Mạng vận tải

http://www.ebook.edu.vn Chu . o . ng 7 Ma . ng vˆa . n ta ˙’ i 7.1 Mo . ˙’ d¯ˆa ` u Mˆo . t trong nh˜u . ng b`ai to´an l´y th´u v`a quan tro . ng cu ˙’ a l´y thuyˆe ´ t d¯ˆo ` thi . l`a x´ac d¯i . nh gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t cu ˙’ a luˆo ` ng d¯u . o . . c truyˆe ` n t`u . mˆo . t d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n s cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯ˆe ´ n mˆo . t d¯ı ˙’ nh d¯´ıch t. Trong khung ca ˙’ nh d¯´o, mˆo ˜ i cung (v i , v j ) cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G d¯u . o . . c gˇa ´ n v´o . i mˆo . t kha ˙’ nˇang thˆong qua q ij l`a sˆo ´ lu . o . . ng luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ ta ˙’ i qua cung n`ay. B`ai to´an n`ay v`a nh˜u . ng ca ˙’ i biˆen cu ˙’ a n´o c´o rˆa ´ t nhiˆe ` u ´u . ng du . ng trong thu . . c tˆe ´ , chˇa ˙’ ng ha . n, x´ac d¯i . nh mˆa . t d¯ˆo . giao thˆong l´o . n nhˆa ´ t gi˜u . a hai v`ung trong ba ˙’ n d¯ˆo ` giao thˆong d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i mˆo . t d¯ˆo ` thi . . Trong v´ı du . n`ay, l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c˜ung chı ˙’ ra nh˜u . ng no . i “ba ˙’ o ho`a” trˆen ma . ng giao thˆong v`a ta . o mˆo . t “tˇa ´ c ngh˜en” khi luˆo ` ng tˆa . p trung v`ao gi˜u . a hai vi . tr´ı n`ao d¯´o. Phu . o . ng ph´ap gia ˙’ i b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t d¯u . a ra lˆa ` n d¯ˆa ` u tiˆen bo . ˙’ i Ford v`a Fulkerson [27] v`a k˜y thuˆa . t “g´an nh˜an” cu ˙’ a ho . l`a co . so . ˙’ cho nh˜u . ng thuˆa . t to´an kh´ac gia ˙’ i quyˆe ´ t nh˜u . ng vˆa ´ n d¯ˆe ` liˆen quan. C´o mˆo . t sˆo ´ ca ˙’ i biˆen cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t: 1. Gia ˙’ su . ˙’ rˇa ` ng mˆo ˜ i cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . khˆong chı ˙’ d¯u . o . . c gˇa ´ n v´o . i kha ˙’ nˇang q ij cho biˆe ´ t cˆa . n trˆen cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) m`a c`on “kha ˙’ nˇang” r ij cho cˆa . n du . ´o . i cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen cung n`ay. Trong tru . `o . ng ho . . p nhu . vˆa . y, khˆong pha ˙’ i l´uc n`ao mˆo . t tˆa . p chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c c´ac gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng c˜ung thoa ˙’ m˜an c`ung l´uc hai r`ang buˆo . c n`ay. Tuy nhiˆen-n´oi chung-nhiˆe ` u luˆo ` ng thoa ˙’ d¯iˆe ` u kiˆe . n n`ay, v`a nˆe ´ u ngo`ai c´ac kha ˙’ nˇang c`on c´o c´ac chi ph´ı c ij tu . o . ng ´u . ng mˆo . t d¯o . n vi . luˆo ` ng do . c theo c´ac cung, th`ı b`ai to´an tro . ˙’ th`anh t`ım luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c v´o . i chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t. 2. X´et tru . `o . ng ho . . p d¯`oi ho ˙’ i luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t gi˜u . a mo . i cˇa . p d¯ı ˙’ nh. Mˇa . c d`u b`ai to´an n`ay c´o thˆe ˙’ gia ˙’ i bˇa ` ng n(n − 1)/2 lˆa ` n lˇa . p c´ac b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t nhu . ng c´ach l`am n`ay qu´a thˆo! Tu . o . ng tu . . v´o . i t`ım tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t, o . ˙’ d¯ˆay c˜ung cˆa ` n 173 http://www.ebook.edu.vn mˆo . t thuˆa . t to´an chuyˆen du . ng d¯ˆe ˙’ gia ˙’ i n´o-v`a trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng, phu . o . ng ph´ap gia ˙’ i quyˆe ´ t n´o khˆong liˆen quan d¯ˆe ´ n l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh s v`a t. 3. Nˆe ´ u thay cho mˆo . t d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n v`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh d¯´ıch, ta kha ˙’ o s´at mˆo . t sˆo ´ nguˆo ` n v`a mˆo . t sˆo ´ d¯´ıch, v´o . i c´ac h`ang ho´a kh´ac nhau gi˜u . a hai tˆo ˙’ ho . . p nguˆo ` n-d¯´ıch kh´ac nhau, th`ı b`ai to´an cu . . c d¯a . i tˆo ˙’ ng sˆo ´ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac luˆo ` ng t`u . c´ac nguˆo ` n d¯ˆe ´ n c´ac d¯´ıch l`a b`ai to´an luˆo ` ng d¯a-h`ang ho´a. Trong b`ai to´an n`ay, kha ˙’ nˇang q ij cu ˙’ a cung (v i , v j ) l`a cˆa . n trˆen cu ˙’ a tˆo ˙’ ng c´ac luˆo ` ng v´o . i c´ac loa . i h`ang ho´a trˆen cung d¯´o. 4. Gia ˙’ thiˆe ´ t (ˆa ˙’ n) trong tˆa ´ t ca ˙’ c´ac tru . `o . ng ho . . p trˆen l`a sˆo ´ lu . o . . ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n bˇa ` ng sˆo ´ lu . o . . ng luˆo ` ng ra. Nˆe ´ u ta bo ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t n`ay v`a x´et tru . `o . ng ho . . p luˆo ` ng ra kho ˙’ i mˆo . t cung bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n nhˆan v´o . i mˆo . t sˆo ´ nguyˆen khˆong ˆam n`ao d¯´o, th`ı b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t (t`u . s d¯ˆe ´ n t) d¯u . o . . c xem nhu . b`ai to´an trong c´ac d¯ˆo ` thi . v´o . i c´ac lo . . i nhuˆa . n. Trong da . ng n`ay, c´ac luˆo ` ng c´o thˆe ˙’ “d¯u . o . . c sinh ra” hoˇa . c “bi . hˆa ´ p thu . ” bo . ˙’ i d¯ˆo ` thi . , v`a do vˆa . y luˆo ` ng v`ao s v`a luˆo ` ng ra kho ˙’ i t c´o thˆe ˙’ thay d¯ˆo ˙’ i ho`an to`an d¯ˆo . c lˆa . p. C´ac b`ai to´an vˆe ` luˆo ` ng d¯u . o . . c nghiˆen c´u . u nhiˆe ` u v`a c´o nh˜u . ng ´u . ng du . ng thu . . c tiˆe ˜ n. Mu . c d¯´ıch cu ˙’ a chu . o . ng n`ay tr`ınh b`ay ngˇa ´ n go . n c´ac b`ai to´an thu . `o . ng gˇa . p, chı ˙’ ra mˆo ´ i liˆen hˆe . gi˜u . a ch´ung v`a xˆay du . . ng mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an gia ˙’ i quyˆe ´ t. Chu . o . ng n`ay s˜e tha ˙’ o luˆa . n b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t v`a c´ac tˆo ˙’ ng qu´at ho´a cu ˙’ a n´o (1), (2), (3) v`a (4) trˆen. Do c´ac thuˆa . t to´an gia ˙’ i b`ai to´an luˆo ` ng d¯a-h`ang ho´a rˆa ´ t kh´ac biˆe . t vˆe ` ba ˙’ n chˆa ´ t, v`a khˆong pha ˙’ i d¯ˆe ` u hiˆe . u qua ˙’ nhu . phu . o . ng ph´ap g´an nh˜an, nˆen s˜e khˆong d¯u . o . . c d¯ˆe ` cˆa . p o . ˙’ d¯ˆay. Ba . n d¯o . c quan tˆam c´o thˆe ˙’ xem [30] v`a c´ac t`ai liˆe . u dˆa ˜ n k`em theo. 7.2 B`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t Luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G l`a mˆo . t luˆo ` ng v´o . i gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. N´oi chung c´o mˆo . t v`ai luˆo ` ng v´o . i c`ung gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. Phˆa ` n n`ay tr`ınh b`ay thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. ´ Y tu . o . ˙’ ng cu ˙’ a thuˆa . t to´an l`a: kho . ˙’ i d¯ˆa ` u v´o . i luˆo ` ng n`ao d¯´o v`a tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng cho d¯ˆe ´ n khi khˆong thˆe ˙’ tˇang d¯u . o . . c n˜u . a. Kˆe ´ t qua ˙’ ta c´o luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. V´ı du . 7.2.1 D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng trong H`ınh 7.1 biˆe ˙’ u diˆe ˜ n so . d¯ˆo ` ma . ng dˆa ˜ n dˆa ` u. Dˆa ` u d¯u . o . . c dˆa ˜ n t`u . t`au s v`a d¯u . o . . c bo . m thˆong qua ma . ng d¯ˆe ´ n nh`a m´ay lo . c dˆa ` u t. C´ac d¯ı ˙’ nh b, c, d v`a e l`a c´ac tra . m bo . m trung gian. C´ac cung biˆe ˙’ u thi . c´ac ˆo ´ ng dˆa ˜ n dˆa ` u v`a hu . ´o . ng di chuyˆe ˙’ n cu ˙’ a hˆe . thˆo ´ ng. C´ac nh˜an trˆen c´ac cung l`a kha ˙’ nˇang thˆong qua tˆo ´ i d¯a cu ˙’ a ˆo ´ ng dˆa ˜ n. B`ai to´an d¯ˇa . t ra l`a t`ım c´ach chuyˆe ˙’ n nhiˆe ` u nhˆa ´ t lu . o . . ng dˆa ` u t`u . t`au d¯ˆe ´ n nh`a m´ay v`a t´ınh gi´a tri . n`ay. H`ınh 7.1 l`a mˆo . t v´ı du . cu ˙’ a mˆo . t “ma . ng vˆa . n ta ˙’ i”. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o: 174 http://www.ebook.edu.vn s t b c d e • • • • • • 3 5 2 2 2 4 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 7.1: V´ı du . vˆe ` ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. D - i . nh ngh˜ıa 7.2.2 Ma . ng vˆa . n ta ˙’ i l`a mˆo . t d¯o . n d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, c´o tro . ng sˆo ´ G sao cho (a) c´o mˆo . t v`a chı ˙’ mˆo . t d¯ı ˙’ nh s, go . i l`a d¯ı ˙’ nh v`ao (hoˇa . c d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n) cu ˙’ a ma . ng, khˆong c´o cung d¯ˆe ´ n n´o. (b) c´o mˆo . t v`a chı ˙’ mˆo . t d¯ı ˙’ nh t, go . i l`a d¯ı ˙’ nh ra (hoˇa . c d¯ı ˙’ nh d¯´ıch) cu ˙’ a ma . ng, khˆong c´o cung d¯i ra kho ˙’ i n´o. (c) mˆo ˜ i cung u := (v i , v j ) ∈ E d¯u . o . . c g´an mˆo . t sˆo ´ nguyˆen khˆong ˆam q ij , go . i l`a kha ˙’ nˇang cu ˙’ a cung u. (d) d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach bo ˙’ d¯i c´ac hu . ´o . ng l`a liˆen thˆong. V´ı du . 7.2.3 D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng trong H`ınh 7.1 l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. Lˆo ´ i v`ao l`a d¯ı ˙’ nh s v`a lˆo ´ i ra l`a d¯ı ˙’ nh t. Kha ˙’ nˇang cung (s, b) l`a q sb = 3 v`a cu ˙’ a cung (b, c) l`a q bc = 2. Trong chu . o . ng n`ay, nˆe ´ u G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i ch´ung ta s˜e k´y hiˆe . u d¯ı ˙’ nh v`ao l`a s v`a d¯ı ˙’ nh ra l`a t. D - i . nh ngh˜ıa 7.2.4 Gia ˙’ su . ˙’ G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i v´o . i kha ˙’ nˇang cung (v i , v j ) l`a q ij . Luˆo ` ng (chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c) F trong G g´an mˆo ˜ i cung (v i , v j ) mˆo . t sˆo ´ khˆong ˆam f ij sao cho (a) 0 ≤ f ij ≤ q ij ; v`a (b) v´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v j = s, t, ta c´o  i f ij =  i f ji . (7.1) 175 http://www.ebook.edu.vn (Tˆo ˙’ ng trong (7.1) lˆa ´ y trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac gi´a tri . i; nˆe ´ u khˆong c´o cung (v i , v j ), ta d¯ˇa . t f ij = 0). Ta n´oi f ij l`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ). V´o . i mˆo ˜ i j, ta go . i  i f ij l`a luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v j v`a  i f ij l`a luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh v j . D - iˆe ` u kiˆe . n (7.1) go . i l`a ba ˙’ o to`an luˆo ` ng. Trong v´ı du . dˆa ˜ n dˆa ` u cu ˙’ a H`ınh 7.1, ba ˙’ o to`an luˆo ` ng c´o ngh˜ıa dˆa ` u khˆong d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng v`a c˜ung khˆong d¯u . o . . c cˆa ´ p thˆem ta . i c´ac tra . m bo . m b, c, d v`a e. V´ı du . 7.2.5 C´ac ph´ep g´an f sb = 2, f bc = 2, f cz = 3, f sd = 3, f dc = 1, f de = 2, f ez = 2, x´ac d¯i . nh luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i cu ˙’ a H`ınh 7.1. Chˇa ˙’ ng ha . n, luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh d l`a f sd = 2, bˇa ` ng luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh d : f dc + f de = 1 + 2 = 3. Luˆo ` ng F d¯u . o . . c v˜e trong H`ınh 7.2, trong d¯´o cung e d¯u . o . . c g´an nh˜an x, y nˆe ´ u kha ˙’ nˇang cu ˙’ a e l`a x v`a luˆo ` ng trˆen e l`a y. s t b c d e • • • • • • 3, 2 5, 3 2, 2 2, 1 2, 2 4, 3 4, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 7.2: Luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i cu ˙’ a H`ınh 7.1. 176 http://www.ebook.edu.vn Ch´u ´y rˇa ` ng trong v´ı du . n`ay, luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh s l`a f sb + f sd bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t : f ct + f et v`a bˇa ` ng 5. Thˆa . t vˆa . y, ta c´o D - i . nh l´y 7.2.6 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G := (V, E). Khi d¯´o luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh s bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t; t´u . c l`a  i f si =  i f it . Ch´u . ng minh. Ta c´o  j∈V   i∈V f ij  =  j∈V   i∈V f ji  do mˆo ˜ i vˆe ´ bˇa ` ng  e∈E f e . V`ı vˆa . y 0 =  j∈V (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) = (  i∈V f it −  i∈V f ti ) + (  i∈V f is −  i∈V f si ) +  j∈V,j=s,t (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) =  i∈V f it −  i∈V f si do f ti = 0 = f is v´o . i mo . i v i ∈ V, v`a (7.1). D - i . nh ngh˜ıa 7.2.7 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G. D - a . i lu . o . . ng  i f si =  i f it go . i l`a gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng F. B`ai to´an trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G c´o thˆe ˙’ ph´at biˆe ˙’ u: B`ai to´an 7.2.8 T`ım mˆo . t luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c l´o . n nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . G; t´u . c l`a trong sˆo ´ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac luˆo ` ng trˆen G, t`ım luˆo ` ng F c´o gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. Thuˆa . t to´an g´an nh˜an cu ˙’ a Ford v`a Fulkerson [27] gia ˙’ i b`ai to´an n`ay du . . a trˆen D - i . nh l´y 7.2.10. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o mˆo . t sˆo ´ kh´ai niˆe . m 177 http://www.ebook.edu.vn D - i . nh ngh˜ıa 7.2.9 Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) d¯u . o . . c phˆan hoa . ch th`anh hai tˆa . p con V 0 v`a ˜ V 0 (trong d¯´o V 0 ⊂ V v`a ˜ V 0 l`a phˆa ` n b`u cu ˙’ a V 0 trong V ), th`ı tˆa . p c´ac cung cu ˙’ a G v´o . i d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at thuˆo . c V 0 v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc thuˆo . c ˜ V 0 go . i l`a thiˆe ´ t diˆe . n cu ˙’ a G. Tˆa . p c´ac cung cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n thu . `o . ng d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ˙’ i (V 0 → ˜ V 0 ). Gia ˙’ su . ˙’ G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. Thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ) t´ach s kho ˙’ i t nˆe ´ u s ∈ V 0 v`a t ∈ ˜ V 0 . Kha ˙’ nˇang thˆong qua hay gi´a tri . cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n l`a tˆo ˙’ ng cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kha ˙’ nˇang cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung cu ˙’ a G v´o . i d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at thuˆo . c V 0 v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc thuˆo . c ˜ V 0 ; t´u . c l`a v(V 0 → ˜ V 0 ) :=  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) q ij . Thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t l`a thiˆe ´ t diˆe . n c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t. D - i . nh l´y 7.2.10 (D - i . nh l´y thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t-luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t) Gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t (V m → ˜ V m ) t´ach s kho ˙’ i t. Ch´u . ng minh. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng, luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t khˆong thˆe ˙’ l´o . n ho . n v(V m → ˜ V m ) do tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t d¯ˆe ` u su . ˙’ du . ng ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t cung cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n n`ay. Do d¯´o chı ˙’ cˆa ` n ch´u . ng minh rˇa ` ng tˆo ` n ta . i mˆo . t luˆo ` ng d¯a . t gi´a tri . n`ay. Ta xem luˆo ` ng d¯˜a cho F tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t vector m chiˆe ` u v`a d¯i . nh ngh˜ıa thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ) bˇa ` ng d¯ˆe . quy theo thu ˙’ tu . c sau: 1. Kho . ˙’ i ta . o, d¯ˇa . t V 0 = {s}. 2. Nˆe ´ u v i ∈ V 0 , v`a hoˇa . c f ij < q ij hoˇa . c f ij > 0 th`ı d¯ˇa . t v j v`ao trong tˆa . p V 0 . 3. Lˇa . p la . i Bu . ´o . c 2 cho d¯ˆe ´ n khi khˆong thˆe ˙’ thˆem d¯ı ˙’ nh n`ao v`ao V 0 . C´o hai tru . `o . ng ho . . p xa ˙’ y ra: hoˇa . c t ∈ V 0 hoˇa . c t /∈ V 0 . Tru . `o . ng ho . . p 1. t ∈ V 0 . Theo Bu . ´o . c 2 trˆen, tˆo ` n ta . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n t`u . s d¯ˆe ´ n t sao cho mo . i cung (v i , v j ) d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng bo . ˙’ i dˆay chuyˆe ` n theo hu . ´o . ng thuˆa . n (c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n) thoa ˙’ f ij < q ij v`a c´ac cung (v k , v l ) d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c, t´u . c l`a hu . ´o . ng t`u . v l d¯ˆe ´ n v k thoa ˙’ f lk > 0. Dˆay chuyˆe ` n n`ay go . i l`a dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh. D - ˇa . t δ f = min (v i ,v j ) [q ij − f ij ]; (v i , v j ) thuˆa . n hu . ´o . ng, δ b = min (v k ,v i ) [f kl ]; (v k , v l ) ngu . o . . c hu . ´o . ng 178 http://www.ebook.edu.vn v`a δ = min[δ f , δ b ]. Nˆe ´ u ta cˆo . ng thˆem δ v`ao luˆo ` ng trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n v`a tr`u . d¯i δ trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c trong dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh th`ı luˆo ` ng thu d¯u . o . . c vˆa ` n l`a luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c c´o gi´a tri . nho ˙’ ho . n luˆo ` ng ban d¯ˆa ` u mˆo . t lu . o . . ng δ. D - iˆe ` u n`ay l`a hiˆe ˙’ n nhiˆen v`ı thˆem mˆo . t lu . o . . ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe ` u thuˆa . n khˆong vu . o . . t qu´a kha ˙’ nˇang cu ˙’ a c´ac cung n`ay (do δ < δ f ) v`a tr`u . d¯i mˆo . t lu . o . . ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe ` u ngu . o . . c th`ı luˆo ` ng vˆa ˜ n khˆong ˆam (do δ < δ b ). ´ Ap du . ng la . i v´o . i luˆo ` ng m´o . i theo c´ac Bu . ´o . c 1-3 trˆen ta la . i thu d¯u . o . . c mˆo . t thiˆe ´ t diˆe . n m´o . i (V 0 → ˜ V 0 ). Tru . `o . ng ho . . p 2. t /∈ V 0 . Theo Bu . ´o . c 2, f ij = q ij v´o . i mo . i cung (v i , v j ) ∈ (V 0 → ˜ V 0 ) v`a f kl = 0 v´o . i mo . i cung (v k , v l ) ∈ ( ˜ V 0 → V 0 ). Do d¯´o  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) f ij =  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) q ij v`a  (v k ,v l )∈( ˜ V 0 →V 0 ) f kl = 0; t´u . c l`a gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng bˇa ` ng  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) f ij −  (v k ,v l )∈( ˜ V 0 →V 0 ) f kl v`a bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ). Do Tru . `o . ng ho . . p 1, luˆo ` ng tˇang ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t d¯o . n vi . , nˆen nˆe ´ u gia ˙’ thiˆe ´ t tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kha ˙’ nˇang q ij l`a nh˜u . ng sˆo ´ nguyˆen th`ı luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c sau mˆo . t sˆo ´ h˜u . u ha . n bu . ´o . c khi Tru . `o . ng ho . . p 2 xa ˙’ y ra. Luˆo ` ng n`ay c´o gi´a tri . bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n hiˆe . n h`anh (V 0 → ˜ V 0 ) nˆen l`a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t v`a thiˆe ´ t diˆe . n tu . o . ng ´u . ng c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t.  Phu . o . ng ph´ap xˆay du . . ng d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ ch´u . ng minh d¯i . nh l´y trˆen cho ch´ung ta thuˆa . t to´an d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t. Thuˆa . t to´an n`ay s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay du . ´o . i d¯ˆay. Xuˆa ´ t ph´at t`u . luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c tu`y ´y (c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng luˆo ` ng c´o gi´a tri . bˇa ` ng khˆong) v`a sau d¯´o tˇang luˆo ` ng bˇa ` ng c´ach t`ım c´ac dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t. Viˆe . c t`ım 179 http://www.ebook.edu.vn mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng d¯u . o . . c thu . . c hiˆe . n bˇa ` ng c´ach g´an nh˜an. Khi t`ım d¯u . o . . c mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng, ta s˜e tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng. Sau d¯´o xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nh˜an v`a luˆo ` ng m´o . i d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ g´an nh˜an la . i. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng th`ı thuˆa . t to´an kˆe ´ t th´uc, luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c l`a l´o . n nhˆa ´ t. Thuˆa . t to´an cu . thˆe ˙’ nhu . sau: 7.2.1 Thuˆa . t to´an g´an nh˜an d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t A. Qu´a tr`ınh g´an nh˜an Mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh chı ˙’ c´o thˆe ˙’ c´o mˆo . t trong ba kha ˙’ nˇang: 1. d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra (t´u . c l`a n´o d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c v´o . i n´o d¯˜a d¯u . o . . c xu . ˙’ l´y); hoˇa . c 2. d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra (t´u . c l`a n´o d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a tˆo ` n ta . i d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c v´o . i n´o chu . a d¯u . o . . c xu . ˙’ l´y); hoˇa . c 3. chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an. Nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i gˆo ` m hai th`anh phˆa ` n v`a c´o mˆo . t trong hai da . ng hoˇa . c (+v j , δ) hoˇa . c (−v j , δ). Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆa ` u, c´o thˆe ˙’ tˇang luˆo ` ng do . c theo cung (v i , v j ); trong tru . `o . ng ho . . p th´u . hai, c´o thˆe ˙’ gia ˙’ m luˆo ` ng do . c theo cung (v i , v j ). D - a . i lu . o . . ng δ trong ca ˙’ hai tru . `o . ng ho . . p l`a lu . o . . ng h`ang nhiˆe ` u nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ thˆem hoˇa . c b´o . t gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen c´ac cung thuˆo . c dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh (trong qu´a tr`ınh xˆay du . . ng) t`u . s d¯ˆe ´ n v i . Nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i cho ph´ep x´ac d¯i . nh dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n v i . Kho . ˙’ i ta . o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a f ij = 0 v´o . i mo . i cung (v i , v j ) ∈ E. 1. G´an nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh s l`a (+s, δ(s) = ∞). D - ı ˙’ nh s d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra; tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kh´ac chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an. 2. Cho . n d¯ı ˙’ nh v i ∈ V d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i, thuˆa . t to´an d`u . ng, luˆo ` ng F = (f ij ) l`a l´o . n nhˆa ´ t. Ngu . o . . c la . i, gia ˙’ su . ˙’ (±v k , δ(v i )) l`a nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i . • G´an nh˜an (+v i , δ(v j )) cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh v j ∈ Γ(v i ) chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an sao cho f ij < q ij , trong d¯´o δ(v j ) := min{δ(v i ), q ij − f ij }. 180 http://www.ebook.edu.vn • G´an nh˜an (−v i , δ(v j )) cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh v j ∈ Γ −1 (v i ) chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an sao cho f ji > 0, trong d¯´o δ(v j ) := min{δ(v i ), f ji }. (D - ı ˙’ nh v i d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a d¯˜a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra; c´ac d¯ı ˙’ nh v j x´ac d¯i . nh trˆen d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra). 3. Nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh t d¯u . o . . c g´an nh˜an, chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 4; ngu . o . . c la . i chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. Cˆa ` n ch´u ´y rˇa ` ng, nˆe ´ u V 0 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a ˜ V 0 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an th`ı (V 0 → ˜ V 0 ) l`a thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t. B. Qu´a tr`ınh tˇang luˆo ` ng 4. D - ˇa . t c = t v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 5. • Nˆe ´ u nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh c c´o da . ng (+z, δ(c)) th`ı thay luˆo ` ng trˆen cung (z, c) l`a f zc bo . ˙’ i f zc + δ(t); • Nˆe ´ u nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh c c´o da . ng (−z, δ(c)) th`ı thay luˆo ` ng trˆen cung (x, z) l`a f cz bo . ˙’ i f cz − δ(t); 5. Nˆe ´ u z = s th`ı xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nh˜an t`u . c´ac d¯ı ˙’ nh v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 1; ngu . o . . c la . i (t´u . c l`a z = c) d¯ˇa . t c = z v`a tro . ˙’ la . i Bu . ´o . c 5. 7.2.2 D - ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng Qu´a tr`ınh t`ım mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯ˆe ˙’ tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng F trong d¯ˆo ` thi . G = (V, E) c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t trˆen d¯ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng G µ (F ) = (V µ , E µ ), V µ = V, E µ = E µ 1 ∪ E µ 2 , trong d¯´o E µ 1 := {(v µ i , v µ j ) | f ij < q ij , (v i , v j ) ∈ E}, v´o . i kha ˙’ nˇang cu ˙’ a mˆo ˜ i cung (v µ i , v µ j ) ∈ E µ 1 l`a q µ ij = q ij − f ij , v`a E µ 2 := {(v µ j , v µ i ) | f ij > 0, (v i , v j ) ∈ E} v´o . i kha ˙’ nˇang cu ˙’ a mˆo ˜ i cung (v µ j , v µ i ) ∈ E µ 2 l`a q µ ji = f ij . Khi d¯´o thu ˙’ tu . c g´an nh˜an cu ˙’ a thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trong Phˆa ` n 7.2.1 ch´ınh l`a thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh tˆa . p pha . m vi R(s) trong d¯ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng G µ (F ). Nˆe ´ u t ∈ R(s), t´u . c l`a nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh t d¯u . o . . c g´an nh˜an, th`ı c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t trong d¯ˆo ` thi . G µ (F ). Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng cu ˙’ a G l`a d¯u . `o . ng d¯i P m`a c´ac cung cu ˙’ a P thuˆo . c E µ 1 tu . o . ng ´u . ng cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n v`a c´ac cung cu ˙’ a P thuˆo . c E µ 2 d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c. 181 http://www.ebook.edu.vn 7.2.3 Phˆan t´ıch luˆo ` ng Trong mˆo . t sˆo ´ tru . `o . ng ho . . p ta muˆo ´ n phˆan t´ıch mˆo . t luˆo ` ng ph´u . c ta . p th`anh tˆo ˙’ ng cu ˙’ a nh˜u . ng luˆo ` ng d¯o . n gia ˙’ n ho . n. D - iˆe ` u n`ay khˆong nh˜u . ng c´o ´y ngh˜ıa thu . . c tiˆe ˜ n m`a c`on g´op phˆa ` n hiˆe ˙’ u tˆo ´ t ho . n ba ˙’ n chˆa ´ t cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i, v`a ngo`ai ra phu . c vu . mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an vˆe ` luˆo ` ng. K´y hiˆe . u h ◦ (S) l`a luˆo ` ng trong d¯ˆo ` thi . G m`a c´ac cung (v i , v j ) ∈ S c´o f ij = h v`a c´ac cung (v i , v j ) /∈ S c´o f ij = 0. Ch´u ´y rˇa ` ng h ◦ (S) khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t l`a mˆo . t luˆo ` ng v´o . i tˆa . p S tu`y ´y. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng h ◦ (S) l`a mˆo . t luˆo ` ng th`ı tˆa . p S c´ac cung hoˇa . c ta . o th`anh mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t hoˇa . c l`a mˆo . t ma . ch trong G. V´o . i hai luˆo ` ng F v`a H ta k´y hiˆe . u F + H l`a luˆo ` ng m`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) l`a f ij + h ij . D - i . nh l´y 7.2.11 Nˆe ´ u F l`a luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t c´o gi´a tri . nguyˆen v trong G th`ı F c´o thˆe ˙’ phˆan t´ıch th`anh F = 1 ◦ (P 1 ) + 1 ◦ (P 2 ) + · · · + 1 ◦ (P v ) + 1 ◦ (Φ 1 ) + 1 ◦ (Φ 2 ) + · · · + 1 ◦ (Φ κ ), trong d¯´o P 1 , P 2 , P v l`a c´ac d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s d¯ˆe ´ n t v`a Φ 1 , Φ 2 , . . . , Φ κ l`a c´ac ma . ch so . cˆa ´ p cu ˙’ a G. (P i v`a Φ i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t phˆan biˆe . t). Ch´u . ng minh. T`u . G = (V, E) v´o . i luˆo ` ng F cho tru . ´o . c ta xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . unitary G e = (V e , E e ) nhu . sau: Tˆa . p V e c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G e ch´ınh l`a tˆa . p V c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G. Nˆe ´ u f ij l`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) cu ˙’ a G th`ı ta thay bˇa ` ng f ij cung song song gi˜u . a c´ac d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng v e i v`a v e j cu ˙’ a G e . Nˆe ´ u f ij = 0 th`ı khˆong c´o cung n`ao d¯u . o . . c d¯ˇa . t gi˜u . a v e i v`a v e j . Ta d¯u . o . . c G e l`a d¯a d¯ˆo ` thi . trong d¯´o mˆo ˜ i cung cu ˙’ a n´o tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t d¯o . n vi . luˆo ` ng trˆen cung tu . o . ng ´u . ng trong G; n´oi c´ach kh´ac, G e biˆe ˙’ u diˆe ˜ n luˆo ` ng F trong G. T`u . d¯iˆe ` u kiˆe . n vˆe ` luˆo ` ng F suy ra c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G e cˆa ` n thoa ˙’ m˜an d + (v e i ) = d − (v e i ), v´o . i mo . i v e i = s e hoˇa . c t e , d + (s e ) = d − ( e ) = v. Suy ra nˆe ´ u ta tra ˙’ la . i v cung d¯u . o . . c thˆem v`ao G e t`u . d¯ı ˙’ nh t e d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh s e th`ı d¯ˆo ` thi . G e s˜e c´o mˆo . t ma . ch Euler (xem Phˆa ` n 5.1). Loa . i bo ˙’ v cung n`ay kho ˙’ i ma . ch Euler, ta d¯u . o . . c v d¯u . `o . ng d¯i t`u . s e d¯ˆe ´ n t e qua mˆo ˜ i cung cu ˙’ a G e d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. K´y hiˆe . u c´ac d¯u . `o . ng d¯i n`ay l`a P  1 , P  2 , . . . , P  v . C´ac d¯u . `o . ng d¯i P  i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t so . cˆa ´ p (mˇa . c d`u ch´ung l`a d¯o . n gia ˙’ n). Tuy nhiˆen, mˆo ˜ i d¯u . `o . ng d¯i khˆong so . cˆa ´ p c´o thˆe ˙’ xem nhu . tˆo ˙’ ng cu ˙’ a mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s e d¯ˆe ´ n t e v`a mˆo . t sˆo ´ c´ac ma . ch so . cˆa ´ p r`o . i nhau. Do vˆa . y, F = 1 ◦ (P 1 ) + 1 ◦ (P 2 ) + · · · + 1 ◦ (P v ) + 1 ◦ (Φ 1 ) + 1 ◦ (Φ 2 ) + · · · + 1 ◦ (Φ κ ), 182