ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 -2013 TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI

đề thi thử môn toán

www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số x 2 y x 1 − = − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y m(x 3)= − cắt đồ thị (C) ,trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1 Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình : tan(x )tan(x )sin 3x sinx+sin2x 6 3 π π − + = Câu 3 (1 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x y xy 1 4y y(x y) 2x 7y 2  + + + =   + = + +   Câu 4 (1 điểm). Tính e 1 1 I x .ln xdx x 1 lnx     = +        + ∫ Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm SAC∆ , mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA AB a= = và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 0 30 . Câu 6 (1 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 A x 1 y x 1 y y 2= − + + + + + − (x,y R) ∈ II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B: A. Theo chương trình chuẩn Câu 7.a (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 (x 2) y 4− + = . Gọi I là tâm của (C).Tìm toạ độ điểm M có tung độ dương thuộc (C) sao cho tam giác OIM có diện tích bằng 3 Câu 8.a (1 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(5;0;0) , B(0;5;0) , C(0;0;5) , D( 1; 1; 1)− − − . Tìm tọa độ điểm M sao cho 2 2 2 2 P MA MB MC MD= + + + đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 9.a (1 điểm). Giải phương trình : x 2 x 2 3.25 (3x 10).5 3 x 0 − − + − + − = B. Theo chương trình nâng cao: Câu 7.b (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có phân giác trong AD , đường cao CH lần lượt có phương trình x y 0− = , x 2y 3 0+ + = , M(0; 1)− là trung điểm của AC và AB 2AM= .Tìm tọa độ điểm B . Câu 8.b (1 điểm). Chứng minh rằng với * n N ,n 2∀ ∈ ≥ thì 1 2 3 k 1 k n 1 n n n n n n C 2C 3C . ( 1) kC . ( 1) nC 0 − − − + − + − + + − = Câu 9.b (1 điểm). Giải hệ phương trình : 2 2 5 3 9x 4y 5 l o g (3x 2y) log (3x 2y) 1  − =   + − − =   Họ và tên: ………………………………………………………………… SBD: ………………….…………………. S Ở GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO T Ạ O HÀ T Ĩ NH TR ƯỜ NG THPT NGUY Ễ N V Ă N TR Ỗ I LẦN I ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 -2013 Môn Toán Khối A, A1,B ( thời gian 180 phút) www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 – 2013 LẦN I Phần I Phần chung cho tất cả các thí sinh Điểm Câu 1 a HS tự làm 1 điểm b Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y m(x 3)= − cắt đồ thị (C) ,trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đt (d) là: x 2 m(x 3) x 1 − = − − 2 x 1 mx (4m 1)x 3m 2 0 (1)  ≠   ↔   − + + + =   Để t/m ycbt thì pt(1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. 0.25 điểm Đặt 2 g(x) mx (4m 1)x 3m 2= − + + + . Để pt g(x) 0= có tất cả các nghiệm nhỏ hơn 1 (vì g(1) 0 m)≠ ∀ thì: + m 0 x 2= → = loạ i 0.25 đ i ể m + m 0≠ , đ k để pt g(x) 0= có nghi ệ m nh ỏ h ơ n 1 là: 1 2 1 2 ∆ 0 (1 x )(1 x ) 0 x x 2  ≥    − − >    + <   VN ( trong đ ó 1 2 x ,x là nghi ệ m c ủ a pt g(x) 0= ) → không t ồ n t ạ i m để pt g(x) 0= có nghi ệ m nh ỏ h ơ n 1 0.25 đ i ể m V ậ y v ớ i m ọ i m tm ycbt 0.25 đ i ể m Câu 2 Gi ả i ph ươ ng trình : tan(x )tan(x )sin 3x sinx+sin2x 6 3 π π − + = (1) Đ K: π cos(x ) 0 π kπ 6 x ,k Z π 6 2 cos(x ) 0 3    − ≠    ↔ ≠ + ∈    + ≠     0.25 đ i ể m Pt (1) 2 π π tan(x ).cot( x).sin x(3 4sin x) sin x 2sin x.cosx 6 6 ↔ − − − = + 2 sin x(4cos x 2cosx) 0↔ + = sin x 0 cosx 0 1 cosx 2   =   ↔ =    =−   k π x 2 , k Z 2 π x k2 π 3   =  ↔ ∈   = ± +   0.5 đ i ể m www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 Kết hợp đk →nghiệm của phương trình là kπ x 2 , k Z 2π x k2π 3   =  ↔ ∈   = − +   0.25 điểm Câu 3 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x y xy 1 4y y(x y) 2x 7y 2  + + + =   + = + +   Do y=0 không phải là nghiệm của hpt, chia cả 2 pt của hệ cho y ta có 2 2 2 x 1 x y 4 y x 1 (x y) 2. 7 y   +  + + =      +  + = +     . Đặt 2 x 1 u y + = và v x y= + . Ta có hpt 0.25 điểm 2 2 u v 4 u 4 v v 5 u 9 v 2u 7 v 2v 15 0 v 3 u 1    + = = − = − → =     ↔ ↔      = + + − = = → =      0.25 điểm + TH1: v 5,u 9= − = ta có: 2 2 x 1 9 y 5 x VN y x 9x 46 0 x y 5   +   = = − −     ↔     + + =    + = −    0.25 điểm + TH2: v 3,u 1= = ta có: 2 2 x 1 1 y 3 x x 2 y 5 y x x 2 0 x 1 y 2 x y 3   +    = = − = − → =     ↔ ↔      + − = = → =     + =    0.25 điểm Vậy hpt có nghiệm (x;y) ( 2;5);(1;2)= − Câu 4 Tính e 1 1 I x .ln xdx x 1 lnx     = +        + ∫ e e 1 1 ln x I dx+ xlnxdx M N x 1+lnx = = + ∫ ∫ 0.25 điểm Đặt 2 t 1 ln x ln x t 1;= + → = − 1 2dt dx x 1 lnx = + Đổi cận : x 1 t 1= → = x e t 2= → = 2 2 3 2 1 1 2 4 2 2 M (t 1)2dt ( t 2t) 3 3 − → = − = − = ∫ 0.25 đ i ể m Đặ t 1 u lnx du dx x = → = 2 1 dv xdx v x 2 = → = 0.25 đ i ể m www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 e 2 e 2 e 2 e 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N x ln x xdx x ln x x e 2 2 2 4 4 4 → = − = − = + ∫ Vậy 2 1 19 8 2 I M N e 4 12 − = + = + 0.25 điểm Câu 5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm SAC∆ , mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA AB a= = và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 0 30 . AC BD O∩ = . G là tr ọ ng tâm ∆SAC → G cũng là trọng tâm ∆SBD → M , N lần lượt là trung điểm của SC và SD Mặt khác   0 SA (ABCD) (SAD) (ABCD) (AN,(ABCD)) NAD 30⊥ → ⊥ → = =  0 0 SA SDA 30 AD a 3 tan30 → = → = = 0.25 điểm 3 SABCD 1 3 V .SA.AB.AD a 3 3 → = = 0.25 điểm Áp dụng định lý tỷ lệ thể tích ta có: SABM SABC V SM 1 , V SC 2 = = SAMN SACD V SM SN 1 . V SC SD 4 = = 3 SABMN SABM SAMN SABC SACD SABCD 1 1 3 3 V V V V V V a 2 4 8 8 → = + = + = = 0.25 điểm 3 3 3 MNABCD SABCD SABMN 3 3 5 3 V V V a a a 3 8 24 → = − = − = (đvtt) 0.25 điểm Câu 6 Tìm GTNN của biểu thức sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 A x 1 y x 1 y y 2= − + + + + + − Xét (1 ; )= −  a x y và ( 1; )= +  b x y , a b (2;2y)+ =   Do a b a b+ ≥ + →     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1x y x y y− + + + + ≥ + dấu “=” xẩy ra khi x 0 = 0.25 điểm Xét hàm số 2 2 2 f(y) 2 1 y y 2 2 1 y (y 2)= + + − = + + − 0. 5 điểm A S B C D O M N G www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 Ta có: 2 2 2y y 2 f (y) (y 2) 1 y − ′ = + − + , 3 f (y) 0 y 3 ′ = ↔ = Bảng biến thiên: minA 2 3= + khi 3 x 0,y 3 = = 0.25 điểm Phần II Phần riêng: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A.Phần dành cho chương trình chuẩn Câu 7a Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 (x 2) y 4− + = . Gọi I là tâm của (C).Tìm toạ độ điểm M có tung độ dương thuộc (C) sao cho tam giác OIM có diện tích bằng 3 Ta có: I(2;0), O(0;0) Ox∈ IO 2→ = Theo bài ra ta có: IOM 1 S 3 OI.d[M;(OI)] 3 d[M;(OI)] 3 2 ∆ = ↔ = ↔ = 0.5 đ i ể m G ọ i 2 2 M(a;b) (C) (a 2) b 4∈ ↔ − + = (1) M ặ t khác d[M;(OI)] 3= b 3↔ = (do M có tung độ d ươ ng) th ế vào (1) a 1 v a 3→ = = V ậ y có 2 đ i ể m M(1; 3), M(3; 3) th ỏ a mãn ycbt 0.5 đ i ể m Câu 8a Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz cho A(5;0;0) , B(0;5;0) , C(0;0;5) , D( 1; 1; 1)− − − . Tìm t ọ a độ đ i ể m M sao cho 2 2 2 2 P MA MB MC MD= + + + đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. G ọ i G(a;b;c) t/m: GA GB GC GD 0 G(1;1;1) + + + = ↔      0.25 đ i ể m Ta có: 2 2 2 2 P (MG GA) (MG GB) (MG GC) (MG GD) = + + + + + + +         2 2 2 2 2 4MG GA GB GC GD 2MG(GA GB GC GD)= + + + + + + + +           2 4MG 66 66= + ≥ 0.5 đ i ể m D ấ u “=” x ẩ y ra khi M G≡ V ậ y minP 66 khi M(1;1;1)= 0.25 đ i ể m Câu 9a Gi ả i ph ươ ng trình : x 2 x 2 3.25 (3x 10).5 3 x 0 − − + − + − = (1) Pt(1) − − − ↔ − + − − = x 2 x 2 x 2 x(3.5 1) (3.5 1)(5 3) 0 − − ↔ − + − = x 2 x 2 (3.5 1)(5 x 3) 0 0.25 đ i ể m y f’ f 2 −∞ +∞ 3 3 +∞ +∞ 2 3+ 0 _ + + www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 − −  − = ↔  + − =  x 2 x 2 3.5 1 0 (1) 5 x 3 0 (2) 0.25 điểm Giải pt (1): − − = ↔ = x 2 5 25 3.5 1 0 x log 3 0.25 điểm Giải pt (2): − + − = x 2 5 x 3 0 do hàm số − = + − x 2 f(x) 5 x 3 đồng biến trên R ( vì − ′ = + > ∀ ∈ x 2 f (x) 5 ln 5 1 0 x R ) Mà f(2) 0 = nên phương trình − + − = x 2 5 x 3 0 có nghiệm duy nhất x 2= 0.25 điểm Vậy pt có hai nghiệm = = 5 25 x log ,x 2 3 B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có phân giác trong AD , đường cao CH lần lượt có phương trình x y 0− = , x 2y 3 0+ + = ; M(0; 1)− là trung điểm của AC và AB 2AM= .Tìm tọa độ điểm B . Gọi A(a;b) (AD) a b 0 ∈ → − = (1) Do M là trung điểm AC C( a; 2 b) → − − − Mà C (CH) a 2( 2 b) 3 0 a 2b 1 0 ∈ → − + − − + = ↔ + + = (2) Từ (1) và (2) 1 a b 3 → = = − 1 1 1 5 A( ; ) C( ; ) 3 3 3 3 → − − → − 0.5 điểm Theo bài ra ABC∆ cân tạ i A → AD v ừ a là phân giác v ừ a là đườ ng cao → B đố i x ứ ng v ớ i C qua D. G ọ i B(x;y) → 1 1 AB(x ;y ) 3 3 + +  , 3x 1 3y 5 D( ; ) (AD) 6 6 + − ∈ 3x 1 3y 5 0 x y 2 0 6 6 + − → − = ↔ − + = (3) Do AB CH⊥ → CH 1 1 1 AB.u 0 2(x ) 1(y ) 0 2x y 0 3 3 3 = ↔ − + + + = ↔ − + − =   (4) T ừ (3) và (4) suy ra 5 11 x ,y 3 3 = = 5 11 B( , ) 3 3 → 0.25 đ i ể m Th ử l ạ i:BC không vuông góc v ớ i AD. V ậ y không t ồ n t ạ i đ i ể m B t/m ycbt 0.25 đ i ể m Câu 8b Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i * n N ,n 2∀ ∈ ≥ thì 1 2 3 k 1 k n 1 n n n n n n C 2C 3C . ( 1) kC . ( 1) nC 0 − − − + − + − + + − = Khai tri ể n theo nh ị th ứ c Niut ơ n ta có: n n k k n k 0 (1 x) C x = + = ∑ 0.25 đ i ể m A B C D H − =x y 0 M(0; 1)− www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 Lấy đạo hàm 2 vế ta có: n n 1 k k 1 n k 1 n(1 x) kC x − − = + = ∑ 0.5 điểm Chọn x 1= − → 1 2 3 k 1 k n 1 n n n n n n 0 C 2C 3C . ( 1) kC . ( 1) nC − − = − + − + − + + − (đpcm) 0.25 điểm Câu 9b Giải hệ phương trình :  − =   + − − =   2 2 5 3 9x 4y 5 (1) l o g (3x 2y) log (3x 2y) 1 (2) ĐK: 3x 2y 0 3x 2y 0 + >   − >  0.25 điểm Từ pt(1) 5 3x 2y 3x 2y ↔ + = − thế vào pt (2) ta có 5 3 5 log log (3x 2y) 1 3x 2y − = − 5 3 log (3x 2y) log (3x 2y) 0↔ − + − = 0.25 điểm 5 3 3 log 3.log (3x 2y) log (3x 2y) 0↔ − + − = 3 log (3x 2y) 0↔ − = (vì 5 15 log 3 1 log 0+ = ≠ ) 3x 2y 1 3x 2y 1↔ − = ↔ = + thế vào pt (1) ta có: 0.25 điểm 2 2 (2y 1) 4y 5 y 1 x 1+ − = ↔ = → = Vậy hpt có nghiệm (x;y) (1;1)= 0.25 điểm Chú ý: Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa . www.mathvn.com 2 Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 – 2013 LẦN I Phần I Phần chung cho tất cả các thí sinh. THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 -2013 Môn Toán Khối A, A1,B ( thời gian 180 phút) www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Chú ý: Cán bộ coi thi không giải