Measuring the dependency between securities via factor-ICA Models

This paper proposes a new method for measuring the dependency between securities. Applying independent component analysis to the return data of the whole component securities in a universe, independent factors composing the returns are extracted. Reconstructing return data of individual component security based on such factors, wend that each security has a unique factor hierarchy

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(2), · · · , si (T )] ✳ ▲❡t X ❛♥❞ S ❞❡♥♦t❡ ❛ N × T ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① ❛♥❞ ❛ N × T s♦✉r❝❡ ♠❛tr✐① r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✿ X = [x1 , x2 , · · · , xN ] ✱ S = [s1 , s2 , · · · , sN ] ✳ ■♥ t❤❡ ❜❛s✐❝ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ■❈❆✱ X ✐s N ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s X = AS = i=1 si ✱ ✇❤❡r❡ ✐s t❤❡ i − th ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ A✱ ❛♥❞ si ✐s t❤❡ i − th r♦✇ ♦❢ S ❬✼❪✳ ❚❤❡ ■❈❆ ♠♦❞❡❧ ❛✐♠s ❛t ❡st✐♠❛t✐♥❣ ❛♥ ✉♥❦♥♦✇♥ N × N ❞❡✲♠✐①✐♥❣ ♠❛tr✐① W s✉❝❤ t❤❛t s♦✉r❝❡ s✐❣♥❛❧ ✈❡❝t♦r✱ ❛♥❞ Y = [yi ] = WX, ✇❤❡r❡ yi = [yi (1), yi (2), · · · , yi (T )] ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t y2 ✱· · · ✱ yN ✉♥❞❡r t❤❡ ❜❛s✐❝ ■❈❆ ♠♦❞❡❧ ✺ ✐♥st❛♥t❧② ♠✉t✉❛❧❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ Y ✱ ❛♥❞ ≤ i ≤ N ✳ ❧❛t❡♥t s♦✉r❝❡s s1 , s2 , · · · , sN ✉s✐♥❣ y1 ✱ ❢♦r t✐♠❡ s❡r✐❡s✱ yi ✱ ≤ i ≤ N ♠✉st ❜❡ ✐s t❤❡ i − th ✭✷✮ r♦✇ ♦❢ ❋♦r t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡s✱ t❤r❡❡ ♦t❤❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞✿ ❛t ♠♦st✱ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡s ✐s ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❬✼❪❀ t❤❡ ♠✐①✐♥❣ ♠❛tr✐① ✐s ♦❢ ❢✉❧❧ r❛♥❦ ❬✾❪❀ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡❞ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ st❛t✐♦♥❛r② ❬✶✸❪✳ ✷✳✶✳✷ ❆♠❜✐❣✉✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ ■❈❆ ▼♦❞❡❧ W = A−1 ✱ t❤❡♥ A−1 AS = S✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ■❢ ■❈s ❛r❡ 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✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❝❛♥♥♦t ❜❡ s♣❡❝✐✜❡❞✿ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♣❡r♠✉✲ P ❛♥❞ ✐ts ✐♥✈❡rs❡✱ X ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s X = AP−1 PS = A∗ S∗ ✳ ∗ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ S = PS ❛r❡ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s♦✉r❝❡s ✐♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ♦r❞❡r ❛♥❞ A∗ = AP−1 ✐s ❛♥♦t❤❡r ✉♥❦♥♦✇♥ ♠✐①✐♥❣ ♠❛tr✐①✱ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ AS ∗ ∗ ❢r♦♠ A S ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ■❈❆ ♠♦❞❡❧✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡s❡ ❛♠❜✐❣✉✐t✐❡s✱ ✇❡ ❛r❡ ♦♥❧② ❛❜❧❡ t♦ ✜♥❞ W s✉❝❤ t❤❛t WA = PD ✇❤❡r❡ D ✐s ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ s❝❛❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ❬✶✹❪✳ ❚❤✉s✱ ✼ ■❈s ❛r❡ s❝❛❧❡❞ s♦✉r❝❡ s✐❣♥❛❧s ✐♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ♦r❞❡r✿ Y = WX = WAS = PDS✳ t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① ✷✳✷ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ■❈❆ ✷✳✷✳✶ ◆♦♥✲●❛✉ss✐❛♥✐t② ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❝❡♥tr❛❧ ❧✐♠✐t t❤❡♦r❡♠✱ ❛ s✉♠ ♦❢ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤ ❛r✲ ❜✐tr❛r② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s t❡♥❞s t♦✇❛r❞ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✉♥❞❡r ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥✲ ❞✐t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ ♠♦r❡ ♥♦♥✲●❛✉ss✐❛♥ t❤❛♥ t❤❡✐r ♠✐①t✉r❡s✳ ❍❡♥❝❡✱ ♥♦♥✲●❛✉ss✐❛♥✐t② ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ❚❤✐s ❡❧✉❝✐❞❛t❡ t❤❛t t❤❡ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✐❣♥❛❧s ❢r♦♠ t❤❡✐r ♠✐①t✉r❡s ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❝♦♠♣❧✐s❤❡❞ ❜② ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s✐❣♥❛❧ 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rk − E[rk ] = m=1 βkm (fm − E[fm ]) + uk ✳ ❇② tr❡❛t✐♥❣ t❤❡ ♥♦✐s❡ t❡r♠ uk ❛s ❛♥ ❡①tr❛ ❢❛❝t♦r ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✐✳❡✳ ♣✉tt✐♥❣ uk = βkM FM ✱ ❬✶✾❪ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ t❤❡ ❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧ ✐♥ ✭✸✮ ✐♥t♦ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s❡♥s✐t✐✈✐t✐❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ ♠✐①✐♥❣ ♠❛tr✐① ❛♥❞ ❢❛❝t♦r t✐♠❡ s❡r✐❡s ❛s M βkm Fm (t), ≤ t ≤ T, ≤ k ≤ N, Rk (t) = ✭✹✮ m=1 Rk = rk − E[rk ] ❛♥❞ Fm = fm − E[fm ]✳ ✭✹✮ ✐s t❤❡ ❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧ ❢♦r ■❈❆✳ t❤✐s ♠♦❞❡❧✱ F1 , F2 , · · · , FM ❛r❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s♦✉r❝❡ s✐❣♥❛❧s ✇❤✐❝❤ ✇❤❡r❡ ■♥ ❛r❡ ❞❡s✐❣♥❛t❡❞ ❛s s♦✉r❝❡ ❢❛❝t♦rs✳ ✷✳✹ ❆♣♣❧②✐♥❣ ■❈❆ t♦ t❤❡ ❋❛❝t♦r ▼♦❞❡❧ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❡♣❛r❛t❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢❛❝t♦rs✱ ■❈❆ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ♣r❡♣r♦❝❡ss❡❞ r❡t✉r♥ t✐♠❡ s❡r✐❡s ✉♥❞❡r t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ✭✹✮✳ ❚❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r t❤✐s ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✭s❡❡ ❆PP❊◆❉■❳ ❆ ❛♥❞ ❇✮✿ ✶✳ ❙❡❧❡❝t ❛ ✉♥✐✈❡rs❡ ♦❢ N (T + 1) − step pk (t)✱ ≤ k ≤ N ✱ ≤ t ≤ T ❀ s❡❝✉r✐t✐❡s✱ ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ s❡r✐❡s ♦❢ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t s❡❝✉r✐t②✿ t✐♠❡ ❈❤❛♥❣❤♦ ❍❛♥ ✷✺✶ ✷✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ r❡t✉r♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r✐❝❡s✿ rk (t) = (pk (t) − pk (t − 1))/pk (t − 1)✱ ≤ k ≤ N✱ ≤ t ≤ T❀ Rk (t) = rk (t) − E[rk ]✱ ≤ k ≤ N ✱ T ❡st✐♠❛t❡❞ ❛s r k = t=1 rk (t)/T ❀ ✸✳ ❈❡♥t❡r ❡❛❝❤ r❡t✉r♥ t✐♠❡ s❡r✐❡s✿ ≤ t ≤ T✱ ✇❤❡r❡ E[rk ] ✐s ˜ R(t) = ED−1/2 E R(t)✱ ˜ ˜ (t), R ˜ (t), · · · , R ˜ N (t)] ✱ R(t) = [R1 (t), R2 (t), · · · , RN (t)] ✱ ✇❤❡r❡ R(t) = [R ≤ t ≤ T❀ ✹✳ ❲❤✐t❡♥ t❤❡ ❝❡♥t❡r❡❞ r❡t✉r♥ t✐♠❡ s❡r✐❡s✿ ✺✳ ❆♣♣❧② t❤❡ ❋❛st■❈❆ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ t❤❡ ♣r❡♣r♦❝❡ss❡❞ r❡t✉r♥ ✈❡❝t♦r t✐♠❡ s❡r✐❡s ˜ R(t) ✱ ≤ t ≤ T✳ E ✐s t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ❢♦r t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐① E[RR ]✳ D ✐s t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① ♦❢ ✐ts ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✿ D = −1/2 −1/2 diag(d1 , · · · , dN )✱ ❛♥❞ D−1/2 = diag(d1 , · · · , dN )✳ E[RR ] ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ❛s E[RR ] ≈ Tt=1 R(t)R(t) /(T − 1)✳ ■♥ t❤❡ ❢♦✉rt❤ st❡♣ ❛❜♦✈❡✱ ✸ ❍✐❡r❛r❝❤② ♦❢ ❋❛❝t♦rs ❋❛❝t♦r ♠♦❞❡❧s ❝❛♥ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ s②st❡♠❛t✐❝ r✐s❦✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐st s❡✈❡r❛❧ ♠❡t❤♦❞s t♦ ✜♥❞ ♦✉t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝t♦rs ✐♥ s❡❝✉r✐t② r❡t✉r♥s ❬✸✵✱ ✸✶❪✳ ❍♦✇✲ ❡✈❡r✱ ❢❛❝t♦rs ✐♥ t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ♥♦t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ❛♥❞ ❛t ❜❡st ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ❚❤❡② ❡st✐♠❛t❡ ♠✉❧t✐❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧s ❜② ♠❡t❤♦❞s s✐♠✐❧❛r t♦ ✏ ♣r✐♥✲ ❝✐♣❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❛❧②s✐s ✭P❈❆✮✳✑ P❈❆ tr❛♥s❢♦r♠s ❛ ❞❛t❛ s❡t ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡rr❡❧❛t❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥t♦ ❛ ♥❡✇ ❞❛t❛ s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✭P❈s✮✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✉♥❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ■♥ P❈❆✱ t❤❡ P❈s ❛r❡ ♦r❞❡r❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡✐r ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s s♦ t❤❛t t❤❡ ✜rst ❢❡✇ r❡t❛✐♥ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♣r❡s❡♥t ✐♥ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❬✶✺❪✳ ■♥ t❤✐s ❛rt✐❝❧❡✱ t❤❡ r❡t✉r♥s ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥t s❡❝✉r✐t✐❡s ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ✉♥✐✈❡rs❡ ❛r❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢❛❝t♦rs✱ ❛♥❞ t❤✉s ❜♦t❤ s②st❡♠❛t✐❝ ❛♥❞ ✐❞✐♦s②♥❝r❛t✐❝ r✐s❦ ❢❛❝t♦rs ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❢✉rt❤❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❝♦r✲ r❡❧❛t❡❞ ❢❛❝t♦rs ✐s ❛❝❝♦♠♣❧✐s❤❡❞✳ ❚❤✐s ✐s q✉✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t❤❛t s♣❡❝✐❢② ♠♦❞❡❧s ✭s✉❝❤ ❛s ♦♥❡ ❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧✱ t✇♦ ❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧✱ ❡t❝✳✮ ✜rst ❛♥❞ t❤❡♥ ✉s❡ ❞❛t❛ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡♠✳ ❚❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r ✉s❡s ❞❛t❛ ✜rst ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✐❞❡♥t✐❢② r✐s❦ ❢❛❝t♦rs✱ ❛♥❞ t❤❡♥ s♣❡❝✐❢② ▼❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❙❡❝✉r✐t✐❡s ✈✐❛ 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✵✳✽ ✭✶✮ ✷✳✽ ✭✷✮ ✵✳✽ ✭✶✮ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✹✳✹ ✭✷✮ ✵✳✵ ✭✵✮ ✺✳✷ ✭✹✮ ✹✳✹ ✭✸✮ ✸✳✻ ✭✷✮ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✐♥ t❤❡ r♦✇ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❙t♦❝❦ ✻ IF OD ❙t♦❝❦ ✻ ✭❈❙❈❖✮ ✭❜✮❬IF ODs ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❘❛♥❦✐♥❣s ✐♥ P❡r✐♦❞ ✷❪ ✹✳✹ ✭✸✮ ✵✳✵ ✭✵✮ ✺✳✷ ✭✹✮ ✹✳✽ ✭✹✮ ✸✳✻ ✭✶✳✺✮ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭❛✮❬IF ODs ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❘❛♥❦✐♥❣s ✐♥ P❡r✐♦❞ ✶❪ ❙t♦❝❦ ✶✸ L∗21 = (1, 4, 3, 5, 2) ❙t♦❝❦ ✻ ✭❈❙❈❖✮ ❙t♦❝❦ ✻ ✻✳✽ ✭✹✮ ❙t♦❝❦ ✷✶✭▼❙❋❚✮ ✹✳✽ ✭✸✮ ✶✳✷ ✭✶✮ ✹✳✵ ✭✸✮ ✸✳✻ ✭✶✮ ❙t♦❝❦ ✶✸ ✭■❇▼✮ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭■◆❚❈✮ ✵✳✵ ✭✵✮ ✸✳✻ ✭✷✳✺✮ ❙t♦❝❦ ✶✷ ✭❍P◗✮ ✸✳✻ ✭✶✳✺✮ ❙t♦❝❦ ✶✷ ✵✳✵ ✭✵✮ ❙t♦❝❦ ✻ L∗12 = (1, 2, 3, 5, 4) ❙t♦❝❦ ✻ ✭❈❙❈❖✮ ♠❛tr✐①✳ t♦ t❤❡ ❢❛❝t♦r ❤✐❡r❛r❝❤✐❡s ♦❢ ❙t♦❝❦ ✷✶✳ ❊❛❝❤ ♥✉♠❜❡r ✐♥ ✭✮ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ r❛♥❦✐♥❣ ♦❢ IF OD ♠❛tr✐❝❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢❛❝t♦r ❤✐❡r❛r❝❤✐❡s ♦❢ ❙t♦❝❦ ✶✷✳ ❆♥❞✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❙t♦❝❦ ✷✶ ✭▼❙❋❚✮ ❛❧s♦ ❤❛s t✇♦ ❢❛❝t♦r ❤✐❡r❛r❝❤✐❡s ✐♥ P❡r✐♦❞ ✷✱ ❙✉❜✲t❛❜❧❡ ✭❜✮ s❤♦✇s IF OD ♦❢ t❤❡ ✺ ■❚ st♦❝❦s ❜♦t❤ ✐♥ P❡r✐♦❞ ✶ ❛♥❞ P❡r✐♦❞ ✷✳ ❇❡❝❛✉s❡ ❙t♦❝❦ ✶✷ ✭❍P◗✮ ❤❛s t✇♦ ❢❛❝t♦r ❤✐❡r❛r❝❤✐❡s ✐♥ P❡r✐♦❞ ✶✱ ❙✉❜✲t❛❜❧❡ ✭❛✮ s❤♦✇s ❚❤❡s❡ t❛❜❧❡s s❤♦✇ ❚❛❜❧❡ ✸✿ ✵✳✵ ✭✵✮ ✶✳✷ ✭✸✮ ✸✳✷ ✭✹✮ ✷✳✽ ✭✷✮ ✶✳✷ ✭✷✳✺✮ ❙t♦❝❦ ✷✶ ✵✳✵ 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✵✳✼✸✼✼✺✼✼ ✶ ✵✳✻✻✷✶✽✺✷ ✶✷ ✵✳✻✽✽✽✹✻✶ ✹ ✷✹ ✭❚✮ ✵✳✻✼✵✺✷✸✷ ✶✵ ✵✳✻✷✽✹✵✵✹ ✶✺ ✷✸ ✭P●✮ ✵✳✻✶✹✼✼✼✽ ✶✼ ✵✳✺✻✾✸✸✵✾ ✷✸ ✷✷ ✭P❋❊✮ ✵✳✻✻✵✶✶✹✺ ✶✸ ✵✳✻✽✵✹✻✹✾ ✼ ✵✳✺✻✽✵✷✽✵ ✷✹ ✷✶ ✭▼❙❋❚✮ ✵✳✺✽✾✵✶✺✽ ✷✶ ✷✶ ✭▼❙❋❚✮ ✵✳✶✾✸✹✶✵✾✶ ✷✵ ✶✶ ✭❍❉✮ ✵✳✶✼✸✻✾✾✽✼ ✷✸ ✶✱ ❛♥❞ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭■◆❚❈✮ ✐♥ P❡r✐♦❞ ✷✳ ❘❛♥❦✐♥❣ ❘❛♥❦✐♥❣ ❘❛♥❦✐♥❣ j corr(0, j) Correlation j corr(0, j) Correlation j corr(0, j) Correlation ❘❛♥❦✐♥❣ ❘❛♥❦✐♥❣ ❘❛♥❦✐♥❣ j corr(0, j) Correlation j corr(0, j) Correlation j corr(0, j) Correlation ❈❤❛♥❣❤♦ ❍❛♥ ❚❛❜❧❡ ✶✶✿ ✷✾✶ ❇❡st ❛♥❞ ❲♦rst ❋r✐❡♥❞s ♦❢ ❊❇❆❨ ❙❡❧❡❝t❡❞ ❜② IF OD ❛♥❞ ❜② Correlation ❙✉❜✲t❛❜❧❡ ✭❛✮ s❤♦✇s ❜❡st ✺ ❢r✐❡♥❞s ❛♥❞ ✇♦rst ✺ ❢r✐❡♥❞s ♦❢ ❊❇❆❨ ✐♥ ❡❛❝❤ P❡✲ r✐♦❞✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❜② IF OD✱ ❛♥❞ ❙✉❜✲t❛❜❧❡ ✭❜✮ s❤♦✇s t❤♦s❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❜② Correlation✳ ✭❛✮❬❇❡st ❛♥❞ ❲♦rst ❋r✐❡♥❞s ❜② ❇❡st ❲♦rst ❘❛♥❦✐♥❣ P❡r✐♦❞ ✶ P❡r✐♦❞ ✷ ✶ ❙t♦❝❦ ✸✵ ✭❳❖▼✮ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭■◆❚❈✮ ✷ ❙t♦❝❦ ✷✼ ✭❯❚❳✮ ❙t♦❝❦ ✽ ✭❉❉✮ ✸ ❙t♦❝❦ ✾ ✭❉■❙✮ ❙t♦❝❦ ✶✸ ✭■❇▼✮ ✹ ❙t♦❝❦ ✽ ✭❉❉✮ ❙t♦❝❦ ✶✷ ✭❍P◗✮ ✺ ❙t♦❝❦ ✶ ✭❆❆✮ ❙t♦❝❦ ✷✵ ✭▼❘❑✮ ✸✵ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭■◆❚❈✮ ❙t♦❝❦ ✷✼ ✭❯❚❳✮ ✷✾ ❙t♦❝❦ ✷ ✭❆❳P✮ ❙t♦❝❦ ✷✹ ✭❚✮ ✷✽ ❙t♦❝❦ ✷✹ ✭❚✮ ❙t♦❝❦ ✷✻ ✭❯◆❍✮ ✷✼ ❙t♦❝❦ ✷✻ ✭❯◆❍✮ ❙t♦❝❦ ✹ ✭❇❆❈✮ ✷✻ ❙t♦❝❦ ✶✽ ✭▼❈❉✮ ❙t♦❝❦ ✻ ✭❈❙❈❖✮ ✭❜✮❬❇❡st ❛♥❞ ❲♦rst ❋r✐❡♥❞s ❜② ❇❡st ❲♦rst IF OD❪ Correlation❪ ❘❛♥❦✐♥❣ P❡r✐♦❞ ✶ P❡r✐♦❞ ✷ ✶ ❙t♦❝❦ ✷✾ ✭❲▼❚✮ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭■◆❚❈✮ ✷ ❙t♦❝❦ ✺ ✭❈❆❚✮ ❙t♦❝❦ ✻ ✭❈❙❈❖✮ ✸ ❙t♦❝❦ ✶✹ ✭■◆❚❈✮ ❙t♦❝❦ ✽ ✭❉❉✮ ✹ ❙t♦❝❦ ✷ ✭❆❳P✮ ❙t♦❝❦ ✷✼ ✭❯❚❳✮ ✺ ❙t♦❝❦ ✶✵ ✭●❊✮ ❙t♦❝❦ ✾ ✭❉■❙✮ ✸✵ ❙t♦❝❦ ✶✺ ✭❏◆❏✮ ❙t♦❝❦ ✶✼ ✭❑❖✮ ✷✾ ❙t♦❝❦ ✷✵ ✭▼❘❑✮ ❙t♦❝❦ ✷✾ ✭❲▼❚✮ ✷✽ ❙t♦❝❦ ✷✻ ✭❯◆❍✮ ❙t♦❝❦ ✷✻ ✭❯◆❍✮ ✷✼ ❙t♦❝❦ ✶✷ ✭❍P◗✮ ❙t♦❝❦ ✶✽ ✭▼❈❉✮ ✷✻ ❙t♦❝❦ ✻ ✭❈❙❈❖✮ ❙t♦❝❦ ✹ ✭❇❆❈✮ ▼❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❙❡❝✉r✐t✐❡s ✈✐❛ ❋❛❝t♦r✲■❈❆ ▼♦❞❡❧s ✷✾✷ ❚❛❜❧❡ ✶✷✿ AveCHAN GE AveCHAN GE(ti−1 , ti )✱ ≤ i ≤ 36✳ ❚❤❡ ♣❡r✲ ❝❡♥t❛❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s 100 × (AveCHAN GE(ti , ti+1 ) − AveCHAN GE(ti−1 , ti ))/AveCHAN GE(ti−1 , ti )✳ ❚❤✐s t❛❜❧❡ s❤♦✇s ❋r♦♠ ✽✴✷✵✵✻ ✾✴✷✵✵✻ ✶✵✴✷✵✵✻ ✶✶✴✷✵✵✻ ✶✷✴✷✵✵✻ ✶✴✷✵✵✼ ✷✴✷✵✵✼ ✸✴✷✵✵✼ ✹✴✷✵✵✼ ✺✴✷✵✵✼ ✻✴✷✵✵✼ ✼✴✷✵✵✼ ✽✴✷✵✵✼ ✾✴✷✵✵✼ ✶✵✴✷✵✵✼ ✶✶✴✷✵✵✼ ✶✷✴✷✵✵✼ ✶✴✷✵✵✽ ✷✴✷✵✵✽ ✸✴✷✵✵✽ ✹✴✷✵✵✽ ✺✴✷✵✵✽ ✻✴✷✵✵✽ ✼✴✷✵✵✽ ✽✴✷✵✵✽ ✾✴✷✵✵✽ ✶✵✴✷✵✵✽ ✶✶✴✷✵✵✽ ✶✷✴✷✵✵✽ ✶✴✷✵✵✾ ✷✴✷✵✵✾ ✸✴✷✵✵✾ ✹✴✷✵✵✾ ✺✴✷✵✵✾ ✻✴✷✵✵✾ ✼✴✷✵✵✾ ❚♦ ✾✴✷✵✵✻ ✶✵✴✷✵✵✻ ✶✶✴✷✵✵✻ ✶✷✴✷✵✵✻ ✶✴✷✵✵✼ ✷✴✷✵✵✼ ✸✴✷✵✵✼ ✹✴✷✵✵✼ ✺✴✷✵✵✼ ✻✴✷✵✵✼ ✼✴✷✵✵✼ ✽✴✷✵✵✼ ✾✴✷✵✵✼ ✶✵✴✷✵✵✼ ✶✶✴✷✵✵✼ ✶✷✴✷✵✵✼ ✶✴✷✵✵✽ ✷✴✷✵✵✽ ✸✴✷✵✵✽ ✹✴✷✵✵✽ ✺✴✷✵✵✽ ✻✴✷✵✵✽ ✼✴✷✵✵✽ ✽✴✷✵✵✽ ✾✴✷✵✵✽ ✶✵✴✷✵✵✽ ✶✶✴✷✵✵✽ ✶✷✴✷✵✵✽ ✶✴✷✵✵✾ ✷✴✷✵✵✾ ✸✴✷✵✵✾ ✹✴✷✵✵✾ ✺✴✷✵✵✾ ✻✴✷✵✵✾ ✼✴✷✵✵✾ ✽✴✷✵✵✾ i ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ ✶✶ ✶✷ ✶✸ ✶✹ ✶✺ ✶✻ ✶✼ ✶✽ ✶✾ ✷✵ ✷✶ ✷✷ ✷✸ ✷✹ ✷✺ ✷✻ ✷✼ ✷✽ ✷✾ ✸✵ ✸✶ ✸✷ ✸✸ ✸✹ ✸✺ ✸✻ AveCHAN GE(ti−1 , ti ) ✶✷✸✳✹✼✼✽ ✶✸✸✳✵✺✽✾ ✶✶✹✳✹✷✽✾ ✶✷✵✳✺✸✶✶ ✶✶✵✳✵✼✼✷ ✶✶✹✳✾✷✸✸ ✶✶✺✳✽✸✼✽ ✾✽✳✼✻✺ ✶✷✹✳✻✻✻✶ ✶✶✽✳✾✽✸✾ ✶✶✽✳✻✻✼✷ ✶✵✾✳✷✽✺ ✶✷✺✳✷✻✹✹ ✶✶✸✳✷✷✶✼ ✶✷✸✳✾✺✾✹ ✾✽✳✹✵✽✸✸ ✶✶✵✳✶✾✸✾ ✽✶✳✼✹✹✹ ✶✶✻✳✵✷✽✾ ✶✶✹✳✺✶✽✸ ✶✷✵✳✽✷✸✾ ✾✾✳✼✵✺ ✶✵✼✳✾✼✷✽ ✶✶✺✳✵✼✻✼ ✶✵✶✳✵✵✺ ✶✵✶✳✽✸✸✸ ✶✵✹✳✺✷✷✽ ✶✷✽✳✽✶✺✻ ✶✵✸✳✷✺✵✻ ✶✶✹✳✵✵✸✾ ✾✾✳✶✷✷✷✷ ✾✽✳✶✸✾✹✹ ✶✵✷✳✷✸✷✽ ✶✵✵✳✺✶✺✻ ✶✵✸✳✺✼✺✻ ✾✺✳✵✶✸✸✸ ❝❤❛♥❣❡ r❛t✐♦✭✪✮ ✼✳✼✺✾✸✼✶ ✲✶✹✳✵✵✶✸✶✽✷✶ ✺✳✸✸✷✼✹✸✼✸✾ ✲✽✳✻✼✸✶✾✼✷✵✽ ✹✳✹✵✷✹✺✺✼✸✶ ✵✳✼✼✾✺✼✺✽✶✷✶ ✲✶✹✳✼✸✽✺✸✾✺✽ ✷✻✳✷✷✹✾✼✽✹✽ ✲✹✳✺✺✼✾✸✺✶✺✻ ✲✵✳✷✻✻✶✼✵✹✻✺ ✲✼✳✾✵✻✸✶✷✼✽✶ ✶✹✳✻✷✶✼✻✽✼✼ ✲✾✳✻✶✸✽✷✹✽✸✽ ✾✳✹✽✸✼✽✷✼✵✷ ✲✷✵✳✻✶✷✹✺✵✺✸ ✶✶✳✾✼✻✶✾✶✹✺ ✲✷✺✳✽✶✼✻✼✷✸ ✹✶✳✾✹✶✵✾✾✸✸ ✲✶✳✸✵✶✾✶✼✵✷✷ ✺✳✺✵✻✶✾✹✷✵✼ ✲✶✼✳✹✼✾✵✼✹✾✷ ✽✳✷✾✷✷✻✷✶✼✸ ✻✳✺✼✾✸✹✷✷✵✺ ✲✶✷✳✷✷✽✶✵✺✷✻ ✵✳✽✷✵✵✺✽✹✶✸ ✷✳✻✹✶✵✽✶✵✻✶ ✷✸✳✷✹✶✻✷✼✻✻ ✲✶✾✳✽✹✻✶✾✽✼✺ ✶✵✳✹✶✹✼✺✼✽✽ ✲✶✸✳✵✺✸✻✺✽✻✾ ✲✵✳✾✾✶✹✽✸✵✹ ✹✳✶✼✵✾✻✸✷✼✹ ✲✶✳✻✼✾✻✾✺✼✺✸ ✸✳✵✹✹✸✵✸✺✼✶ ✲✽✳✷✻✻✻✽✻✸✻✷ i − th r♦✇ ♦❢ t❤✐s t❛❜❧❡ s❤♦✇s t❤❡ r❛♥❦✐♥❣s ♦❢ RIF ODs ✐♥ P❡r✐♦❞ ✶ IF OD(i, j)✱ ≤ j ≤ 30 ❤✐❣❤❡r r❛♥❦✐♥❣s✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ♠♦r❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝②✳ ❚❤❡ ❚❛❜❧❡ ✶✸✿ ✐♥ P❡r✐♦❞ ✶✳ ❚❤❡ s♠❛❧❧❡r IF OD t❛❦❡s t❤❡ ❈❤❛♥❣❤♦ ❍❛♥ ✷✾✸ ✷✾✹ ❚❛❜❧❡ ✶✹✿ ▼❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❙❡❝✉r✐t✐❡s ✈✐❛ ❋❛❝t♦r✲■❈❆ ▼♦❞❡❧s RHDs ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❘❡t✉r♥ ♦❢ ❉❏■❆ ❛♥❞ ❚❤♦s❡ ♦❢ ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❋❛❝t♦rs ❚❤✐s t❛❜❧❡ s❤♦✇s t❤❡ P❡r✐♦❞ ✶✳ ❋❛❝t♦r✭n✮ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ ✶✶ ✶✷ ✶✸ ✶✹ ✶✺ ✶✻ ✶✼ ✶✽ ✶✾ ✷✵ ✷✶ ✷✷ ✷✸ ✷✹ ✷✺ ✷✻ ✷✼ ✷✽ ✷✾ ✸✵ RHDn ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢❛❝t♦rs ❛♥❞ ❉❏■❆ ✐♥ ♠❡❛s✉r❡ ❤♦✇ ✇❡❧❧ ❋❛❝t♦r ❘❛♥❦✐♥❣ ✷✻✳✺ ✶✸✳✺ ✷✷✳✵ ✶✸✳✺ ✷✳✵ ✽✳✺ ✶✾✳✵ ✷✹✳✵ ✷✵✳✵ ✺✳✺ ✷✾✳✵ ✷✷✳✵ ✶✻✳✵ ✶✷✳✵ ✷✺✳✵ ✶✻✳✵ ✶✵✳✵ ✶✳✵ ✷✾ ✷✾ ✷✷✳✵ ✷✻✳✺ ✹✳✵ ✶✶✳✵ ✶✻✳✵ ✽✳✺ ✺✳✺ ✸✳✵ ✶✽✳✵ ✼✳✵ RHD RHDs n ♠✐♠✐❝s t❤❡ tr❡♥❞s ♦❢ ❉❏■❆✳ P❡r✐♦❞ ✶ RHDn + RHDn − RHDn ✶✳✾✺✾✽✸✾ ✶✳✾✺✾✽✸✾ ✷✳✵✹✵✶✻✶ ✶✳✼✾✾✶✾✼ 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(t)], H xm ˆm Lk Lk (t + 1) − x Lk (t)], ✭✽✮ ❛♥❞ sign(h) =     1    −1 if h > if h = otherwise ✭✾✮ ▼❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❙❡❝✉r✐t✐❡s ✈✐❛ ❋❛❝t♦r✲■❈❆ ▼♦❞❡❧s ✷✺✹ Q(xk , xˆm Lk