Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Câu 1 (6 điểm) Cho biểu thức: )1 11 1 ( + + + + = xy xxy xy x A : )1 11 1 ( + + + + xy xxy xy x a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A nếu 5614 += x , 15 15 + = y c) Cho 2 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của A Câu 2 (6 điểm) a) Cho x là số thỏa mãn 292252 22 =++ xxxx Tính giá trị của biểu thức : B= 92252 22 +++ xxxx b) Tìm số tự nhiên n để 91 2 + n cũng là số tự nhiên Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đờng cao AH. a) Giả sử BH=3cm;AC=2cm. Tính diện tích tam giác ABC? b) Giả sử BH=AC, trung tuyến BM của tam giác ABC cắt AH tại I. Chứng minh CI là tia phân giác của góc ACB Câu 4 (2 điểm) Chia một hình tròn thành 10 hình quạt bằng nhau, trong mỗi hình quạt đặt một viên bi (hình vẽ). Ngời ta thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang hình quạt liền kề nhng theo 2 chiều ngợc nhau (nếu một viên ở một hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng hồ thì viên bi ở hình quạt kia chuyển theo chiều ngợc lại). Hỏi sau một số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt đợc không? Vì sao ? Phòng giáo dục quận Tây Hồ kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Phòng giáo dục quận Tây Hồ Trờng THCS Chu Văn An đề thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2010-2011 Môn thi : Toán Ngày thi: 27/9/2010 Thời gian làm bài: 120 phút Trờng THCS Chu Văn An Năm học 2010-2011 Hớng dẫn chấm Thi môn toán I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng II.Thang điểm và đáp án Câu Đáp án Điểm a) Rút gọn đúng đến xyA = 3,5 đ b) Tìm điều kiện xác định : x -1; 1 xy Tính ra 53 += x 2 53 = y (TM ĐKXĐ) Thay vào A đợc 2 = A 0,5 đ 1 đ Câu1 6 đ c) áp dụng BĐT xy yx + 2 ) 2 ( với mọi x,y Thay 2 =+ yx và biến đổi dẫn đến 2 1 = xyA Chỉ ra 2 1 == xyA khi 2 2 == yx Và KL : GTNN của A là 2 1 min = A 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ a) Ta có B.2=( 92252 22 +++ xxxx ).( 92252 22 ++ xxxx )=16 Suy ra B=16:2=8 2,5 đ 0,5 đ Câu 2 (6đ) b) Đặt nmmn >=+ 91 2 và 13.791.1))(( ==+ nmnm ; m+n>m-n Xét 2 TH: m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45 m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 . Thử lại đúng KL: { } 45;3 n 2 đ 1 đ Câu 3 6đ a) Đặt CH=x ĐK: 0<x<2 AD hệ thức lợng: )3(2. 22 +== xxCBCHAC Giải PT: 043 2 =+ xx ta đợc 4 1 = x <0 loại ; )(1 2 TMx = BC=4cm; 2 323 cmScmAH ABC == x I A B C D H M 0,5 đ 1,5 đ 1 đ b) Vẽ tia Ax//BC; tia BM cắt tia Ax tại D, MCBMAD = (g.c.g) AD=BC áp dụng định lí Ta-let ta có: CH CA CHBH AC BH CH AC BH BC BH AD IH IA ===== . 2 2 Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác của góc ACB 1 đ 1,5 đ 0,5 đ Câu 4 2 đ Ta chứng minh không thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt -Tô các hình quạt bằng 2 mầu đen, trắng xen kẽ (hình vẽ) -Tổng số các viên bi trong các hình quạt đen bằng tổng số các viên bi trong hình quạt trắng và bằng 5 -Theo cách biến đổi, tại mọi thời điểm thì tống số viên bi trong trong các hình quạt đen và hình quạt trắng đều là 1 số lẻ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ -Vậy không thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt( số bi trong hình quạt đó là số chẵn) 0,5 đ . kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Phòng giáo dục quận Tây Hồ Trờng THCS Chu Văn An đề thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2010-2011 Môn thi : Toán Ngày thi: 27 /9/ 2010. làm bài: 120 phút Trờng THCS Chu Văn An Năm học 2010-2011 Hớng dẫn chấm Thi môn toán I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng II.Thang