lythuyet hinhhoc10 11 12

NGUYỄN THANH TRIỀU SỔ TAY HÌNH HỌC 10 - 11 - 12 Tháng - 2013 Để biết thêm tài liệu tốn học, đọc giả truy cập vào trang web cá nhân tác giả: http://nttrieu.wordpress.com Mục lục Vec tơ 1.1 Khái niệm vec tơ 1.1.1 Vec tơ 1.1.2 Vec tơ 1.2 Các phép toán với vec tơ 1.2.1 Phép cộng hai vec tơ 1.2.2 Phép trừ hai vec tơ 1.2.3 Phép nhân vec tơ với số thực Hệ thức lượng tam giác 2.1 Tích vơ hướng vec tơ 2.1.1 Góc hai vec tơ 2.1.2 Tích vơ hướng vec tơ 2.1.3 Các tính chất 2.1.4 Tích vơ hướng cơng thức chiếu 2.2 Hệ thức lượng tam giác 2.2.1 Định lý cos 2.2.2 Định lý sin 2.2.3 Độ dài đường trung tuyến tam giác 2.2.4 Các cơng thức diện tích tam giác 2.2.5 Một số công thức khác cho ABC 2.3 Hệ thức lượng đường tròn 7 8 10 13 13 13 14 14 14 14 15 16 16 16 17 17 Tọa độ không gian chiều 19 3.1 Tọa độ điểm trục 19 3.1.1 Độ dài đại số vec tơ trục 19 MỤC LỤC 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.1.2 Hệ thức Chasles 3.1.3 Tọa độ điểm trục Phương pháp tọa độ không gian chiều 3.2.1 Tọa độ vec tơ 3.2.2 Tọa độ điểm Đường thẳng không gian chiều 3.3.1 Phương trình đường thẳng 3.3.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 3.3.3 Góc hai đường thẳng 3.3.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 3.3.5 Đường phân giác góc tạo đường thẳng Đường trịn khơng gian chiều 3.4.1 Phương trình đường trịn 3.4.2 Phương trình tiếp tuyến đường trịn 3.4.3 Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 3.4.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn 3.4.5 Vị trí tương đối đường tròn Elip không gian chiều 3.5.1 Định nghĩa Elip 3.5.2 Phương trình tắc Elip 3.5.3 Hình dạng Elip 3.5.4 Tâm sai Elip 3.5.5 Phương trình tiếp tuyến Elip 3.5.6 Đường chuẩn Elip Hyperbol không gian chiều 3.6.1 Định nghĩa Hyperbol 3.6.2 Phương trình tắc Hyperbol 3.6.3 Hình dạng Hyperbol 3.6.4 Đường tiệm cận Hyperbol 3.6.5 Tâm sai Hyperbol 3.6.6 Đường chuẩn Hyperbol Parabol không gian chiều 3.7.1 Định nghĩa Parabol 3.7.2 Phương trình tắc Parabol 3.7.3 Hình dạng Parabol 20 20 20 21 21 22 22 23 24 24 25 25 25 26 26 26 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 30 31 31 31 31 31 32 32 MỤC LỤC Hình học khơng gian cổ điển 35 4.1 Đại cương 35 4.2 Các tiên đề liên thuộc 36 4.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 37 4.4 Sự song song không gian 39 4.4.1 Định nghĩa 39 4.4.2 Đường thẳng song song 39 4.4.3 Mặt phẳng song song 41 4.4.4 Đường thẳng mặt phẳng song song 41 4.4.5 Phép chiếu song song 42 4.5 Sự trực giao không gian 43 4.5.1 Định nghĩa 43 4.5.2 Sự trực giao đường thẳng mặt phẳng 44 4.5.3 Sự trực giao hai đường thẳng không gian 45 4.5.4 Mặt phẳng vng góc 45 4.5.5 Phép chiếu vng góc 46 4.6 Một số cách tìm khoảng cách 47 4.6.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 47 4.6.2 Khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song 48 4.6.3 Cách dựng đoạn vng góc chung đường thẳng chéo d d 48 4.6.4 Khoảng cách đường thẳng chéo 50 4.7 Các tốn xác định góc 50 4.7.1 Góc đường thẳng 50 4.7.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 50 4.7.3 Góc hai mặt phẳng 51 4.8 Các vấn đề tính thể tích diện tích 53 4.8.1 Thể tích hình hộp chữ nhật 53 4.8.2 Thể tích hình lập phương 53 4.8.3 Thể tích khối hình chóp 53 4.8.4 Thể tích khối lăng trụ 54 4.8.5 Hình trụ 54 4.8.6 Hình nón 55 4.8.7 Hình nón cụt 56 MỤC LỤC 4.8.8 Hình cầu 57 Tọa độ không gian chiều 5.1 Vec tơ không gian chiều 5.2 Hệ trục tọa độ không gian chiều 5.2.1 Hệ trục tọa độ Oxyz 5.2.2 Tọa độ điểm 5.2.3 Tọa độ vec tơ 5.2.4 Biểu thức tọa độ phép tốn vec tơ 5.2.5 Tích vô hướng ứng dụng 5.3 Tích có hướng vec tơ ứng dụng 5.3.1 Tích có hướng vec tơ 5.3.2 Ứng dụng tích có hướng 5.4 Mặt phẳng không gian chiều 5.4.1 Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng 5.4.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng 5.4.3 Vị trí tương đối mặt phẳng 5.4.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 5.4.5 Chùm mặt phẳng 5.5 Mặt cầu 5.5.1 Phương trình mặt cầu 5.5.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 5.5.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 5.6 Đường thẳng không gian chiều 5.6.1 Các dạng phương trình đường thẳng 5.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng 5.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 5.6.4 Một số cách tính khoảng cách 5.6.5 Một số cơng thức tính khoảng cách 5.6.6 Một số cơng thức tính góc 61 61 63 63 63 63 64 64 65 65 66 67 67 67 68 68 68 68 68 69 70 70 70 71 72 72 73 74 Tài liệu tham khảo 76 Chương Vec tơ 1.1 Khái niệm vec tơ 1.1.1 Vec tơ Vec tơ đoạn thẳng có phân biệt điểm điểm đầu, điểm điểm cuối −−→ Xét vec tơ AB hình vẽ 1.1 A B Hình 1.1: Vec tơ (a) A điểm đầu (hay điểm gốc) (b) B điểm cuối (hay điểm ngọn) −→ → − (c) Nếu A ≡ B AA gọi vec tơ khơng, ký hiệu −−→ (d) Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vec tơ AB, −−→ ký hiệu AB = BA = |AB| Độ dài vec tơ không → − | | = −−→ (e) Giá AB đường thẳng qua A B CHƯƠNG VEC TƠ −−→ → − (f) Hướng (hay chiều) AB hướng từ A đến B phương hướng với vec tơ Hai vec tơ phương giá chúng song song trùng 1.1.2 Vec tơ −−→ −−→  AB phương CD  −−→ −−→ −−→ −−→ AB = CD ⇔ AB hướng CD  −−→  −−→ |AB| = |CD| C A (Xem hình 1.2) D B Hình 1.2: Hai vec tơ Chú ý: “Cùng phương” chưa “cùng hướng”, “cùng hướng” tất nhiên phải “cùng phương” 1.2 1.2.1 Các phép toán với vec tơ Phép cộng hai vec tơ → − − Định nghĩa 1.2.1 Cho hai vec tơ → a b , từ điểm A vẽ − → − −−→ → −−→ → −→ − AB = − a BC = b , AC tổng → a b (Hình 1.3) −→ −−→ −−→ Quy tắc điểm: Với điểm A, B, C AC = AB + BC Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇐⇒ −→ −−→ −−→ AC = AB + AD (Hình 1.4) Các tính chất: → − → − − − (a) Tính giao hốn: → a + b = b +→ a 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỚI VEC TƠ → − a B A → − b C → − → − a + b Hình 1.3: Tổng vec tơ D A C B Hình 1.4: Quy tắc hình bình hành → − → − − − −c = → − (b) Tính kết hợp: (→ a + b)+→ a +(b +→ c ) → − → → − → − → − − → − (c) Tính chất với : a + = + a = a Chú ý: Trong tam giác, tổng cạnh lớn cạnh thứ − ba hiệu cạnh nhỏ cạnh thứ ba nên với vec tơ → a → − b (1.1) (1.2) → − → − − → − |→ a|−|b| a + b → − → − → − − a + b |→ a|+|b| − Dấu “=” xảy bất đẳng thức (1.1) → a → − phương, ngược hướng với b Dấu “=” xảy bất đẳng thức → − − (1.2) → a phương, hướng với b 1.2.2 Phép trừ hai vec tơ − − Vec tơ đối → a vec tơ, ký hiệu −→ a , cho → − → − → − → − a + (− a ) = Vec tơ − a phương, độ dài − ngược hướng với → a 10 CHƯƠNG VEC TƠ → − → − − − Hiệu → a b tổng → a vec tơ đối b , tức → − → − → − − a − b =→ a + (− b ) −−→ Quy tắc hiệu: Với điểm A, B điểm O BA = −→ −−→ OA − OB 1.2.3 Phép nhân vec tơ với số thực − − Định nghĩa 1.2.2 Cho → a số thực k, tích → a → − số k vec tơ, ký hiệu k a , cho − − • Nếu k > k → a hướng với → a − − • Nếu k < k → a ngược hướng với → a − − • |k → a | = |k|.|→ a | → − − Các tính chất: Với vec tơ → a , b tùy ý với số thực k, h → − → − − − (a) k(→ a + b ) = k→ a +k b; → − − − (b) (h + k)→ a = h→ a +k b; − − (c) h(k → a ) = (hk)→ a; → − → − → − − − − − − (d) 1.→ a =→ a ; (−1).→ a = −→ a ; 0.→ a = ; k = → − − Điều kiện để vec tơ phương: Hai vec tơ → a b = → − → − − phương ⇔ ∃k ∈ R : → a = k b Phân tích vec tơ theo hai vec tơ không phương: → − − − Cho vec tơ → a b không phương, với → x tùy ý → − − − tồn số thực h, k cho → x = h→ a +k b Áp dụng: −−→ −→ (a) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k AC, k ∈ R − → −→ → − (b) I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = ⇔ −−→ −−→ −−→ M A + M B = 2M I, ∀M 5.2 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU 5.2 5.2.1 63 Hệ trục tọa độ không gian chiều Hệ trục tọa độ Oxyz Hệ trục Oxyz không gian gồm trục x Ox, y Oy, z Oz vuông − → − → − → góc với đơi Gọi i , j , k vec tơ đơn vị trục x Ox, y Oy, z Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi vuông góc Khơng gian gắn với hệ trục Oxyz gọi không gian chiều z − y → k → − i O x − z → j x y Hình 5.1: Hệ trục Oxyz 5.2.2 Tọa độ điểm Định nghĩa 5.2.1 Trong không gian Oxyz cho điểm M tùy ý Khi −−→ → − tồn số thực xM , yM , zM cho OM = xM i + → − → − yM j + zM k , ta gọi số (xM , yM , zM ) tọa độ điểm M , ta viết gọn M (xM , yM , zM ) hay M = (xM , yM , zM ) 5.2.3 Tọa độ vec tơ − Định nghĩa 5.2.2 Trong không gian Oxyz cho → a tùy ý Khi → − → − → − tồn số thực a1 , a2 , a3 cho a = a1 i + a2 j + → − − − a3 k , ta gọi số a1 , a2 , a3 tọa độ → a , ta viết gọn → a = → − (a1 , a2 , a3 ) hay a (a1 , a2 , a3 ) 64 CHƯƠNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU 5.2.4 Biểu thức tọa độ phép toán vec tơ → − − Trong không gian Oxyz cho → a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) số thực k Khi → − − → a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) → − − → a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) − k → a = (ka1 , ka2 , ka3 )   a1 = b1 → − → − a = b ⇔ a2 = b2   a3 = b3 → − → − → − − − → a b (= ) phương ⇔ ∃k ∈ R : → a =kb → − = (0; 0; 0) phương hướng với vec tơ Nếu A(xA , yA , zA ) B(xB , yB , zB ) tọa độ vec tơ −−→ AB = (xB − xA ; yB − yA , zB − zA ) −−→ −−→ −→ (Điều AB = OB − OA) 5.2.5 Tích vơ hướng ứng dụng → − − Trong không gian Oxyz cho → a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), → − − tích vơ hướng → a b số thực xác định → − → − a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 → − → − → − − − − hoặc→ a b = |→ a |.| b | cos(→ a, b) − Độ dài vec tơ: Cho → a = (a1 , a2 , a3 ), độ dài → − a √ − − − |→ a|= → a → a = a21 + a22 + a23 5.3 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG 65 Khoảng cách điểm A(xA , yA , zA ) B(xB , yB , zB ) −−→ −−→ AB = BA = |AB| = |BA| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 → − − Gọi ϕ góc vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ), → − → − → − a.b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 → − cos ϕ = cos( a , b ) = → − = → − a1 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 | a |.| b | → − − → a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =  xA + xB  xM =    yA + yB M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ yM =    z = zA + zB M −−→ −−→ −−→ Điểm M chia AB theo tỷ số k M A = k M B ⇔ IM = − → −→ IA − k IB (với k = 1, I tùy ý) Khi đó, tọa độ điểm M 1−k  xA − kxB  xM =    1−k  y − kyB yM = A  1−k   z − kzB  A zM = 1−k 5.3 5.3.1 Tích có hướng vec tơ ứng dụng Tích có hướng vec tơ − Định nghĩa 5.3.1 Trong không gian Oxyz cho → a = (a1 , a2 , a3 ), → − → − → − b = (b1 , b2 , b3 ), tích có hướng a b vec tơ, → − → − → − − − − ký hiệu [→ a ∧ b ] → a ∧ b [→ a , b ], có tọa độ xác định → − − [→ a ∧ b]= a2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 66 CHƯƠNG TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CHIỀU Các tính chất: → − → − − − [→ a ∧ b ] = −[ b ∧ → a ] → − → − → − − − → a phương b ⇔ [→ a ∧ b]= → − → − → − − − − [→ a ∧ b]⊥→ a [→ a ∧ b]⊥ b → − → − → − − − − [→ a ∧ b ] = |→ a |.| b | sin(→ a , b ) → − → − − n =→ a ∧ b → − a → − b 5.3.2 Ứng dụng tích có hướng Diện tích tam giác xác định SABC = AB.AC sin BAC −−→ −→ = AB ∧ AC = ··· Thể tích hình hộp ABCD.A B C D −−→ −−→ −−→ VABCDA B C D = [AB ∧ AD].AA = · · · −−→ −→ −−→ Thể tích tứ diện ABCD VABCD = [AB ∧ AC].AD = ··· 5.4 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU 67 → − − → − − − − → a , b ,→ c đồng phẳng ⇔ [→ a ∧ b ].→ c = ⇔ ··· −−→ −→ −−→ A, B, C, D đồng phẳng ⇔ [AB ∧ AC].AD = ⇔ · · · 5.4 5.4.1 Mặt phẳng không gian chiều Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng → − − Định nghĩa 5.4.1 Vec tơ → n khác có giá vng góc với mặt phẳng (α) gọi vec tơ pháp tuyến hay pháp vec tơ mặt phẳng (α) 5.4.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng Nếu mặt phẳng (α) có phương trình tổng qt Ax + By + − Cz+D = có vec tơ pháp tuyến → n = (A, B, C) Phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) → − − nhận vec tơ → n = (A, B, C) = làm vec tơ pháp tuyến A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = Nếu mặt phẳng (α) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc = x y z (α) có phương trình theo đoạn chắn + + = a b c Nếu mặt phẳng (α) song song chứa giá hai vec tơ → − − khác phương → a = (a1 , a2 , a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ) mặt → − − − phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến → n =→ a ∧ b (ký hiệu ∧ đọc tích có hướng) xác định → − → − − n = [→ a ∧ b]= a2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) 68 CHƯƠNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU 5.4.3 Vị trí tương đối mặt phẳng Cho mặt phẳng (α1 ) có phương trình tổng qt A1 x + B1 y + C1 z + → = (A , B , C ) D1 = với vec tơ pháp tuyến − n 1 1 mặt phẳng (α2 ) có phương trình tổng qt A2 x + B2 y + C2 z + → = (A , B , C ) Khi D2 = với vec tơ pháp tuyến − n 2 2 − → − → ∃k ∈ R : n1 = k n2 (α1 ) (α2 ) ⇐⇒ D1 = kD2 →⊥− → (α1 )⊥(α2 ) ⇐⇒ − n n2 → = k− →, ∀k ∈ R (α1 ) cắt (α2 ) ⇐⇒ − n n → = k− → ∃k ∈ R : − n n (α1 ) ≡ (α2 ) ⇐⇒ D1 = kD2 5.4.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M (x0 , y0 , z0 ) đến mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = xác định bởi: d(M, (α)) = 5.4.5 |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Chùm mặt phẳng Cho mặt phẳng (α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = cắt theo giao tuyến đường thẳng (∆) Khi đó, mặt phẳng qua giao tuyến (∆) có phương trình phụ thuộc tham số dạng: m(A1 x+B1 y+C1 z+D1 )+n(A2 x+B2 y+C2 z+D2 ) = với m2 +n2 = 5.5 5.5.1 Mặt cầu Phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a, b, c) bán kính R (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 5.5 MẶT CẦU 69 Ngược lại, phương trình x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2√ − d > phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d Đặc biệt, phương trình mặt cầu S(O; R) x2 + y + z = R2 Phương trình x2 + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2 + B + C − D > sau biến đổi cách nhóm đẳng thức trở thành (x + A)2 + (y + B)2 + (z + C)2 = R2 với R2 = A2 + B + C − D Do phương trình phương trình mặt cầu tâm I(−A, −B, −C) bán kính √ R = A + B + C − D 5.5.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu (S) tâm I(a, b, c) bán kính R có phương trình (x−a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = Gọi H hình chiếu điểm I lên mặt phẳng (α) IH = d(I, (α)) = |Aa + Bb + Cc + D| √ A2 + B + C Mặt phẳng (α) khơng cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I, (α)) > R Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I, (α)) = R Khi H gọi tiếp điểm mặt phẳng (α) gọi tiếp diện mặt cầu (S) Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I, (α)) R Đường thẳng (∆) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I, (∆)) = R Khi H gọi tiếp điểm đường thẳng (∆) gọi tiếp tuyến mặt cầu (S) Đường thẳng (∆) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I, (∆)) < R Khi (∆) cắt mặt cầu (S) hai điểm A B cho H trung điểm AB 5.6 5.6.1 Đường thẳng không gian chiều Các dạng phương trình đường thẳng Phương trình tham số: Cho đường thẳng (∆) qua điểm → − − M (x0 , y0 , z0 ) nhận vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) = làm vec tơ phương, (∆) có phương trình tham số   x = x0 + t.a1 y = y0 + t.a2  z = z0 + t.a3 5.6 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN CHIỀU 71 Phương trình tắc: Cho đường thẳng (∆) qua − điểm M (x0 , y0 , z0 ) nhận vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) cho a1 a2 a3 = làm vec tơ phương, (∆) có phương trình tắc x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát: Xem đường thẳng giao tuyến mặt phẳng, xét đường thẳng (∆) có dạng A1 x + B y + C z + D = A2 x + B y + C z + D = với A1 : B1 : C1 = A2 : B2 : C2 , vec tơ phương đường thẳng (∆) → − a = 5.6.2 B1 C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B2 C2 C2 A2 A2 B2 Vị trí tương đối đường thẳng Cho đường thẳng d1 qua điểm M1 (xM1 , yM1 , zM1 ) có vec tơ − phương → a1 , d2 qua điểm M2 (xM2 , yM2 , zM2 ) có vec tơ phương → − − − − a2 , đặt → n =→ a1 ∧ → a2 , d2 ⇐⇒ → − → − n = M1 ∈ / d2 d1 ≡ d2 ⇐⇒ → − → − n = M1 ∈ d2 d1 d1 cắt d2 ⇐⇒ → − → − n = − − − −→ → − n M M = −−−−→ − d1 d2 chéo ⇐⇒ → n M1 M2 = − − d1 ⊥ d2 ⇐⇒ → a1 → a2 = 72 CHƯƠNG TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CHIỀU 5.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) có vec tơ − phương → a = (a1 , a2 , a3 ), mặt phẳng (α) có phương trình Ax + − By + Cz + D = nhận → n = (A, B, C) làm vec tơ pháp tuyến Khi → − − a → n =0 d (α) ⇐⇒ M∈ / (α) d ⊂ (α) ⇐⇒ → − − a → n =0 M ∈ (α) − − d cắt (α) ⇐⇒ → a → n =0 − − d ⊥ (α) ⇐⇒ → n = k→ a 5.6.4 Một số cách tính khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (∆) ta thực bước: (a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa M vng góc với (∆); (b) Tìm giao điểm H (∆) với mặt phẳng (α); (c) d(M, ∆) = M H Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Trong khơng gian Oxyz, để tính khoảng cách đường thẳng (∆) mặt phẳng (α) song song với (∆) ta thực bước: (a) Lấy tùy ý điểm M (xM ; yM ; zM ) ∈ (∆); (b) d(∆, (α)) = d(M, (α)) Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Trong khơng gian Oxyz, để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo (∆) (∆ ) ta thực bước: 5.6 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN CHIỀU 73 (a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆) song song với (∆ ); (b) Lấy điểm tùy ý M (xM ; yM ; zM ) ∈ (∆ ); (c) d(∆, ∆ ) = d(M, (α)) 5.6.5 Một số công thức tính khoảng cách Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = d(M, (α)) = |AxM + ByM + CzM + D| √ A2 + B + C 2 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (∆) qua N − có vec tơ phương → u −−→ → MN ∧ − u d(M, ∆) = → − |u| M → − u N (∆) Khoảng cách đường thẳng chéo qua M1 (∆1 ) : → có vec tơ phương − u (∆2 ) : qua M2 → có vec tơ phương − u 74 CHƯƠNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU −−−→ →∧− →].− [− u u M M2 d(∆1 , ∆2 ) = →∧− →] [− u u − → u (∆1 ) M1 − → u M2 5.6.6 (∆2 ) Một số cơng thức tính góc Góc hai đường thẳng: đường thẳng (∆1 ) có vec tơ phương Cho đường thẳng (∆2 ) có vec tơ phương góc ϕ (∆1 ) (∆2 ) xác định →.− → |− u u2 | cos ϕ = − →|.|− → = |u u2 | − → = (a ; b ; c ) u 1 1 − → u = (a ; b ; c ) 2 2 |a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 | a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22 Đặc biệt (∆1 ) ⊥ (∆1 ) ⇔ a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = Góc đường thẳng mặt phẳng: − đường thẳng (∆) có vec tơ phương → u = (a; b; c) Cho → − mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến n = (A; B; C) góc ψ (∆) (α) xác định − − |→ u → n| |Aa + Bb + Cc| − − √ sin ψ = | cos(→ u,→ n )| = → =√ − → − | u |.| n | a + b2 + c2 A2 + B + C 5.6 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU → − n 75 ∆ → − u α Đặc biệt (∆) (α) (∆) ≡ (α) Aa + Bb + Cc = Góc mặt phẳng: mặt phẳng (α1 ) có vec tơ pháp tuyến Cho mặt phẳng (α2 ) có vec tơ pháp tuyến góc β (α1 ) (α2 ) xác định →.− → |− n n2 | cos β = − →|.|− → = |n n2 | − → = (A ; B ; C ) n 1 1 − → n = (A ; B ; C ) 2 |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 Đặc biệt (α1 ) ⊥ (α2 ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 2 76 CHƯƠNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thái Sơn, Trang web: http://osshcmup.wordpress.com, 2013 [2] Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, Bài tập Hình học 12, Nhà xuất Giáo Dục 2008 [3] Phan Thanh Quang, Sổ tay toán 10 - 11 - 12, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm 2010 77 ... M B = 2M I, ∀M 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỚI VEC TƠ 11 −→ −−→ −−→ → − (c) G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ −−→ −−→ −−→ −−→ M A + M B + M C = 3M G, ∀M 12 CHƯƠNG VEC TƠ Chương Hệ thức lượng tam giác... − → u → v phương ⇔ ∃k ∈ R : → u = k→ v ⇔ = v1 v2 − Độ dài vec tơ : |→ u|= − u21 + u22 ; |→ v|= v12 + v22 Tích vơ hướng: → − − u → v = u1 v1 + u2 v2 → − → − − − − − u v = |→ u ||→ v | cos(→ u,→