LT SGK + BT + Ôn thi HHGT 12

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNGGIAN *** A. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1. Trong KG cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Trên Ox có véc tơ đơn vị i r , trên Oy có véc tơ đơn vị j r và trên Oz có véc tơ đơn vị k r . Hệ Oxyz hay (O, i r , j r , k r ) như trên là hệ tọa độ không gian. 2. Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy, Oyz,Ozx. 3. Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 4. Chú ý: 2 2 2 2 2 1 0 i j k a a i j ik jk = = = = = = = r r r r r rr rr rr 5. Tọa độ véc tơ: ( ; ; ) ( ; ; )u x y z u x y z u xi y j zk = ⇔ ⇔ = + + r r r r r r 6. Tọa độ điểm: ( ; ; )M x y z OM xi y j zk ⇔ = + + uuuur r r r 7. Các công thức tọa độ cần nhớ: Cho ( ; ; ), ( ; ; )u a b c v a b c ′ ′ ′ = = r r a) a a u v b b c c ′ =   ′ = ⇔ =   ′ =  r r b) ( ) ; ;u v a a b b c c ′ ′ ′ = ± ± ± r r m c) ( ; ; )ku ka kb kc= r d) . . .cos( , )u v u v u v aa bb cc ′ ′ ′ = = + + rur r r urr e) . cos( , ) . . u v aa bb cc u v u v u v ′ ′ ′ + + = = rur urr r r r r f) 2 2 2 2 u u a b c = = + + r r g) . 0u v u v ⊥ ⇔ = r r r r h) ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z = − − − uuur i) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB AB x x y y z z = = − + − + − uuur 8. Chú ý: góc của 2 véc tơ ( ) ,u v r r là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong [ ] 0; π . Suy ra ( ) ( ) 2 sin , 1 cos , 0u v u v = − ≥ r r r r 9. Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMB= uuur uuur , công thức tọa độ của M là : 1 1 1 A B M A B M A B M x kx x k y ky y k z kz z k −  =  −  −  =  −  −  =  −  10. M là trung điểm AB: 0MA MB+ = uuur uuur r 2 2 2 A B M A B M A B M x x x y y y z z z +  =   +  =   +  =   11. G là trọng tâm tam giác ABC: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r 3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y y z z z z + +  =   + +  =   + +  =   12. G là trọng tâm tứ diện ABCD: 0GA GB GC GD+ + + = uuur uuur uuur uuur r 4 4 4 A B C D G A B C D G A B C D G x x x x x y y y y y z z z z z + + +  =   + + +  =   + + +  =   13. Các ví dụ: VD1: Tọa độ của các véc tơ , ,i j k r r r ? VD2: Điểm M(a;b;c) thuộc (Oxy)? thuộc (Oyz)? thuộc (Ozx)? VD3: Điểm M(a;b;c) thuộc Ox? thuộc Oy? thuộc Oz? VD4: Cho ( ) ; ;u x y z= r . Tính . , . , .u i u j u k rr r r r r 1 VD5: Trong không gian (O, i r , j r , k r ) cho I, J, K là các điểm sao cho , , i OI j OJ k OK= = = r uur uur uuur r uuur . M là trung điểm JK và G là trọng tâm tam giác IJK. Tính tọa độ của G và MG uuuur . VD5: Trong không gian Oxyz cho A(5;3;−1) B(2;3;−4) C(1;2;0) D(2;1;−2) a) Chứng minh 4 điểm ABCD không đồng phẳng b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc nhau c) Chứng minh D.ABC là hình chóp đều. d) Tìm toạ độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC HD: a) DA uuur và DB uuur không cùng phương (A,B,C,D đồng phẳng) ⇔ , : . .m n DC m DA n DB∃ = + uuur uuur uuur Ta giải hệ pt trên tìm ra m,n. b) Tính độ dài 6 cạnh để suy ra kết quả c) H chính là trọng tâm tam giác ABC 14. Định nghĩa tích có hướng 2 véc tơ: Cho 2 véc tơ ( ; ; )u a b c= r và ( ; ; )v a b c ′ ′ ′ = r ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí hiệu ,u v     r r hay u v∧ r r có toạ độ: , ; ; b c c a a b u v b c c a a b     =  ÷   ′ ′ ′ ′ ′ ′   r r tức là: ( ) , ; ;u v bc b c ca ac ab ba   ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − −   r r VD6: Tính tích có hướng của 2 véc tơ (1;0; 1)u = − r và (2;1;1)v = r VD7: Tính ,i j     r r , ,j k     r r ; ,k i     r r VD8: So sánh ,u v     r r và ,v u     r r (→ tích có hướng của 2 véc tơ không có tính chất “giao hoán”- khí thay đổi thứ tự 2 véc tơ thành phần thì kết quả cho 2 véc tơ đối nhau. 15. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ: a. ,u v     r r vuông góc với u r và v r b. , . .sin( , )u v u v u v   =   r r r r r r c. , 0u v   =   r r r ⇔ ,u v r r cùng phương 16. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ: a. Diện tích hình bình hành ABCD: ,S AB AD   =   uuur uuur b. Diện tích tam giác ABC: 1 . , 2 S AB AC   =   uuur uuur c. Ba véc tơ , ,u v w r r ur đồng phẳng: , . 0u v w   =   r r ur d. Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’: , .V AB AD AA   ′ =   uuur uuur uuur e. Thể tích khối tứ diện S.ABC: 1 . , . 6 V AB AC SA   =   uuur uuur uur VD9: Cho 4 điểm A(0;1;1), B(−1;0;2), C(−1;1;0) và D(2;1;−2) a) Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng suy ra sự tồn tại tứ diện ABCD b) Chứng minh tồn tại tam giác ABC c) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC d) *Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC e) *Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC f) *Tính góc CBD g) *Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD h) Tính thể tích khối chóp ABCD 17. Phương trình mặt cầu a) Phương trình theo tâm và bán kính: Mặt cầu tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và bán kính R có phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R − + − + − = b) Phương trình dạng khai triển: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d + + + + + + = Trong đó : tâm I(−a;−b;−c) và 2 2 2 2 R a b c d= + + − với điều kiện 2 2 2 0a b c d+ + − > VD10: Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) và D(0;0;1) 2 BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1. Cho các véc tơ 2u i j= − r r r , 3 5( )v i j k= + − r r r r , 2 3w i k j= − + ur r r r a. Tìm toạ độ các véc tơ trên b. Tìm cosin của các góc ( ) ,v i r r , ( ) ,v j r r c. Tính tích vô hướng .u i rr và .v w r ur 2. Cho 0u ≠ r r . Chứng minh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos , cos , cos , 1u i u j u k+ + = r r r r r r 3. Tính góc giữa hai véc tơ u r và v r trong các trường hợp: a. (1;1;1)u = r và (2;1; 1)v = − r b. 3 2u i j= + r r r và 2 3v j k= − + r r r 4. Biết 2u = r và 5v = r góc giữa 2 véc tơ đó là 2 3 π . Tìm k để . 17.p k u v= + ur r r vuông góc 3.q u v= − r r r 5. Cho M(a;b;c) a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các mp toạ độ. Tính khoảng cách từ M đến các mp toạ độ. b. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ. Tính khoảng cách từ M đến các trục toạ độ. c. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mp toạ độ. d. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các trục toạ độ. 6. Cho A(x 1 ;y 1 ;z 1 ) và B(x 2 ;y 2 ;z 2 ). Tìm toạ độ M(x;y;z) chia AB theo tỉ số k≠1. 7. Cho các điểm A(−3;−2;0), B(3;−3;1), C(5;0;2). a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng. b. Viết phương trình mp(ABC). c. Tìm đỉnh D của hình bình hành ABCD. d. Tính diện tích hình bình nành ABCD. e. Tính khoảng cách các đường thẳng AB và CD. f. Tính khoảng cách B và đường thẳng AD. g. Tính góc giữa 2 véc tơ AC uuur và BD uuur 8. Cho A(1;2;3) và B(−3;−3;2). Tìm phương trình tập hợp điểm M cách đều A và B. Tìm toạ độ điểm M thuộc Oz và cách đều A,B. 9. Cho A(2;0;4), B(4; 3 ,5) và C(sin5t;cos3t;sin3t). Định t để AB vuông góc OC. 10. Cho A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1) a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng. b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. c. Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ A d. Tính các góc của tam giác ABC 11. Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(−2;1;−2) a. Chứng minh tồn tại tứ diện ABCD b. Tính góc giữa các cạnh đối của ABCD c. Tính thể tích ABCD và chiều cao tứ diện đó kẻ từ A 12. Cho hình chóp SABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC=b, BC=a. Gọi M là trung điểm AC và N là điểm sao cho 1 3 SN SB= uuur uur a. Tính độ dài MN b. Tìm sự liên hệ a,b,h để MN vuông góc SB. 13. Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: a. x 2 +y 2 +z 2 −8x+2y+1=0 b. 3x 2 +3y 2 +3z 2 +6x−3y+15z−2=0 c. 9x 2 +9y 2 +9z 2 −6x+18y+1=0 14. Viết phương trình mặt cầu qua A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm thuộc mp(Oyz) 15. Viết phương trình mặt cầu có bán kính R=2, tiếp xúc mp(Oyz) và có tâm thuộc tia Ox. 16. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mp(Oyz). 3 B-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. n r khác 0 r và có giá vuông góc mp(P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P). 2. Nếu n r là véc tơ pháp tuyến của (P) thì ( 0)kn k ≠ r cũng là véc tơ pháp tuyến của (P). 3. Phương trình tổng quát của mp(P): qua 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có véc tơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C= r là: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z − + − + − = 4. Khai triển của phương trình tổng quát: 0Ax By Cz D + + + = (A,B,C không đồng thời bằng 0) VD1: Viết phương trình mp có véc tơ pháp tuyến n r =(2;1;−3) và đi qua điểm M(3;−1;2) VD2: Viết phương trình mp qua 3 điểm A(1;2;0), B(0;1;2) và C(1;0;2). VD3: Viết phương trình mp qua A(1;2;4) và vuông góc đường thẳng BC (với B(1;6;0) và C(6;0;1)) VD4: Viết phương trình mp(P) qua M(1;1;−2) và song song mp(Q):x+y+z−1=0. 5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát:  (P) qua gốc tọa độ ⇔ D=0  (P) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A=B=0  (P) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B=C=0  (P) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A=C=0  (P) song song hoặc chứa Ox ⇔ A=0  (P) song song hoặc chứa Oy ⇔ B=0  (P) song song hoặc chứa Oz ⇔ C=0  (P) cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c) ⇔ (P) có phương trình 1 x y z a b c + + = VD5: Cho M(30;15;6). Viết phương trình mp(P) qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. Tìm tọa độ H, hình chiếu gốc tọa độ trên mp(P). (quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”) 6. Bộ số tỉ lệ:  Xét những bộ số dạng ( ) 1 2 ( ) , , ., i n x x x x= trong đó các xi không đồng thời bằng 0.  Hai bộ số (xi) và (yi) gọi là tỉ lệ với nhau nếu có hằng số t sao cho y i =t.x i (với mọi giá trị i từ 1 tới n).  Khi đó ta viết: 1 2 1 2 1 2 1 2 : : .: : : .: . n n n n x x x y y y x x x y y y = = = =  Với quy ước đó: 1:0:4=2:0:8 3 0 1 6 0 2 = = 7. Vị trí tương đối của 2 mp: Cho 2 mp: ( ) : 0 ( ) : ' ' ' ' 0 P Ax By Cz D Q A x B y C z D + + + = + + + =  (P) ≡ (Q) ⇔ ' ' ' ' A B C D A B C D = = =  (P) // (Q) ⇔ ' ' ' ' A B C D A B C D = = ≠  (P) cắt (Q) ⇔ : : ': ': 'A B C A B C≠  (P) ⊥ (Q) ⇔ ' ' ' 0AA BB CC+ + = VD6: Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 10 1 0 ( ) : 2 (3 1) 10 0 P x my z m Q x y m z − + + + = − + + − = Hãy tìm giá trị của m để: a) Hai mp trùng nhau b) Hai mp song song c) Hai mp cắt nhau. Suy ra phương trình đường thẳng giao tuyến d) Hai mp vuông góc nhau. 8. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng: Cho M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và (P):Ax+By+Cz+D=0 0 0 0 2 2 2 ( ,( )) Ax By Cz D d M P A B C + + + = + + VD7: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một vuông góc nhau. Tính độ dài đường cao OH của tứ diện. VD8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh AA’,BC,C’D’ lần lượt lấy M,N,P sao cho AM=CN=D’P=t với 0<t<a. Chứng minh mp(MNP) song song mp(ACD’) và tính khoảng cách 2 mp đó. 4 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Lập phương trình mặt phẳng 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) biết: a) (P) đi qua điểm M(1;3;-2) và nhận (2;3;1)n = r làm VTPT b) (P) đi qua M(1;3;-2) và song song (Q):x+y+z+1=0 c) (P) đi qua M(1;2;3) và song song với giá của các vectơ (2; 1;2), (3; 2;1)a b− − r r d) (P) đi qua 2 điểm A(4;-1;1), B(3;1;-1) và song song Ox e) (P) đi qua 3 điểm A(1;1;0), B(1;0;0), C(0;1;1) 2. Lập phương trình mp(P) biết : a) (P) đi qua 3 điểm A(-1;2;3) ,B(2;- 4;3),C(4;5;6) b) (P) đi qua 0 (1;3; 2)M − và vuông góc Oy c) (P) đi qua 0 (1;3; 2)M − và vuông góc BC, với B(0;2;-3),C(1;-4;1) d) (P) đi qua 0 (1;3; 2)M − và song song với mp(Q):2x-y+3z+4=0 e) (P) đi qua A(3;1;-1),B(2;-1;4) và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0 f) (P) đi qua 0 (2; 1;2)M − ,song song Oy và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0 g) (P) đi qua 0 ( 2;3;1)M − và vuông góc với 2 mặt phẳng 2x+y+2z+5=0,3x+2y+z- 3=0 3. Cho A(1;2;3), B(3;4;-1) trong không gian Oxyz. a) Viết phương trình mp(P) là mặt phẳng trung trực của AB. b) Viết phương trình mp(Q) qua A, vuông góc (P) và vuông góc (Oyz) c) Viết phương trình mp(R) qua A và song song (P) 4. Lập phương trình mp(P) qua M(1;1;1) và song song các trục a) Ox,Oy b) Ox,Oz c) Oy,Oz 5. Lập phương trình mp đi qua 2 điểm A(1;- 1;1), B(2;1;1) và song song với a) Ox b) Oy c) Oz 6. Lập phương trình mp(P) a) Chứa Ox và đi qua A(1;-2;3) b) Chứa Oy và đi qua B(-1;3;-2) c) Chứa Oz và đi qua C(1;0;-2) 7. Lập phương trình mp(P) qua M(a;b;c) (với abc≠0) và song song với một mp tọa độ. 8. Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Viết phương trình các mp (ABC), (ACD), (ABD), (BCD) b) Viết phương trình mp (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD 9. Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ. 10. Lập phương trình mp(P) qua G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. 11. Lập phương trình mp(P) qua H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. 12. Cho A(-1;6;0), B(3;0;-8), C(2;-3;0) a) Viết phương trình mp(P) qua 3 điểm A,B,C b) Mp(P) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại K,M,N. Tính thể tích tứ diện OKMN Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: 10. Cho 2 mặt phẳng: (P):2x-my+3z-6+m=0, (Q):(m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0.Với giá trị nào của m thì (P)và (Q) a) Song song với nhau b) Trùng nhau c) Cắt nhau 11. Tìm α để 2 mặt phẳng 3 1 5 0, sin +ycos sin 2 0 4 x y z x z α α α − − + = + + = vuông góc với nhau 12. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: a) Đi qua điểm 0 (2;1; 1)M − và qua giao tuyến của 2 mặt phẳng: x-y+z-4=0, 3x- y+z-1=0 5 b) Qua giao tuyến của 2 mặt phẳng y+2z- 4=0, x+y-z+3=0 đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0 c) Qua giao tuyến của 2 mặt phẳng 3x- y+z-2=0, x+4y-5=0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0 13. Xác định các giá trị k và m để 3 mp sau đây cùng đi qua một đường thẳng 5x+ky+4z+m=0, 3x-7y+z-3=0, x-9y- 2z+5=0 Khoảng cách 14. Cho 4 điểm: A(-2;1;0), B(3;1;-2), C(2;3;1), D(1;4;-1) a) Viết phương trình mp (BCD). Suy ra 4 điểm A,B,C,D tạo thành một tứ diện b) Tính diện tích tam giác BCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD), suy ra thể tích của tứ diện ABCD 15. Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp (P): 2x-y+4z+5=0, (Q):3x+5y-z-1=0 16. Tính khoảng cách giữa 2 mp (P):x+y+z- 6=0, (Q): x+y+z+5=0 17. Trên trục Oz, tìm điểm cách đều điểm A(2;3;4)và mp(P):2x+3y+z-17=0 18. Trên trục Oy, tìm điểm cách đều 2 mp x+y- z+1=0, x-y+z-5=0 19. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2;1;3) và tiếp xúc mp(P):x+2y+2z-1=0 20. Cho mặt cầu 2 2 2 0 ( ) : 6 2 4 5 0, (4;3;0)S x y z x y z M+ + − − + + = . Viết phương trình mp tiếp xúc mặt cầu tại 0 M 21. Cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(- 1;1;2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc (BCD) 22. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm I nằm trên mp x+y+z-3=0 23. Viết pt mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp ( ) : 2 5 0x y z α + − = một góc 0 60 24. Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp(P) và (Q) trong các trường hợp sau: a) (P):2x−y+4z+5=0, (Q):3x+5y−z−1=0 b) (P):2x+y−2z−1=0, (Q):6x−3y+2z−2=0 c) (P):x+2y+z−1=0, (Q):x+2y+z+5=0 25. Cho 2 mặt phẳng song song (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):Ax+By+Cz+D’=0. Tính khoảng cách 2 mp đó. 6 Giải bài toán không gian bằng phương pháp toạ độ 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. a) Chứng minh 2 mp (AB’D’), (BC’D) song song b) Tính khoảng cách giữa 2 mp đó c) Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’, A’B d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh AC’ vuông góc (MNP) e) Tính thể tích tứ diện AMNP 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABI) 28. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao h. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB,SC. Tính tỉ số a h để mp(AMN)vuông góc mp(SBC) 29. Cho hình hộp 1 1 1 1 .ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, 0 ˆ A=60 , 1 1 ( ),B O ABCD BB a⊥ = a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy b) Tính khoảng cách từ 1 ,B B đến 1 ( )ACD 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3, ( )SA a SA ABCD= ⊥ a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD đến mp(SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC) C-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có véc tơ chỉ phương ( ) ; ;u a b c= r là 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  2. Phương trình chính tắc của đường thẳng qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có véc tơ chỉ phương ( ) ; ;u a b c= r là 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = Ghi chú : chỉ dùng phương trình chính tắc khi abc≠0 (tức là a,b,c là 3 giá trị cùng không ) VD1: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua 2 điểm A(1;2;3) và B(2;5;8) VD2: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M(2;1;0) và vuông góc với mp(P): 2x−y−z=0 VD3: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(Oyz). Biết A(3;0;0), B(0;4;0) và C(0;2;9) VD4: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua M(2;1;0) và song song đường thẳng có phương trình 2 1 3 3 x y t z t =   = −   = +  VD5: Cho 2 mp (P): 2x+2y+z−4=0 và (Q): 2x−y−z+5=0. 1) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau 2) Tìm tọa độ hai điểm M,N phân biệt thuộc giao tuyến của (P) và (Q). 3) Tìm tọa độ một véc tơ chỉ phương của giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra phương trình tham số của giao tuyến của (P) và (Q). VD6: Cho đường thẳng d: 1 2 2 2 x t y t z t = −   = +   =  1) Chỉ ra tọa độ chỉ phương của d. 2) Xác định tọa độ các điểm của d ứng với t=1; t=0; t=−2. 7 3) Trong các điểm A(3;1;−2), B(−3;4;2), C(0;5/2;5), điểm nào thuộc d? VD7: Cho tứ diện ABCD với A(0;0;2), B(3;0;5), C(1’1’0), D(4;1;2). 1) Viết phương trình đường cao tứ diện ABCD vẽ từ D. 2) Tìm tọa độ hình chiếu H của D lên mp(ABC). Chú ý: SGK quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”. VD8: Cho 2 mp (P): x+2y+z+1=0 và (Q): x+y+2z+3=0. 1) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau 2) Viết phương trình tham số của giao tuyến 2 mp trên. VD9: Từ phương trình tham số hãy viết phương trình chính tắc của các đường thẳng: 1) 1 2 x t y t z t = +   =   = −  2) 1 2 3 2 5 x t y t z t  = +  = −   = +  3) 1 2 2 x t y z t = +   =   = −  VD10: Từ phương trình chính tắc, hãy viết phương trình tham số của các đường thẳng: 1) 1 1 2 1 2 x y z+ − = = − 2) 1 6 1 3 5 2 x y z+ − + = = 3) 5 2 1 3 6 5 x y z− + + = = − VD11: Cho 2 đường thẳng d 1 : 1 4 6 6 x t y t z t =   = − −   = +  và d 2 : 1 2 2 1 5 x y z− + = = − . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua M(1;−1;2) và vuông góc với 2 đường thẳng trên. 3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng d (qua A và có véc tơ chỉ phương u r ) và d’ (qua B và có véc tơ chỉ phương u ′ ur ) a. Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau , ,u u AB ′ r ur uuur đôi một cùng phương , , 0u u u AB     ′ = =     r ur r uuur r b. Hai đường thẳng d và d’ song song ,u u ′ r ur cùng phương và ,u AB r uuur khác phương , 0 , 0 u u u AB    ′ =      ≠     r ur r r uuur r c. Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau ,u u ′ r ur khác phương và , ,u u AB ′ r ur uuur đồng phẳng , 0 , . 0 u u u u AB    ′ ≠      ′ =     r ur r r ur uuur d. Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau , ,u u AB ′ r ur uuur không đồng phẳng , . 0u u AB   ′ ≠   r ur uuur VD1: Cho 2 đường thẳng : 1 2 ' : 2 : ' 1 3 1 ' m m x mt x m t d y m t d y mt z m t z m t = + = −     ′ = + =     = − − = − +   Tùy theo m xác định vị trí tương đồi của 2 đường thẳng. B1: xét , .u u AB   ′   r ur uuur nếu , . 0u u AB   ′ ≠   r ur uuur : chéo nhau(./.) nếu , . 0u u AB   ′ =   r ur uuur sang B2 B2: xét ,u u   ′   r ur nếu , 0u u   ′ ≠   r ur r : cắt nhau (./.) nếu , 0u u   ′ =   r ur r : sang B3 8 B3: Lấy A (bất kỳ) thuộc d m nếu A thuộc d m ’ thì 2 đường thẳng trùng nhau, nếu không thì song song (./.) Hoặc là xét , 0u AB   =   r uuur r thì trùng nhau, nếu không thì cắt nhau. Cũng có thể xét số giao điểm. nếu chỉ có 1 nghiệm: cắt nhau nếu có hơn 1 nghiệm: trùng nhau nếu vô nghiệm: xét ,u u   ′   r ur nếu , 0u u   ′ =   r ur r thì song song, nếu không thì chéo nhau. Áp dụng cho VD2: VD2: Cho d là giao tuyến của 2 mp ( ) : 0P x y+ = và ( ) : 2 15 0Q x y z− + − = và đường thẳng d’ có phương trình 1 2 2 3 x t y t z = +   = +   =  . Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng. 4. Công thức tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d (qua M 0 và có véc tơ chỉ phương u r : 0 , ( , ) MM u d M d u     = uuuuur r r Ghi chú: nhắc lại a) Diện tích hình bình hành ABCD là ,S AB AC   =   uuur uuur b) Diện tích tam giác ABC là 1 , 2 S AB AC   =   uuur uuur c) Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’ là , . 'V AB AC AA   =   uuur uuur uuur d) Thể tích tứ diện ABCD là: 1 , . 6 V AB AC AD   =   uuur uuur uuur VD3: Tính khoảng cách từ M(4;−3;2) tới đường thẳng 2 2 : 3 2 1 x y z d + + = = − 5. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng cắt nhau hay trùng nhau bằng 0. 6. Khoảng cách của 2 đường thẳng song song d, d’ là khoảng cách từ M thuộc d tới d’ 7. Khoảng cách của đường thẳng d tới mp(P) song song nó là khoảng cách từ M thuộc d tới mp(P). VD5: Cho M(1;2;0) và mp(P): x+2y+2z=0. Viết phương trình đường thẳng qua M, song song (P). Tính khoảng cách giữa đường đó và (P). 8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 1 2 1 2 1 2 , . ( , ) , u u AB d d d u u     =     ur uur uuur ur uur Thực chất của công thức trên là “chiều cao hình hộp bằng thể tích hình hộp chia diện tích đáy hình hộp”. Cho AB, CD chéo nhau, khoảng cách AB,CD là: , . ( , ) , AB CD AC d AB CD AB CD     =     uuur uuur uuur uuur uuur VD6: Cho 2 đường thẳng 2 3 4 : 2 3 5 x y z d − − + = = − , 1 4 4 ': 3 2 1 x y z d + − − = = − − . Chứng minh đó là 2 đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách giữa chúng. 9. Tìm tọa độ chân đường vuông góc chung của 2 đường chéo nhau: Cách 1: d qua A và có véc tơ chỉ phương u r , d’ qua B và có véc tơ chỉ phương u ′ ur . B1: Tính ,w u u   ′ =   ur r ur (cùng phương đường vuông góc chung) B2: Viết phương trình mp(P) qua d (nên qua A) và có cặp véc tơ chỉ phương là u r và w ur B3: Viết phương trình mp(Q) qua d’ (nên qua B) và có cặp véc tơ chỉ phương là u ′ ur và w ur 9 B4: Viết phương trình đường thẳng a là giao tuyến của (P) và (Q). B5: Lập giao điểm C của a và (P); giao điểm D của a và (Q). C và D chính là chân đường vuông góc chung của d và d’. Cách 2: B1:Viết phương trình tham số t của d, và phương trình tham số t’của d’. B2: Gọi C thuộc d và D thuộc d’ là chân đường vuông góc chung. Viết tọa độ C theo t và D theo t’. B3: Vì ,CD u CD v⊥ ⊥ uuur r uuur r nên . 0, . 0CD u CD v= = uuur r uuur r Thiết lập hệ phương trình theo t,t’. Giải ra t và t’ B4: Suy ra tọa độ C và D. VD7: Cho 2 đường thẳng 2 3 4 : 2 3 5 x y z d − − + = = − , 1 4 4 ': 3 2 1 x y z d + − − = = − − . Chứng minh đó là 2 đường thẳng chéo nhau, tìm tọa độ chân đường vuông góc của 2 đường thẳng. . 10. Góc của 2 đường thẳng: Góc của 2 đường thẳng là góc nhọn α xác định bởi: ( ) cos cos ,u u α ′ = r ur ,u u ′ r ur lần lượt là véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng VD8: Cho 2 đường thẳng 2 3 4 : 2 3 5 x y z d − − + = = − , 1 4 4 ': 3 2 1 x y z d + − − = = − − . Tính góc giữa chúng. 11. Góc của 2 mặt phẳng: Góc của 2 mặt phẳng là góc nhọn α xác định bởi: ( ) cos cos ,n n α ′ = r ur ,n n ′ r ur lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng VD 9: Tính góc của mp(P):2x−y=0 và mp(Oxy) 12. Góc của đường thẳng và mặt phẳng: Góc của đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn α xác định bởi: ( ) sin cos ,u n α = r r u r là véc tơ chỉ phương của đường thẳng và n r là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. VD10: Tính góc tạo bởi 2 3 4 : 2 3 5 x y z d − − + = = − và các mp tọa độ. *** BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) a) Đi qua A(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương 3 5u i j k= − + + r r r r b) Đi qua A(-2;1;2) và song song với trục Oz c) Đi qua A(2;3;-1), B(1;2;4) d) Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng 1 2 : 3 3 2 x t y t z t = +   ∆ = −   = +  e) Đi qua A(1;2;-1) và song song với đường thẳng giao tuyến của 2 mp x+y- z+3=0, 2x-y+5z-4=0 f) Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mp x+2y-2z+1=0. g) Là giao tuyến của 2 mp x-3y+z=0, x+y- z+4=0 2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng 1 2 : 2 3 3 x t d y t z t = +   = − +   = +  trên mỗi mp sau: mp(Oxy), mp(Oyz), (Oxz), ( ) : 7 0x y z α + + − = 3. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng 7 3 2 : 2 2 x t d y t z t  = +   = −   = −   trên mp x+2y-2z-2=0 10 [...]... ') : 2 x + 3z − 2 = 0 b) d : 9 Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α ) trong các trường hợp sau:  x = 1 + 2t  a) ∆ :  y = −1 + 3t , (α ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0 z = 2 − t  x + 2 y −1 z − 3 = = , (α ) : x + y − z + 2 = 0 4 1 −2 x + 3 y +1 z − 3 = = c) ∆ : , 2 1 1 (α ) : x + 2 y − z + 5 = 0 x−3 y −4 z +3 = = d) ∆ : , 1 2 −1 (α ) : 2 x + y + z − 1 = 0 b) ∆ : 10 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc... = −2 + 3t ' z = 1  z = 3t '   x −1 y + 3 z − 4 = = , 2 1 −2 x + 2 y −1 z +1 d2 : = = −4 −2 4 b) d1 : x = 2 − t x −1 y − 2 z − 3  = = c) d1 : , d 2 :  y = −1 + t 1 2 3 z = t  8 Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:  x = 1 + 2t  x = 2 − t '   a)  y = −1 + t ,  y = −1 + 3t '  z = 3 + 4t  z = 4 + 2t '   x −1 y + 2 z + 2 = = , d’ là giao tuyến của 3 1 4 2 mp (α ) : x + 2 y − z + 1 =... tam giác ABC 12) Trong không gian cho 2 đường thẳng d1:  x = −1 + 2t x y −1 z + 2  = = và d2:  y = 1 + t 2 −1 1 z = 3  a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau b) Viết phương trình đường d vuông góc với mp (P): 7x +y – 4z = 0 và cắt cả 2 đường d1, d2 13 13) Trông không gian với hệ 0xyz cho mặt cầu (S) và mp (P) có phưuơng trình: (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và (P): 2x – y + 2z – 14 =... − 3 z = = , (α ) : 3 x − 3 y + 2 z − 5 = 0 b) d : 2 4 3 x − 9 y −1 z − 3 = = c) d : , 8 2 3 (α ) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0 x − 7 y −1 z − 5 = = d) d : , 5 1 4 (α ) : 3 x − y + 2 z − 5 = 0 6 Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: x + 2 y −1 z +1 = = a) M(2;3;1), d : 1 2 −2 b) M(2;3;-1), d là giao tuyến của 2 mp x+y-2z1=0, x+3y+2z+2=0 x y −1 z + 3 = c) M(1;2;1), d : = 3 4... x − y + 2 z + 12 = 0 11 Cho 4 điểm A(4;1;4),B(3;3;1),C(1;5;5),D(1;1;1) Tìm toạ độ hình chiếu của D lên mp(ABC) 12 Cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1),C(2;-2;-1).Tìm toạ độ hình chiếu của gốc O trên mp (ABC) 13 Tìm toạ độ điểm đối xứng của M 0 (2; −3;1) qua mp (α ) : x + 3 y − z + 2 = 0 14 Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(0;0;1) qua mp 6x+3y+2z-6=0 15 Tìm toạ độ điểm đối xứng của B(2;3;5) qua mp 2x+3y+z-17=0... điểm A(3;1;0),B(-9;4;9) và mp (α ) : 2 x − y + z + 1 = 0 Tìm toạ độ điểm M trên (α ) sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất 17 Cho 2 điểm A(3;1;1),B(7;3;9) và mp (α ) : x + y + z + 3 = 0 Tìm điểm M trên (α ) để uuu uuu r r MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất 18 Cho 3 điểm A(-1;3;2),B(4;0;-3),C(5;-1;4) Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC x+2 y+2 z = = và điểm 3 2 −1 M 0 (4; −3; 2) Tìm toạ... z − 3 x − 6 y +1 z + 2 = = ,d ': = = 2 1 4 3 −2 1 x −1 y − 2 z x y +8 z −4 = = ,d ': = = 2 −2 1 −2 3 1 x − 2 y z +1 x−7 y −2 z = = ,d ': = = c) d : 4 −6 −8 −6 9 12 b) d : d) d : x −1 y − 6 z − 3 x −7 y −6 z −5 = = ,d ': = = 9 6 3 6 4 2 5 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp (α ) cho bởi các phương trình sau: x − 12 y − 9 z − 1 = = a) d : , 4 3 1 (α ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0 x +1 y − 3 z = =... ABC 6) Trong không gian cho điểm A( -4; -5; 3) và 2 đường thẳng : x − 2 y + 5 z −1 x−4 y−2 z+4 = = = = và d2: −3 2 1 2 3 5 a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau b) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt cả 2 đường d1, d2 7) Trong không gian với hệ toạ đội 0xyz cho các đường d1 và d2, mp (P) có phương trình: x +1 y −1 z − 2 x−2 y+2 z = = = = d1: và d2: , 2 3 1 1 5 −2 (P): 2x – y – 5z +1 = 0 a) Chứng... t   12 ÔN TẬP 1) Trong không gian với hệ trục 0xyz cho điểm A ( 1; 2; 1) , B ( 3; -1; 2) Cho đuờng thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình x y−2 z+4 = d: = (P): 1 −1 2 2x − y + z +1 = 0 a) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mp (P) b) Viết phương trình đuờng thẳng (∆) đi qua điểm A, cắt đường thẳng (d) và song song với mp(P) c, Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho tổng khaỏng cách MA +MB đạt... thuộc đường d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất 15) Trong không gian cho A ( 0;1;2) và 2 đưòng thẳng x = 1+ t x y −1 z +1  = d1: = và d2:  y = −1 − 2t 2 1 −1 z = 2 + t  a) Viết phương trình mp(P) qua A đồng thời song song với d1, d2 b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng 16) Cho A( 1; 2; 3) và 2 đường thẳng d 1: x −2 y + 2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = và d2: 2 −1 . (P):2x−y+4z+5=0, (Q):3x+5y−z−1=0 b) (P):2x+y−2z−1=0, (Q):6x−3y+2z−2=0 c) (P):x+2y+z−1=0, (Q):x+2y+z+5=0 25. Cho 2 mặt phẳng song song (P):Ax+By+Cz+D=0 và. MN vuông góc SB. 13. Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: a. x 2 +y 2 +z 2 −8x+2y+1=0 b. 3x 2 +3 y 2 +3 z 2 +6 x−3y+15z−2=0 c. 9x 2 +9 y 2 +9 z