Trường THPT Tĩnh Gia 2 Luyện thi ĐẠI HỌC ĐỀ SỐ 1 CâuI: (2điểm) Cho hàm số y=x 4 -6x 2 +(m+2)x+6(1), (m là tham số thực ); 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(1) khi m=-2; 2. Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị khi m=2. CâuII: (2điểm) 1.Giải pt: cos3x-cos2x+cosx= 2 1 2.Giải pt: log 2 2 x-4log 2 x +3=x- xlog 2 x CâuIII: (1điểm) Tính tích phân: I= dxx x xx )1ln( 1 122 5 2 2 − − −− ∫ CâuIV: (1điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên A’A=b. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính thể tích của khối chóp A’.BB’C’C. CâuV: (1điểm) Tính tổng: S= 3 1 C n 0 + 6 1 C n 1 +…+ 33 1 + n C n n . CâuVI: (2điểm) 1. Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn (C): (x-4) 2 +y 2 =4 và điểm E(4;1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến ĐT (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua E. 2. Trong hệ trục 0xyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(-1;1;1) và cắt 3 trục toạ độ tại 3 điểm A,B,C khác gốc toạ độ 0 sao cho H là trực tâm của tg ABC.Hãy viết pt mặt phẳng (P). CâuVII: (1điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số: y =sin 5 x+ 3 cosx. …………………………… HẾT………………………………… ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm CâuI(2đ) 1) (1,25đ) Khi m=2:y =x 4 -6x 2 +6 a)TXĐ: D=R 0,25 b) Sbt: y’=4x(x 2 -3) Vậy hs nghịch biến trên các khoảng (-∞;- 3 ) và (0; 3 ) ………đồng……………………….(- 3 ;0) và ( 3 ;+ ∞ ) 0,25 c) Cực trị: HS đạt CĐ tại (0;6) ……….CT….( 3;3 −± ) d)Giới hạn: ;lim +∞= ±∞→ x y Hs có TCĐ là đt x=-1 Hs có TCN là đt y=3 0,25 e) BBT: x -∞ - 3 0 3 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y 0,25 f) Đồ thị: ĐTHS cắt 0x tại ( 33 ±± ;0) ………….0y……(0;6) 0y làm trục đối xứng. 0,25 2) (0,75đ) Khi m=2: y =x 4 -6x 2 +4x+6 (2) y’ =4(x 3 -3x+1)=g(x) tacó: g(-2)=-1<0 g(-1)=3>0 g(1)=-1<0 g(2)=3>0 M à g(x)li ên t ục tr ên R n ên pt g(x)=0 c ó 3 ng pb x 1 , x 2 , x 3 là 3 cực trị của hs (2) 0,25 thực hiện phép chia f(x)=x.g(x)-3(x 2 -x-2) do g(x 1 ) =g(x 2 ) =g(x 3 )=0 n ên y 1 =f(x 1 )=-3(x 1 2 -x 1 -2) y 2 =f(x 2 )=-3(x 2 2 -x 2 -2) 0,25 y 3 =f(x 3 )=-3(x 3 2 -x 3 -2) Theo đl ý Viet tacó: x 1 + x 2 +x 3 =0 x 1 x 2 + x 2 x 3 +x 3 x 1 =-3 dễ thấy y 1 +y 2 +y 3 =0 (đpcm) 0,25 CâuII(2đ) 1(1đ) TXĐ D=R 0,25 -Xét cos 2 x =0, thấy không phải ng pt 0,25 -Với cosx/2 khác 0.nhân 2 vế pt với cosx/2 ta được: Cosx/2.cos3x-cosx/2.cos2x-cosx/2.cosx=1/2.cosx/2 0,25 biến đổi tích thành tổng và rút gọn pt ta được cos7x/2=0 ),73,( 7 2 7 ZnnkZkkx ∈+≠∈+=⇔ ππ 0,25 2(1đ) Đk x>0 0,25 Bpt ⇔ log 2 2 x+(x-4)log 2 x –x+3=0 Đặt t=log 2 x, Bpt trở thành t 2 +(x-4)t-x+3=0 ⇔ t=1 hoặc t=3-x 0,25 t =1: log 2 x=1 x ⇔ =2 t=3-x: log 2 x=3-x(*) 0,25 VT(*) là hs đb với mọi x>0 VP(*) là hs nb …………… Vậy (*) có ng duy nhất x=2 KL nghiệm của pt là: x=2. 0,25 CâuIII (1đ) 2(1đ) I= ∫ ∫∫ − − −−=− − − 5 2 5 2 5 2 1 )1ln( )1ln(2)1ln() 1 1 2( x dxx dxxxdxx x x 0,25 Tính J= ∫ − 5 2 )1ln(2 dxxx Đặt: u=ln(x-1) Dv=2xdx Ta được J=24ln4- 2 27 0,25 Tính K= 2 4ln ))1(ln()1ln( 1 )1ln( 2 5 2 5 2 =−−= − − ∫∫ xdx x dxx 0,25 Vậy I=48ln2- 2 27 -2ln 2 2 0,25 CâuIV (1đ) Ta sẽ tính V A’.BCC’B’ =V ABC.A’B’C’ -V A’.ABC 0,25 Gọi H là tâm tg ABC, do A’.ABC là chóp đều nên A’H là đcao của chóp A’ABC, cũng là đcao của lăng trụ. Gọi E là trung điểm BC α =A’EH. Trong tg ABC đều cạnh a, ta có: AE= 2 3a , AH= 3 3a 3 39 '' 22 22 ab AHAAHA − =−=⇒ 0,25 S ABC = 4 3 .' 4 3 222 '''. 2 aba SHAV a ABCCBAABC − ==⇒ 0,25 V A’.ABC =1/3.A’H.S ABC = 12 3 222 aba − 0,25 V A’.BCC’B’ =V ABC.A’B’C’ -V A’.ABC = 6 3 222 aba − (đvtt) 0,25 CâuV(1đ) Tacó (1+x) n =C 0 n + nn nnn xCxCxC +++ . 221 0,25 dxxCxCCdxx nn nnn n ) .()1( 1 1 0 1 0 0 +++=+ ∫ ∫ 0,25 1 0 1 210 1 )1( 1 1 . 3 1 2 1 + + = + ++++ + n x C n CCC n n nnnn 0,25 Vậy S= )1(3 12 1 + − + n n 0,25 CâuVI (2đ) 1(1đ) Gọi toạ độ của các tiếp điểm A,B là A(x A ,y A ), B(x B ,y B ); PT tt MA là : (x A -4)(x-4)+y A y=4 Vì tt đi qua M(0;y 0 ) nên ta có -4(x A -4)y A y 0 =4 0 124 y x y A A − =⇒ 0,25 Tương tự: 0 124 y x y B B − = 0,25 PT đt AB là: AB A AB A xx xx yy yy − − = − − Thay y A , y B ta được: y- )4( 4 124 00 A A x yy x −= − 0,25 Thay toạ độ điểm E và pt AB ta được: )( 4 124 1 00 A A xx yy x −= − − 4 0 =⇔ y Vậy có 1 điểm t/m M(0;4) 0,25 2.(1đ) Giả sử (P) cắt các trục tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) abc ≠ 0 Pt(P) là 1 =++ c z b y a x 0,25 Do H thuộc (P) nên -1/a+1/b+1/c=1(1) 0,25 Do H là trực tâm tg ABC nên 0. 0. = = ACHB BCHA suy ra: b=c=-a(2) 0,25 Thay (2) vào (1) ta được a=-3;b=c=3. Vậy pt(P) là:-x+y+z-3=0 0,25 CâuVII (1đ) Tìm max y: y ≤ sinx 4 + 3 cosx Ta c/m cho y ≤ 3 0,25 −⇔≥−−⇔ 1(0sin)01(3 4 xsxc cosx) [ 3 -(1-cosx)(1+cosx) 2 ] 0 ≥ Theo bđt Cosy cho 3 số ta có: (1-cosx)(1+cosx)(1+cosx) ≤ 1/2.(2-2cosx)(1+cosx)(1+cosx) ≤ 3 27 32 ) 3 4 ( 2 1 3 ≤= Vậy max y = Zkkx ∈=⇔ ,23 π 0,25 Tìm min y: y 3sin 4 +−≥ x cosx 0,25 Làm tương tự ta được min y=- Znnx ∈+=⇔ ,23 ππ 0,25