đề thi học sinh giỏi lớp 12 ( Thời gian 180 phút) Giáo viên:Lê Việt Cờng Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m a). khảo sát hàm số khi m=-1 b) Tìm m để phơng trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2:(5 điểm) Cho phơng trình ( ) xxmxxx +=++ 4512 a) Giải phơng trình khi m = 12 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) Tính x xx Lim x 11001.101 20062005 0 ++ > Bài 4: (3 điểm) Giải phơng trình log 3 (x 2 +x+1) - log 3 x = 2x-x 2 Bài 5 : (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G 1 , G 2 , G 3 , G 4 lần lợt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt AG 1 = m 1 , BG 2 = m 2 , CG 3 = m 3 , DG 4 = m 4 . CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi m 1 +m 2 +m 3 +m 4 = 3 16R hớng dẫn sơ lợc toán HSG12 1b) Phơng trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0 (x-2m)(x 2 -3x-m)=0 = = )2(03 2 2 mx mx x Phơng trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt 2m ( ) > >+= 4 9 4 7 ,0 049 02.3 2 2 m mm m mm m Bài 2:( 5 đ) a)(2 đ) Từ điều kiện 0 4x VP 12)4445(12 =+ VT 44 + 12124 =+ phơng trình có nghiệm x=4 b). (3 đ ) Phơng trình đã cho f(x) = ( )( ) mxxxxx =++ 4512 (2) Xét hàm số f(x) trên [0;4] f(x)=f 1 (x)f 2 (x) với f 1 (x) = 12 ++ xxx có f 1 (x) = 122 1 2 + ++ xx x x >0 f 1 (x) trên [0;4] và f 1 (x) 0 x [0;4] f 2 (x) = xx −−− 45 cã f’ 2 (x) = xx xx xx −− −+−− = − + − − 452 544 42 1 52 1 >0 ⇒ f 2 (x) ↑ trªn [0;4] vµ f 2 (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4] ⇒ f(x) ↑ trªn [0;4] ⇒ Min [o;4] f(x) = f(0) = ( ) 4512 − vµ Max [o;4] f(x) =12 Tõ ®ã (2) cã nghiÖm ⇔ Min [o;4] f(x) ≤ m ≤ Max [o;4] f(x) ⇔ ( ) 4512 − ≤ m ≤ 12 lµ ®iÒu kiÖn ®Ó (1) cã nghiÖm Bµi 3:( 5 ®) Tríc hÕt ta chøng minh: a ≠ 0, n ∈ N, n ≥ 2 th× n a x ax n x Lim = −+ >− 11 0 §Æt y = n ax + 1 khi ®ã x → 0 th× y → 1 vµ ( ) n a y y a y x ax yy Lim y LimLim n y n y n x = +++ − = − − = −+ − >−>−>− )1 1 1 111 (1 110 (2 ®) Ta cã: x xx Lim x 11001.101 20062005 0 −++ >− = x xxxx Lim x 110011011001.101 2006200620062005 0 −+++−++ >− = x x x x x LimLim xx 110011101 1001 2006 0 2005 2006 0 −+ + −+ + >−>− = 2006.2005 220560 2006 100 2005 10 =+ (3 ®) Câu 4: Phơng trình đã cho = ++ > x x Log x x x x 2 2 3 2 1 0 = ++ > 3 2 2 1 0 2 xx x x x x xét hàm số y= x x x 1 2 ++ với x>0, Minf(x) = 3 với x=1 y= g(x)= 3 2 2 xx với x>0, Maxf(x) =3 với x=1 Phơng trình đã cho có nghiệm x=1. Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lợt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện Ta có: =+++ =+++ OGDGCGBGA R ODOCOBOA 2 2222 Mặt khác: 4R 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) GDOGGCOGGBOGGAOG + + + + + + + 2222 (1 đ) 4R 2 = 40G 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 (1 đ) mà GA 2 = m 2 1 16 9 , GB 2 = m 2 2 16 9 ,GC 2 = m 2 3 16 9 ,GD 2 = m 2 4 16 9 4R 2 = 40G 2 + ( ) mmmm 2 4 2 3 2 2 2 1 16 9 +++ ⇒ 4R 2 ≥ ( ) mmmm 2 4 2 3 2 2 2 1 16 9 +++ (1 ®) Theo B§T “ Bunhiacopxki” ta cã ( ) )(4 4321 4321 2 mmmmmmmm +++≤ +++ ⇒ R 2 ≥ ( ) ( ) mmmm mmmm 4321 2 4321 256 9 64 9 +++ ≥+++ ( 1 ®) ⇔ 3 16 4321 R mmmm ≤+++ DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi : ⇔ === ≡ mmmm GO 4321 Tø diÖn ABCD ®Òu (1®) . (1 110 (2 ®) Ta cã: x xx Lim x 1100 1.101 20062005 0 −++ >− = x xxxx Lim x 1100 11 01100 1.101 2006200620062005 0 −+++−++ >− = x x x x x LimLim xx 1100 11101 . tứ diện đều khi và chỉ khi m 1 +m 2 +m 3 +m 4 = 3 16R hớng dẫn sơ lợc toán HSG1 2 1b) Phơng trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0 (x-2m)(x 2 -3x-m)=0 =