Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN DUY CƯỜNG NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN Chuyên ngành: QUANG HỌC Mã số: 9440110 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ NGHỆ AN - 2020 i Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đinh Xuân Khoa GS.TSKH Marek Trippenbach Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp vào hồi……… ….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm 2020 Cóthể tìm hiểu luận án thư viện Q́c gia và Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh ii MỞ ĐẦU Lýdo chọn đề tài Sự phávỡ đối xứng tự phát làhiện tượng thường thấy tự nhiên nhiều lĩnh vực vật lý khác như: vật lýhạt bản, vật liệu từ hay hệ ngưng tụ Bose - Einstein, v.v… Trong quang học, tượng phávỡ đới xứng tự phát cóthể hiểu là kết tương tác số hạng phi tuyến với cấu trúc ớng dẫn sóng Khi thành phần phi tuyến mạnh, nósẽ triệt tiêu liên kết tuyến tí nh lõi ớng dẫn sóng song song dẫn tới hệ tồn trạng thái bất đới xứng Trong hệ cộng hưởng vòng quang học, phávỡ đối xứng tự phát làsự cạnh tranh hiệu ứng tuyến tí nh vàhiệu ứng phi tuyến, vídụ khuếch đại tuyến tí nh vàmất mát phi tuyến, dẫn tới xuất trạng thái không đối xứng, chícó trường hợp xuất trạng thái hỗn loạn Sự phávỡ đới xứng quang học cónhiều ứng dụng cơng nghệ quang tử Trong ớng dẫn sóng hiệu ứng chuyển đổi lượng quang kênh cóthể sử dụng làm sở cho việc thiết kế thiết bị chuyển mạch toàn quang, khuếch đại phi tuyến, ổn định mạch phân chia bước sóng, cổng logic vàtruyền dẫn lưỡng ổn định Bộ ghép hai sợi quang phi tuyến dùng để nén solitons hiệu cách điều khiển độ tán sắc hai sợi Trong hệ vòng quang, phávỡ đới xứng tự phát hệ cónhiều ứng dụng thiết bị quang tử Vídụ hệ vòng quang học kết hợp với ớng dẫn sóng, tượng giao thoa vòng quang màmột sớ bước sóng giữ lại đó, hệ này ứng dụng mạch chọn sóng Một sớ hệ cộng hưởng vòng quang phávỡ đới xứng nên hình thành trạng thái hỗn loạn Trạng thái cónhiều ứng dụng thơng tin quang đồng bộ, bảo mật thơng tin hay phát tí n hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1” Đặc biệt động lực học dao động hỗn loạn cực nhanh laser ứng dụng giải triệt để tốn giả định trítuệ nhân tạo Với nhiều ứng dụng quan trọng vậy, phávỡ đối xứng tự phát và nhàkhoa học giới quan tâm nghiên cứu với nhiều loại hệ quang học khác lý thuyết vàthực nghiệm Trong ớng dẫn sóng với có mặt phi tuyến Kerr khơng đổi, phávỡ đối xứng tự phát nghiên cứu với nhiều loại tuyến tí nh khác như: kép dạng bậc vuông, kép dạng chữ H, kép dạng bậc ngăn cách hàm delta, v.v Trường hợp ớng dẫn sóng có mặt phi tuyến Kerr biến điệu phávỡ đối xứng tự phát xem xét với nhiều dạng hàm phi tuyến biến điệu khác như: dạng hàm delta, hàm Gauss kép, v.v Ứng với hệ ớng dẫn sóng cócác vùng tham số điều khiển khác tồn loại trạng thái soliton đặc trưng rẽ nhánh phávỡ đối xứng tự phát khác Trong hệ vòng quang, năm 2017 lần nhóm Marek Treppenbach đề xuất hệ gồm hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tí nh với cómặt khuếch đại tuyến tí nh vàmất mát phi tuyến Đầu tiên nhóm nghiên cứu q trình động lực học hệ với liên kết số, sau mở rộng cho liên kết Gauss đơn Kết nghiên cứu cho thấy hệ xuất phávỡ đối xứng tự phát dẫn đến nhiều loại trạng thái thúvị hứa hẹn cónhiều ứng dụng cơng nghệ như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái xoáy, trạng thái hỗn loạn Trên sở nghiên cứu đó, chúng tơi nhận thấy mở rộng nghiên cứu phávỡ đối xứng tự phát hệ quang học nói Việc nghiên cứu phávỡ đối xứng tự phát hệ cách hệ thớng, đầy đủ thìrất cần thiết định hướng cho nghiên cứu thực nghiệm vàphong phúcác ứng dụng kỹ thuật Với tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu vàcác lý nêu trên, chúng chọn đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu phávỡ đối xứng tự phát số hệ quang học phi tuyến” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ảnh hưởng công suất xung, số lan truyền lên phávỡ đối xứng tự phát hai hệ quang học bảo tồn: thứ làhệ ớng dẫn sóng với cómặt phi tuyến Kerr vàthế tuyến tính Gauss kép, thứ hai làhệ hai ớng dẫn sóng liên kết tuyến tí nh vàphi tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta - Nghiên cứu ảnh hưởng tham số điều khiển cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mát, độ rộng hàm liên kết lên phávỡ đới xứng tự phát và q trình động lực học hệ khơng bảo toàn là hệ gồm hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tính với cómặt khuếch đại tuyến tính vàmất mát phi tuyến Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu làcác hệ quang học có phi tuyến kiểu Kerr vàhệ cộng hưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với cómặt khuếch đại tuyến tí nh vàmất mát phi tuyến Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp sớ và phương pháp giải tích Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN Trong Chương này tác giả trì nh bày nội dung sau đây: khái quát số khái niệm lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, phương trình Schrodinger miêu tả sớ tượng hệ quang học khác nhau; hiệu ứng phi tuyến bậc ba liên quan trì nh bày hiệu ứng phi tuyến Kerr, tượng hấp thụ hai photon; phương pháp tính tốn đới với phương trình Schrodinger nghiên cứu trì nh bày chi tiết, quan tâm đến lời giải soliton vàtính chất ổn định chúng Phương pháp để tìm kiếm lời giải soliton chúng tơi áp dụng là phương pháp thời gian ảo Phương pháp dùng để tìm kiếm trạng thái cuối với kỹ thuật tiến triển tác dụng nhiễu loạn nhỏ là phương pháp Split - Step Fourier; số phương pháp để kiểm tra tí nh chất ổn định trạng thái soliton phương pháp Split - Step Fourier, phương pháp tuyến tính hóa trị riêng mode nhiễu loạn, phương pháp Vakhitov – Kolokolov Các nội dung liên kê là kiến thức sở, phương pháp tính tốn để nghiên cứu phá vỡ đới xứng sớ hệ quang học Tiếp theo tác giả trì nh bày số nội dung liên quan đến phávỡ đối xứng tự phát như: chất phávỡ đối xứng, đặc trưng rẽ nhánh phávỡ đối xứng, trạng thái hỗn loạn, kịch dẫn tới trạng thái hỗn loạn Những nội dung chúng tơi trì nh bày ngắn gọn sau đây, chúng liên quan trực tiếp đến kết nghiên cứu Chương và Chương 1.1 Bản chất phávỡ đối xứng tự phát Ta tưởng tượng có đoạn dây thép thẳng đàn hồi đặt thẳng đứng khơng gian Rõ ràng có tính đới xứng trục Ta cóthể quay nóxung quanh trục đới xứng góc mànóvẫn giữ ngun hì nh dạng Bây ta ấn đoạn dây từ x́ng dọc theo trục Rõràng hệ dây vàlực có tính đới xứng trục, lực ấn lànhỏ Khi ấn với lực mạnh đoạn dây bị cong theo hướng mà ta khơng biết được, song chắn đối tượng xem xét tính đới xứng trục Đó chính là phávỡ đối xứng tự phát Nếu độ lớn lực làmột tham sớ, hệ xem xét đới xứng ban đầu giátrị nào tham sớ gọi làgiátrị tới hạn Hình 1.6 Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục dây thép thẳng 1.2 Đặc trưng rẽ nhánh hệ phi tuyến bảo tồn Chúng ta xét vídụ cụ thể phương trình Schrưdinger phi tuyến rút gọn mơ tả lan truyền xung ánh sáng hệ quang học phi tuyến đồng có cấu trúc giếng tuyến tí nh kép (do chiết suất thay đổi theo khơng gian) códạng sau: 𝜕𝜓 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓 , (1.1) 𝜕𝑧 Công suất xung tính theo mô đun hàm bao biến thiên chậm: +∞ +∞ 𝑁 = ∫−∞ |𝜓(𝑥, 𝑧)|2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥, (1.2) Sự bất đối xứng solitons đặc trưng độ bất đối xứng kýhiệu 𝜈: ν= N+ −N− N +∞ = (∫0 |u(x)|2 dx−∫−∞|u(x)|2 dx) +∞ ∫−∞ |u(x)|2 dx (1.3) Sự xuất solitons không đối xứng ổn định với điều kiện làcông suất xung vượt mức giátrị tới hạn, loại phávỡ đới xứng này gọi làtrên tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 Hình 1.7 Sự rẽ nhánh tới hạn trạng thái solitons mơ hình chiều Trong trường hợp thứ hai, solitons không đối xứng ổn định xuất giátrị công suất xung nhỏ giá trị tới hạn, loại phávỡ gọi làrẽ nhánh tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 Hình 1.8 Sự rẽ nhánh tới hạn trạng thái solitons mơ hình hai chiều 1.3 Trạng thái hỗn loạn Trạng thái hỗn loạn hiểu làtrạng thái lộn xộn, không trật tự Tuy nhiên, để hiểu cách chí nh xác cần phân biệt hỗn loạn với ngẫu nhiên Theo đó, đới với hỗn loạn biết (có thể làtrạng thái đầu) tương lai (có thể trạng thái ći) xác định vànếu có nhiễu loạn nhỏ (trạng thái đầu) tương lai (trạng thái cuối) không xác định Ngược lại, ngẫu nhiên biết trước (có thể trạng thái ban đầu) tương lai (trạng thái ći) khơng xác định được, mang tí nh chất ngẫu nhiên Hỗn loạn có tí nh chất quan trọng là tính chất nhạy cảm với điều kiện ban đầu “Hiệu ứng cánh bướm” là vídụ nói tí nh chất Hiệu ứng cánh bướm là thực thay đổi nhỏ trạng thái ban đầu hệ phi tuyến cóthể dẫn tới kết là thay đổi lớn trạng thái sau Hình 1.9 Quỹ đạo hệ Lorenz giátrị tham số ρ = 28, σ = 10, β = 8/3 1.4 Một số kịch dẫn đến hỗn loạn Hình vẽ 1.10 miêu tả ba kịch dẫn tới hỗn loạn thường quan sát nhiều hệ động lực học tham số hệ thay đổi Hình (a) làkịch nhân đơi tần sớ dẫn tới hỗn loạn; hì nh (b) làkịch gần tuần hồn dẫn tới hỗn loạn; hì nh (c) làkịch không liên tục (không trơn) dẫn đến hỗn loạn Hình 1.10 Ba kịch dẫn tới trạng thái hỗn loạn Trong hì nh vẽ 1.10, kíhiệu “S” nghĩa là trạng thái dừng, “P1”, “P2”,…lần lượt làtrạng thái dao động tần số, hai tần số,…, “C” là trạng thái hỗn loạn, “QP” làtrạng thái gần tuần hoàn, “IM” là trạng thái không liên tục (không trơn) Chương SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TOÀN Chương này chúng xét ảnh hưởng công suất xung vàhằng số lan truyền lên phávỡ đối xứng tự phát hai hệ quang học bảo toàn Đồng thời xét tí nh chất ổn định trạng thái solitons tồn hai hệ 2.1 Hệ ớng dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng và tuyến tính kép 2.1.1 Mơ hình và phương trình mơ tả hệ Chúng nghiên cứu lan truyền ánh sáng ớng dẫn sóng với cómặt hiệu ứng phi tuyến Kerr đồng đồng thời bị bẫy ớng dẫn sóng có chiết suất biến đổi theo khơng gian Phương trình Schrưdinger phi tuyến rút gọn mơ tả lan truyền ánh sáng códạng sau đây: 𝜕𝜓 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓, (2.1) 𝜕𝑧 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑧) hàm bao biến thiên chậm; 𝜓𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai 𝜓(𝑥, 𝑧) theo tọa độ không gian 𝑥; 𝜎 làhệ số phi tuyến (𝜎 = −1 ứng với phi tuyến tự hội tụ, 𝜎 = +1 ứng với phi tuyến tự phân kỳ); tuyến tính (do chiết suất ớng dẫn sóng biến đổi theo khơng gian) códạng hàm Gauss kép: 𝑈(𝑥) = − 𝑎 √𝜋 [𝑒𝑥𝑝 (− a là độ rộng hàm (𝑥+1)2 𝑎2 ) + 𝑒𝑥𝑝 (− (𝑥−1)2 𝑎2 )], (2.2) Hình 2.1 Thế tuyến tính Gauss kép chuẩn hóa 𝑈(𝑥)⁄|𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥 theo tọa độ khơng gian 𝑥 Hình vẽ 2.1 mơ tả tuyến tí nh dạng hàm Gauss kép (có biểu thức (2.2)) với độ rộng 𝑎 khác Khi độ rộng tăng lên chúng ta thấy hàm Gauss kép dần tới hàm Gauss đơn bắt đầu giátrị độ rộng 𝑎 ≈ 1.35 Lưu ý phávỡ đối xứng không xảy trường hợp kênh Chúng tìm kiếm trạng thái solitons hệ có dạng 𝜓(𝑥, 𝑧) = 𝑢(𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑧 𝜇 làhằng sớ lan truyền, 𝑧 làchiều dài lan truyền và𝑢(𝑥) làhàm thỏa mãn phương trình: −𝜇𝑢 + 𝑢𝑥𝑥 − 𝑈(𝑥)𝑢 − 𝜎𝑢3 = 0, (2.3) 𝑢𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai 𝑢(𝑥) theo tọa độ không gian 𝑥 và𝑢 = 𝑢(𝑥) Công suất xung hệ làmột đại lượng bảo tồn cóbiểu thức: +∞ +∞ 𝑁 = ∫−∞ |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥 (2.4) Độ bất đối xứng định nghĩa sau: Θ= N+ −N− N +∞ = (∫0 |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥−∫−∞|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥) +∞ ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥 , (2.5) nóđặc trưng cho bất đối xứng solitons 2.1.2 Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ vàthế tuyến tính kép Xét trường hợp phi tuyến ớng dẫn sóng làtự hội tụ thì𝜎 = −1, phương trì nh mơtả hệ trở thành: 𝜕𝜓 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 − |𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓 (2.6) 𝜕𝑧 Trong hình vẽ 2.4, đường màu xanh lam (đậm nét) tương ứng tập hợp trạng thái solitons ổn định, đường màu đỏ (đứt nét) là tập hợp solitons không ổn định (tính chất ổn định chúng xem xét sau đây) Ở đây, chúng nhận thấy tồn giá trị công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 0.925 (hay số lan truyền tới hạn 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 0.646), màkhi 𝑁 > 𝑁𝑏𝑖𝑓 (hay 𝜇 > 𝜇𝑏𝑖𝑓 ) solitons hệ trở nên bất đới xứng Một trường hợp soliton đối xứng biểu diễn điểm A, soliton bất đối xứng biểu diễn điểm C, D hì nh vẽ 2.4b Lưu ý giátrị công suất 𝑁 lớn công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 tồn soliton đới xứng, tập hợp trạng thái biểu diễn đường nét đứt màu đỏ hình vẽ 2.4, trường hợp sớ là trạng thái điểm B, hình dạng đới xứng chúng giống trạng thái điểm A Điểm khác biệt là trạng thái soliton chúng không ổn định lan truyền với nhiễu loạn nhỏ (a) C A (b) B D 𝝁𝒃𝒊𝒇 𝑵𝒃𝒊𝒇 Hình 2.4 Hình (a), (b) là độ bất đối xứng là hàm số lan truyền 𝜇, vàcông suất xung 𝑁 Tiếp theo, chúng kiểm tra tính chất ổn định solitons ba phương pháp khác nhau: phương pháp tiến triển solitons không gian thực với nhiễu loạn nhỏ phương pháp SSF, phương pháp tuyến tí nh hóa trị riêng mode nhiễu loạn, phương pháp V-K Tất nhiên kết thu giớng nhau, là điều khẳng định phương pháp chính xác Sau chúng tơi trình bày phương pháp tiến triển không gian thực Kết xét cho trạng thái điểm A, B, C và D (B) (A) (C, D) (b) (A) z (a) (C, D) (B) (c) (d) z z Hình 2.12 Tiến triển khơng gian thực trạng thái solitons, hình (a) ứng với trường hợp độ rộng a =1/3, cơng suất xung 𝑁=2, hì nh (b) ứng với trường hợp độ rộng a =1.0, công suất xung 𝑁=2 2.2 Hệ hai ớng dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến tính 2.2.1 Hệ phương trình chiều mơ tả hệ nghiên cứu Hệ nghiên cứu mơ tả hệ phương trình Schrödinger phi tuyến viết dạng rút gọn sau: 𝑖 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝜓 =− 𝜕2 𝜙 𝜕𝑥 𝜕2 𝜓 + 𝑔(𝑥)|𝜙|2 𝜙 − 𝑘𝜓 , (2.8) { 𝑖 =− + 𝑔(𝑥)|𝜓| 𝜓 − 𝑘𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑥 giới hạn ớng dẫn sóng quang, 𝜙 và𝜓 hàm bao biến thiên chậm xung ánh sáng lan truyền hai ống, 𝑥 làtọa độ ngang, 𝑔(𝑥) làhệ số phi tuyến địa phương phụ thuộc tọa độ không gian 𝑥 và𝑘 là hệ số liên kết, z khoảng cách lan truyền Tổng công suất xung hệ bảo toàn: +∞ 𝑁 ≡ ∫−∞ [|𝜙(𝑥)|2 + |𝜓(𝑥)|2 ]𝑑𝑥, (2.9) và Hamilton hệ bảo toàn: +∞ 𝐻 ≡ ∫−∞ [|𝜙𝑥 |2 + |𝜓𝑥 |2 + 𝑔(𝑥)(|𝜙|4 + |𝜓|4 ) − 2𝑘(𝜙𝜓 ∗ + 𝜙 ∗ 𝜓)]𝑑𝑥 (2.10) dấu “*“ là kí hiệu liên hợp phức hàm bao Xét phi tuyến địa phương 𝑔(𝑥) có dạng hàm delta: 𝑔(𝑥) = −𝛿(𝑥) (2.11) 2.2.2 Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định trạng thái Bằng phương pháp giải tích, chúng tính toán loại trạng thái solitons khác Từ xét ảnh hưởng tham sớ lên phá vỡ đối xứng hệ (b) (a) (c) Hình 2.13 Các loại trạng thái solitons: hình (a) làtrạng thái đới xứng, hình (b) trạng thái phản đới xứng hình (c) trạng thái khơng đới xứng hệ trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = vàhằng sớ lan truyền 𝜇 = Qua hình vẽ 2.13a cho thấy hàm bao hai trạng thái hai ớng dẫn sóng trùng miêu tả trạng thái đới xứng, hình 2.13b hai hàm bao đới xứng qua trục nằm ngang miêu tả trạng thái phản đới xứng, đới với hình 2.13c hai hàm bao lệch miêu tả trạng thái không đối xứng 11 Tổng công suất xung dạng (2.9) trạng thái đối xứng và phản đối xứng là 𝑁𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑁𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = Tổng công suất trạng thái bất đối xứng là: N a sym m  3      2 (2.12) với giá trị giới hạn 𝑁𝑎𝑠𝑦𝑚𝑚 (𝜇 → ∞) = Các tổng công suất solitons đối xứng bất đối xứng phụ thuộc vào số lan truyền 𝜇, vẽ hình 2.14a Giá trị lượng tính dựa theo công thức (2.10), áp dụng tính cho tất trạng thái xem xét, có biểu thức tổng quát là: E  2 A  2 C  A  A (C )  A * 2 C  (A ) C * 2   A    C  (2.13) Các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và bất đối xứng tương ứng lượng là 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘 và𝐸𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑘, 2(𝜇+𝜅) 2(𝜇−𝜅) 𝐸𝑎𝑠𝑦𝑚 = − 𝜅 [√ +√ 2(𝜇−𝜅) 2(𝜇+𝜅) ] (2.14) Tại điểm rẽ nhánh 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 𝜅 thay vào biểu thức (2.14) suy 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘 Hình 2.14 Hình (a) miêu tả cơng suất xung vàhình (b) miêu tả lượng trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối xứng theo số lan truyền 𝜇 Độ bất đối xứng hai ống dẫn sóng định nghĩa là: +∞ Θ = ∫−∞ [|𝑢2 (𝑥)|−|𝑣 (𝑥)|]𝑑𝑥 +∞ ∫−∞ [|𝑢2 (𝑥)|+|𝑣 (𝑥)|]𝑑𝑥 (2.15) Thế giátrị 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) xác định vào (2.15) vàtính tính phân suy ra:   3        3 2         2      (2.16) Nó vẽ là hàm tổng công suất vàhằng số lan truyền hình 2.15 Lưu ý   số lan truyền 𝜇 → +∞ Tất trạng thái bất đối xứng là không ổn định mơ hình với phi tuyến biến điệu là hàm delta dạng (2.11) 12 Hình 2.15 Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng  định nghĩa theo biểu thức (2.15) theo số lan truyền 𝜇 vàtổng cơng suất 𝑁 Để xác định tính chất ổn định trạng thái sử dụng tiêu chuẩn ổn định V-K Từ hình vẽ 2.14a thấy hệ sớ góc đường cong tổng cơng suất 𝑁 theo số lan truyền 𝜇 luôn âm, theo tiêu chuẩn V-K trạng thái khơng đới xứng ln ln khơng ổn định Trong hình vẽ trên, đường liền nét và nét đứt tương ứng với trạng thái ổn định và khơng ổn định Từ hình vẽ 2.15 chúng suy được: thứ công suất tới hạn và số lan truyền tới hạn là 𝑁𝑏𝑖𝑓 = và𝜇𝑏𝑖𝑓 = 1.25; thứ hai solitons đối xứng vàsolitons phản đối xứng hệ tồn công suất 𝑁 = 2, hệ tồn solitons bất đối xứng công suất < 𝑁 < (hay số lan truyền 𝜇 > 1.25), thứ ba trạng thái solitons bất đối xứng không ổn định, đối chiếu với cách phân loại rẽ nhánh chúng ta thấy SSB hệ này thuộc loại tới hạn Chương SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG CỘNG HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT 3.1 Mơhình nghiên cứu vàhệ phương trình mơ tả Hệ phương trình miêu tả hệ cộng hưởng hai vòng quang học là: 𝑖𝜕𝑡 𝜓1 = −𝜕𝑥2 𝜓1 + 𝑖𝛾𝜓1 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1 |2 𝜓1 + 𝐽(𝑥)𝜓2 , (3.1) { 𝑖𝜕𝑡 𝜓2 = −𝜕𝑥2 𝜓2 + 𝑖𝛾𝜓2 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2 |2 𝜓2 + 𝐽(𝑥)𝜓1 𝜓1 , 𝜓2 là hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng vòng thứ vàvòng thứ hai Tùy thuộc vào vị trí tương đới hai vòng màhàm sớ liên kết 𝐽(𝑥) là sớ (gọi tắt là liên kết số) nghiên cứu Nguyễn Việt Hưng và cộng sự, hàm liên kết dạng Gauss đơn (gọi tắt là liên kết Gauss đơn) nghiên cứu Aleksandr Ramaniuk và cộng sự, hay hàm liên kết Gauss kép (gọi tắt là liên kết Gauss kép) chúng nghiên cứu và công bố công trình Hàm liên kết Gauss đơn và Gauss kép gọi là liên kết địa phương tức là chúng tương ứng liên kết điểm và hai điểm Các dạng hàm liên kết miêu tả biểu thức sau đây: với liên kết số: 𝐽(𝑥) = 𝑐 = ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố, (3.2) với liên kết Gauss đơn: 𝐽(𝑥) = 𝑥2 𝐽0 √ 𝑒𝑥𝑝 (− 2), 𝜋𝑎 𝑎 13 (3.3) với liên kết Gauss kép: 𝐽(𝑥) = 𝐽0 √𝜋𝑎 {𝑒𝑥𝑝 (− 𝜋 2 𝑎2 (𝑥− ) ) + 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜋 2 𝑎2 (𝑥+ ) )} (3.4) Trong 𝐽0 là cường độ liên kết đặc trưng cho liên kết mạnh hay yếu vòng; 𝑎 là độ rộng hàm liên kết, phụ thuộc vào độ nghiêng tiếp xúc vòng Độ rộng đóhẹp hay rộng so sánh với chu vi vòng quang, độ rộng hẹp 𝑎 ≪ 𝜋, độ rộng rộng 𝑎 ≫ 𝜋 Hì nh 3.1 Mơ hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với có mặt khuếch đại tuyến tính, mát phi tuyến và liên kết tuyến tính với Trong hì nh vẽ 3.1, kýhiệu 𝛾 vàΓ là tham số khuếch đại và tham sớ mát vòng; 𝑗1 , 𝑗2 , 𝑗⊥ là mật độ dòng vòng 1, vòng và mật độ dòng ngang trao đổi hai vòng Mục đích chương này là nghiên cứu SSB hai vòng cộng hưởng quang học nói Để nghiên cứu SSB hệ chúng ta cần sử dụng số đại lượng vật lý đặc trưng định nghĩa sau đây: Công suất ánh sáng vòng: 2𝜋 𝑁𝑖 (𝑡) = ∫0 |𝜓𝑖 (𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥, (3.5) với 𝑖 = 1, là sớ tương ứng cơng suất vòng và vòng mơ tả hai hàm sóng 𝜓1 , 𝜓2 Tổng công suất ánh sáng hai vòng: 2𝜋 𝑁(𝑡) = ∫0 [|𝜓1 (𝑥, 𝑡)|2 + |𝜓2 (𝑥, 𝑡)|2 ]𝑑𝑥 (3.6) Biến đổi Fourier tổng công suất: ̃ (𝜔) = ℱ(𝑁(𝑡)) 𝑁 (3.7) với ℱ làkíhiệu phép biến đổi Fourier, 𝜔 là tần số miền khơng gian Fourier Mật độ dòng quang bên vòng quang học: 𝜕𝜓 𝜕𝜓∗ 𝑗𝛼 (𝑥, 𝑡) = (𝜓𝛼∗ 𝛼 + 𝜓𝛼 𝛼 ), với 𝛼 = 1,2 (3.8) 2𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Mật độ dòng ngang vòng quang học: 𝐶 𝑗⊥ (𝑥, 𝑡) = (𝜓1∗ 𝜓2 + 𝜓2∗ 𝜓1 ), (3.9) 2𝑖 và tổng dòng hai vòng là: 2𝜋 𝐽⊥ (𝑥, 𝑡) = ∫0 𝑗⊥ (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 (3.10) Nguồn tô-pô đặc trưng xốy trạng thái ánh sáng vòng định nghĩa: 14 2𝜋 𝜕 𝜅 = ∫0 𝑎𝑟𝑔(𝜓𝑖 )𝑑𝑥 (3.11) 2𝜋 𝜕𝑥 Đây là đại lượng lượng tử hóa, 𝜅 = thìứng với trạng thái khơng xốy vànếu 𝜅 ngun khác khơng ứng với trạng thái xốy Độ bất đới xứng vòng: 𝜋 Θ𝑖 = ∫0 |𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥− ∫−𝜋|𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥 +𝜋 ∫−𝜋 |𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥 (3.12) với 𝑖 = 1, là số tương ứng với vòng và vòng Nếu Θ𝑖 = thìtrạng thái hệ cótính chất đới xứng chẵn 𝑥 → −𝑥, Θ𝑖 ≠ trạng thái hệ tính chất đới xứng hay gọi là có SSB Chúng sử dụng phương pháp SSF (cụ thể là kỹ thuật tiến triển) để nghiên cứu SSB hệ Điều kiện đầu chọn là trạng thái dừng vòng khơng có liên kết Khi vòng chưa liên kết với (𝐽0 = 0), trạng thái dừng hệ có dạng sau đây: 𝛾 𝑖𝜅𝑥−𝑖( +𝜅 )𝑡 Γ 𝜓1,2 (𝑡) = 𝜌1,2 𝑒 , (3.13) đó, 𝜌1,2 là mơ đun hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng vòng vàvòng 2, 𝜅 là nguồn tơ-pơ Với điều kiện đầu khơng xốy (𝜅 = 0) và thêm nhiễu vào (3.13) biểu thức trở thành: 𝛾 𝜓1,2 (𝑥, 𝑡 = 0) = √ (1 ± 𝛽sin(k𝑥)), Γ (3.14) 𝛽 = 0.01 là hệ sớ nhiễu, k là sớ ngun Khi vòng liên kết với nhau, bất ổn định xảy dẫn tới xuất nhiều loại trạng thái như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn và tượng tượng phá vỡ đối xứng, tượng xoáy Trước chuyển sang phần nghiên cứu chính chúng SSB hệ trường hợp liên kết Gauss kép, chúng tơi trình bày chi tiết loại trạng thái và tượng xuất hệ 3.2 Một số loại trạng thái và tượng xuất hệ cộng hưởng vòng quang 15 3.2.1 Trạng thái dừng và phá vỡ đối xứng Trạng thái dừng là trạng thái mà mô đun hàm sóng mơ tả trạng thái khơng thay đổi theo thời gian Trong hình 3.3, hình (a) miêu tả tổng công suất không thay đổi theo thời gian trạng thái ći Hình (b) là biến đổi Fourier tổng cơng suất, chúng ta thấy có tần sớ ω=0 có biến đổi Fourier khác khơng, chính là tính chất trạng thái dừng, hay nói khác trạng thái dừng biến đổi Fourier tổng công suất thu giá trị khác không tần sớ ω=0, tần sớ khác biến đổi Fourier khơng Hình (c) là tiến triển hàm sóng theo thời gian, hình (d) là mơ đun hai hàm sóng (c) (b) Mơ đun hàm sóng (a) (d) Hình 3.3 Trạng thái dừng trường hàm liên kết Gauss đơn với tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 3.2.2 Trạng thái dao động Trạng thái dao động là trạng thái mà mơ đun hàm sóng biến đổi tuần hoàn theo thời gian Hình 3.9a miêu tả tổng cơng suất ánh sáng hai vòng biến đổi theo thời gian Sự tiến triển hàm sóng miêu tả hình vẽ 3.9c Để biết số lượng tần số trạng thái dao động, chúng thực biến đổi Fourier tổng công suất miêu tả hình 3.9b Qua đó, chúng thấy xuất tần số ω khơng gian Fourier có biến đổi Fourier tổng cơng suất khác không Đây là trường hợp trạng thái dao động với tần sớ Hình 3.9d miêu tả mơ đun hai hàm sóng thời điểm, cho thấy có bất đới xứng chẵn x→-x hàm sóng 16 (b) Mơ đun hàm sóng (a) (d) (c) Hình 3.9 Trạng thái dao động hệ trường hợp liên kết sớ Hình (a) biểu diễn tổng cơng suất ánh sáng hai vòng theo thời gian, (b) là biến đổi Fourier tổng công suất, (c) là tiến triển hàm sóng theo thời gian (d) là mơ đun hàm sóng Các tham số hệ Γ = 1, 𝛾 = và𝑐 = 1.25 3.2.3 Trạng thái hỗn loạn Trạng thái hỗn loạn hiểu là phân bố cường độ ánh sáng vòng khơng đồng đều, lộn xộn và không trật tự (a) (b) 17 Mô đun hàm sóng (c) (d) Hình 3.11 Trạng thái hỗn loạn xuất hệ trường hợp liên kết số (trong hình nhỏ hình vẽ (a) là kết của), tham số đặc trưng hệ Γ = 1, 𝛾 = và𝑐 = 3.3 Sự phávỡ đối xứng hệ với hàm liên kết Gauss kép 3.3.1 Ảnh hưởng cường độ liên kết lên phávỡ đối xứng hệ Trong mục này chúng nghiên cứu ảnh hưởng cường độ liên kết lên phávỡ đối xứng hệ với tham số: cố định tham số khuếch đại 𝛾 = 3, tham số mát Γ = và thay đổi cường độ liên kết 𝐽0 Các trường hợp độ rộng hàm liên kết khác kiểm tra và cho thấy trình biến đổi trạng thái tương tự độ rộng hàm liên kết lệch khơng q lớn, chúng có khác đáng kể độ rộng lớn gấp hàng trăm lần Vì vậy, sau chúng tơi trình bày phá vỡ đới xứng hệ hai trường hợp: độ rộng liên kết hẹp (𝑎 = 0.01) và độ rộng liên kết lớn (𝑎 = 1.0) là hai trường hợp đại diện Kết thu vùng tham số tồn loại trạng thái và có phá vỡ đới xứng tổng hợp hình vẽ và sơ đồ 3.3.1.1 Sự phá vỡ đối xứng trạng thái hệ liên kết hẹp Sơ đồ 3.1 Sự biến đổi trạng thái vàSSB ảnh hưởng cường độ liên kết độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01 Trong sơ đồ ký hiệu có nghĩa sau:  O-SSB nghĩa là khơng có phá vỡ  S: ký hiệu trạng thái dừng  O: ký hiệu trạng thái dao động đối xứng  SSB nghĩa là có phá vỡ đới xứng  Chaos: ký hiệu trạng thái hỗn loạn 18 Hình 3.16 Sơ đồ rẽ nhánh chuyển đổi trạng thái hệ tham số 𝜸 = 𝟑, 𝚪 = 𝟏, 𝒂 = 𝟎 𝟎𝟏 theo cường độ liên kết 𝑱𝟎 ∈ [𝟏 𝟗𝟕, 𝟑 𝟓𝟕] 3.3.1.2 Sự phá vỡ đối xứng trạng thái hệ liên kết rộng Sơ đồ 3.2 Sự biến đổi trạng thái vàSSB ảnh hưởng cường độ liên kết độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = Hình 3.18 Sơ đồ rẽ nhánh môtả chuyển đổi trạng thái hệ vùng cường độ liên kết lớn độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 3.3.2 Ảnh hưởng tham số khuếch đại lên phávỡ đối xứng hệ Mục này, xem xét ảnh hưởng tham số khuếch đại 𝛾 lên SSB hệ hai trường hợp sau đây: trường hợp thứ tham số mất Γ = 1, cường độ liên kết chọn 𝐽0 = 2.85, độ rộng hàm liên kết 𝑎 = 0.01 và thay đổi 𝛾; 19 trường hợp thứ hai tham số mất Γ = 1, cường độ liên kết chọn 𝐽0 = 12.75, độ rộng hàm liên kết 𝑎 = và thay đổi 𝛾 Kết thu vùng tham số tồn loại trạng thái và có phá vỡ đới xứng tổng hợp hình vẽ và sơ đồ 3.3.2.1 Sự phá vỡ đối xứng trạng thái hệ liên kết hẹp Hình 3.19 Giản đồ rẽ nhánh biến đổi trạng thái hệ, tham số cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và𝛾 thay đổi Sơ đồ 3.3 Sự biến đổi trạng thái vàSSB ảnh hưởng tham số khuếch đại độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01 3.3.2.2 Sự phá vỡ đối xứng trạng thái hệ liên kết rộng 20 Hình 3.23 Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn biến đổi trạng thái động lực học hệ, tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = Sơ đồ 3.4 Sự biến đổi trạng thái vàSSB ảnh hưởng tham số khuếch đại độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 3.3.3 Ảnh hưởng tham số mát lên phávỡ đối xứng hệ Tương tự phần trên, phần này chúng xét hai trường hợp với hai loại độ rộng hàm liên kết khác nhau: trường hợp thứ cố định tham số khuếch đại 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và thay đổi tham số mát Γ; trường hợp thứ hai xét 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = và thay đổi tham số mát Γ Trường hợp Cố định tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, thay đổi Γ Kết trình biến đổi trạng thái tổng hợp hình vẽ 3.25 Qua giản đồ chúng ta thấy trạng thái dừng hệ tồn khoảng tham số mát Γ ≲ 0.99 vàΓ ≳ 1.60 tương ứng với vùng màu xanh toàn giản đồ rẽ nhánh (ký hiệu S) Trong khoảng tham số mát 0.99 ≲ Γ ≲ 1.4 hệ xảy trạng 21 thái hỗn loạn ứng với vùng có vệt rộng theo chiều thẳng đứng vng góc với trục hoành (vùng ký hiệu “Chaos”) Trạng thái dao động xảy vùng tham số mát 1.4 ≲ Γ ≲ 1.6 Hình 3.25 Giản đồ rẽ nhánh quátrì nh biến đổi trạng thái hệ cố định tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mát phi tuyến Γ thay đổi Sơ đồ 3.5 Sự biến đổi trạng thái và SSB ảnh hưởng tham số mát độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01 Trường hợp Cố định tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, thay đổi Γ Trong trường hợp này chúng nhận thấy biến đổi trạng thái biến đổi qua lại trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn Nhưng trạng thái hỗn loạn khơng tồn thể vệt sáng vùng hỗn loạn không liên tục từ tần số 𝜔 = đến tần sớ nào Sự biến đổi trạng thái không ổn định giống trường hợp độ rộng 𝑎 = xét Sự biến đổi trạng thái khơng ổn định miêu tả hình 3.26, vệt sáng xuất gián đoạn màu xanh 22 Hình 3.26 Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier tổng công suất hệ tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mát phi tuyến Γ thay đổi Sơ đồ 3.6 Sự biến đổi trạng thái vàSSB ảnh hưởng tham số mát độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án này, chúng nghiên cứu phávỡ đối xứng tự phát số hệ quang học khác và thu kết sau Đới với hệ ớng dẫn sóng với phi tuyến Kerr đồng vàthế tuyến tí nh dạng Gauss kép, nghiên cứu hai trường hợp Trường hợp phi tuyến Kerr tự hội tụ, chúng tơi nhận thấy hệ cósự phávỡ đới xứng tự phát, xác định vùng tham số công suất xung, số lan truyền tồn loại trạng thái solitons đối xứng, trạng thái soliton không đối xứng vùng ổn định, không ổn định trạng thái Đồng thời chúng tơi thu đặc trưng rẽ nhánh phávỡ đối xứng trường hợp thuộc loại tới hạn Trường hợp thứ hai phi tuyến Kerr tự phân kỳ thìhệ khơng cósự phávỡ đới xứng tự phát, trạng thái đới xứng hệ ln ln cótí nh chất ổn định cao Đới với hệ hai ớng dẫn sóng có mặt phi tuyến biến điệu dạng hàm delta vàliên kết tuyến tí nh với nhau, chúng tơi xác định vùng tham số công suất xung, số lan truyền để tồn loại khác Đặc trưng rẽ nhánh phá vỡ đối xứng trường hợp này là tới hạn (subcritical), trạng thái solitons bất đối xứng làkhông ổn định, trạng thái solitons đới xứng thìln ổn định Đới với hệ cộng hưởng vòng có liên kết tuyến tính dạng Gauss kép, xét ba trường hợp ảnh hưởng ba tham số điều khiển khác (cường độ liên kết, tham số khuếch đại vàtham số mát) lên SSB và thu được: - Các vùng tham số cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mát để tồn loại trạng thái khác như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn vàsự phávỡ đới xứng hàm sóng 23 - Hai kịch khác dẫn đến trạng thái hỗn loạn là: kịch từ trạng thái dừng chuyển sang trạng thái hỗn loạn vàkịch từ trạng thái dừng sang trạng thái dao động không liên tục dẫn đến hỗn loạn Các kết thu là sở quan trọng định hướng nghiên cứu thực nghiệm Nó định hướng ứng dụng thiết bị quang tử chuyển mạch quang, hệ tắt bật cực nhanh, thông tin quang và đặc biệt trạng thái hỗn loạn ứng dụng bảo mật thông tin quang, kỹ thuật mật mạ,v.v… Những kết nghiên cứu trình bày hội nghị khoa học chuyên ngành, cơng bớ tạp chíuy tí n nước và nước ngồi 24 CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ [1] Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, M Trippenbach, Bui Dinh Thuan, and Do Thanh Thuy, Spontaneous Symmetry Breaking of Solitons Trapped in a Double-Gauss Potential, Communications in Physics, Vol 28, No (2018), pp 301-310 [2] Duy Cuong Nguyen; Xuan Khoa Dinh; Xuan The Tai Le; Viet Hung Nguyen; Marek Trippenbach, On the nonlinear dynamics of coupled micro-resonators, Proceedings 11204, 14th Conference on Integrated Optics: Sensors, Sensing Structures, and Methods, (2019), Szcyrk-Gliwice, Poland [3] Nguyen Duy Cuong, Bui Dinh Thuan, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, Marek Trippenbach, and Do Thanh Thuy, Spontaneous Symmetry Breaking in Coupled Ring Resonators with Linear Gain and Nonlinear Loss, Vinh University Journal of Science 48, 2A (2019), 39-48 [4] Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, Le Canh Trung, Bui Dinh Thuan, Marek Trippenbach, Two Spot Coupled Ring Resonators, Communications in Physics, Vol 29, No (2019), pp 491-500 [5] Le Xuan The Tai, Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Nguyen Viet Hung, and Marek Trippenbach, Local versus uniform coupling, preparing to submit in Photonics Letters of Poland 25 ... tài nghiên cứu Nghiên cứu ph vỡ đối xứng tự phát số hệ quang học phi tuyến Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ảnh hưởng công suất xung, số lan truyền lên ph vỡ đối xứng tự phát hai hệ quang. .. Chương SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TỒN Chương này chúng tơi xét ảnh hưởng công suất xung vàhằng số lan truyền lên ph vỡ đối xứng tự phát hai hệ quang. .. thức sở, phương pháp tính toán để nghiên cứu phá vỡ đối xứng số hệ quang học Tiếp theo tác giả trì nh bày sớ nội dung liên quan đến ph vỡ đối xứng tự phát như: chất ph vỡ đối xứng, đặc trưng