Development of new finite elements based on consecutive interpolation for 2d and 3d thermal mechanical problems

CHƯƠNG 1.1 GIỚI THIỆU Bài toán truyền nhiệt tương tác cơ-nhiệt Sự thay đổi nhiệt độ gây tượng giãn nở nhiệt vật liệu khơng quan tâm mức gây ứng suất nhiệt lớn kết cấu chi tiết máy Thêm vào đó, thuộc tính vật liệu thay đổi theo nhiệt độ Vì thế, nghiên cứu ứng xử cơ-nhiệt vật rắn chủ đề quan trọng phục vụ các ngành công nghiệp 1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hạn chế Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) phương pháp số phổ biến dùng để giải toán kỹ thuật Tuy vậy, FEM chứa đựng nhiều hạn chế [1, 2]: i) lưới phần tử cần phải cập nhật miền toán thay đổi; ii) nghiệm thu bị ảnh hưởng méo dạng phần tử; iii) trường đạo hàm bất liên tục nút (không phản ánh chất vật lý); iv) tượng “khóa” 1.3 Xu hướng phát triển phương pháp số Hạn chế FEM động lực thúc đẩy nhà nghiên cứu phát triển phương pháp số mới, phương pháp Đẳng hình học (IGA) [3] lớp phương pháp không lưới [4, 5, 6] Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng Hướng tiếp cận thứ hai cải tiến FEM nhằm tận dụng lợi vốn có nó, đồng thời khắc phục điểm yếu Mới đây, kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) đề xuất cho phần tử tam giác phần tử tứ giác [7, 8] So sánh với FEM thông thường, việc tích hợp CIP mang đến cho phần tử nhiều thuộc tính tốt đó, kỹ thuật đáng để đầu tư phát triển sâu 1.4 Đóng góp luận án Luận án trình bày phát triển nhóm phần tử dựa kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP), tập trung vào tốn phân tích truyền nhiệt cơ-nhiệt vật rắn nguyên vẹn vật rắn có vết nứt Các đóng góp luận án sau: a) Mở rộng kỹ thuật CIP phần tử hai chiều để khảo sát vật rắn có vật liệu đẳng hướng chịu tác động tải tải nhiệt, với giả thiết học nứt nhiệt-đàn hồi tuyến tính b) Tiếp tục mở rộng kết mục a) cho vật liệu trực hướng c) Phát triển kỹ thuật CIP cho phần tử ba chiều d) Giới thiệu công thức tổng quát cho kỹ thuật CIP 1.5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đóng góp luận án - Đề xuất phương thức tính tốn cho tốn nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính hai chiều, dựa phát triển sâu phần tử XCQ4, ứng dụng vật liệu đẳng hướng vật liệu trực hướng - Đề xuất cơng thức tính tốn tổng qt cho kỹ thuật CIP, áp dụng cho nhiều loại phần tử từ 1D tới 3D 1.6 Phương pháp nghiên cứu Luận án tập trung vào kỹ thuật cải tiến dựa CIP phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM) phương pháp Phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) cho vật rắn khơng có vết nứt vật rắn có vết nứt tác dụng tải cơ-nhiệt, với vật liệu trực hướng vật liệu đẳng hướng 1.7 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp kỹ thuật tính tốn đề xuất luận án hướng tới tốn cơnhiệt vật rắn ngun vẹn có vết nứt Giả thiết đặt ứng xử vật liệu vùng đàn hồi tuyến tính biến dạng nhỏ Với vật rắn có vết nứt, xét tốn hai chiều Với vật rắn khơng có vết nứt, biểu thức tính tốn tổng qt hóa áp dụng cho toán chiều, hai chiều ba chiều 1.8 Bố cục luận án Luận án tổ chức sau: Chương đánh giá tổng quan FEM nhược điểm việc giải toán vi phân đạo hàm riêng Chương trình bày ngắn gọn hệ phương trình chủ đạo tốn cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính Chương mô tả chi tiết kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) cho toán chiều hai chiều Chương dành riêng cho đóng góp phân tích tốn học nứt nhiệt-đàn hồi tuyến tính hai chiều với vật liệu đẳng hướng, sử dụng kỹ thuật CIP phương pháp hàm làm giàu Chương trình bày mở rộng quy trình tính tốn chương cho vật liệu trực hướng, tính định hướng vật liệu có vai trò quan trọng Chương phát triển công thức tổng quát để tích hợp kỹ thuật CIP vào đa dạng phần tử từ chiều đến ba chiều Cuối cùng, kết luận hướng phát triển rút Chương CHƯƠNG 2.1 BÀI TOÁN CƠ-NHIỆT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Biểu thức Xét vật thể đẳng hướng Ω với biên Γ Bài tốn cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính tốn cặp đơi vấn đề đàn hồi tuyến tính truyền nhiệt Dạng yếu Galerkin toán viết sau   cT  Td   T  k Td   Q Td      q Td   h Ta  T   Td  2 3  u ud    ε : C :  ε  ε  d   b ud   t  ud  T   (2.1)  (2.2) t Trong phương trình (2.1), Q kí hiệu cho nguồn thu/phát nhiệt; k hệ số dẫn nhiệt; ρ khối lượng riêng; c nhiệt dung riêng; h hệ số đối lưu; Ta nhiệt độ môi trường; T biểu diễn đạo hàm bậc nhiệt độ theo thời gian Ở phương trình (2.2), b lực khối tác dụng lên vật thể; 𝒖̈ gia tốc, tức đạo hàm bậc hai chuyển vị u theo thời gian;  tensor biến dạng; ε T tensor biến dạng nhiệt CHƯƠNG KỸ THUẬT NỘI SUY LIÊN TIẾP CHO CÁC BÀI TOÁN 1D VÀ 2D Vấn đề bất liên tục phi vật lý nút phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM): ví dụ với phần tử nút Xét miền chiều (1D) Ω Một hàm u(x) xác định Ω xấp xỉ 3.1 FEM sau [9, 10] n u  x   u  x    N I  x  u I  Nu , (3.1) I 1 với NI hàm dạng Lagrange ứng với nút I (chỉ số toàn cục); uI giá trị hàm u(x) nút I n tổng số nút Mỗi phần tử hai nút (L2) có dạng đoạn thẳng nối liền hai nút, kí hiệu nút i nút j Hàm dạng Ni Nj tương ứng với nút i j, viết hệ tọa độ tự nhiên sau 1 Ni  1    , N j  1    2 (3.2) Đạo hàm hàm dạng theo phương x, tính điểm x nằm phần tử e dN d 1 Ni , x  x   i      , N j , x  x   , (3.3) d dx le le le với l e chiều dài phần tử Do đó, đạo hàm hàm u(x) tính điểm x phần tử e cho 1 u,[xe ]  x   Ni , x  x   N j , x  x    ui  u j   u j  ui  , le le le (3.4) Bây giờ, xét miền 1D Ω có chiều dài L = chia hai phần tử L2, minh họa Hình 3.1 Hai phần tử kí hiệu e1 e2, nút đánh số tồn cục 1, Nút nút chung phần tử e1 phần tử e2, đó, đạo hàm hàm u nút tính theo phương trình (3.4) u,[xe1 ]  x2    u2  u1  , (xem nút thuộc phần tử e1) le u,[xe2 ]  x2    u3  u2  , (xem nút thuộc phần tử e2) le Hình 3.1 Miền chiều chia lưới hai phần tử L2 (3.5) (3.6) Các giá trị nút u1, u2 u3 nói chung khơng giống Vì vậy, đạo hàm u,x không liên tục nút (không vật lý) Đây vấn đề chung FEM truyền thống, tính chất liên tục C0 hàm dạng Lagrange Chi tiết liên tục C0 bàn luận [9] 3.2 Kỹ thuật nội suy liên tiếp cho phần tử nút: phần tử CL2 Phần tử CL2 tạo cách áp dụng kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) vào phần tử L2 Sử dụng kỹ thuật CIP [7, 8, 11, 12, 13], hàm u(x) phương trình (3.1) xấp xỉ u  x   u  x    I u[ I ]  Ix u, x[ I ]  , n (3.7) I 1 Trong u[I] giá trị u(x) nút I tính theo FEM, u, x[ I ] đạo hàm trung bình nút I, cụ thể n u[ I ]  u  xI    N I  xI  uI  Ν[ I ]u , (3.8) u, x[ I ]    we  u,[xe ] ( xI )   N[, xI ]u (3.9) I 1 eS I Ở đây, SI tập hợp phần tử có chung nút I Trọng số we tính theo kích thước phần tử Với phần tử chiều, we tỉ số chiều dài le phần tử e tổng chiều dài tất phần tử tập hợp SI Thế phương trình (3.8 – 3.9) phương trình (3.7), ta thu u  x    I N[ I ]  Ix N, x[ I ]  u  Ru , n (3.10) I 1 R vector hàm dạng theo CIP Các hàm bổ sung ϕI ϕIx tùy thuộc vào kiểu phần tử [7, 8] Trong phạm vi phần tử hai nút, hàm bổ sung ứng với nút cục i j xây dựng sở hàm dạng Lagrange i  N i  N i2 N j  N 2j N i , ix  le Ni2 N j (3.11)  j  N j  N 2j N i  N i2 N j ,  jx  le N 2j Ni (3.12) 3.2.1 Tính hàm dạng CIP CL2 L2 Hình 3.2 Hàm dạng ứng với nút tính theo phần tử CL2 phần tử L2 Hình 3.3 Đạo hàm bậc hàm dạng ứng với nút tính theo phần tử CL2 phần tử L2 Tiếp tục ví dụ nêu Hình 3.1 Hàm dạng CIP ứng với nút 2, kí hiệu R2 tính Figure 3.3 Shape functions associated with node (global) of the Example  x   x  N  N N In provided element ein     1: R2  x   (3.13) ix j j j i , Figure 3.1 le computed by CL2 and L2 elements and (b) Their first order derivatives In element e2: R2  x   i  x    jx  x   Ni  Ni2 N j (3.14) le Hình 3.2 biểu diễn hàm dạng CIP R2 hàm dạng Lagrange N2 (FEM truyền thống) Có thể thấy, hàm dạng CIP hàm trơn nút 3.2.2 Đạo hàm bậc hàm dạng CIP Đạo hàm bậc hàm R2 thể Hình 3.3, cho thấy đường cong trơn Ngược lại, đạo hàm bậc hàm N2 (FEM truyền thống) khơng trơn có bước nhảy rõ rệt qua nút Hình ảnh biểu bất liên tục nút trường đạo hàm FEM truyền thống 3.3 Kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) cho phần tử tam giác ba nút (CT3) phần tử tứ giác bốn nút (CQ4) 3.3.1 Biểu thức xấp xỉ theo CIP cho miền chiều Hàm u(x) xác định miền hai chiều (2D) xấp xỉ theo CIP sau [7, 8, 14, 15, 16] u  x   u  x    I N[ I ]  Ix N[, xI ]  Iy N[, yI ]  u  Ru n (3.15) I 1 Phương trình (3.15) mở rộng phương trình Equation (3.10) với xuất thành phần đạo hàm u(x) theo phương y 3.4 Kết luận Để đảm bảo tính đầy đủ luận án, biểu thức xấp xỉ theo CIP cho phần tử 1D 2D trình bày chương Thuộc tính tốt phần tử tích hợp CIP bàn luận Điểm thú vị việc sử dụng CIP không làm thay đổi số lượng bậc tự thuộc tính Kronecker đảm bảo CIP có nhiều tiềm để tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu CHƯƠNG 4.1 PHÂN TÍCH NỨT CƠ-NHIỆT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU VỚI VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG, TRONG ĐIỀU KIỆN TẢI ĐỘNG LỰC VÀ TẢI TỰA TĨNH Mở đầu Trong chương này, kiểu phần tử mới, gọi “XCQ4”, giới thiệu đặc điểm phân tích tốn nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính khảo sát Phần tử XCQ4 phiên mở rộng phần tử CQ4 (xem Chương 3) cách tích hợp thêm thành phần làm giàu để biểu diễn ứng xử vật rắn có vết nứt Các trường hợp tải tĩnh tải động lực xem xét Tuy nhiên với tải động lực, chưa khảo sát trường hợp vết nứt phát triển 4.2 Mơ hình hóa vết nứt Có hai cách tiếp cận xây dựng mơ hình vết nứt: mơ hình “vết nứt sắc cạnh” mơ hình “vùng nứt” Với mơ hình “vết nứt sắc cạnh”, vết nứt mô tả dạng bất liên tục Trái lại, cách tiếp cận kiểu “vùng nứt” mơ hình hóa trạng thái vật liệu tham số biểu diễn hư hại với giá trị khoảng từ (hoàn toàn nguyên vẹn) đến (hư hại hoàn toàn) Nghiên cứu giới hạn việc mô tả “vết nứt sắc cạnh” thông qua hàm làm giàu Cụ thể, phần tử tứ giác nội suy liên tiếp (CQ4) mở rộng thành phần làm giàu, để tạo nên phần tử XCQ4 element 4.3 Phần tử tứ giác nội suy liên tiếp mở rộng (XCQ4) Phần tử XCQ4 khảo sát tài liệu [17, 18] cho toán học nứt đàn hồi tuyến tính – LEFM - (chưa xét nhiệt độ) So sánh với phiên phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, gọi phần tử XQ4, XCQ4 báo cáo cho kết tốt Với cảm hứng từ ưu điểm XCQ4 LEFM, phần tử tiếp tục mở rộng để khảo sát tốn nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính 4.3.1 Biểu thức làm giàu để xấp xỉ trường chuyển vị Biểu thức làm giàu để xấp xỉ trường chuyển vị viết sau u(x)   RI (x)u I   RJ (x)  H (x)  H (x J )  a J I W J Wsplit   K Wtip RK (x)  BL (x)  BL (x K )  b KL (4.1) L 1 đó, số hạng biểu thức xấp xỉ quen thuộc theo CIP, xem Chương Bước nhảy trường chuyển vị qua vết nứt biểu diễn hàm Heaviside H(x), tập trung ứng suất quanh đỉnh vết nứt mô tả bốn hàm nhánh đề xuất dựa lời giải giải tích [19]       B(x)   r sin , r cos , r sin sin  , r cos sin   2 2   (4.2) (r, θ) tọa độ cực với gốc đặt đỉnh vết nứt, r khoảng cách từ điểm x đến gốc tọa độ θ góc nghiêng tiếp tuyến đoạn vết nứt đỉnh vector (x – xTIP) Ở phương trình (4.1), W tập hợp tất nút; Wtip tập hợp nút thuộc phần tử chứa đỉnh vết nứt; Wsplit tập hợp tất nút thuộc phần tử bị vết nứt cắt qua đồng thời không nằm Wtip aJ bKL bậc tự tăng thêm có thêm thành phần làm giàu 4.3.2 Biểu thức làm giàu để xấp xỉ trường nhiệt độ 4.3.2.1 Trường hợp bề mặt vết nứt đoạn nhiệt Bề mặt vết nứt đoạn nhiệt nghĩa nhiệt độ có bước nhảy qua vết nứt, thơng lượng nhiệt có tượng suy biến quanh đỉnh vết nứt, tương tự với bước nhảy chuyển vị suy biến ứng suất Vì vậy, biểu thức xấp xỉ nhiệt độ viết tương tự phương trình (4.1) T (x)   RI (x)TI   RJ (x)  H (x)  H (x J )  cJ I W J Wsplit   K Wtip RK (x)  B1 (x)  B1 (x K )  d K (4.3) Dựa lời giải giải tích [20], hàm làm giàu đỉnh vết nứt chọn hàm nhánh thứ B1 phương trình (4.2) 4.3.2.2 Trường hợp bề mặt vết nứt đẳng nhiệt Với điều kiện đẳng nhiệt, nhiệt độ bề mặt vết nứt giữ cố định Khi đó, bước nhảy không xuất trường nhiệt độ, mà trường thông lượng nhiệt Một dạng hàm làm giàu phù hợp cho trường hợp theo gợi ý [20] (4.4) L(x)   Ri (x) | i | |  (x) | i Biểu thức xấp xỉ nhiệt độ có dạng phương trình (4.3), hàm Heaviside thay hàm L(x) phương trình (4.4), hàm làm giàu đỉnh vết nứt chọn hàm nhánh thứ hai phương trình (4.2), dựa lời giải giải tích tham khảo [20] 4.4 Tính toán hệ số cường độ ứng suất cho toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính Kỹ thuật tích phân tương tác [19, 21, 22, 23] sử dụng để trích xuất hệ số cường độ ứng suất SIFs Với tốn nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính cho vật liệu đẳng hướng, tích phân tương tác tính theo biểu thức   q u (1) u (2) M (1,2)     ij(2) i   ij(1) i   ik(1) ik(2)1 j  dA x1 x1  x j A (4.11) (1) (1)   2ui(1) ui(2)  (2) T (2) T      q d A    kk  kk x1 qdA t x1 x1  A A0 với   E  2 Hình 4.1 Miền tính tích phân tương tác Miền tính tích phân tương tác thể Hình 4.1, với C C0 hai đường cong bao quanh đỉnh vết nứt, không chứa thêm dạng bất liên tục khác Trạng thái (1) trạng thái thật, trạng thái (2) chọn từ lời giải giải tích cho trường hợp mode-I mode-II túy Hệ số SIFs trích xuất từ tích phân tương tác M (1,2)  *  K I(1) K I(2)  K II(1) K II(2)  E (4.13) với E* cho Ứng suất phẳng: E *  E , Biến dạng phẳng: E *  4.5 E  (4.14) Mơ hình vết nứt phát triển Tiêu chuẩn ứng suất pháp hướng chu vi (MTS) [24] sử dụng để dự đoán hướng phát triển vết nứt Theo tiêu chuẩn này, vết nứt trở nên bất ổn định phát triển từ đỉnh theo hướng θc cho ứng suất pháp hướng chu vi σθθ đạt lớn 10 5.5 Ví dụ tính tốn số 5.5.1 Lan truyền vết nứt đĩa tròn bất đẳng hướng chịu tải tựa tĩnh Thí nghiệm nén đĩa tròn kiểu Brazil Ke cộng [30, 34] thực loại vật liệu có tính đẳng hướng ngang tái lập mô số sử dụng phần tử XCQ4 Ví dụ thực nhằm nghiên cứu khả áp dụng tiêu chuẩn dự đoán hướng phát triển vết nứt nhóm Cahill đề xuất (phương trình (5.9)) mơi trường vật liệu dị hướng có tỉ lệ E1/E2 xấp xỉ 1, vốn chưa tài liệu [29] nhắc đến Kích thước mẫu gồm đường kính 2R = 74 mm bề dày t = 10 mm Vết khắc ban đầu có chiều dài 2a tạo tâm đĩa nghiêng góc θ = 45o so với phương ngang Đĩa nén lực tập trung P Hình 5.2, thỏa mãn điều kiện ứng suất phẳng Hình 5.2 Ví dụ 5.5.1: Hình học thí nghiệm nén đĩa tròn có vết nứt Thuộc tính vật liệu lấy theo thí nghiệm [30]: E1 = 67.681 GPa, E2 = 78.302 GPa, G12 = 25.336 GPa, G23 = 25.336 GPa, ν12 = 0.185, ν23 = 0.267 Để thực mơ phỏng, miền tốn chia thành 6197 phần tử XCQ4 Kết tính toán phù hợp với liệu thực nghiệm, gợi ý việc sử dụng tiêu chuẩn nhóm Cahill hợp lệ Như thể Hình 5.3, bất chấp góc nghiêng vật liệu khác 17 nhau, vết nứt có xu hướng rẽ vng góc với cạnh khắc ban đầu tiến dần điểm đặt lực nén Trên thực tế, quan sát không tương phản với tài liệu [28, 29], nơi ghi nhận vết nứt có xu hướng lan truyền theo phương cứng Thay vào đó, kết gợi ý tỉ lệ E1/E2 có sụ ảnh hưởng định đến hướng phát triển vết nứt Khi vật liệu có phương chiếm ưu rõ rệt độ cứng, vết nứt lan theo phương Ngược lại, khơng phương chiếm ưu thế, điều kiện chịu tải định hình dáng đường nứt Hình 5.3 Ví dụ 5.5.1: Đường phát triển nứt thu từ vết khắc ban đầu nghiêng 45o so với phương ngang, góc vật liệu β khác a) β = 30o, b) β = 45o, c) β = 60o 5.5.2 Lan truyền vết nứt mẫu hình chữ nhật tác động thơng lượng nhiệt khơng đổi Với ví dụ này, toán vết nứt lan truyền mẫu hình chữ nhật tác dụng thơng lượng nhiệt khơng đổi khảo sát, Hình 5.4 Các kích thước bao gồm: L/W = a/W = 0.3 Bề mặt vết nứt đoạn nhiệt Dòng nhiệt không đổi song song với bề mặt vết nứt tạo cách cố định nhiệt độ mặt đáy mốc tham chiếu (nhiệt độ phòng), tức ΔT = T - Tref = 0, làm mát mặt với ΔT = -T0 Mục tiêu tốn khảo sát tính khả dụng tiêu chuẩn Cahill’s criterion (Phương trình (5.9)) vật thể trực hướng chịu tải nhiệt Vì thế, sáu thuộc tính vật liệu xem xét sau 18  Thủy tinh/Epoxy (Mat0): E1 = 55 GPa, E2 = 21 GPa, G12 = 9.7 GPa, ν12 = 0.25, α11 = 6.30 x 10-6 1/K, and α22 = x 10-5 1/K  Vật liệu trực hướng giả định (Mat1): E2 = 21 GPa, E1 = E2  Vật liệu trực hướng giả định (Mat2): E2 = 21 GPa, E1 = 1.5 E2  Vật liệu trực hướng giả định (Mat3): E2 = 21 GPa, E1 = E2  Vật liệu trực hướng giả định (Mat4): E2 = 21 GPa, E1 = 10 E2 Vật liệu đẳng hướng giả định (MatIso): E = 21 GPa, ν = 0.25, α = 6.3 x 10-6 K-1 Hình 5.4 Ví dụ 5.5.2: Hình học điều kiện biên Hình 5.5 Ví dụ 5.5.2: Các đường nứt tương ứng với loại vật liệu có tỉ lệ E1/E2 khác nhau, trường hợp có góc định hướng β = 60o Toàn trường hợp vật liệu trực hướng giả định thay đổi từ thông số vật liệu thật thủy tinh/epoxy (Mat0), cách hiệu chỉnh tỉ lệ E1/E2, thông số khác giống Mat0 Với Mat0, tỉ lệ E1/E2 xấp xỉ 2.62 Tồn kết số tính lưới chia gồm 49 x 99 phần tử XCQ4 Hình 5.4 hiển thị quỹ đạo vết nứt góc định hướng vật ltiệu β = 60o Hình ảnh tương thích với số liệu Bảng 5.1, cho thấy thích hợp áp dụng tiêu chuẩn Cahill dự đoán vết nứt phát triển có tương tác nhiệt đàn hồi Với trường hợp có phương cứng so với phương khác, vết nứt lan truyền theo phương đó, bất chấp điều kiện tải Trái lại, tính dị hướng 19 không rõ rệt, điều kiện tải yếu tố chủ đạo ảnh hưởng tới hướng phát triển vết nứt Bảng 5.1 Ví dụ 5.5.2: Hệ số SIFs theo Mode-I Mode-II, góc phát triển vết nứt θc ứng với bước gia tải đầu tiên, xét góc định hướng vật liệu β khác β Material MatIso KI 8.400 KII 0.000 θc 0.00o Mat1 (E1/E2 = 1) 26.995 0.012 -0.09o Mat2 (E1/E2 = 1.5) 27.040 0.016 -0.09o Mat3 (E1/E2 = 2) 27.090 0.018 -0.09o Mat0 (E1/E2 ≈ 2.62) 27.141 0.020 -0.09o Mat4 (E1/E2 = 10) 27.368 0.033 -0.09o Mat1 (E1/E2 = 1) 28.407 0.009 -0.09o Mat2 (E1/E2 = 1.5) 33.422 1.031 25.32o Mat3 (E1/E2 = 2) 37.093 1.913 37.57o Mat0 (E1/E2 ≈ 2.62) 40.545 2.858 44.41o Mat4 (E1/E2 = 10) 57.086 9.132 56.67o β = 0o β = 60o 5.6 Kết luận Phần tử XCQ4 mở rộng thành công để khảo sát vật rắn trực hướng có vết nứt tác động tải cơ-nhiệt Lần đầu tiên, tính định hướng vật liệu đưa vào biểu thức xấp xỉ nhiệt độ Tính xác mơ hình đề xuất khảo sát thể qua nhiều ví dụ số, cho thấy kết khả quan Nghiên cứu lần đưa số liệu cho thấy tiêu chuẩn MTS hiệu chỉnh [29] phù hợp để dự đoán lan truyền vết nứt môi trường vật liệu trực hướng có tỉ lệ 𝐸1 /𝐸2 đa dạng 20 CHƯƠNG 6.1 PHÁT TRIỂN PHẦN TỬ CHIỀU TÍCH HỢP CIP Biểu thức tổng quát để xác định hàm bổ sung CIP Một khó khăn làm hạn chế tính ứng dụng CIP việc hàm bổ sung cần phải xây dựng riêng cho kiểu phần tử Để giải nút thắt này, cần xây dựng công thức tổng quát Vector R chứa hàm dạng CIP cho miền chiều tính sau [11, 12] R   I N[ I ]  Ix N, x[ I ]  Iy N, y[ I ]  Iz N, z[ I ]  , n (6.1) I 1 Nghiên cứu đề xuất cơng thức tính tốn tổng qt hàm bổ sung (ϕI, ϕIx, ϕIy, ϕIz) phù hợp với nhiều kiểu phần tử khác từ miền 1D đến miền 3D Hai đại lượng sau định nghĩa phạm vi phần tử e ne ne i 1 i 1 1   Ni and    Ni2 (6.2) Ở đây, Ni hàm dạng Lagrange ứng với nút i (chỉ số cục bộ) ne số lượng nút thuộc phần tử e Các hàm bổ sung ϕi ϕix xác định phần tử e tính i  Ni  Ni2  1  Ni   Ni    Ni2  , ix   x ne j 1,i  j j    xi   Ni2 N j  N i N j  1  N i  N j     (6.3) (6.4) Thay tọa độ x phương trình (6.4) tọa độ y z, ta nhận hàm ϕiy ϕiz Áp dụng cách tính trình bày phương trình (6.2 – 6.4) vào kiểu phần tử tạo phần tử tích hợp CIP tương ứng 6.2 6.2.1 Phương pháp FEM tích hợp CIP cho tốn truyền nhiệt miền ba chiều Truyền nhiệt ổn định vật thể có hình học phức tạp Hình học điều kiện biên tốn cho Hình 6.1 Hệ số dẫn nhiệt k = 100 W/(mK) Đối lưu xảy mặt biên bên trái với hệ số h = 100 W/m2 nhiệt độ môi trường Ta = 200 K Ở mặt biên bên phải, nhiệt độ giữ mức T = 300 K Thông lượng nhiệt qua bề mặt Hình 6.1 q = 20000 W/m2 21 Mô số thực với bốn loại phần tử: phần tử tứ diện bốn nút (TH4), phần tử lục diện tám nút (HH8) hai phiên tích hợp CIP chúng, gọi CTH4 CHH8 Hình 6.2 hiển thị hội tụ giá trị nhiệt độ lớn nhất, xuất bề mặt áp đặt thông lượng nhiệt truyền vào, tăng số lượng bậc tự (DOFs) Cả hai phiên phần tử có tích hợp CIP (CTH4 CHH8) vượt trội so với phiên FEM truyền thống (TH4 HH8) Thêm vào đó, phần tử CHH8 cho kết tốt phần tử CTH4 Khác biệt then chốt phần tử có khơng có tích hợp CIP trường đạo hàm Như thấy Hình 6.3, thành phần thơng lượng nhiệt cho phần CTH4 trường liên tục, với phần tử TH4, thành phần bất liên tục nút (sai chất vật lý) Hình 6.1 Ví dụ 6.2.1: Hình học Điều kiện biên Hình 6.2 Ví dụ 6.2.1: Sự hội tụ giá trị nhiệt độ lớn tăng số lượng bậc tự đo CTH4 TH4 Hình 6.3 Ví dụ 6.2.1: Thành phần thơng lượng nhiệt theo phương y tính phần tử CTH4 phần tử TH4 22 6.3 Kết luận Kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) phát triển cho phần tử 3D Quan trọng hơn, công thức tổng quát đề xuất, cho phép áp dụng CIP vào nhiều kiểu phần tử khác từ 1D đến 3D Các phần tử có tích hợp CIP cho thấy vượt trội so với phiên FEM truyền thống tương ứng Với công thức tổng quát vừa đề xuất, kỹ thuật CIP tích hợp vào mã nguồn FEM có sẵn để tạo nên nhóm phần tử tich hợp CIP CHƯƠNG 7.1 TỔNG KẾT VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Tổng kết Trong luận án, kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) mở rộng nhiều phương diện Hai mảng đóng góp là:  Kết hợp hàm làm giàu vào phần tử tứ giác nội suy liên tiếp (XCQ4) để khảo sát ứng xử vật rắn hai chiều có vết nứt tác động tải cơ-nhiệt  Phát triển biểu thức tính tốn tổng qt cho CIP 7.1.1 Phần tử XCQ4 cho toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính Lần đầu tiên, phần tử XCQ4 phát triển cho toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính Các đóng góp mảng tóm tắt sau:  Nhìn chung, phần tử XCQ4 chứng tỏ có độ xác cao so phần tử XFEM thông thường, XQ4 Thêm nữa, để đạt mức xác mong muốn, phần tử XCQ4 tiết kiệm thời gian tính XQ4  Trường hợp vật liệu đẳng hướng: o Khảo sát chi tiết phần tử XCQ4 toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính: tính tốn hệ số cường độ ứng suất cho toán tĩnh toán động lực, dự đoán vết nứt phát triển tải tựa tĩnh  Trường hợp vật liệu trực hướng: 23 o Đề xuất sử dụng hai hàm làm giàu đỉnh biểu thức xấp xỉ nhiệt độ để đảm bảo tính định hướng vật liệu o Lần đầu tiên, tiêu chuẩn MTS hiệu chỉnh cho vật liệu trực hướng kiểm chứng số với nhiều tỉ lệ E1/E2 khác 7.1.2 Công thức tổng quát để xây dựng phần tử tích hợp CIP Vấn đề khó khăn cản trở khả ứng dụng CIP việc phải có hàm bổ sung riêng cho kiểu phần tử Công thức tổng quát đề xuất luận án giúp giải nút thắt trên, làm tăng tính hiệu dụng CIP Kết mở khả tích hợp kỹ thuật CIP dạng add-on vào mã nguồn FEM có Hướng phát triển 7.2 Các hướng phát triển từ luận án kể đến sau:  Các tốn kỹ thuật thường bao gồm nhiều yếu tố phi tuyến (xem tài liệu [35, 36] Do đó, mở rộng phần tử tích hợp CIP cho phân tích đáp ứng phi tuyến chủ đề nghiên cứu thú vị  Đối với mơ hình tính tốn nứt, chủ đề lan truyền nứt điều kiện tải động lực môi trường đồng chất không đồng chất [37, 38] hướng nghiên cứu đầy thử thách hấp dẫn  Một nhược điểm phương pháp mơ hình hóa lan truyền vết nứt có sẵn, chưa biểu diễn hình thành vết nứt Một giải pháp cho vấn đề kết hợp với mơ hình hư hại [39, 40] và/hoặc mơ hình lớp kết dính [41, 42] 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H C Huang and A S Usmani, Finite Element Analysis for Heat Transfer: Theory and Software, London: Springer-Verlag, 1994 [2] G R Liu, Meshfree Methods: Moving Beyond the Finite Element Method, Second ed., Taylor and Francis, 2010 [3] J A Cottrell, T J R Hughes and Y Bazilevs, Isogeometric Analysis: Toward integration of CAD and FEA, Wiley, 2009 [4] T Belytschko, Y Y Lu and L Gu, "Element-free Galerkin methods," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 37, pp 229-256, 1994 [5] W K Liu, S Jun, J Adee and T Belytschko, "Reproducing kernel particle methods for structural dynamics," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 38, pp 1655-1679, 1995 [6] J G Wang and G R Liu, "A point interpolation method based on radial basis functions," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 54, pp 1623-1648, 2002 [7] C Zheng, S C Wu, X H Tang and J H Zhang, "A novel twiceinterpolation finite element method for solid mechanics problems," Acta Mechanica Sinica, vol 26, pp 265-278, 2010 [8] Q T Bui, Q D Vo, C Zhang and D D Nguyen, "A consecutiveinterpolation quadrilateral element (CQ4): Formulation and Applications," Finite Element in Analysis and Design, vol 84, pp 14-31, 2014 [9] O C Zienkiewicz and R L Taylor, The Finite Element Method - Volume 1: The Basis, fifth edition ed., Butterworth - Heinemann, 2000 [10] G R Liu and S S Quek, The Finite Element Method: A practical course, Butterworth-Heinemann, 2003 [11] N M Nguyen, Q T Bui, T T Truong, A N Trinh, I V Singh, T Yu and H D Doan, "Enhanced nodal gradient 3D consecutive-interpolation tetrahedral element (CTH4) for heat transfer analysis," International Journal of Heat and Mass Transfer, vol 103, pp 14-27, 2016 25 [12] N M Nguyen, Q T Bui, T T Truong, S Tanaka and S Hirose, "Numerical analysis of 3-D solids and composite structures by an enhanced 8-node hexahedral element," Finite Elements in Analysis and Design, vol 131, pp 1-16, 2017 [13] T T Truong, T N Nguyen, N M Nguyen and K B Tran, Các phương pháp số phân tích kết cấu (in Vietnamese), Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2018 [14] N M Nguyen, Q T Bui, T N Nguyen and T T Truong, "Simulation of dynamic and static thermoelastic fracture problems by extended nodal gradient finite elements," International Journal of Mechanical Sciences, vol 134, pp 370-386, 2017 [15] N M Nguyen, T N Nguyen, T T Truong and Q T Bui, "Thermalmechanical crack propagation in orthotropic composite materials by the extended four-node consecutive-interpolation element (XCQ4)," Engineering Fracture Mechanics, vol 206, pp 89-113, 2019 [16] N M Nguyen, T N Nguyen and T T Truong, "A novel numerical approach for fracture analysis in orthotropic media," Tạp chí phát triển Khoa học & Công nghệ, vol 20, no K2, pp 5-13, 2017 [17] Z Kang, Q T Bui, D D Nguyen, T Saitoh and S Hirose, "An extended consecutive-interpolation quadrilateral element (XCQ4) applied to linear elastic fracture mechanics," Acta Mechanica, vol 226, no 12, pp 39914015, 2015 [18] Z Kang, Q T Bui, T S and S Hirose, "Quasi-static crack propagation simulation by an enhanced nodal gradient finite element with different enrichments," Theoretical and Applied Fracture Mechanics, vol 87, pp 61-77, 2017 [19] N Moes, J Dolbow and T Belytschko, "A finite element method for crack growth without re-meshing," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 46, pp 131-150, 1999 [20] M Duflot, "The extended finite element method in thermoelastic fracture mechanics," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 74, pp 827-847, 2008 26 [21] L Banks-Sills and O Dolev, "The conservative M-integral for thermalelastic problems," International Journal of Fracture, vol 125, pp 149-170, 2004 [22] S H Song and G H Paulino, "Dynamic stress intensity factor for homogeneous and smooth heterogeneous materials using the interaction integral method," International Journal of Solids and Structures, vol 43, pp 4830-4866, 2006 [23] A Zamani and M R Eslami, "Implementation of the extended finite element method for dynamic thermoelastic fracture initiation," International Journal of Solids and Stuctures, vol 47, pp 1392-1404, 2010 [24] F Erdogan and G C Sih, "On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear," Journal of Basic Engineering, vol 85, pp 519-527, 1963 [25] N N V Prasad and M H Aliabadi, "Incremental crack growth in thermoelastic problems," International Journal of Fracture, vol 66, pp 45-50, 1994 [26] L Bouhala, A Makradi and S Belouettar, "Thermal and thermomechanical influence on crack propagation using an extended mesh free method," Engineering Fracture Mechanics, vol 88, pp 35-48, 2012 [27] H S Wang, "A meshfree variational multiscale methods for thermomechanical material failure," Theoretical and Applied Fracture Mechanics, vol 75, pp 1-7, 205 [28] L O Jernkvist, "Fracture of wood under mixed mode loading II Experimental investigation of Picea abies," Engineering Fracture Mechanics, vol 68, pp 565-576, 2001 [29] L M A Cahill, S Natarajan, S P A Bordas, R M O'Higgins and C T McCarthy, "An experimental/numerical investigation into the main driving force of crack propagation in uni-directional fiber-reinforced composite laminae," Composite Structures, vol 107, pp 119-130, 2014 [30] C.-C Ke, C.-S Chen and C.-H Tu, "Determination of fracture toughness of anisotropic rocks by boundary element method," Rock Mechanics and Rock Engineering, vol 41, no 4, pp 509-538, 2008 27 [31] S G Lekhnitskii, Theory of an Anisotropic Elastic Body, San Francisco: Holden-Day, 1963 [32] G C Sih, P C Paris and G R Irwin, "On cracks in rectilinearly anisotropic bodies," International Journal of Fracture Mechanics, vol 1, pp 189-203, 1965 [33] A Asadpoure and S Mohammadi, "Developing new enrichment functions for crack simulation in orthotropic media by the extended finite element method," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 69, p 2150:2172, 2007 [34] C.-C Ke, C.-S Chen, C.-Y Ku and C.-H Chen, "Modeling crack propagation path of anisotropic rocks using boundary element method," International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol 33, pp 1227-1253, 2009 [35] W Lai, Y T., Q T Bui, Z Wang, J L Curiel-Sosa, R Das and S Hirose, "3-D elasto-plastic large deformations: IGA simulation by Bézier extraction of NURBS," Advances in Engineering Software, vol 108, pp 68-82, 2017 [36] H D Huynh, P Tran, X Zhuang and H Nguyen-Xuan, "An extended polygonal finite element method for large deformation fracture analysis," Engineering Fracture Mechanics, vol 209, pp 344-368, 2019 [37] D Motamedi and S Mohammadi, "Dynamic crack propagation analysis of orthotropic media by the extended finite element method," International Journal of Fracture, vol 161, pp 21-29, 2010 [38] A Afshar, S H Ardakhani and S Mohammadi, "Transient analysis of stationary interface cracks in orthotropic bi-materials using oscillatory crack tip enrichments," Composite Structures, vol 142, pp 200-214, 2016 [39] J Bobinski and J Tejchman, "A coupled constitutive model for fracture in plain concrete based on continuum theory with non-local softening and eXtended Finite Element Method," Finite Elements in Analysis and Design, vol 114, pp 1-21, 2016 [40] V B Pandey, I V Singh, B K Mishra, S Ahmad, A V Rao and V Kumar, "A new framework based on continuum damage mechanics and XFEM for high cyclic fatigue crack growth simulations," Engineering Fracture Mechanics, vol 206, pp 172-200, 2019 28 [41] Y Sun and K M Liew, "Modeling of thermo-mechanical fracture behaviors based on cohesive segments formulation," Engineering Analysis with Boundary Element, vol 77, pp 81-88, 2017 [42] X F Hu, X Lu and T E Tay, "Modelling delamination migration using virtual embedded cohesive elements formed through floating nodes," Composite Structures, vol 204, pp 500-512, 2018 29 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ  Tạp chí quốc tế thuộc ISI Cơng trình A: N M Nguyen, Q T Bui, T T Truong, A N Trinh, I V Singh, T Yu and H D Doan, "Enhanced nodal gradient 3D consecutive-interpolation tetrahedral element (CTH4) for heat transfer analysis," International Journal of Heat and Mass Transfer, vol 103, pp 14-27, 2016 Công trình B: N M Nguyen, Q T Bui, T T Truong, S Tanaka and S Hirose, "Numerical analysis of 3-D solids and composite structures by an enhanced 8node hexahedral element," Finite Elements in Analysis and Design, vol 131, pp 1-16, 2017 Cơng trình C: N M Nguyen, Q T Bui, T N Nguyen and T T Truong, "Simulation of dynamic and static thermoelastic fracture problems by extended nodal gradient finite elements," International Journal of Mechanical Sciences, vol 134, pp 370-386, 2017 Cơng trình D: N M Nguyen, T N Nguyen, T T Truong and Q T Bui, "Thermal-mechanical crack propagation in orthotropic composite materials by the extenđe four-node consecutive-interpolation element (XCQ4)," Engineering Fracture Mechanics, vol 206, pp 89-113, 2019  Tạp chí nước Cơng trình E: Nguyen Ngoc Minh, Nguyen Thanh Nha, Bui Quoc Tinh and Truong Tich Thien, “A novel numerical approach for fracture analysis in orthotropic media”, Tạp chí phát triển Khoa học & Cơng nghệ, Tập 20, số K2 – 2017  Tạp chí quốc tế thuộc ISI (không liên quan trực tiếp đến luận án) T Q Bui, N T Nguyen, L V Le, M N Nguyen and T T Truong, “Analysis of transient dynamic fracture parameters of cracked functionally graded composites by improved meshfree methods,” Theoretical and Applied Fracture Mechanics, vol 96, pp.642-657, 2018 30  Tạp chí nước (khơng liên quan trực tiếp đến luận án) M N Nguyen, T T Truong and T Q Bui, “An enhanced nodal gradient finite element for non-linear heat transfer analysis”, Vietnam Journal of Mechanics, vol 41 (2), pp 127-139, 2019 31 ... Tejchman, "A coupled constitutive model for fracture in plain concrete based on continuum theory with non-local softening and eXtended Finite Element Method," Finite Elements in Analysis and Design, vol... "A consecutiveinterpolation quadrilateral element (CQ4): Formulation and Applications," Finite Element in Analysis and Design, vol 84, pp 14-31, 2014 [9] O C Zienkiewicz and R L Taylor, The Finite. .. Truong, A N Trinh, I V Singh, T Yu and H D Doan, "Enhanced nodal gradient 3D consecutive- interpolation tetrahedral element (CTH4) for heat transfer analysis," International Journal of Heat and