DE THI OLIMPIC

Kỳ thi Olimpic lần thứ nhất Đề thi olimpic Môn Toán lớp 7 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1 - Cho A = 1+3+3 2 +3 3 + .+3 2003 và B = 3 2004 -1. a) So sánh A và 2 B . b) Chứng tỏ 3.A chia hết cho 5. Câu 2- a) Tìm x biết: 2 222 321 2 7.5.2 7777 = +++ +++ xxxx b)Tìm x và y biết: ( ) 05443 2 + yx Câu 3 a)Tìm chữ số cuối cùng của số C = 1999 2005 + 1999 2006 b) Tìm 3 chữ số cuối cùng của số: D =1.2.3 + 2.3.4 +3.4.5 + .+ 98.99.100. Câu 4 - Xếp theo thứ tự lớn dần của các số sau: a) 2 22222 22222222222 2;2;2;22;2;22;222 b) 2 3 3 2 23 3&2 Câu 5 - Cho 3 số x, y, z có tổng khác 0, thoả mãn điều kiện x z z y y x == . Tính giá trị biểu thức : 2005 669668668 y zyx E = Câu 6 - Trong hình vẽ, cho biết AB // CD, DB BC, BD là phân giác của góc ADC, 3 lần góc ABD bằng 2 lần góc BCD. Hãy tính góc DAB. Kỳ thi Olimpic lần thứ nhất Đề thi olimpic Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 90 phút 1 Phần 1 Trắc nghiệm: Câu 1- điều kiện xác định của biểu thức: x31 là . 3 1 :; 3 1 :; 3 1 :; 3 1 : xDxCxBxA > Câu 2- Giá trị của biểu thức: ( ) 2 51 là: .51:;15:;51:;51: + DCBA Câu 3 Giá trị của biểu thức: 154 1 154 1 + là: .152:;152:; 31 152 ;;0: DCBA Câu 4- Trong hình vẽ bên cos30 0 là: 2 32:; 2 3 :; 3 :; 3 2 : aDC a B a A Phần 2- Tự luận: Câu 1- Cho biểu thức: + + + + += xy yx xxy y yxy x yx xyy xP : a) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tính giá trị của P với x = 3, y = 32 2 Câu 2- Cho tam giác nhọn ABC, Gọi 0 là trực tâm của tam giác. Trên các đoạn thẳng 0B, 0C lấy hai điểm B 1 và C 1 . Chứng minh rằng nếu AB 1 C=AC 1 B = 90 0 thì AB 1 = AC 1 . Câu 3- Tìn x biết 2781812 +=+ xx Câu 4- So sánh hai số: 20032002& 2002 2003 2003 2002 +=+= RQ Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Kỳ thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đề thi olimpic Môn Toán lớp 6 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1: Giải ô số toán học để tìm số hàng dọc. 2 1 7 8 Hàng ngang: 1. MMII. 2. Tìm số phần tử của tập hợp sau : { } 39913341,.2/ <<= xkxNx 3. Khi còn 7 tuổi nhà Toán học Gausơ đã tính nhanh tổng của 100 số tự nhiênkhác 0 đầu tiên, cho biết kết quả đó? 4. Số phần tử của tập hợp các số lẻ lớn hơn 5 nhng nhỏ hơn 1999. 5. Tập hợp A không có phần tử nào, tập hợp A có mấy tập hợp con? 6. Cho tập hợp A= { } 9;2 . Viết số có 2 chữ số khác nhau từ các phần tử của tập hợp A, biết chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị. 7. Tích của 10 thừa số 2. 8. Số ngày trong năm dơng lịch không nhuận. Số hàng dọc: Một ngày trọng đại của đất nớc. Câu 2: Tìm x biết: a/ x 4300- (5250 : 1050 . 250) = 4250; b/ x- 6 : 2 - (48- 24. 2 : 6 -3) = 0. c/ x + 5 . 2 - (32 + 16 . 3 : 6 - 15) = 0; d/ 460 + 85 . 4 = (x + 200) : 4. 2 3 4 5 6 3 Câu 3: So sánh các luỹ thừa sau: a/ 2 100 và 1024 9 ; b/ 9 12 và 27 7 . Câu 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a/ 2 1993 ; b/ 3 1993 . Câu 5: Cho S=2 1 + 2 2 + 2 3 + . + 2 100 . a/ Chứng minh S chia hết cho 3. b/ Chứng minh S chia hết cho 15. c/ S tận cùng là chữ số nào? Kỳ thi Olimpic lần thứ nhất Đề thi olimpic Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 90 phút I/ Phần trắc nghiệm (2 điểm): Hãy chọn chữ cái đứng trớc phơng án đúng trong các câu sau (từ câu 1 đến câu 4) để viết vào tờ giấy thi: Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x + 3y - 5) 2 - 6xy + 26 là: A. 1; B. 26; C. 20; D. 15. Câu 2: Cho x - y = 2. Giá trị của biểu thức B = 2(x 3 - y 3 ) - 3(x + y) 2 bằng A. 28; B. -1; C. 16; D. 4. Câu 3: Tổng các hệ số của tất cả các hạng tử trong khai triển của nhị thức (5x - 6y) 22 bằng: A. -1; B. 1; C. -11; D. 22. Câu 4: Cho ABC có góc A bằng 20 0 , góc B bằng 80 0 . trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Khi đó, số đo góc BMC bằng: A. 60 0 ; B. 50 0 ; C. 40 0 ; D. 30 0 . II /Phần tự luận (8 điểm): Câu 5: a) Cho x > y > z. Chứng minh rằng biểu thức: A = x 4 (y - z) + y 4 (z - x) + z 4 (x - y) luôn luôn dơng. b) Tính B = 062005200520.042005200520052005200520 2005 2 . Câu 6: a) Tìm tỉ số lớn nhất của số có ba chữ số với tổng các chữ số của nó. b) Giả sử a, b, c là các số dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của C = (1+ a)(1+ b)(1+ c). Câu 7: Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhỏ. Độ dài đờng cao BH bằng độ dài đờng trung bình của hình thang ABCD. CMR: BD AC. 4 Câu 8: Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD, P là điểm thuộc cạnh BC (PB PC), Q là điểm thuộc cạnh AD (QA QD). Biết MNPQ là hình bình hành. Hỏi tứ giác ABCD là hình gì ? Tại sao ? Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Ký thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đề thi olimpic Đội tuyển toán 9 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1: (3 điểm) Cho biểu thức 1 )1(22 1 2 + + ++ = x x x xx xx xx P a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức P x Q 2 = nhận giá trị là số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình += += += 1 12005 3 32 2 21 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x xx x xx x xx Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đờng tròn tâm O, đờng kính AI. Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI. Chứng minh rằng tứ giác AEKC nội tiếp đợc đờng tròn. Câu 4: (2 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đờng tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM. Câu 5: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 ba bab b a a M ++ + + + = 1 11 22 Trong đó a và b là hai số thực dơng thoả mãn điều kiện 1 <+ ba Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Ký thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đáp án olimpic Đội tuyển toán 9 Thời gian làm bài 90 phút Câu Nội dung trình bày Điểm Câu 1 a) ĐK: 1;0 > xx Rút gọn đợc 1 += xxP 1 điểm b) Biểu diễn 4 1 4 3 4 3 2 1 2 ==+ = xMinPxP 1 điểm c) Biểu diễn 1 1 22 + == x x P x Q ta thấy với 1;0 > xx thì 11 1 >+ x x (theo BĐT Cô-Si) suy ra 20 << Q . Vì Q nguyên nên Q =1 2 537 = x (t/m) 1 điểm Câu 2 Ta thấy: nếu ( 200521 , .,, xxx ) là nghiệm của hệ thì 200521 , ,, xxx phải cùng dấu và khác 0 đồng thời ), ,,( 200521 xxx cũng là nghiệm của hệ. Do đó ta xét với trờng hợp 200521 , ,, xxx cùng dơng. - áp dụng BĐT Cô-Si ta có: 2 1 + i i x x (i=1, 2, 3, .,2005) (1) Từ các phơng trình trong hệ và (1) ta đợc 122 ii xx (2) Mặt khác : cộng vế với vế các phơng trình trong hệ ta đợc 200521 200521 1 . 11 . xxx xxx +++=+++ (3) Từ (2) và (3) suy ra : 1 200521 ==== xxx Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 1 200521 ==== xxx Và 1 200521 ==== xxx 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 3 Gọi H là trung điểm của BE Ta có: HK là đờng trung bình của hthang OEBI. BIOEHK //// Mà: BKEBEHKABOE cân tại K 0,5 điểm 6 KBEBEK ∠=∠⇒ (1) MÆt kh¸c ACKABK ∠=∠ (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒∠=∠=∠⇒ KCAKBEKEB tø gi¸c EACK néi tiÕp (®pcm) 1 ®iÓm C©u 4 Ta cã )1(2 22 . 2 )( 2 2 R ABABCDABBDAC S ABCD =≥= + = KÎ ABMH ⊥ Ta cã 2 . 2 1 . 2 1 RABMOABMHS AMB =≤= (2) Tõ (1) vµ (2) 222 2 RRRSSSS AMBABCDBDMACM =−≥−=+ MRSSMin BDMACM ⇔=+⇒ 2 )( lµ trung ®iÓm cña cung AB 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 1 ®iÓm C©u 5 Ta cã 2 1 1 1 1 1 22 − + +++ − +++ − = ba b b b a a a M 2 1 1 1 1 1 − + + − + − =⇔ baba M ¸p dông B§T Bunhiac«pxki ta cã: [ ] 2 )111()()1()1( 1 1 1 1 1 ++≥++−+−       + + − + − baba baba ⇔=−=⇒≥ + + − + − ⇒ 2 5 2 2 9 2 91 1 1 1 1 MinM baba 3 1 == ba 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 7 Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Ký thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đáp án olimpic môn toán lớp 8 Thời gian làm bài 90 phút Câu Đáp án Điểm I) Phần trắc nghiệm (2 điểm): 2 điểm Câu 1: A 0,5đ Câu 2: B 0,5đ Câu 3: D 0,5đ Câu 4: D 0,5đ II) Phần tự luận (2 điểm): 8điểm Câu 5: a) Phân tích A = 2 1 (x-y)(y-z)(x-z)[(x+y) 2 + (y+z) 2 + (z+x) 2 ] Vì x>y>z A > 0 0,75đ 0,25đ b) Đặt x=200520052005 Mẫu số là x 2 - (x-1)(x+1) = 1 Vậy B = 2005. 0,75đ 0,25đ Câu 6: a) Ta có tỉ số của 10010 90 10 90 1 999 1 999 =++ + =+ + + + ++ + = ++ a a ba a ba ba cba ba cba abc Dấu = xảy ra b=c=0, a tuỳ ý Vậy tỉ số lớn nhất là 100 a=1,2,3,,9 và b=c=0 0,5đ 0,25đ 0,25đ b) Khai triển: C = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc C = 2 + ( a a 1 + ) + ( b a 1 + ) + ( c c 1 + ) 8 Dấu = xảy ra a = b =c =1. Vậy GTNN của C = 8 a = b =c =1. 0,5đ 0,25đ 0,25đ Câu Qua B vẽ đờng thẳng song song với AC cắt DC tại E 8 A B C E D NM A N D CB M P Q E F 7: BDE cân đỉnh B. MN = 2 1 (AB + DC) = 2 1 DE = BH. BDE vuông tại B EB DB. Hay AC DB 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 8: * Gọi E, F là trung điểm của BC và AD ME là đờng trung bình của ABC ME //= 2 1 AC. FN là đờng trung bình của DAC FN //= 2 1 AC. MENF là hình bình hành. * Gọi I là giao điểm của MN và EF suy ra I là trung điểm chung của MN và EF. Mà MNPQ là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của PQ. Vì FPEQ là hình bình hành suy ra PE // FQ, suy ra BC // AD Hay ABCD là hình thang. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Trên đây là đáp án vắn tắt, giám khảo chấm vận dụng để cho điểm cho hợp lý, nếu học sinh có cách làm khác mà đúng thì vẫn cho điểm theo định mức. 9 Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Ký thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đáp án olimpic môn toán lớp 6 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1: (2,5 điểm : mỗi ô hàng ngang đúng cho 1/4 điểm- từ hàng dọc nói đúng cho1/2 điểm) Số hàng dọc: 02/09/1945 Ngày quốc khánh nớc Việt Nam. Câu 2(2 điểm : mỗi ý 1/2 điểm) a/ x = 9800 b/ x = 40 c/ x = 15 d/ x = 3000. Câu 3: (1,5 điểm : mỗi ý 3/4 điểm) a/ 2 100 = (2 10 ) 10 = 1024 10 >1024 9. b/ 9 12 =(3 2 ) 12 = 3 24. 27 7 = (3 3 ) 7 = 3 21 . 2 0 0 2 3 2 5 5 0 5 0 9 9 6 1 2 9 1 0 2 4 3 6 5 10 [...]... 3.(2 + 23 ++ 299) 3 Vậy S 3 b/ Nhóm 4 số hạng một của S ta đợc: S = 15.(2 + 25 + 29 ++ 227) 15 c/ S 15 và S là số chẵn nên S tận cùng là 0 Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Ký thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đáp án olimpic môn toán lớp 9 Thời gian làm bài 90 phút A) Trắc nghiệm: Câu 1: B; Câu 2: C; Câu 3: D; Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm B) Tự luận: Câu 1 (2,5đ = a).0,5đ +b).1đ + c).1đ ):... 2003 1 1 >0 2002 2003 1 1 > 2002 2003 2002 < 2003 2002 < 2003 bất đẳng thức cuối luôn đúng vậy bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh 12 Phòng Giáo dục Huyện Yên lạc Ký thi Olimpic lần thứ nhất Ngày 21 tháng 10 năm 2005 Đáp án olimpic môn toán lớp 7 Thời gian làm bài 90 phút câu 1: a) nhân cả 2 vế của đẳng thức A với 3, sau đó lấy 3.A-A thì ta đợc 2A=B hay A=B/2 c) nhóm liên tiếp 4 số hạng của 3A . Kỳ thi Olimpic lần thứ nhất Đề thi olimpic Môn Toán lớp 7 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1 - Cho. ADC, 3 lần góc ABD bằng 2 lần góc BCD. Hãy tính góc DAB. Kỳ thi Olimpic lần thứ nhất Đề thi olimpic Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 90 phút 1 Phần 1 Trắc