Khi x j ≠ x 0i biểu thức kể xác định phương pháp tích phân số Gauss Ngược lại, dễ dàng nhận thấy x j ≡ x 0i biểu thức Gij , Qij , G x , G y , ij x y ij ij ij Q , Q trở thành suy biến, nói cách khác tượng suy biến xảy điểm cần tính tốn trùng với nút phần tử cần lấy tích phân Đặc điểm suy biến xuất hai biểu thức tích phân G jj Q jj gây sai số trình giải hệ, nghiên cứu chúng loại bỏ cách tính tích phân trực tiếp thu kết sau G jj = ⎤ lj ⎡ lj ⎢ ln( ) − 1⎥ , 2π ⎢⎣ ⎥⎦ Q jj = 0, (21) l j chiều dài phần tử Bốn biểu thức tích phân G x , G y , Q x , Q y xuất công thức trường nghiệm ij ij ij ij vận tốc gây suy biến điểm cần xác định vận tốc nằm biên Đối với vấn đề thay tính tốn vận tốc theo cơng thức (10) sử dụng phương trình Darcy kết hợp với sơ đồ sai phân hữu hạn biên để xác định giá trị vận tốc biên theo nguyên tắc sau ui = −k( p,ni ⋅ nxi − p,ti ⋅ niy ) & vi = −k( p,ni ⋅ niy + p,ti ⋅ nxi ), (22) (ui ,vi ) hai thành phần vận tốc vị trí nút "i" , (nxi ,niy ) vector pháp tuyến với biên vị trí nút "i" , p,ni = ∂p ∂p ∂ pi = qi p,ti = i = i = p,iξ , với ξ biến toạ độ cong theo ∂t ∂ξ ∂n chiều dài biên Tuỳ thuộc vào vị trí nút "i" mà giá trị p,iξ xác định theo ba sơ đồ sau • Sai phân tâm s1 = li−1 + li l +l s2 s −s s1 , s2 = i i+1 , α = − , α2 = − , α3 = , 2 s1 (s1 + s2 ) s1s2 s2 (s1 + s2 ) p,iξ = α pi−1 + α pi + α pi+1 (23) (24) • Sai phân tiến s1 = li + li+1 l +l 2s + s s +s s1 , s2 = i+1 i+2 , α = − , α = , α = − , 2 s1 (s1 + s2 ) s1s2 s2 (s1 + s2 ) 236 (25) Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số (04/2020), 230-240 p,iξ = α pi + α pi+1 + α pi+2 (26) • Sai phân lùi s1 = li−1 + li−2 l +l 2s1 + s2 s +s s1 , s2 = i−1 i , α = , α2 = − , α3 = , 2 s1 (s1 + s2 ) s1s2 s2 (s1 + s2 ) p,iξ = α pi + α pi−1 + α pi−2 (27) (28) Trong ba sơ đồ sai phân nói sơ đồ sai phân tâm dành cho phần tử vị trí biên trơn, sơ đồ sai phân lùi tiến dành cho phần tử vị trí liền trước liên sau điểm gãy khúc biên, mô tả thể hình Hình Các sơ đồ sai phân hữu hạn biên, (a) tâm, (b) lùi, (c) tiến ÁP DỤNG SỐ VÀ PHÂN TÍCH Để kiểm chứng tính đắn phương pháp đề xuất nghiên cứu này, xem xét ví dụ cụ thể sau Miền vật liệu rỗng Ω hình chữ nhật, với kích thước điều kiện biên thể hình Trong ví dụ nhóm nghiên cứu thực phân tích trường nghiệm áp suất vận tốc hai vị trí x = 0.1 x = 0.5 Hình Miền vật liệu rỗng hình chữ nhật điều kiện biên xem xét Hình 5, biểu diễn biến thiên trường vận tốc hai vị trí x = 0.1 x = 0.5 theo thay đổi giá trị toạ độ y = ÷ 0.5 , đường liền (màu đỏ) kết từ phương pháp phần tử biên xử lý tính suy biến (u-BEM), biểu tượng hình thoi (màu đen) kết tính tốn phương pháp phần tử biên chưa xử lý điểm suy biến (u-BEMSingular), biểu tượng chấm (màu xanh) kết đối chứng tính tốn phương pháp phần tử hữu hạn (u-FEM) Chúng ta nhận thấy kết thu từ phương pháp phần tử biên xác, nhiên nhận thấy hai điểm khoanh tròn biểu đồ hai giá trị suy biến chưa xử lý, điều khắc phục phương pháp sai phân hữu hạn biên mà nhóm tác giả trình bày mục 237 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue (04/2020), 230-240 Hình Biến thiên vận tốc (u) theo phương y vị trí x=0.1 Hình Biến thiên vận tốc (u) theo phương y vị trí x=0.5 Nhận xét tương tự rút quan sát biến thiên trường áp suất hai vị trí x = 0.1 x = 0.5 thể hình 8, đường nét đứt (màu xanh) kết thu từ phương pháp phần tử biên xử lý tính suy biến (p-BEM), biểu tượng hình (màu tím) kết phương pháp phần tử biên chưa xử lý điểm suy biến (p-BEMSingular) cuối biểu tượng hình tam giác (màu xanh lá) kết để so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn (p-BEM) Hai điểm suy biến khoanh tròn hai biểu đồ này, chúng xử lý phép tính tích phân trực tiếp 238 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số (04/2020), 230-240 Hình Biến thiên áp suất p theo phương y vị trí x=0.1 Hình Biến thiên áp suất p theo phương y vị trí x=0.5 KẾT LUẬN Trong nghiên cứu toán thấm Darcy môi trường vật liệu rỗng tổng quát phân tích chi tiết phương pháp phần tử biên, tính suy biến gặp phải áp dụng phương pháp giải giải pháp tính vi phân số biên miền tính tốn Bài tốn thấm ví dụ cụ thể, để kiểm chứng tính hiệu giải pháp cần có thêm kết dành cho tốn khác ngồi thấm, hướng cần giải thời gian tới nhóm nghiên cứu 239 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue (04/2020), 230-240 LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Quỹ phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 107.02-2017.310 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] I D P Arcila, H Power, C N Londono, W F F Escobar, Boundary element simulation of void formation in fibrous reinforcements based on the Stokes-Darcy formulation, Comput Methods Appl Mech Engrg., 304 (2016) 265–293 http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2016.02.010 [2] I D P Arcila, H Power, C N Londono, W F F Escobar, Boundary Element Method for the dynamic evolution of intra-tow voids in dual-scale fibrous reinforcements using a Stokes–Darcy formulation, Engineering Analysis with Boundary Elements 87 (2018) 133–152 https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2017.11.014 [3] A Teimoori, Z Chen, S S Rahman, T Tran, Effective Permeability Calculation Using Boundary Element Method in Naturally Fractured Reservoirs, Petroleum Science and Technology, 23 (2005) 693–709 https://doi.org/10.1081/LFT-200033029 [4] O O Onyejekwe, A Boundary Element-Finite Element Equation Solutions to Flow in Heterogeneous Porous Media, Transport in Porous Media, 31 (1998) 293–312 https://doi.org/10.1023/A:1006529122626 [5] J T Katsikadelis, Boundary Elements : Theory and Application, First ed., Elsevier Science Ltd, Oxford, 2002 [6] L Gaul, M Kogl, M Wagner, Boundary Element Methods for Engineers and Scientists, First ed., Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 2003 [7] C A Brebbia, J C F Telles, L C Wrobel, Boundary Element Techniques : Theory and Application in Engineering, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1984 [8] M Dehghan, H Hosseinzadeh, Calculation of 2D singular and near singular integrals of boundary elements method based on the complex space C, Applied Mathematical Modelling, 36 (2012) 545– 560 https://doi.org/10.1016/j.apm.2011.07.036 [9] L Marin, D Lesnic, V Mantic, Treatment of singularities in Helmholtz-type equations using the boundary element method, Journal of Sound and Vibration, 278 (2004) 39–62 https://doi.org/10.1016/j.jsv.2003.09.059 [10] Q Huang, T A Cruse, Some notes on singular integral techniques in boundary element analysis, International journal for numerical methods in engineering, 36 (1993) 2643–2659 https://doi.org/10.1002/nme.1620361509 [11] V Sladek, J Sladek, Singular integrals and boundary elements, Comput Methods Appl Mech Engrg., 157 (1998) 251 – 266 https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00239-9 240 ... thơng vận tải XỬ LÝ TÍNH SUY BIẾN TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN VÀ ỨNG DỤNG CHO DÒNG CHẢY DARCY QUA MÔI TRƯỜNG VẬT LIỆU RỖNG Trần Anh Tuấn1,3*, Nguyễn Đình Hải2,3 Bộ mơn Cầu hầm, Trường Đại học... dòng chảy Darcy xác định phương pháp phương pháp phần tử hữu hạn cho thấy xác hiệu phương pháp đề xuất Từ khóa: suy biến, phương pháp phần tử biên, phương trình năng, dịng chảy Darcy © 2020 Trường. .. trị suy biến xuất trường nghiệm dòng chảy Darcy hai chiều qua môi trường vật liệu rỗng Trong toán này, suy biến loại bỏ cách ứng dụng sơ đồ sai phân hữu hạn giải tích tích phân Kết so sánh cho trường