Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 32 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
32
Dung lượng
1,01 MB
Nội dung
Chương 1: Các khái niệm xác suất CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết xảy ra) Chẳng hạn vật nặng thả từ cao chắn rơi xuống đất, điều kiện bình thường nước sơi 1000 C Đó tượng diễn có tính quy luật, tất nhiên Trái lại tung đồng xu ta mặt sấp hay mặt ngửa xuất Ta biết trước có gọi đến tổng đài, có khách hàng đến điểm phục vụ khoảng thời gian Ta khơng thể xác định trước số chứng khoán thị trường chứng khoán… Đó tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu qui luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế-xã hội Chương trình bày cách có hệ thống khái niệm kết lý thuyết xác suất 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử (Experiment) Trong thực tế ta thường gặp nhiều thí nghiệm, quan sát mà kết khơng thể dự báo trước Ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên Với phép thử gieo xúc xắc (6 mặt), kết xảy nào, ta liệt kê biểu diễn tất kết phép thử này; xuất mặt có số chấm 1, 2,3, 4,5,6 Ta xem kết biến cố sơ cấp Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu, ký hiệu Không gian mẫu phép thử gieo xúc xắc 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ví dụ 1.1: Phép thử tung đồng xu có khơng gian mẫu S, N Phép thử tung đồng thời đồng xu có khơng gian mẫu (S , S ), (S , N ), ( N , S ), ( N , N ) Chú ý chất biến cố sơ cấp khơng có vai trò đặc biệt lý thuyết xác suất Chẳng hạn mã hóa kết xem không gian mẫu phép thử tung đồng xu 0, 1, biến cố sơ cấp mặt sấp xuất để mặt ngửa xuất 11 Chương 1: Các khái niệm xác suất 1.1.2 Biến cố (Event) Với phép thử C ta thường xét biến cố (còn gọi kiện) mà việc xảy hay không xảy biến cố hồn tồn xác định kết C Mỗi kết phép thử kết phép thử C C gọi kết thuận lợi cho biến cố A A xảy Ví dụ 1.2: Nếu gọi A biến cố “số chấm xuất chẵn” phép thử tung xúc xắc (6 mặt) A có kết thuận lợi 2, 4, Tung hai đồng xu, biến cố xuất mặt sấp mặt ngửa (xin âm dương) có kết thuận lợi (S , N ) ; ( N , S ) Nhận xét 1.1: Có thể đồng biến cố A với tập không gian mẫu bao gồm kết thuận lợi A Mỗi biến cố xảy phép thử thực hiện, nghĩa gắn với không gian mẫu Có hai biến cố đặc biệt sau: Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử Không gian mẫu biến cố chắn Biến cố biến cố định không xảy thực phép thử Biến cố ký hiệu Tung xúc xắc, biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ biến chắn, biến cố xuất mặt có chấm biến cố 1.1.3 Quan hệ biến cố Một cách tương ứng với phép toán tập hợp, lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho biến cố phép thử a) Quan hệ kéo theo Biến cố A kéo theo biến cố B , ký hiệu A B , A xảy B xảy Nếu A B B A ta nói hai biến cố A , B trùng nhau, ký hiệu A B b) Quan hệ biến cố đối Với biến cố A , ln có biến cố gọi biến cố đối A , ký hiệu A xác định sau: A xảy A khơng xảy Ví dụ 1.3: Bắn phát đạn vào bia Gọi A biến cố “bắn trúng bia” Biến cố đối A A “bắn trượt bia” c) Tổng hai biến cố 12 Chương 1: Các khái niệm xác suất Tổng hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A B Biến cố A B xảy có A B xảy n Tổng dãy biến cố A1 , A2 , , An biến cố Ai Biến cố xảy có i 1 biến cố Ai xảy ( i 1, , n ) Ví dụ 1.4: Một mạng điện gồm hai bóng đèn mắc nối tiếp Gọi A1 biến cố “bóng đèn thứ bị cháy”, A2 biến cố “bóng đèn thứ hai bị cháy” Gọi A biến cố “mạng điện” Ta thấy mạng bị điện hai bóng bị cháy Vậy A A1 A2 d) Tích hai biến cố Tích hai biến cố A, B biến cố ký hiệu AB Biến cố AB xảy hai biến cố A , B xảy Tích dãy biến cố A1 , A2 , , An biến cố n Ai Biến cố xảy tất i 1 biến cố Ai xảy ( i 1, , n ) Ví dụ 1.5: Một mạng điện gồm hai bóng đèn mắc song song Gọi A1 biến cố “bóng đèn thứ bị cháy”, A2 biến cố “bóng đèn thứ hai bị cháy” Gọi A biến cố “mạng điện” Ta thấy mạng bị điện hai bóng bị cháy Vậy A A1 A2 A B người bắn viên đạn vào bia Gọi A biến cố “A bắn biến cố “B bắn trúng bia” Khi A B biến cố “có người bắn Ví dụ 1.6: Hai xạ thủ trúng bia”, B trúng bia” AB biến cố “cả hai người bắn trúng bia” e) Biến cố xung khắc Hai biến số A, B gọi xung khắc hai biến cố đồng thời xảy Nói cách khác hai biến số A, B xung khắc biến cố tích AB biến cố khơng thể Ví dụ 1.7: Một bình có loại cầu: cầu mầu trắng, mầu đỏ mầu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ bình Gọi At , Ađ , Ax biến cố cầu rút cầu trắng, đỏ, xanh Các biến cố xung khắc đơi một, cầu có mầu Nhận xét 1.2: Các biến cố phép thử với phép tốn tổng, tích lấy biến cố đối tạo thành đại số Boole, phép tốn có tính chất phép toán hợp, giao, lấy phần bù tập không gian mẫu Chẳng hạn A B A B ; AB A B (luật De Morgan) A A B B AB AB … 13 Chương 1: Các khái niệm xác suất f) Hệ đầy đủ biến cố Dãy biến cố A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ biến cố nếu: i Xung khắc đôi một, nghĩa Ai Aj với i j ; i 1, , n ; j 1, , n n ii Tổng chúng biến cố chắc, nghĩa Ai i 1 Đặc biệt với biến cố A , hệ gồm hai biến cố A, A hệ đầy đủ Ví dụ 1.8: Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Giả sử sản phẩm nhà máy ba phân xưởng sản xuất Chọn ngẫu nhiên sản phẩm, gọi A1 , A2 , A3 biến cố sản phẩm chọn phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba sản xuất Khi hệ ba biến cố A1, A2 , A3 hệ đầy đủ g) Tính độc lập biến cố Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố Tổng quát hơn, biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập việc xảy hay không xảy nhóm k biến cố, k n , không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy nhóm biến cố lại Nhận xét 1.3: Từ định nghĩa ta suy rằng, A, B độc lập cặp biến cố sau: A, B ; A, B ; A, B độc lập Ví dụ 1.9: Ba xạ thủ A, B, C người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A, B, C biến cố A, B, C bắn trúng mục tiêu a Hãy mô tả biến cố: ABC, A BC, A B C b Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C : - D : Có xạ thủ bắn trúng - E : Có nhiều xạ thủ bắn trúng - F : Chỉ có xạ thủ C bắn trúng - G : Chỉ có xạ thủ bắn trúng c Các biến cố A, B, C có xung khắc, có độc lập không ? Giải: a ABC : bắn trúng A B C : bắn trượt A B C : có người bắn trúng b D AB BC CA 14 Chương 1: Các khái niệm xác suất Có nhiều xạ thủ bắn trúng có nghĩa có hai xạ thủ bắn trượt, E AB BC C A F ABC G ABC ABC ABC c Ba biến cố A, B, C độc lập biến cố bắn trúng mục tiêu xạ thủ độc lập Ba biến cố A, B, C khơng xung khắc bắn trúng mục tiêu 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT VÀ CÁC TÍNH CHẤT Một biến cố ngẫu nhiên xảy hay không kết phép thử điều khơng thể biết đốn trước Tuy nhiên cách khác ta định lượng khả xuất biến cố, xác suất xuất biến cố Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Xác suất biến cố A ký hiệu P( A) Trường hợp biến cố gồm biến cố sơ cấp a ta ký hiệu P(a) thay cho P(a) Dựa vào chất phép thử (đồng khả năng) ta suy luận khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển Khi thực nhiều lần lặp lại độc lập phép thử ta tính tần suất xuất biến cố Tần suất thể khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo thống kê 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa 1.1: Giả sử phép thử C thoả mãn hai điều kiện sau: (i) Không gian mẫu có số hữu hạn phần tử (ii) Các kết xảy đồng khả Khi ta định nghĩa xác suất biến cố A P( A) sètr-êng hỵp thnlỵi đèi víi A sètr-êng hỵp cã thÓ (1.1a) Nếu xem biến cố A tập khơng gian mẫu P( A) A sèphÇntư cđa A sèphÇntư cđa (1.1b) Ví dụ 1.10: Biến cố A xuất mặt chẵn phép thử gieo xúc xắc ví dụ 1.2 có 3 trường hợp thuận lợi ( A ) trường hợp ( ) Vậy P( A) 15 Chương 1: Các khái niệm xác suất Biến cố xuất mặt sấp mặt ngửa gieo đồng thời hai đồng xu có kết thuận lợi kết đồng khả có thể, có xác suất xuất biến cố Ví dụ 1.11: Xét phép thử gieo liên tiếp lần xúc xắc mặt (hình tứ diện) Tính xác xuất biến cố sau: a Tổng số chấm xuất chẵn (biến cố A ) b Số chấm xuất hai xúc xắc (biến cố B ) c Số chấm xúc xắc thứ lớn xúc xắc thứ hai (biến cố C ) d Ít xúc xắc xuất mặt chấm (biến cố D ) Giải: Có thể biểu diễn không gian mẫu phép thử biến cố tương ứng dạng biểu đồ sau: Biến cố D xắc lần Biến cố B gieo Biến cố C 4 Xúc thứ hai Xúc xắc lần gieo thứ Hình 1.1: Phép thử gieo xúc xắc mặt Các biến cố sơ cấp biểu diễn chấm Các biến cố sơ cấp thuận lợi biến cố A ký hiệu Số trường hớp thuận lợi biến cố B , C , D số chấm đánh dấu tương ứng biểu đồ Theo định nghĩa xác suất (1.1a) ta có: a P( A) 16 16 b P( B) 16 Chương 1: Các khái niệm xác suất c P(C ) 16 d P( D) 16 Ví dụ 1.12: Sơ đồ Nhiều phép thử có tính chất nối tiếp lập thành dãy, chẳng hạn phép thử tung liên tiếp đồng xu ba lần, quan sát số chứng khoán năm ngày liên tiếp, tám ký số liên tiếp nhận nhận thông tin Trong trường hợp ta biểu diễn khơng gian mẫu biến cố tương ứng đưới dạng sơ đồ Không gian mẫu biến cố B ví dụ 1.11 biểu diễn dạng sơ đồ sau 1.1 1.2 1.3 1.4 Gốc Hình 1.2: Sơ đồ phép thử gieo xúc xắc mặt Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm giải tích tổ hợp 1.2.2 Các qui tắc đếm a) Qui tắc cộng Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng x1 , m cách chọn loại đối tượng x2 , , mn cách chọn loại đối tượng xn Các cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn x j i j có m1 m2 mn cách chọn đối tượng cho b) Qui tắc nhân Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H1, H , , H k cơng đoạn H i có ni cách thực có tất n1 n2 nk cách thực cơng việc H c) Hốn vị Mỗi phép đổi chỗ n phần tử xếp n phần tử vào n vị trí gọi phép hoán vị n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính được: 17 Chương 1: Các khái niệm xác suất Có n ! hốn vị n phần tử Quy ước 0! = d) Chỉnh hợp có lặp Chọn k phần tử hoàn lại tập n phần tử ta chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử n k e) Chỉnh hợp Chọn k ( k n ) phần tử khơng hồn lại tập n phần tử ta chỉnh hợp chập k n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank n! n (n 1) (n k 1) (n k )! (1.2) f) Tổ hợp Một tổ hợp chập k ( k n ) n phần tử cách chọn đồng thời k phần tử từ tập có n phần tử Vì xem tập k phần tử tập n phần tử tổ hợp chập k n phần tử Hai chỉnh hợp chập k n phần tử khác thỏa mãn hai điều kiện sau: có phần tử chỉnh hợp khơng có chỉnh hợp phần tử thứ tự khác Do với tổ hợp chập k n phần tử có k! chỉnh hợp tương ứng Mặt khác hai chỉnh hợp khác ứng với hai tổ hợp khác khác Vậy số tổ hợp chập k n phần tử Cnk Ank n! k ! k !(n k )! (1.3) Ví dụ 1.13: Tung xúc xắc (6 mặt) hai lần Tìm xác suất để có lần chấm Giải: Số trường hợp 36 Gọi A biến cố “trong lần tung xúc xắc có lần mặt 6” Nếu lần thứ mặt lần thứ hai mặt từ đến 5, nghĩa có trường hợp Tương tự có trường hợp xuất mặt lần tung thứ hai Áp dụng quy 10 tắc cộng ta suy xác suất để có lần mặt tung xúc xắc lần 36 Ví dụ 1.14: Bố trí cách ngẫu nhiên n người ngồi xung quanh ban tròn ( n ), có hai người anh em Tìm xác suất để hai anh em ngồi cạnh 18 Chương 1: Các khái niệm xác suất Giải: Chúng ta đánh số ghế ngồi từ đến n coi cách ngồi khác có chỗ có người ngồi khác Số trường hợp số hốn vị n phần tử: n ! Ta xếp người anh ngồi tùy ý vào n chỗ (có n cách); người em ngồi vào chỗ cạnh người anh (có cách); n người lại lại ngồi tùy ý vào n chỗ lại (có (n 2)! cách) Vậy số trường hợp thuận lợi (n)(2) (n 2)! Xác suất cần tìm P (n)(2) (n 2)! n! n 1 Ví dụ 1.15: Một người gọi điện thoại quên hai số cuối số điện thoại nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi Giải: Gọi A biến cố “quay ngẫu nhiên lần số cần gọi” Số trường hợp số cặp hai chữ số khác từ 10 chữ số từ đến Số cặp hai chữ số số chỉnh hợp chập 10 Vậy số trường hợp A10 10 90 Chỉ có trường hợp thuận lợi A Do P( A) 90 Ví dụ 1.16: Cho từ mã bit tạo từ chuỗi bit bit đồng khả Hãy tìm xác suất từ có chứa k bit 1, với trường hợp k , , Giải: Số trường hợp Đặt Ak biến cố “từ mã có chứa k bit 1” Có thể xem từ mã có chứa k bit tổ hợp chập k phần tử, số trường hợp thuận lợi 6! Ak số tổ hợp chập k phần tử Do Ak C6k k!(6 k )! Vậy xác suất biến cố tương ứng P Ak 6! k!(6 k )!2 , k , , Ví dụ 1.17: Một cơng ty cần tuyển nhân viên Có người nộp đơn có nữ nam Giả sử khả trúng tuyển người Tính xác suất biến cố: a) Hai người trúng tuyển nam b) Hai người trúng tuyển nữ c) Có nữ trúng tuyển Giải: Số trường hợp C62 15 a) Chỉ có trường hợp nam trúng tuyển xác suất tương ứng P / 15 b) Có C 42 cách chọn nữ nữ, xác suất tương ứng P / 15 c) Trong 15 trường hợp có trường hợp nam chọn, có 14 trường hợp nữ chọn Do đo xác suất tương ứng P 14 / 15 19 Chương 1: Các khái niệm xác suất Có thể tính số trường hợp thuận lợi biến cố “có nữ chọn” sau: Có C 42 cách chọn nữ nữ Có C41 cách chọn nữ nữ có C21 cách chọn nam nam Vậy có 4.2 14 trường hợp thuận lợi biến cố “có nữ chọn” 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê Định nghĩa xác suất theo cổ điển trực quan, dễ hiểu Tuy nhiên số kết vơ hạn khơng đồng khả cách tính xác suất cổ điển khơng áp dụng Giả sử phép thử C thực lặp lại nhiều lần độc lập điều kiện giống hệt Nếu n lần thực phép thử C, biến cố A xuất k n (A) lần tỉ số f n ( A) k n ( A) n (1.4) gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử Người ta chứng minh (định lý luật số lớn) n tăng lên vơ hạn f n (A) tiến đến giới hạn xác định Ta định nghĩa giới hạn xác suất biến cố A , ký hiệu P(A) P( A) lim f n ( A) n (1.5) Trên thực tế tần suất f n (A) xấp xỉ n đủ lớn P(A) chọn giá trị xấp xỉ Ví dụ 1.18: Một công ty bảo hiểm muốn xác định xác suất để người Mỹ 25 tuổi bị chết năm tới, người ta theo dõi 100.000 niên thấy có 798 người bị chết vòng năm sau Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ 0,008 Ví dụ 1.19: Thống kê cho thấy tần suất sinh trai xấp xỉ 0,513 Vậy xác suất để bé trai đời lớn bé gái Nhận xét 1.4: Định nghĩa xác suất theo thống kê khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển, hồn tồn dựa thí nghiệm quan sát thực tế để tìm xác suất biến cố Tuy nhiên định nghĩa thống kê xác suất áp dụng cho phép thử mà lặp lại nhiều lần cách độc lập điều kiện giống hệt Ngoài để xác định cách tương đối xác giá trị xác suất cần tiến hành số n đủ lớn lần phép thử, mà việc khơng thể làm hạn chế thời gian kinh phí Ngày với trợ giúp cơng nghệ thơng tin, người ta mơ phép thử ngẫu nhiên mà không cần thực phép thử thực tế Điều cho phép tính xác suất theo phương pháp thống kê thuận tiện 20 Chương 1: Các khái niệm xác suất Ví dụ 1.29: Xét phép thử gieo liên tiếp lần xúc xắc mặt ví dụ 1.11 Gọi X , Y số chấm xuất gieo lần thứ lần thứ hai Ta tính xác suất có điều kiện P( B | A) A max( X , Y ) m , B min( X , Y ) 2 Và m nhận giá trị 1, 2, 3, Giải: Có thể biểu diễn không gian mẫu phép thử biến cố tương ứng dạng sau: Kết hai Kết thứ hai thứ B Y Y 1 m 1 Kết thứ X m2 m3 m4 Kết thứ X Biến cố B Biến cố A Hình 1.4: Phép thử gieo liên tiếp lần xúc xắc mặt Từ hình 1.4 ta được: P( B) ; 16 c m4 2 /16 nÕu m h P( AB) 1/16 nÕu m 0 nÕu m c m4 2 / nÕu m h P( A | B) 1/ nÕu m nÕu m Ví dụ 1.30: Có hai phân xưởng nhà máy sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng I sản xuất 1000 sản phẩm có 100 phế phẩm Phân xưởng II sản xuất 2000 sản phẩm có 150 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra phế phẩm Tính xác suất phế phẩm phân xưởng thứ I sản xuất 28 Chương 1: Các khái niệm xác suất Giải: Gọi B biến cố sản phẩm chọn để kiểm tra phế phẩm Gọi A biến cố sản phẩm chọn để kiểm tra phân xưởng I sản xuất Ta cần tính xác suất có điều kiện P( A | B) 100 3000 30 250 Trong 3000 sản phẩm sản xuất có 250 phế phẩm, P( B) 3000 12 Áp dụng công thức (1.13) ta 1/ 30 P( A | B) 0, 1/12 Biến cố AB có 100 kết thuận lợi đồng khả P( AB) Ta tính trực tiếp xác suất P( A | B) sau: Có 250 trường hợp đồng khả lấy phế phẩm nhà máy có 100 kết thuận lợi biến cố phế phẩm phân xưởng I sản xuất Vậy xác suất để lấy phế phẩm phân xưởng thứ I sản xuất số phế phẩm P( A | B) 100 0, 250 1.3.2 Quy tắc nhân xác suất 1.3.2.1 Trường hợp độc lập: Nếu A, B hai biến cố độc lập xác suất biến cố B khơng phụ thuộc vào A có xảy hay khơng (xem mục 1.1.3–g), nghĩa P( B | A) P( B) Theo (1.13) ta có P( AB) P( A) P( B) (1.15) Nếu A1, A2 , , An biến cố độc lập P A1 A2 An P A1 P A2 P An (1.16) Thơng thường tính độc lập biến cố suy từ ý nghĩa thực tế Chẳng hạn A B biến cố xạ thủ 1, bắn trúng mục tiêu A, B hai biến cố độc lập (xem ví dụ 1.11) 1.3.2.2 Trường hợp tổng quát: Với hai biến cố A, B bất kỳ, áp dụng công thức (1.13) ta có P( AB) P( A) P( B | A) (1.17) Với n biến cố A1, A2 , , An : P A1 A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1 (1.18) Ví dụ 1.31: Túi I chứa bi trắng, bi đỏ, 15 bi xanh Túi II chứa 10 bi trắng, bi đỏ, bi xanh Từ túi lấy ngẫu nhiên bi Tìm xác suất để bi rút từ túi mầu 29 Chương 1: Các khái niệm xác suất Giải: Gọi At , Ađ , Ax biến cố bi rút từ túi I trắng, đỏ, xanh Bt , Bđ , Bx biến cố bi rút từ túi II trắng, đỏ, xanh Các biến cố At , Ađ , Ax xung khắc, Bt , Bđ , Bx xung khắc; Các biến cố At , Ađ , Ax độc lập với biến cố Bt , Bđ , Bx Biến cố bi rút mầu At Bt Ađ Bđ Ax Bx Vậy xác suất cần tìm: P At Bt Ađ Bđ Ax Bx P At Bt P Ađ Bđ P Ax Bx P At P Bt P Ađ P Bđ P Ax P Bx 10 15 207 0,331 25 25 25 25 25 25 625 Ví dụ 1.32: Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném với xác suất trúng mục tiêu tương ứng 0, 0,8 Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom Giải: Gọi A1, A2 tương ứng biến cố “máy bay thứ máy bay thứ hai ném trúng mục tiêu” A biến cố “mục tiêu bị đánh trúng” Rõ ràng A A1 A2 A1, A2 độc lập Do P( A) P A1 A2 P A1 P A2 P A1 P A2 0,7 0,8 0,7.0,8 0,96 Ví dụ 1.33: Rút ngẫu nhiên quân từ cỗ tú lơ khơ Tính xác suất quân rút át Giải: : Gọi A1, A2 tương ứng biến cố lần thứ lần thứ hai rút át P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 52 51 221 Ví dụ 1.34: Một hộp đựng 100 chíp bán dẫn có 20 chíp phế phẩm Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại chíp bán dẫn hộp a) Tính xác suất chíp lấy lần đầu phế phẩm b) Tính xác suất chíp lấy lần thứ hai phế phẩm biết chíp lấy lần đầu phế phẩm c) Tính xác suất hai chíp lấy phế phẩm Giải: a) Gọi A1 biến cố chíp lấy lần đầu phế phẩm, ta có P( A1 ) 30 20 0, 100 Chương 1: Các khái niệm xác suất b) Gọi A2 biến cố chíp lấy lần thứ hai phế phẩm Vậy xác suất chíp lấy lần thứ hai phế phẩm biết chíp lấy lần đầu phế phẩm: 19 0,192 99 20 19 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 0, 0384 100 99 P( A2 | A1 ) c) Ví dụ 1.35: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm chiếc, bề ngồi chúng giống hệt có mở kho Anh ta thử ngẫu nhiên chìa (chìa khơng trúng bỏ ra) Tính xác suất để mở kho lần thứ ba Giải: Ký hiệu Ai biến cố “thử chìa lần thứ i ” i 1, ,8 Ký hiệu B biến cố “mở kho lần thử thứ ba” B A1 A2 A3 Ta có Vậy xác suất cần tìm P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 Có thể tính Do , P A2 A1 , P A3 A1 A2 762 P A1 A2 A3 987 P A1 Ví dụ 1.36: Rút ngẫu nhiên khơng hồn lại qn từ cỗ tú lơ khơ Tính xác suất trường hợp sau: a) Cả quân rút qn bích b) Lần thứ rút khơng phải quân bích lần thứ hai rút quân bích c) Hai lần đầu rút khơng phải qn bích lần thứ ba rút quân bích Giải: : Gọi A1, A2 , A3 tương ứng biến cố lần thứ nhất, lần thứ hai lần thứ ba rút quân bích a) Biến cố quân rút khơng phải qn bích A1 A2 A3 Vậy xác suất cần tìm P( A1 A2 A3 ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2 ) P( A1 ) 39 38 37 , P( A2 | A1 ) , P( A3 | A1 A2 ) 52 51 50 39 38 37 P( A1 A2 A3 ) 52 51 50 b) Xác suất lần thứ rút khơng phải qn bích lần thứ hai rút quân bích P A1 A2 P A1 P A2 | A1 39 13 52 51 c) Xác suất hai lần đầu rút quân bích lần thứ ba rút quân bích 31 Chương 1: Các khái niệm xác suất P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2 39 38 13 52 51 50 Tương tự ví dụ 1.12 ví dụ 1.24 ta biểu diễn biến cố xác suất tương ứng phép thử rút liên tiếp quân dạng sơ đồ Khơng phải qn bích 37/50 Qn bích Khơng phải qn bích 13/50 38/51 Qn bích Khơng phải qn bích 13/51 39/52 Qn bích 13/52 Hình 1.8: Sơ đồ rút liên tiếp quân 1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ Định lý 1.2: Giả sử A1, A2 , , An hệ đầy đủ biến cố Khi đó, với biến cố B phép thử ta có n n i 1 i 1 P( B) P( Ai B) P( Ai ) P B Ai (1.19) Ví dụ 1.37: Một túi đựng bi trắng bi đen Người thứ lấy ngẫu nhiên từ túi bi (khơng hồn lại), người thứ hai lấy tiếp bi Tính xác suất để người thứ hai lấy bi trắng Giải: Gọi A0 , A1 , A2 , A3 biến cố người thứ lấy 0, 1, 2, bi trắng Gọi B biến cố người thứ hai lấy bi trắng Ta có: P( A0 ) C63 C10 C41C62 C42C61 C43 1 , P( A1 ) , P( A2 ) , P( A3 ) 10 C10 C10 C10 30 Ta có bảng tổng hợp kết sau người thứ chọn ngẫu nhiên bi: 32 Biến cố Ak xảy A0 A1 A2 A3 Số bi màu trắng người thứ lấy Số bi màu trắng lại sau người thứ lấy Số bi màu đen lại sau người thứ lấy Chương 1: Các khái niệm xác suất Từ ta tính xác suất có điều kiện P( B A0 ) C41C31 C72 C31C41 12 C21C51 10 C11C61 12 P ( B A ) P ( B A ) , P( B A1 ) , , 21 21 21 21 C72 C72 C7 12 12 10 56 Vậy P( B) 21 21 10 21 30 21 105 Ví dụ 1.38: Gieo xúc xắc mặt (xem ví dụ 1.11) Nếu mặt chấm chấm xuất ta gieo tiếp lần nửa ngừng ngược lại Tính xác suất để tổng số chấm xuất Giải: Gọi Ak biến cố lần gieo thứ xuất k chấm, ta có P( Ak ) với k 1, 2,3, Gọi B biến cố tổng số chấm xuất Giả sử biến cố A1 xảy ra, tổng số chấm kết lần gieo thứ hai Tương tự, biến cố A2 xảy ra, tổng số chấm kết lần gieo thứ hai 2, Vậy P( B | A1 ) , P( B | A2 ) Nếu biến cố A3 A4 xảy dừng lại khơng gieo tiếp lần thứ hai, P( B | A3 ) , P( B | A4 ) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta 1 1 P( B) 1 4 4 16 1.3.4 Công thức Bayes Định lý 1.3: Giả sử A1, A2 , , An hệ đầy đủ biến cố Khi đó, với biến cố B phép thử P( B) ta có: P Ak B P( Ak ) P B Ak P( Ak B) P( Ak ) P B Ak n P( B) P( B) P( Ai ) P B Ai (1.20) i 1 Nhận xét 1.6: Trong thực tế xác suất P( A1), P( A2 ), , P( An ) biết gọi xác suất tiền nghiệm Sau quan sát biết biến cố B xảy ra, xác suất Ak tính thơng tin (xác suất có điều kiện PAk B ) gọi xác suất hậu nghiệm Vì cơng thức Bayes gọi cơng thức xác suất hậu nghiệm 33 Chương 1: Các khái niệm xác suất Ví dụ 1.39: Xét kênh viễn thơng nhị phân biểu diễn sơ đồ Hình 1.9 Đầu vào kênh ký hiệu X giả thiết có hai trạng thái 1, tương tự đầu ký hiệu Y có hai trạng thái Do bị nhiễu kênh nên đầu vào chuyển thành đầu ngược lại Gọi X biến cố “ X có trạng thái 0” X1 biến cố “ X có trạng thái 1” Gọi Y0 biến cố “đầu Y có trạng thái 0” Y1 biến cố “đầu Y có trạng thái 1” Khi X , X1 Y0 , Y1 hai hệ đầy đủ q0 0 p0 X Y p1 1 q1 Hình 1.9 Kênh đặc trưng xác suất chuyển p0 , q0 , p1 q1 , p0 P Y1 X p1 P Y0 X1 q0 P Y0 X q1 P Y1 X1 p0 q0 p1 q1 p0 , p1 gọi xác suất lỗi Giả sử P X 0,5 (hai tín hiệu 0, đầu vào đồng khả năng), p0 0,1 p1 0, a Tìm xác suất đầu kênh xác suất đầu kênh b Giả sử đầu kênh nhận Tìm xác suất nhận tín hiệu đầu vào c Tính xác suất lỗi Pe P X1 P X 0,5 ; q0 p0 0,1 0,9 ; q1 p1 0, 0,8 Giải: a Áp dụng công thức xác suất đầy đủ với hệ đầy đủ X , X1 ta được: P Y0 P( X ) P Y0 X P( X1) P Y0 X1 0,5 0,9 0,5 0, 0,55 P Y1 P( X ) P Y1 X P( X1 ) P Y1 X1 0,5 0,1 0,5 0,8 0, 45 34 Chương 1: Các khái niệm xác suất b Áp dụng công thức Bayes ta có P X Y0 P X P Y0 X P Y0 0,5 0,9 0,818 0,55 c Xác suất lỗi xác suất biến cố đầu vào đầu biến cố đầu vào đầu Vậy Pe P X 0Y1 X1Y0 P( X ) P Y1 X P( X1 ) P Y0 X1 0,5 0,1 0,5 0, 0,15 Ví dụ 1.40: Một nhà máy có ba phân xưởng I, II, III sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng I, II, III sản xuất tương ứng 36%, 34%, 30% sản lượng nhà máy, với tỷ lệ phế phẩm tương ứng 0,12; 0,1; 0,08 a Tìm tỷ lệ phế phẩm chung nhà máy b Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiểm tra phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm phân xưởng I sản xuất Giải: Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy để kiểm tra Gọi B biến cố “sản phẩm kiểm tra phế phẩm” Gọi A1 , A2 , A3 biến cố sản phẩm lấy kiểm tra phân xưởng I, II, III sản xuất Theo giả thiết ta có: hệ biến cố A1, A2 , A3 đầy đủ (xem ví dụ 1.8) P A1 0,36; P A2 0,34; P A3 0,30 P B A1 0,12; P B A2 0,10; P B A3 0,08 a Xác suất biến cố B tỉ lệ phế phẩm chung nhà máy Áp dụng công thức xác suất đầy đủ (1.19) ta có P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0,1012 b Áp dụng công thức Bayes ta P A1 B P A1 P B A1 P B 0,36 0,12 0, 427 0,1012 Ví dụ 1.41: Người ta dùng thiết bị để kiểm tra loại sản phẩm nhằm xác định sản phẩm có đạt yêu cầu khơng Biết sản phẩm có tỉ lệ phế phẩm p Thiết bị có khả phát sản phẩm phế phẩm với xác suất phát sản phẩm đạt chất lượng với xác suất Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm, tìm xác suất cho sản phẩm này: a Được kết luận phế phẩm (biến cố A ) b Được kết luận đạt chất lượng lại phế phẩm c Được kết luận với thực chất 35 Chương 1: Các khái niệm xác suất Giải: Gọi H biến cố “sản phẩm chọn phế phẩm” Theo giả thiết ta có: P( H ) p, P A H , P A H a Áp dụng công thức đầy đủ cho hệ đầy đủ H , H ta có: P( A) P( H ) P A H P H P A H p (1 p)(1 ) b P( A) P( H ) P A H P H P A H p(1 ) (1 p) P H P A H p(1 ) P A p(1 ) (1 p) P A P H A P HA c P AH P A H P( H ) P A H P H P A H p (1 p) Ta biểu diễn kết dạng biểu đồ sau P( A | H ) Kết luận phế phẩm Chính phẩm P( H ) p P( A | H ) P( H ) p P( A | H ) Phế phẩm P( A | H ) Kết luận với thực chất Hình 1.10: Sơ đồ xác suất đầy đủ 1.4 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Một phép thử lặp lại, độc lập phép thử xác suất xuất biến cố A không đổi P( A) p , (0 p 1) gọi phép thử Bernoulli p xác suất thành công lần thử 36 Chương 1: Các khái niệm xác suất Một dãy lặp lại phép thử Bernoulli gọi dãy phép thử Bernoulli Kí hiệu H k biến cố “ A xuất k lần n phép thử” Đặt Pn (k ; p) P( H k ) Định lý 1.4: Xác suất biến cố “ A xuất k lần n phép thử” là: Pn (k ; p) Cnk p k (1 p) nk ; k 0,1, , n (1.21) Chứng minh: H k tổng C nk biến cố xung khắc đôi nhận cách hoán vị chữ A A biến cố tích sau: A A A A k lÇn n k lÇn Mỗi biến cố có xác suất P( A A A A ) p k (1 p) nk k lÇn nk lÇn Pn (k ; p) C nk p k (1 p) nk Vậy Ta cần tìm giá trị k ,0 k n cho xác suất Pn (k ; p) đạt giá trị lớn Định lý 1.5: Pn (k ; p) (i) (n k 1) p Pn (k 1; p) kq (1.22) (ii) Khi k tăng từ đến n Pn (k ; p) đầu tăng sau giảm đạt giá trị lớn k m thoả mãn: (n 1) p m (n 1) p (1.23a) Như vậy, Pmax Pn (m ; p) Khi (n 1) p khơng ngun m (n 1) p (là phần nguyên (n 1) p ) Khi (n 1) p nguyên m (n 1) p m (n 1) p Pmax Pn (m 1; p) Pn (m ; p) (1.23b) n! p k q nk Pn (k ; p) k! (n k )! (n k 1) p Chứng minh: , từ có (1.22) n! Pn (k 1; p) kq k 1 n k 1 p q (k 1)! (n k 1)! (1.22) Pn (k ; p) Pn (k ; p) (k 1)(1 p) k (n 1) p Do Pn (k 1; p) (n k ) p Pn (k 1; p) Vậy: Pn (k ; p) Pn (k 1; p) k (n 1) p Pn (k ; p) Pn (m ; p) , k (n 1) p 37 Chương 1: Các khái niệm xác suất Pn (k ; p) Pn (k 1; p) k (n 1) p Pn (k ; p) Pn (m ; p) , k (n 1) p , m số tự nhiên thỏa mãn (n 1) p m (n 1) p Khi m (n 1) p Pn (m 1; p) (n 1)(1 p) p (n 1)(1 p) p 1 Pn (m ; p) n (n 1) p 1 p n (n 1) p p Pn (m 1; p) Pn (m ; p) Định nghĩa 1.3: m xác định công thức (1.23a) (1.23b) gọi số lần xuất có khả hay giá trị có khả xảy lớn Ví dụ 1.42: Bắn viên đạn vào bia Xác suất trúng đích viên 0, Tìm xác suất trường hợp sau: a Có viên trúng bia b Có viên trúng bia c Có viên trúng bia d Tìm số viên đạn trúng bia có khả lớn Giải: Có thể xem bắn viên đạn vào bia thực phép thử Bernoulli mà xác suất thành công phép thử xác suất bắn trúng bia, theo giả thiết 0,6 Bắn viên thực lần phép thử Vậy: a Xác suất để có viên trúng bia P7 (3;0,6) C73 0,6 0, 0,1935 b Xác suất để có viên trúng bia P7 (6;0,6) P7 (7;0,6) C76 0,6 0, C77 0,6 0,1586 c Xác suất để có viên trúng bia P7 (0;0,6) C70 0,6 0, (0, 4)7 0,998 d (n 1) p (7 1)(0,6) 4,8 Vậy số viên đạn có khả trúng bia Ví dụ 1.43: Tín hiệu thơng tin phát lần độc lập Xác suất thu lần 0.4 a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận thơng tin lần b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận thơng tin c) Nếu muốn xác suất thu tin 0,9 phải phát lần Giải: Có thể xem lần phát tin phép thử Bernoulli mà thành công phép thử nguồn thu nhận tin, theo giả thiết xác suất thành công lần thử 0,4 Vậy: a) Xác suất để nguồn thu nhận thông tin lần 38 Chương 1: Các khái niệm xác suất P3 (2;0, 4) C32 0, 0,6 0, 288 b) Xác suất để nguồn thu nhận thông tin P P3 (0;0, 4) 0,6 0,784 c) Xác suất để nguồn thu nhận thông tin phát n lần P 1 0,6n Vậy muốn xác suất thu tin 0,9 phải phát n lần cho: 0, 0,9 0, 0,1 n n n lg 0,1 1 4,504 Chọn n lg 0, 1 0, 778 TÓM TẮT Trong chương ta xét đến phép thử, biến cố xác suất biến cố Có thể xem biến cố phép thử tập không gian mẫu phép thử Do ta có quan hệ biến cố tương tự với phép tốn tập hợp, phép toán hợp, giao lấy phần bù tập hợp Để tính xác suất biến cố trường hợp đồng khả ta sử dụng phương pháp xác suất cổ điển (công thức 1.1a) quy tắc đếm Trường hợp biết xác suất biến cố cần tính xác suất biến cố có liên quan ta sử dụng quy tắc tính xác suất, có cơng thức sau: Công thức cộng xác suất (1.9a-1.11c) Công thức xác suất biến cố đối (1.12) Công thức nhân xác suất (1.15-1.18) Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes (1.19-1.20) Công thức xác suất dãy phép thử Bernoulli (1.21) CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 1.1 Ta có hai khơng gian mẫu biến cố sơ cấp cho phép thử Đúng Sai C? 1.2 Các biến cố A A B xung khắc Đúng Sai 1.3 Hai biến cố A B xung khắc P( A B) P( A) P( B) Đúng Sai 1.4 Hệ hai biến cố A, A hệ đầy đủ Đúng Sai 39 Chương 1: Các khái niệm xác suất 1.5 Hai biến cố xung khắc hai biến cố độc lập Đúng Sai 1.6 Các biến cố đối hai biến cố độc lập độc lập Đúng Sai 1.7 Xác suất tổng hai biến cố độc lập tổng xác suất hai biến cố Đúng Sai 1.8 Xác suất tích biến cố xung khắc tích xác suất Đúng Sai 1.9 Khi áp dụng công thức xác suất đầy đủ để tính xác suất biến cố B dựa vào hệ đầy đủ A1 , , An biến cố B A1 , , An phải phép thử Đúng Sai 1.10 Cho a, b, c, d biến cố sơ cấp đồng khả Biến cố A a, b B a, c phụ thuộc chúng xảy biến cố sơ cấp a xảy Đúng Sai 1.11 Trong hòm đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn chi tiết phế phẩm Lấy đồng thời chi tiết Tính xác suất: a) Cả chi tiết lấy thuộc loại đạt tiêu chuẩn b) Trong số chi tiết lấy có chi tiết đạt tiêu chuẩn 1.12 Thang máy tòa nhà tầng xuất phát từ tầng với khách Tìm xác suất để: a) Tất tầng bốn b) Tất tầng c) Mỗi người tầng khác 1.13 Một người gọi điện thoại cho bạn lại quên chữ số cuối nhớ chúng khác Tìm xác suất để người quay số lần số điện thoại bạn 1.14 Ta kiểm tra theo thứ tự lô hàng có 10 sản phẩm Mỗi sản phẩm thuộc hai loại: Tốt Xấu Ký hiệu Ak ( k 1, ,10 ) biến cố sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Biểu diễn biến cố sau theo Ak : a) Cả 10 sản phẩm xấu b) Có sản phẩm xấu c) Có sản phẩm kiểm tra đầu tốt, sản phẩm lại xấu d) Có sản phẩm kiểm tra đầu xấu 1.15 Hai người bắn vào mục tiêu Khả bắn trúng người 0,8 0,9 Tìm xác suất: 40 Chương 1: Các khái niệm xác suất a) Chỉ có người bắn trúng mục tiêu b) Có người bắn trúng mục tiêu c) Cả hai người bắn trượt 1.16 Cơ cấu chất lượng sản phẩm nhà máy sau: 40% sản phẩm loại I, 50% sản phẩm loại II, lại phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy Tính xác suất sản phẩm lấy phế phẩm 1.17 Có 1000 vé số có 20 vé trúng thưởng Một người mua 30 vé, tìm xác suất để người trúng vé 1.18 Để nhập kho, sản phẩm nhà máy phải qua vòng kiểm tra chất lượng độc lập Xác suất phát phế phẩm vòng theo thứ tự 0,8; 0,9 0,99 Tính xác suất phế phẩm nhập kho 1.19 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm trơng giống hệt có mở kho Anh ta thử ngẫu nhiên chìa khóa một, thử khơng thử lại Tính xác suất mở cửa lần thử thứ 1.20 Hai biến cố A , B có xác suất P( A) 0,3 , P( A B) 0,65 Giả sử A , B độc lập khơng xung khắc Tính P( B) 1.21 Giả sử hai biến cố A , B có xác suất P( A) 1/ , P( B) 1/ P( AB) 1/ Hãy tính a) P( A | B) b) P( B | A) c) P( A B) d) P( AB) e) P( AB) f) P( B | A) g) P( A | B) h) P( A B) 1.22 Chọn ngẫu nhiên khơng hồn lại số từ số 0,1, ,9 Tính xác suất số thứ hai chọn số 1.23 Một nhà máy ôtô có ba phân xưởng I, II, III sản xuất loại pít-tơng Phân xưởng I, II, III sản xuất tương ứng 36%, 34%, 30% sản lượng nhà máy, với tỷ lệ phế phẩm tương ứng 0,12; 0,1; 0,08 a) Tìm tỷ lệ phế phẩm chung nhà máy b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiểm tra sản phẩm phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất 1.24 Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn Nhóm thứ có người, nhóm thứ hai có người, nhóm thứ ba có người nhóm thứ tư có người Xác suất bắn trúng đích người nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba nhóm thứ tư theo thứ tự 0,8; 0,7; 0,6 0,5 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ biết xạ thủ bắn trượt Hãy xác định xem xạ thủ có khả nhóm 1.25 Bắn hai lần độc lập với lần viên đạn vào bia Xác suất trúng đích viên đạn thứ 0,7 viên đạn thứ hai 0,4 Tìm xác suất để có viên đạn trúng bia (biến cố A) Sau bắn, quan trắc viên báo có vết đạn bia Tìm xác suất để vết đạn vết đạn viên đạn thứ 41 Chương 1: Các khái niệm xác suất 1.26 Một nhà máy sản xuất chi tiết điện thoại di động có tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn chất lượng 85% Trước xuất xưởng người ta dùng thiết bị kiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt u cầu chất lượng hay khơng Thiết bị có khả phát sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất 0,9 phát sản phẩm không đạt tiêu chuẩn với xác suất 0,95 Tìm xác suất để sản phẩm chọn ngẫu nhiên sau kiểm tra: a) Được kết luận đạt tiêu chuẩn b) Được kết luận đạt tiêu chuẩn lại khơng đạt tiêu chuẩn c) Được kết luận với thực chất 1.27 Giả sử phép thử C thực lặp lại, độc lập Không gian mẫu phép thử A, B, C với xác suất tương ứng P( A) p , P( B) q , P(C ) r Tính xác suất biến cố A xảy trước biến cố B 1.28 Chứng minh P( A | B) P( A) P( B | A) P( B) 42 ... Chương 1: Các khái niệm xác suất Từ ta tính xác suất có điều kiện P( B A0 ) C41C 31 C72 C31C 41 12 C21C 51 10 C11C 61 12 P ( B A ) P ( B A ) , P( B A1 ) , , 21 21 21 21 C72 C72 C7 12 12 ... ) (1. 11a) (1. 11b) Nếu A1 , A2 , , An dãy biến cố n n P Ai P( Ai ) P( Ai A j ) P( Ai A j Ak ) ( 1) n 1 P( A1 A2 An ) i j i j k i 1 i 1 (1. 11c) Ví... ( x ; y) x y 15 ( x ; y) 15 x y x 15 P( A) diÖntÝchA 45 1 1 diÖntÝch 16 16 60 y 60 A A B 15 O 10 15 Hình 1. 3 60 x Hình 1. 4 Ví dụ 1. 21: Xét trò chơi ném