HÌNH TRỤ

MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ Câu 1: Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức là? A l = h B R = h C R = h + l D l = h + R Hướng dẫn giải: + Đường sinh chiều cao hình trụ ln nên đẳng thức l = h Chọn đáp án A Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = Gọi V1 ,V2 thể tích khối trụ V sinh quay hình chữ nhật quanh trục AB BC Khi tỉ số bằng: V2 16 A B C D 16 Hướng dẫn giải: V BC V1 = πBC AB;V2 = πAB BC ⇒ = = V2 AB Chọn đáp án A Câu 3: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn ( O; r ) ( O '; r ) Khoảng cách hai đáy OO ' = r Một hình nón có đỉnh O’ có đáy hình trịn ( O; r ) Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành phần Gọi V1 thể tích phần bên ngồi khối nón, V2 phần thể tích bên V khối nón Khi bằng: V2 1 A B C D 3 Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ minh họa sau: Ta tích khối chóp Vchop = B.h V1 V Vtru = B.h ⇒ = , mặt khác V = V1 + V2 ⇒ = V2 V Chọn đáp án A Câu 4: Tính diện tích xung quanh S xq hình trụ có đường cao h = a thể tích V = πa A S xq = 4πa B S xq = 6πa C S xq = 8πa D S xq = 2πa Hướng dẫn giải: + Thể tích hình trụ tính cơng thức V = πhr ⇒ r = V =a πh + Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2πrh = 2πa Chọn đáp án D Câu 5: Cho khối trụ có đáy đường trịn tâm (O), (O’) có bán kính R chiều cao h = R Gọi A, B điểm thuộc (O)và (O’) cho OA vng góc với O’B Tỉ số thể tích khối tứ diện OO’AB với thể tích khối trụ là: 1 B C 3π 6π 3π Hướng dẫn giải: Vtru = πR3 Có AO ⊥ OO ',AO ⊥ O'B ⇒ AO ⊥ ( OBO ') A D 4π 2 Lại có SOBO ' = O ' O.O ' B = R R ⇒ ⇒ VO.O ' AB = 2 Vtru = 6π VO O'AB Chọn đáp án B Câu 6: Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh khối trụ A πr B 8πr C 4πr D 2πr Hướng dẫn giải: Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường sinh hình trụ đường cao 2r Do diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2πrl = 4πr (đvdt) Chọn đáp án C Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = n.AD Khi quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh CD ta khối trụ có diên tích tồn phần S1 , quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh AD ta khối trụ có diên tích tồn phần S2 Khẳng định sau đúng? A n.S1 = S2 B S1 = nS2 C S1 =(n +1)S2 D S2 =(n +1)S1 Hướng dẫn giải: S = 2πrh + 2πr Ta có: Khi quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh CD ta khối trụ có bán kính r1 = AD; h1 = AB Khi S1 = 2πAD AB + 2π AD = 2π ( nAD + AD ) Tương tự quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh AD ta có: S = 2π ( nAD + n AD ) Khi S1 n +1 = = S n + n n Do r2 = AB; h2 = AD Chọn đáp án A Câu 8: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ là: A 16πa B 8πa3 C 4πa D 12πa Hướng dẫn giải: Tính BC = 3a V = π.4a 3a = π12a Chọn đáp án D Câu 9: Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng Gọi V ,V ' lần V' lượt thể tích khối trụ thể tích hình lăng trụ nội tiếp bên hình trụ cho Tỉ số V là: π A π B C D π Hướng dẫn giải: Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường cao h 2r (với r bán kính) Do V = πr 2r = 2πr Lăng trụ nội tiếp hình trụ cho có đáy hình vng nội tiếp đường tròn đáy nên độ dài cạnh hình vng r Ta tính thể tích hình trụ nội tiếp hình trụ cho là: ( ) V ' = r 2r = 4r V ' 4r = = V 2πr π Chọn đáp án D Vậy Câu 10: Cho khối trụ có khoảng cách hai đáy 10, biết diện tích xung quanh khối trụ 80π Thể tích khối trụ là: A 160π B 164π C 64π D 144π Hướng dẫn giải: 8π Ta có: Chu vi đáy bằng: 80π :10 = 8π ⇒ R = = ⇒ V = π.16.10 = 160π 2π Chọn đáp án A Câu 11: Một hình trụ có bán kính đáy 53 cm, khoảng cách hai đáy 56 cm Một thiết diện song song với trục hình vng Tính khỏag cách từ trục đến mặt phẳng cắt ? A 36 cm B 45cm C 54 cm D 55 cm Hướng dẫn giải: Hình dạng tốn miêu tả hình vẽ Tuy nhiên để tìm khoảng cách, ta cần vẽ mặt cắt mặt phẳng đáy Nhận thấy: Để mặt phẳng thiết diện hình vng hình vng có độ dài cạnh 56 (bằng độ dài chiều cao hình trụ) Khi ta có mặt phẳng vẽ hình Muốn tìm khoảng từ trục đến  56  mặt phẳng cắt ta dựa vào định lý Pytago d = 53 −   = 45   Chọn đáp án B Câu 12: Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh b quay xung quang trục AA’ Diện tích S là: A πb B πb2 C πb D πb Hướng dẫn giải: Tìm đường cao b, đường sinh b , bán kính đáy b S xq = πrl = πb Chọn đáp án D Câu 13: Cho hình chữ nhật ABCD với AB = ; BC = Đường thẳng đồ thị nằm mặt phẳng ABCD; đồ thị song song AD cách AD khoảng 2; đồ thị khơng có điểm chung với hình chữ nhật ABCD Tính thể tích khối trịn xoay tạo quay hình chữ nhật ABCD quanh D A 15π B 27π C 12π D 10π Hướng dẫn giải: BC cách đường d khoảng d ' = + AB = Do khối trịn xoay tập hợp điểm nằm hai hình trụ có bán kính 3, chiều cao hai hình trụ Thể tích khối trịn xoay hiệu thể tích hai khối trụ nêu ⇒ V = 32.3.π − 2.3.π = 15π Chọn đáp án A Câu 14: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC = Gọi P, Q điểm cạnh AB CD cho: BP = 1, QD = 3QC Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ A 10π B 12π C 4π D 6π Hướng dẫn giải: Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ có h = PQ = , r = AP = nên có diện tích xung quanh S xq = 2.π.r.h = 2.π.3.2 = 12π Chọn đáp án B Câu 15: Cho hình lăng trụ tứ giác đế ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a cạnh bên 4a Thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ là: 2 1 A B C D 8 Hướng dẫn giải: Khối trụ nội tiếp hình lăng trụ tứ giác ABCD a A ' B ' C ' D ' có bán kính R = OI = (I trung điểm AB) có chiều cao h = 4a a Thể tích khối trụ V = πR h = π   4a = πa 2 Chọn đáp án D Câu 16: Một hình trụ có diện tích xung quanh S, diện tích đáy diện tích mật cầu bán kính a Khi đó, thể tích hình trụ bằng: 1 A Sa B Sa C Sa D Sa Hướng dẫn giải: Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ Khi : S d = πR ⇒ πR = 4πa (Sd diện tích mặt cầu) ⇒ R = 2a S S Vậy V = S d h = 4πa S xq = 2πRh = S ( S xq = S ) ⇒ h = = Sa 4πa 4πa Chọn đáp án B Câu 17: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính thể tích khối trụ 2π a 2π a 2π a 3 2π a A B C D 16 16 Hướng dẫn giải: Gọi M, N trung điểm AB CD Khi OM ⊥ AB O’N ⊥ CD Gọi I giao điểm MN OO’ Đặt R = OA h = OO’ Khi ∆ IOM vng cân O nên: h a 2 a OM = OI = IM ⇒ = ⇒h= 2 2 2 2  a   a  3a R = OA = AM + MO =   +   = 2   2 2 3a a 2π a = 16 Phương án nhiễu: Đáp án A : HS nhớ sai công thức 1 3a a 2π a V = π R h = π = 3 16 4 3a a 2π a = Đáp án B : HS nhớ sai công thức V = π R h = π 3 Đáp án C : HS thay số sai tính R tính R = a a 2π a V = π R h = π a = 2 Chọn đáp án D ⇒ V = π R2h = π Câu 18: Một hình trụ có bán kính đáy r = 50cm có chiều cao h = 50cm Diện tích xung quanh hình trụ bằng: A 2500π (cm2) B 5000π (cm2) C 2500 (cm2) D 5000 (cm2) Hướng dẫn giải: Diện tích xung quanh hình trụ tính theo cơng thức: S xq = 2πr ℓ với r = 50cm, ℓ = h = 50cm Vậy S xq = 2π.50.50 = 5000π ( cm ) Chọn đáp án B Câu 19: Cho khối trụ có chiều cao cm, bán kính đường trịn đáy cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo thành là: A 16 cm B 32 cm C 32 cm D 16 cm Hướng dẫn giải: Giả sử thiết diện hình chữ nhật MNPQ hình vẽ Với O ' H = khoảng cách từ trục đến thiết diện OO ' = h = 8; O 'P = O'Q = rd = Ta có PQ = PH = O ' P − O ' H = 62 − 42 = Khi Std = PQ.MQ = 5.8 = 32 ( cm ) Chọn đáp án C Câu 20: Trong khơng gian, cho hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy 3a cạnh bên 4a Tính diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác ( A Stp = a 3π ( C Stp = 2aπ + B Stp = aπ + ) ( ) D Stp = a π + ) Hướng dẫn giải: 2 3a Khối trụ có bán kính : R=AO= AH= =a 3 Diện tích xung quanh hình trụ : S xq = 2.π.a 3.4a = 3.πa (đvdt) Diện tích tồn phần hình trụ : Stp = Sxq +2.Sđ = ( 3.πa + 6a π = a π + ) Chọn đáp án D Câu 21: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC = Gọi P, Q điểm cạnh AB CD cho: BP = 1, QD = 3QC Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ A 10π B 12π C 4π D 6π Hướng dẫn giải: S xq = 2πrl = π.3.2 = 12 π Chọn đáp án B Câu 22: Một hình trụ có bán kính đáy a , chiều cao 2a Diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ : A 3πa B 24πa C 6πa D 12πa Hướng dẫn giải: Vì khối cầu nội tiếp khối trụ nên khối cầu có bán kính a nên thể tích V = π( a 3) = 12 πa Chọn đáp án D Câu 23: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Quay hình chữ nhật xung quanh trục AB ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ A Stp = 12π B Stp = 6π C Stp = 4π D Stp = 8π Hướng dẫn giải: Hình trụ có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = nên có Stp = 2πr + 2πrh = 12π Chọn đáp án A Câu 24: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Khi quay hình vng ABCD quanh MN thành hình trụ Gọi (S) mặt cầu có diện tích diện tích tồn phần hình trụ, ta có bán kính mặt cầu (S) là: a a a A B C D a Hướng dẫn giải: a Mặt trụ tạo hình vng ABCD quay quanh MN có đường sinh 1=a bán kính đáy r = nên có diện tích tồn phần aa  3a π Stp = 2πr ( r + h ) = 2π  + a  = 2 2  Mặt cầu (S) có diện tích Stp mặt trụ có bán kính R 3a π a ⇔ Chọn đáp án C với 4πR = Câu 25: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M , N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN , ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng: A 2π B 3π C 4π D 8π Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta hình trụ có chiều cao h = AB = , bán A D M AD kính đáy R = = Do diện tích tồn phần: Stp = 2πRh + 2πR = 4π C B N Chọn đáp án C Câu 26: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ là: A 16πa B 8πa3 C 4πa D 12πa Hướng dẫn giải: Theo định lý Pytago ta tính BC=3a, suy khối trụ có bán kính đáy 2a, chiều cao 3a Vậy V = π ( 2a ) 3a = 12a 3π Chọn đáp án D Câu 27: Cho hình nón có góc đỉnh 90o bán kính đáy Khối trụ (H) có đáy thuộc đáy hình nón đường tròn đáy mặt đáy lại thuộc mặt xung quanh hình chóp Biết chiều cao (H) Tính thể tích (H) A VH = 9π B VH = 6π C VH = 18π D VH = 3π Hướng dẫn giải: Thiết diện qua trục hình nón hình trụ có dạng hình bên, với A đỉnh nón, BC đường kính đáy nón, O tâm đáy, D giao điểm đường trịn đáy hình trụ với BC Có góc BAC = 900 , OB = OC = OA = Chiều cao hình trụ nên áp dụng định lý Ta lét ta có OC = 4CD ⇒ CD = ⇒ Bán kính đáy hình trụ r = OD = Thể tích hình trụ V = πr h = 9π Chọn đáp án A Câu 28: Hai bạn An Bình có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b Bạn An cuộn tầm bìa theo chiều dài cho hai mép sát dùng băng dính dán lại hình trụ khơng có đáy tích V1 (khi chiều rộng bìa chiều cao hình trụ) Bạn Bình cuộn bìa V theo chiều rộng theo cách tương tự hình trụ tích V2 Tính tỉ số V2 V a V b V V A = B = C = ab D = V2 V2 b V2 a V2 ab Hướng dẫn giải: Hình trụ bạn An có chu vi đáy a, chiều cao b nên tích a 2b  a  π  b = 4π V1=  2π  Hình trụ bạn Bình có chu vi đáy b, chiều cao a nên tích V1 a ab  b  = π  a = V b π π   V= Do Chọn đáp án A Câu 29: Cho lập phương có cạnh a hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 diện tích mặt hình lập phương, S2 diện tích xung S quanh hình trụ Hãy tính tỉ số S1 S π S π S S A = π B = C = D = S1 S1 S1 S1 Hướng dẫn giải: S π Ta có: S1 = 6a , S = πa suy = S1 Chọn đáp án D Câu 30: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ A d = 50cm B d = 50 3cm C d = 25cm D d = 25 3cm Hướng dẫn giải: Cách 1: Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra: OO1 / / AA1 ⇒ OO1 / / ( AA1B ) ⇒ d ( OO1 , AB ) = d ( OO1 , ( AA1B ) ) = d ( O1 , ( AA1B ) ) Tiếp tục kẻ O1H ⊥ A1B H, O1H nằm đáy nên vng góc với A1A suy ra: O1H ⊥ ( AA1B ) Do d ( OO1 , AB ) = d ( OO1 , ( AA1B ) ) = d ( O1 , ( AA1B ) ) = O1H Xét tam giác vng AA1B ta có A1B = Vậy O1H = O1 A12 − A1H = 25 cm AB − AA12 = 50 Cách 2: Gọi tâm hai đường đáy O O1, giả sử đoạn thẳng AB có điểm mút A nằm đường tròn đáy tâm O điểm mút B nằm đường tròn đáy O1 Theo giả thiết AB = 100cm Gọi IK ( I ∈ OO1 , K ∈ AB ) đoạn vng góc chung trục OO1 đoạn AB Chiếu vng góc đoạn AB xuống Mặt phẳng đáy chứa đường tròn tâm O1, ta có A1, H, B hình chiếu A, K, B Vì IK ⊥ OO1 nên IK song song với mặt phẳng, O1H / / IK O1H = IK Suy O1H ⊥ AB O1H ⊥ AA1 Vậy O1H ⊥ A1B Xét tam giác vng AA1B ta có A1B = AB − AA12 = 50 Vậy IK = O1H = O1 A12 − A1H = 25cm Chọn đáp án C Câu 31: Cho hình trụ có đường cao h = 5cm, bán kính đáy r = 3cm Xét mặt phẳng ( P ) song song với trục hình trụ, cách trục 2cm Tính diện tích S thiết diện hình trụ với mặt phẳng ( P ) A S = 5cm B S = 5cm C S = 5cm Hướng dẫn giải: Giả sử mặt phẳng ( P ) cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật ABB′A′ hình vẽ Gọi OH ⊥ AB H , OH = 2cm D S = 10 5cm A H O B Trong ∆OHA có HA = OA2 − OH = Khi AB = HA = Vậy diện tích thiết diện hình trụ với mặt phẳng ( P ) S ABB′A′ = AB AA′ = 5.5 = 10 Chọn đáp án D A′ B′ O′ Câu 32: Cho hình trụ có bán kính a chiều cao a Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 450 Khoảng cách AB trục hình trụ ? a a a A a B C D 2 Hướng dẫn giải: Gọi O O’ tâm đường tròn hai đáy Gọi AC đường sinh góc AB OO’ góc BAC = 450 nên BC = a Do OO’ // AC nên OO’ // (ABC) d (OO '; AB ) = d (OO ';( ABC )) = d (O;( ABC )) Kẻ OH ⊥ BC, ta có OH ⊥ AC nên OH ⊥ (ABC) suy d (O;( ABC )) = OH Trong tam giác vuông OHB H : OH = OB − BH = a − a a = Chọn đáp án C Câu 33: Một hình trụ có diện tích tồn phần 6π Bán kính khối trụ tích lớn là? A R = B R = C R = D R = Hướng dẫn giải: Gọi R h chiều cao bán kính hình trụ.( R>0, h>0) Ta có diện tích tồn phần 6π ⇒ 2πRh + 2πR = 6π ⇒ h = − R2 R − R2 = π(3R − R ) R Xét hàm số f ( R ) = 3R − R (0; 3) Ta V lớn R=1 Chọn đáp án A Thể tích khối trụ v = πR h = πR Câu 34: Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a πa πa πa A V = B V = πa C V = D V = Hướng dẫn giải: 3a Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương V = cạnh a có: AC a ; chiều cao Bán kính đường trịn đáy R = = 2 h=a a2 πa Vậy thể tích khối trụ là: V = πR h = π .a = 2 Chọn đáp án D Câu 35: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Xét hai mặt cầu sau: • Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ • Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Tính tỉ S số S2 1 S S S S A = B = C = D = S2 S2 S2 S2 Hướng dẫn giải: Đáp án : Phương án B Lời giải: + Gọi a cạnh hình vng thiết diện Khi S1 = πa ; S = πa S + Vậy, = S2 Chọn đáp án B Câu 36: Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước có dung tích V(cm3) Hỏi bán kính đáy trụ nhận giá trị sau để tiết kiệm vật liệu V V 3V B x = C x = D x = 4π π 2π Hướng dẫn giải: Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R, cho Stp nhỏ A x = 3 V 2π Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: V = πR h V V2 V   V  Stp = 2.S d + S xq = 2πR + πRh = 2π  + R  = 2π  + + R  ≥ 6π 4π  πR   2πR 2πR  V Dấu = xảy ta có R = 2π Chọn đáp án D Câu 37: Cho hình trụ có bán kính đáy R, độ dài đường cao b Đường kính MN đáy vng góc với đường kính PQ đáy Thể tích khối tứ diện MNPQ 1 A R h B R h C R h D 2R h Hướng dẫn giải: MN vng góc với (PQI) Dựng QH vng góc với PI nên QH hình chiếu Q lên mặt phẳng PMN 1 1 S PQI = h.PQ = h.2 R = hR = QH IP = QH h + R 2 2 2 Rh ; Suy QH = R + h2 1 Rh VMNPQ = QH S MNP = IP.MN = R h w 2 3 R +h Chọn đáp án A Câu 38: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Thể tích hình trụ bằng: πa 3 2πa 3 2πa 2πa A B C D 16 16 Hướng dẫn giải: Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB CD Khi OM ⊥ AB; O ' N ⊥ CD Giả sử I giao điểm MN OO’ Đặt R=OA h=OO’ Khi tam giác IOM vuông cân O h a nên OM = OI = a => = => h = a 2 2 a a 2 3a Ta có: R = OA2 = AM + MO = ( ) + ( ) = 3 2πa => V = πR h = 16 Chọn đáp án A Câu 39: Một hình trụ trịn xoay bán kính R = Trên đường trịn đáy (O) (O’) lấy A B cho AB =2 góc AB trục OO’ 300 Xét hai khẳng định: (I):Khoảng cách O’O AB (II):Thể tích khối trụ V = π Kết luận sau đúng? O' R B O A A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả (I) (II) sai D Cả (I) (II) Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh BC OO’ // (ABC) Vì (ABC) vng góc với (OAC) nên kẻ OH ⊥ AC OH ⊥ (ABC) Vậy d(OO’, AB) = OH ∆ABC : BC = AB.cos300 = ;AC = AB.sin300 = 1, ∆OAC tam : (I) V = π.R2.h nên (II) nên chọn D O' R B 30° giác đều, có cạnh 1, nên OH = Chọn đáp án D O H C A Câu 40: Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Thể tích khối tứ diện OO’AB theo a 3a 3a 3a 3a A V = B V = C V = D V = 12 Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh AA ' Gọi D điểm đối xứng với A' qua O' H hình chiếu B đường thẳng A ' D Do BH ⊥ A ' D, BH ⊥ AA ' ⇒ BH ⊥ ( AOO ' A ') A ' B = AB − A ' A2 = a ⇒ BD = A ' D − A ' B = a a △O ' BD nên BH = 2 a S△ AOO ' = Suy thể tích khối tứ diện OO’AB là: 3a V = 12 Chọn đáp án C Câu 41: Xét hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm chiều cao hình trụ để thiết diện qua trục hình trụ có diện tích lớn Tính thể tích V diện tích tồn phần hình trụ πR πR A B ; π.R ;3π.R 2 C πR 2;3π.R D πR 2; π.R Hướng dẫn giải: Gọi O’ trung điểm trục O1O hình trụ O’ tâm mặt cầu cho Kí hiệu h r chiều cao bán kính đáy hình trụ diện tích thiết diện qua trục Std = 2r.h Mặt khác R = O ' A2 = r + h2 h2 ⇒ r = R2 − 4 Từ Std = h R − h = h2 ( R − h ) Vậy Std lớn h = R R h = , tức thiết diện qua trục hình vng Khi r = R = R = 2 πR V = πr h = 2πr r = 2πr = ; St p = 2πr + 2πrh = 3πR 2 Chọn đáp án B Câu 42: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số ? A 0,5 B 0,6 C 0,8 D 0,7 Hướng dẫn giải: Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R, cho nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: = πR h     Stp = 2.S d + S xq = 2πR + πRh = 2π  + R  = 2π  + + R  ≥ 6π 4π  πR   2πR 2πR  Dấu = xảy ta có R = = 2π π Chọn đáp án D Câu 43: Từ tôn hình chữ nhật kích thước 80cm x 360cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 80cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): * Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng * Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách C53 = 10 tổng thể tích hai thùng gị V theo cách Tính tỉ số V1 V2 = V1 Hướng dẫn giải: A B V2 =1 V1 C Do chiều cao thùng nhau, nên tỉ số V2 =2 V1 D V2 =4 V1 V1 tỉ số tổng diện tích đáy thùng V2 Ta có chu vi đường trịn C = 2πR diện tích hình trịn S = πR , từ ta có mối liên hệ C2 C2 S C2 V 2S S = πR = π = ⇒ = 12 = ⇒ = = S C2 V1 S1 4π 4π Chọn đáp án A Câu 44: Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao 3m, đường kính đáy 80 cm Người ta cưa bìa để khối lăng trụ nội tiếp khối trụ Tổng thể tích bìa bị cưa (xem mạch cưa không đáng kể) 3m A 0,12( π − 2) m3 B 1,92( π − 2) m3 C 0, 4( π − 2) m3 D 0, 48( π − 2) m3 Hướng dẫn giải: Tổng thể tích bìa bị cưa = thể tích khối trụ - thể tích khối lăng trụ Chọn đáp án D Câu 45: Từ 37,26 π cm3 thủy tinh Người ta làm cốc hình trụ có đường kính 8cm với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm Khi hồn thành cốc có chiều cao là: A 10cm B cm C 15 cm D 12 cm Hướng dẫn giải: Thể tích đáy V = π.16.1,5 = 24π cm3 Phần thủy tinh làm thành cốc là: 37, 26πcm3 − 24πcm3 = 13, 26πcm3 13, 26 Gọi chiều cao thành cốc không kể đáy x ta có x = = 8,5 16 − ( 3,8 ) Vậy chiều cao cốc là: 8,5 + 1,5 = 10cm Chọn đáp án A Câu 46: Một miếng bìa hình chữ nhật có kính thước 2a 4a Uốn cong bìa theo bề rộng (hình vẽ) để hình trụ khơng đáy Ký hiệu V thể tích khối trụ tạo Khẳng định sau đúng? A V= π a3 B V= 16 π a3 4a π a3 D V= 16π C V= 4a 4a 2a Hướng dẫn giải: Chu vi đáy 2a= π R Ta tính R= a 4a Chiều cao h = 4a, từ ta tính V= π π Chọn đáp án C Câu 47: Để làm cống thoát nước cho khu vực dân cư người ta cần đúc 500 ống hình trụ có đường kính chiều cao ống 1m, độ dày thành ống 10 cm Chọn mác bê tông 250 (tức khối bê tông bao xi măng) Hỏi phải chuẩn bị bao xi-măng để làm đủ số ống nói A ≈ 1.200(bao) B ≈ 1.210(bao) C ≈ 1.110(bao) D ≈ 4.210(bao) Hướng dẫn giải: π 25 + Tính thể tích khối trụ bán kinh 0,5m: Vt = πR h = π ( 0,5 ) = π 11  1 + Lượng hồ bê tông cho ống là: V = Vn − Vt =  −  π = π ≈ 0.3456( m3 ) 100  25  + Lượng hồ bê tông để làm 500 ống là: V500 = 55π ≈ 172.7876( m3 ) + Số lương bao xi-măng cần mua 1.209,1532(bao) Chọn đáp án B + Tính thể tích khối trụ bán kinh 0,6m: Vn = πR h = π ( 0,6 ) = Câu 48: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tơn ngun liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A Q B P M N C 91125 91125 108000 13500 B C D (cm3 ) (cm ) (cm3 ) (cm3 ) 4π 2π π π Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN MQ BM Đặt MN = x ( < x < 90 ); ⇒ = ⇒ MQ = (90 − x) AI BI x x 3 Gọi R bán kính trụ ⇒ R = ⇒ VT = π( ) (90 − x) = ( − x3 + 90 x ) 2π 8π 2π 13500 3 Xét f ( x) = x= 60 (− x + 90 x ) với < x < 90 Khi đó: max f ( x) = π 8π x∈(0;90) Chọn đáp án D A Câu 49: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn 34 − 17 34 − 19 A x = ( cm ) B x = ( cm ) 2 34 − 15 34 − 13 C x = ( cm ) D x = ( cm ) 2 Hướng dẫn giải: Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S = S MNPQ + xy Cạnh hình vng MN = ( ⇒ S = 20 ) MP = 40 + xy = 800 + xy = 20 ( cm ) (1) Ta có x = AB − MN = AB − 20 < BD − 20 = 40 − 20 ⇒ < x < 20 − 10 ( Lại có AB + AD = BD = 402 ⇒ x + 20 ) + y = 1600 ⇒ y = 800 − 80 x − x ⇒ y = 800 − 80 x − x Thế vào (1) ⇒ S = 800 + x 800 − 80 x − x = 800 + 800 x − 80 x − x ( ) Xét hàm số f ( x ) = 800 x − 80 x − x , với x ∈ 0;20 − 10 có ( f ' ( x ) = 1600 x − 240 x 2 − 16 x3 = 16 x 100 − 15 x − x ( ) ( ( ) )  x ∈ 0;20 − 10  x ∈ 0;20 − 10 34 − 15  Ta có  ⇔ ⇔x= 2  f ' ( x ) = 16x 100 − 15x − x =  34 − 15 Khi x = giá trị thỏa mãn toán Chọn đáp án C ) Câu 50: Trong ngày trung thu, bố bạn Nam đem cho bạn Nam bánh trung thu Nam vui vẻ điều đó, nhiên để kích thích tinh thần tốn học bạn Nam, bố bạn Nam đưa toán sau : Giả sử bánh có hình trụ đứng, đày hình trịn đường kính 12cm, chiều cao 2cm Bạn Nam phải cắt bánh thành phần nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc Nam cắt hai nhát, mặt phẳng nhát dao phải vuông góc với đáy song song với Như vậy, theo cách cắt có hai miếng giống việc khác hình thù, miếng có chung thể tích Hỏi khoảng cách mặt phẳng nhát cắt gần với giá trị ? A 3,5cm B 3cm C 3,2cm D 3,44cm Hướng dẫn giải: Đáp án C Thực chất toàn chai hình trịn thành phần hình vẽ: Vì miếng bánh có chiều cao nên diện tích đáy miếng bánh phải diện tích bánh ban đầu π.OA2 = 12π Trong hình vẽ ta có OA=OB=6 S1 = S2 = S3 = OA2 π Đặt AOB=α ∈ (0, π) ta có: S1 + S ∆OAB = SOAB ⇔ 12π + OA.OB.sin α = α 2π ⇔ 12π + 18sin α = 18α Sử dụng chức máy tính ta tìm giá trị α ≈ 2,605325675 SHIFT SOLVE α Khoảng cách nhát dao x = OA.cos ≈ 3,179185015 Chọn đáp án C Câu 51: Một phần dụng cụ gồm phần có dạng trụ, phần cịn lại có dạng nón, hình trụ, đường kính đáy 1,4m, chiều cao 70cm, hình nón, bán kính đáy bán kính hình trụ, chiều cao hình nón 0,9m( Các kích thước cho hình 100) Khi diện tích mặt ngồi dụng cụ ( Khơng tính nắp đậy) có giá trị gần với: A 5,58 B 6,13 C 4,86 D 6,36 Hướng dẫn giải: Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ diện tích xung quanh hình nón Đường sinh hình nón là: 1, S xq trụ = 2πrh = 2.3,14 .0,7 = 3,077(m ) S xq nón= πrl = 3,14.0,7.1,14 = 2,506( m ) Vậy diện tích tồn phần phễu: S= S xq trụ+ S xq nón=5,583( m2 ) Chọn đáp án A Câu 52: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa) A 700π ( cm ) B 754, 25π ( cm ) C 750, 25π ( cm ) D 756, 25π ( cm ) Hướng dẫn giải: Tổng diện tích tính tổng diện tích xung quanh hình trụ diện tích đáy, với diện tích hình vành khăn Ta có S = 2π.7,5.30 + π.7,52 + π (17,52 − 7,52 ) = 756, 25π 30cm Chọn đáp án D 10cm 35cm ... khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh khối trụ A πr B 8πr C 4πr D 2πr Hướng dẫn giải: Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường sinh hình trụ. .. cầu nội tiếp hình trụ • Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Tính tỉ... chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ A 10π B 12π C 4π D 6π Hướng dẫn giải: Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ có h = PQ = , r = AP