In this article, our primary interest is to compare and discuss about the criteria for selecting model and its applications. The authors provide approaches and procedures of these methods and apply to the tra c violation data where we look for the most appropriate model among Poisson regression.
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)][exp(β T X )]y y! ✭✶✵✮ [mi (α1 , α2 ) − m]2 ❢♦r y = 0, 1, 2, ✱ ✇❤❡r❡ γ = (γ0 , , γ3 )T ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ③❡r♦✲✐♥✢❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✇❤✐❧❡ mi (α1 , α2 ) i=1 β = (β0 , , β3 )T ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ❝♦✉♥t 1 n 2m n { m (α1 , α2 ) − mi (α1 , α2 ) + m2 } ♠♦❞❡❧✱ s❡❡ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ✐♥ ▲❛♠❜❡rt ❬✶✵❪ ❛♥❞ n i=1 i n i=1 ▲✉❦✉s❛ ❡t ❛❧✳ ❬✶✸❪✳ √ n[ n n n n n mi (α1 , α2 )] n m2i (α1 , α2 ) − m2 ❚❤❡ P♦✐ss♦♥ ✐♥❝✐❞❡♥❝❡ r❛t❡ µ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛ s❡t ♦❢ p r❡❣r❡ss♦r ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭t❤❡ ❳✬s✮✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ r❡❧❛t✐♥❣ t❤❡s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐s µ = exp (β0 + β1 X1 + · · · + βn Xp ) ✭✶✶✮ ❆♥ ✉❜✐q✉✐t♦✉s P♦✐ss♦♥ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❛♥ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ i ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s i=1 √ n n = n P♦✐ss♦♥ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ i=1 n m (α1 , α2 ) − 2m2 + m2 n i=1 i √ n n mi (α1 , α2 ) n i=1 n = P (Y = y|X, Z, W ) = H(γ T X )I(y = 0)+ i=1 = = V n √ = | ■❙❙❯❊✿ ✶ | ✷✵✶✾ | ▼❛r❝❤ n m2i i=1 √ n n n mi (α1 , α2 ) i=1 (α1 , α2 ) − n n mi (α1 , α2 ) i=1 mi (α1 , α2 ) i=1 h (α1 , α2 ) n mi (α1 , α2 ) , ❛♥❞ n i=1 h2 (α1 , α2 ) = n − ◆❡❣❛t✐✈❡ ❜✐♥♦♠✐❛❧ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ n m2i (α1 , α2 ) i=1 n n mi (α1 , α2 ) e−µi (µi ) i , yi ! ✇❤❡r❡ µi = exp (β0 + β1 X1i + · · · + βp Xpi ) , ❛♥❞ β0 , β1 , , βn ❛r❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳ n ✇❤❡r❡ m = y P (Yi = yi |µi ) = i=1 ❩❡r♦✲✐♥✢❛t❡❞ P♦✐ss♦♥ ✭❩■P✮ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ▲❛♠❜❡rt ❬✶✵❪ ♣r♦♣♦s❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❩■P r❡❣r❡s✲ s✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♥♦♥✲s✉s❝❡♣t✐❜❧❡ ♣r♦❜❛✲ ❜✐❧✐t② ✭♠✐①✐♥❣ ✇❡✐❣❤t✮ p ✐s ❧✐♥❦❡❞ t♦ X ✈✐❛ ❛ ❧♦❣✐t✲ ❧✐♥❡❛r ♣r❡❞✐❝t♦r✱ p = H(γ T X ) ❢♦r H(u) = [1 + exp(−u)]−1 ✱ ❛♥❞ t❤❡ P♦✐ss♦♥ ♠❡❛♥ λ ✐s ❧✐♥❦❡❞ t♦ X ✈✐❛ ❛ ❧♦❣✲❧✐♥❡❛r ♣r❡❞✐❝t♦r✱ λ = exp(βT X )✳ ✇❤❡r❡ γ ❛♥❞ β ❛r❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳ ■♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ♣❛♣❡r✱ X = ❚❤❡ ♠❡❛♥ ♦❢ y ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡①♣♦s✉r❡ t✐♠❡ t ❛♥❞ ❛ s❡t ♦❢ p r❡❣r❡ss♦r ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭t❤❡ ❳✬s✮✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ r❡❧❛t✐♥❣ t❤❡s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐s µi = exp (ln(ti ) + β0 + β1 X1i + · · · + βp Xpi ) ✭✶✷✮ ❚❤❡ ✇✐❞❡s♣r❡❛❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❜✐♥♦♠✐❛❧ r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❛♥ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ i ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② P (Yi = yi |µi , α) = × Γ yi + α−1 Γ (α−1 ) Γ (yi + 1) 1 + αµi α−1 αµi + αµi yi ✇❤❡r❡ β0 , β1 , , βp ❛r❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ p = ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r α ✐s t❛❦❡♥ t♦ ✶ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛✉t♦♠❛t✲ ✐❝❛❧❧② ❡st✐♠❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛❝❦❛❣❡ ✧♣s❝❧✧ ✐♥ ❘ ✳ ✸✵✶ ❱❖▲❯▼❊✿ ✸ | ■❙❙❯❊✿ ✶ | ✷✵✶✾ | ▼❛r❝❤ ❋✐❣✳ ✶✳ ❋r❡q✉❡♥❝② ♦❢ ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ♦❢ s♣❡❡❞ r❡❣✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❚❛✐✇❛♥ ✷✵✵✼✳ ❈♦✉♥t ❈♦❡✛✳ ■♥t❡r❝❡♣t X Z W ❩❡r♦✲✐♥✢❛t❡❞ ■♥t❡r❝❡♣t X Z W ❚❛❜✳ ✷✿ X Z W ③ ✈❛❧✉❡ ✵✳✽✷✸ ✶✳✶✵✺ ✶✳✹✾✵ ✲✸✳✸✶✹ ③ ✈❛❧✉❡ ✽✳✶✾✷ ✲✸✳✸✻✷ ✲✽✳✹✵✺ ✷✳✷✵✾ Pr✭> |z|✮ ✵✳✹✶✵✻✼ ✵✳✷✻✾✵✹ ✵✳✶✸✻✶✹ ✵✳✵✵✵✾✷ Pr✭> |z|✮ ✷✳✺✽❡✲✶✻ ✵✳✵✵✵✼✼✺ ❁ ✷❡✲✶✻ ✵✳✵✷✼✶✺✷ ❙t❞✳ ❊rr♦r ✵✳✷✷✾✺✽ ✵✳✵✹✶✺✹ ✵✳✵✹✶✻✻ ✵✳✵✸✾✶✽ ③ ✈❛❧✉❡ ✲✶✸✳✹✵✶ ✼✳✷✵✵ ✷✶✳✶✼✹ ✲✾✳✹✸✸ Pr✭> |z|✮ ❁✷❡✲✶✻ ✻❡✲✶✸ ❁✷❡ ✲✶✻ ❁✷❡✲✶✻ ❊st✐♠❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ M2 ✭P♦✐ss♦♥ ♠♦❞❡❧✮✳ X Z W ❊st✐♠❛t❡ ✲✸✳✷✸✵✼✷ ✵✳✸✹✻✸✺ ✵✳✾✽✽✾✽ ✲✵✳✹✷✷✷✽ ❚❛❜✳ ✹✿ ❊st✐♠❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ M3 ✭◆❇ ♠♦❞❡❧✮✳ ■♥t❡r❝❡♣t ✸✵✷ ❙t❞✳ ❊rr♦r ✵✳✸✼✼✶✹ ✵✳✵✼✵✻✶ ✵✳✵✽✵✸✶ ✵✳✵✼✶✵✷ ❙t❞✳ ❊rr♦r ✵✳✺✵✽✷✸ ✵✳✵✾✸✼✹ ✵✳✶✹✾✵✻ ✵✳✵✽✽✹✼ ❊st✐♠❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ M1 ✭❩■P ♠♦❞❡❧✮✳ ❊st✐♠❛t❡ ✲✸✳✵✼✻✺✶ ✵✳✷✾✾✶✵ ✵✳✽✽✷✵✼ ✲✵✳✸✻✾✺✽ ■♥t❡r❝❡♣t ❚❛❜✳ ✸✿ ❊st✐♠❛t❡ ✵✳✸✶✵✷✽ ✵✳✵✼✽✵✹ ✵✳✶✶✾✻✾ ✲✵✳✷✸✺✸✻ ❊st✐♠❛t❡ ✹✳✶✻✸✷✶ ✲✵✳✸✶✺✶✵ ✲✶✳✷✺✷✽✵ ✵✳✶✾✺✹✼ ❙t❞✳ ❊rr♦r ✵✳✷✾✽✵✾ ✵✳✵✺✹✻✺ ✵✳✵✻✷✵✽ ✵✳✵✺✵✷✹ ③ ✈❛❧✉❡ ✲✶✵✳✽✸✽ ✻✳✸✸✼ ✶✺✳✾✸✶ ✲✽✳✹✵✺ Pr✭> |z|✮ ❁ ✷❡✲✶✻ ✷✳✸✹❡✲✶✵ ❁ ✷❡✲✶✻ ❁ ✷❡✲✶✻ ❝ ✷✵✶✾ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❞✈❛♥❝❡❞ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✭❏❆❊❈✮ ❱❖▲❯▼❊✿ ✸ ❉❛t❛ ❙❡t ❚r❛✐♥✐♥❣ ❱❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❚❡st M1 ✷✽✻✾✳✽✸✺ ✶✵✶✸✳✹✵✹ ✾✶✽✳✷✷✺✸ ❚❛❜✳ ✺✿ ❉❛t❛ ❙❡t ❚r❛✐♥✐♥❣ ❱❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❚❡st ▼♦❞❡❧ M1 ✈s M2 M1 ✈s M3 M2 ✈s M3 ✷✾✹✸✳✺✺✻ ✶✵✷✽✳✸✽✸ ✾✹✺✳✽✺✼ ❘❡s✉❧ts ♦❢ ❆■❈✳ M1 M2 M3 ✸✷✵✻✳✸✶✷ ✶✶✼✻✳✶✶✽ ✶✵✹✺✳✽✶✾ ✷✾✻✽✳✹✻✷ ✶✵✹✽✳✾✶✻ ✾✻✻✳✹✹✹✶ ❘❡s✉❧ts ♦❢ ❇■❈✳ P✲✈❛❧✉❡ ✽✳✹✹❡✲✶✵ ✶✳✾✾❡✲✵✺ ✶✳✵✵ ❱ ✻✳✵✸ ✹✳✶✶ ✲✺✳✶✹ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ M1 M1 M3 ❘❡s✉❧ts ♦❢ ❱✉♦♥❣✬s t❡st ♦♥ tr❛✐♥✐♥❣ ❞❛t❛✳ ▼♦❞❡❧ M1 ✈s M2 M1 ✈s M3 M2 ✈s M3 ❚❛❜✳ ✽✿ M3 ✸✶✽✶✳✹✵✻ ✶✶✺✺✳✺✽✹ ✶✵✷✺✳✷✸✷ ✷✽✾✹✳✼✹✶ ✶✵✸✸✳✾✸✼ ✾✸✽✳✽✶✷✹ ❚❛❜✳ ✻✿ ❚❛❜✳ ✼✿ M2 | ■❙❙❯❊✿ ✶ | ✷✵✶✾ | ▼❛r❝❤ P✲✈❛❧✉❡ ✺✳✹✷❡✲✵✻ ✵✳✶✵ ✶✳✵✵ ❱ ✺✳✸✼ ✶✳✷✽ ✲✺✳✵✶ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ M1 M1 ≈ M3 M3 ❘❡s✉❧ts ♦❢ ❱✉♦♥❣✬s t❡st ♦♥ ✈❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❞❛t❛✳ ▼♦❞❡❧ M1 ✈s M2 M1 ✈s M3 M2 ✈s M3 ❚❛❜✳ ✾✿ P✲✈❛❧✉❡ ✹✳✵✸❡✲✵✽ ✵✳✵✷✸ ✶✳✵✵ ❱ ✹✳✹✵ ✷✳✽✸ ✲✸✳✼✾ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ M1 M1 M3 ❘❡s✉❧ts ♦❢ ❱✉♦♥❣✬s t❡st ♦♥ t❡st ❞❛t❛✳ ❉❛t❛ ❙❡t ❚r❛✐♥✐♥❣ ❱❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❚❡st M1 ✵✳✸✶✹✺ ✵✳✸✹✽✽ ✵✳✷✽✶✶ ❚❛❜✳ ✶✵✿ ❉❛t❛ ❙❡t ❚r❛✐♥✐♥❣ ❱❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❚❡st M2 ✵✳✸✶✵✵ ✵✳✸✹✶✻ ✵✳✷✽✷✼ M3 ✵✳✸✶✹✺ ✵✳✸✹✽✽ ✵✳✷✽✷✼ ❘❡s✉❧ts ♦❢ ▼❙❊✳ M1 ✵✳✽✾✻✽ ✵✳✾✵✹✷ ✵✳✾✵✻✸ M2 ✵✳✽✾✸✸ ✵✳✽✾✽✻ ✵✳✾✵✹✼ M3 ✵✳✽✾✻✽ ✵✳✾✵✹✷ ✵✳✾✵✹✼ ❚❛❜✳ ✶✶✿ ❘❡s✉❧ts ♦❢ ❛❝❝✉r❛❝②✳ ✧❚❤✐s ✐s ❛♥ ❖♣❡♥ ❆❝❝❡ss ❛rt✐❝❧❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥❞❡r t❤❡ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❈r❡❛t✐✈❡ ❈♦♠♠♦♥s ❆ttr✐❜✉t✐♦♥ ▲✐❝❡♥s❡✱ ✇❤✐❝❤ ♣❡r♠✐ts ✉♥r❡str✐❝t❡❞ ✉s❡✱ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ❛♥❞ r❡♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ❛♥② ♠❡❞✐✉♠ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✇♦r❦ ✐s ♣r♦♣❡r❧② ❝✐t❡❞ ✭❈❈ ❇❨ ✹✳✵✮✳✧ ✸✵✸ ... t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✿ exp − AICc(k) ❍❛♥ ❬✽❪ ♣r❡s❡♥t❡❞ ♠✉❧t✐♣❧② r♦❜✉st ❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐♥ , ✭✽✮ AICw(k) := R r❡❣r❡ss✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ✇✐t❤ ♠✐ss✐♥❣ ❞❛t❛ ✇❤❡r❡ t❤❡ exp − AICc(i) ■P❲ ❛♥❞ ▼■ ♠❡t❤♦❞ ❛r❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞... t❤❡ str♦♥❣❡st ♠♦❞❡❧✳ • ❊✈✐❞❡♥❝❡ r❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ Mk ✐s ❞❡t❡r✲ ♠✐♥❡❞ ❜② ER(k) := AICw❜❡st , AICw(k) ✭✾✮ ✇❤❡r❡ AICw❜❡st ✐s t❤❡ ❆■❈ ✇❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ ❜❡st ✭tr✉❡✮ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤✐s r❛t✐♦ ♠❡❛s✉r❡s ❤♦✇ ❞❡❝✐s✐✈❡... ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤❡ AICw(k) ✐s t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ Mk ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ♦t❤❡r ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ♠♦❞❡❧s✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❤❛s t❤❡ ❤✐❣❤❡st AICw ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s t❤❡ str♦♥❣❡st