Tổ hợp độc lập( Independent Set): Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), một tổ hợp độc lập là tập con của các nút , sao cho không có hai nút trong U kề nhau. Một tổ hợp độc lập được gọi là tối đa nếu là tổ hợp độc lập không là con của bất kỳ tổ hợp độc lập nào khác.(MIS) Một tổ hợp độc lập lớn nhất là MIS có kích thước lớn nhất.(MaxIS)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG BÁO CÁO MƠN HỌC TÍNH TỐN PHÂN TÁN ĐỀ TÀI: Tìm hiểu Maximal Independent Set(MIS) Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Đức Sinh viên thực hiện: MSSV : Nguyễn Thị Phương Hằng 20131345 Hà Nội tháng năm 2018 Contents I MIS II Định nghĩa Fast MIS năm 1986 1.Thuật toán Fast MIS III Fast MIS năm 2009 1.Giải thuật 2: Fast MIS 2009 IV V Ứng dụng 13 Tài liệu tham khảo 14 I MIS Định nghĩa Tổ hợp độc lập( Independent Set): Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), tổ hợp độc lập tập nút , cho khơng có hai nút U kề Một tổ hợp độc lập gọi tối đa tổ hợp độc lập không tổ hợp độc lập khác.(MIS) Một tổ hợp độc lập lớn MIS có kích thước lớn nhất.(MaxIS) Hình 1: Đồ thị minh họa với 1) tổ hợp độc lập tối đa(MIS) 2) tổ hợp độc lập lớn nhất(MaxIS) Ghi chú: - Tính tốn tổ hợp độc lập lớn (MaxIS) vấn đề khó khăn Nó tương đương với clique tối đa đồ thị bổ sung.Cả hai vấn đề NP-khó - Trong phần tập trung vào thiết lập tổ hợp độc lập tối đa(MIS) MIS MaxIS khác nhau, có đồ thị mà MIS nhỏ MaxIS Ө(n) - Tính MIS bình thường: Quét nút theo thứ tự tùy ý.Nếu nút u không vi phạm độc lập, thêm u vào MIS Nếu u vi phạm độc lập, loại bỏ u Vì câu hỏi để tính tốn MIS theo cách phân tán Giải thuật 1: Slow MIS Yêu cầu: Node IDs Mọi nút u thực sau If hàng sóm u với với ID lớn định không tham gia MIS u định tham gia MIS endif Ghi chú: Khơng ngạc nhiên thuật tốn slow khơng tốt thuật tốn trường hợp xấu nhất, có điểm trình hoạt động lúc Phân tích giải thuật 1: Độ phức tạp thời gian O(n), độ phức tạp thông điệp O(m) Ghi chú: - Điều khơng thú vị - Có mối quan hệ tổ hợp độc lập tơ màu nút, mối lớp màu tổ hợp độc lập nhiên không thiết MIS Bắt đầu với tơ màu, ta rút thuật toán MIS Đầu tiên chọn tất nút màu Sau với màu bổ sung, thêm song song( không xung đột) nhiều nút tốt Như kết sau: Cho thuật toán tô màu cần C màu chạy thời gian T, xây dựng MIS thời gian C+T I Fast MIS năm 1986 1.Thuật toán Fast MIS Thuật tốn hoạt động vịng đồng bộ, nhóm thành giai đoạn Một pha sau: 1) Mỗi nút v đánh dấu với xác xuất , d(v) cấp v 2) Nếu khơng có láng giềng có bậc cao v đánh dấu, nút v tham gia vào MIS Nếu có láng giềng bậc cao v đánh dấu, nút v không đánh dấu 3) Xóa tất nút tham gia vào MIS láng giềng, chúng khơng thể tham gia vào MIS Ghi chú: - Độ xác theo nghĩa thuật toán tạo tổ hợp độc lập tương đối đơn giản Bước đảm bảo nút v tham gia vào MIS, sau láng giềng v khơng tham gia vào MIS lúc Bước đảm bảo láng giềng v không tham gia vào MIS - Tương tự thuật toán tạo cuối MIS, nút với bậc cao đánh dấu số điểm bước - Vì vậy, câu hỏi cịn lại làm thuật tốn kết thúc nhanh Bổ đề 1: Một nút v tham gia vào MIS bước với xác xuất p≥ 4𝑑(𝑣) Minh chứng: Cho M tập nút đánh dấu bước Cho H(v) tập láng giềng v với bậc cao hơn, bậc định danh cao Sử dụng độc lập v H(v) bước nhận được: Và Bổ đề 2: Một nút v gọi tốt Nếu không gọi v nút xấu Một nút tốt gỡ bỏ bước với xác suất p≥ 36 Chứng minh: Để nút v tốt Trực quan nút tốt có nhiều láng giềng bậc thấp, hội cao mà số chúng vào tổ hợp độc lập, trường hợp v bị gỡ bỏ bước thuật tốn Nếu có láng giềng w € N(v) với bậc nhiều chúng tơi có: Với bổ đề xác suất nút w tham gia vào MIS nhỏ nút tốt bị loại bỏ bước Vậy nên quan tâm đến tất láng giềng có bậc 1 Với láng giềng w v chúng có ≤ 2𝑑(𝑤) Vì có tập láng giềng để Bây ràng buộc xác suất nút v bị xóa Do R kiện v bị xóa.Một lần nữa, láng giềng v tham gia vào MIS bước 2, nút v bị xóa bước Chúng ta có: Đối với bất đẳng thức cuối cùng, sử dụng nguyên tắc loại trừ Đặt M tập nút đánh dấu sau bước Sử dụng Pr [u ∈ M] ≥ Pr [u ∈ MIS] w có: Ghi chú: Chúng ta gần hồn thành chứng minh nhiều nút tốt giai đoạn Thật không may trường hợp ngoại lệ: Trong đồ thị hình sao, cho ví dụ, có nút tốt Bổ đề 3: Một canh e=(u,v) gọi xấu u v xấu, ngược lại gọi tốt Chứng minh: Chúng ta xây dựng đồ thị phụ trực tiếp: Đưa cạnh phía nút có bậc cao hơn( Nếu hai nút có bậc đưa nút có định danh cao hơn) Bây cần bổ đề nhỏ trước chứng minh Bổ đề 4: Một nút tồi có bậc ra(outdegree) lần bậc vào(indegree) Chứng minh: Vì mâu thuẫn, giả sử nút xấu v khơng có bậc lần bậc vào Nói cách khác, 1/3 nút láng giềng(S) có bậc nhiều d(v) Nhưng sau đó: Nghĩa v tốt, mâu thuẫn Chúng ta tiếp tục với chứng minh bổ đề 3, số cạnh hướng vào nút xấu tối đa nửa số cạnh hướng ngồi nút xấu Do đó, số lượng cạnh hướng vào nút xấu tối đa nửa số cạnh Do đó, nửa số cạnh hướng vào nút tốt Vì cạnh khơng phải nút xấu, chúng nút tốt Định lý: Thuật toán kết thúc với thời gian dự kiến O(log n) Chứng minh: Với bổ đề nút tốt( nên cạnh tốt) bị xóa với xác suất khơng thay đổi Vì nửa cạnh tốt, số lượng cạnh bị xóa giai đoạn Với bổ đề biết cạnh bị xóa với xác suất nhỏ 1/72 Cho R số lượng cạnh bị xóa Sử dụng tính tuyến tính kỳ vọng biết E [R] ≥ m/72, m tổng cạnh đầu pha Bây cho p:= Pr [R ≤ E [R] /2] Hạn chế số lượng mong đợi: Giải p ta được: Nói cách khác, với xác suất nhỏ 1/144 , nhỏ m/144 cạnh bị xóa pha Sau thời gian pha O(log m), tất cạnh bị xóa Ví dụ minh họa giải thuật: Xác suất: Đánh dấu: Xóa hàng xóm: II Fast MIS năm 2009 1.Giải thuật 2: Fast MIS 2009 Thuật toán hoạt động vịng đồng bộ, nhóm thành giai đoạn Một pha đơn sau: 1) Mỗi nút v chọn giá trị ngẫu nhiên r(v) € [0,1] gửi tới láng giềng 2) Nếu r(v) < r(w) cho tất láng giềng w € N(v), nút v vào MIS thơng báo cho láng giềng 3) Nếu v hay láng giềng v tham gia vào MIS, v kết thúc( v tất cạnh liền kề với v bị xóa khỏi biểu đồ), không v nhập pha Ghi chú: - Độ xác theo nghĩa thuật tốn tạo tổ hợp độc lập đơn giản: Bước đảm bảo nút v tham gia MIS, sau láng giềng v không tham gia MIS lúc Bước đảm bảo láng giềng v không tham gia MIS - Tương tự thuật toán tạo cuối MIS, nút với giá trị nhỏ tham gia MIS, nên có tiến trình - Vì câu hỏi cịn lại để thuật toán kết thúc nhanh - Chứng minh dựa quan sát đơn giản mạnh mẽ giá trị dự kiến biến ngẫu nhiên khơng độc lập Định lý 1: ( Độ tuyến tính kỳ vọng) Cho Xi,i=1….,k biểu thị biến ngẫu nhiên sau Chứng minh: Nó đủ để chứng minh E [X + Y ] = E [X]+E [Y ] cho hai biến ngẫu nhiên X, Y Chúng ta có: Ghi chú: - Chúng ta chứng minh giải thuật cần O(log n) nào? - Cần chứng minh số lượng cạnh giảm nhanh Lần nữa, tuyệt vời có cạnh đơn bị xóa với xác suất khơng thay đổi bước Nhưng lần nữa, thật không may, trường hợp khơng xảy - Có lẽ tranh luận số lượng cạnh mong muốn bị xóa pha đơn? Cùng xem nhé: Một nút v vào MIS với xác suất 1/(d(v)+1) d(v) bậc nút v Bằng cách đó, khơng cạnh v bị xóa, thực tất cạnh láng giềng v nói chung nhiều d(v) cạnh Tuy nhiên có hy vọng, cần phải cẩn thận với việc tính cạnh nhiều lần - Làm để khắc phục? Cho nút MIS v hàng xóm w € N(v), ta tính cạnh r(v)v) cho w tham gia MIS Theo định lý giá trị mong đợi tổng X giá trị biến ngẫu nhiên Nói cách khác, kỳ vọng tất cạnh loại bỏ pha nhất?!? Chắc khơng Điều có nghĩa chúng tơi tính số cạnh lần Thật vậy, cạnh {v, w} ∈ E biến ngẫu nhiên X bao gồm cạnh kiện (u → v) xảy ra, X bao gồm cạnh kiện (x → w) xảy Vì vậy, chúng tơi tính cạnh {v, w} hai lần May mắn thay, không hai lần, nhiều kiện (· → v) nhiều kiện (· → w) xảy Nếu (u → v) xảy ra, biết r (u) r (u) ∈ N (v) Do đó, biến ngẫu nhiên X phải chia cho Nói cách khác, kỳ vọng nửa cạnh loại bỏ Ví dụ minh họa: Chọn giá trị ngẫu nhiên: 11 Tìm giá trị hàng xóm=> IS: Xóa hàng xóm: Chọn giá trị ngẫu nhiên Tìm hàng xóm=>IS 12 Xóa hàng xóm Chọn giá trị ngẫu nhiên: Là giá trị thấp nhất: Ta MIS: III Ứng dụng Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) kết hợp tập cạnh M E, mà khơng có hai cạnh M liền kề nhau( tức nơi mà khơng có nút liền kề tới hai cạnh kết hợp) Một kết hợp tối đa khơng có cạnh thêm mà không vi phạm ràng buộc Giải thuật: Tô màu tổng quát Cho đồ thị G = (V,E) xây dựng đồ thị G’=(V’,E’) sau Mọi nút v € V chép d(v)+1 lần,(v0, vdd(v) thuộc V’), d(v): bậc v G Tập cạnh E G sau: Đầu tiên tất chép clique: (vi, vj) thuộc E’, tất v thuộc V tất 0