SKKN Phương pháp giải các dạng tích phân

báo cáo kết nghiên cứu ứng dụng sáng kiến I Lí chọn đề tài Giới thiệu Phép tính tích phân nội dung chủ yếu ch-ơng trình toán THPT, phép tính giải tích Vì vậy, việc học tốt nội dung cần thiết em học sinh Phép tính tích phân giúp giải lớp toán tính diện tích thể tích vật thể, toán giới hạn Từ đó, ta thấy đ-ợc tầm quan trọng toàn tích phân Cho đến nay, ph-ơng pháp giải dạng tích phân đ-ợc nghiên cứu đầy đủ sâu sắc Tuy nhiên, để có thêm tài liệu tham khảo cho học sinh, năm học 2016 - 2017, 2017 - 2018 tổng hợp lại số dạng tích phân ph-ơng pháp tính tích phân theo góc độ khác đề tài: Ph-ơng pháp tính số dạng tích phân ch-ơng trình THPT Năm học này, xin tiếp tục phát triển đề tài theo h-ớng tập hợp thêm tập trắc nghiệm ch-ơng đề tài Tên sáng kiến Ph-ơng pháp tính số dạng tích phân ch-ơng trình THPT Tác giả sáng kiến Họ tên: Địa chỉ: Số điện thoại: Email: II Mục đích nhiệm vụ Mục đích Với lí trên, đặt mục đích nghiên cứu trình bày sở lí thuyết ph-ơng pháp tính tích phân theo dạng hàm số, có ví dụ minh hoạ, cuối đ-a số tập đề nghị Nhiệm vụ Nhiệm vụ thực đề tài là: - S-u tầm nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan đến vần đề đề tài - Xây dựng đề c-ơng tổng quát đề c-ơng chi tiết - Thực nội dung nghiên cứu đề tài: tập hợp trình bày xác kiến thức liên quan đến tích phân ph-ơng pháp giải - Thông qua nội dung nghiên cứu đề xuất h-ớng pháp triển đề tài III Ph-ơng pháp nghiên cứu - Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết: Tập hợp, s-u tầm nghiên cứu tài liệu, quán hoá trình bày hoàn chỉnh nội dung kiến thức liên quan đến đề tài - Ph-ơng pháp thảo luận nhóm, tham khảo ý kiến chuyên gia IV Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài đ-ợc trình bày thành ba ch-ơng Ch-ơng kiến thức liên quan: trình bày số kiến thức liên quan nh- nguyên hàm, công thức nguyên hàm, số ph-ơng pháp tính nguyên hàm, định nghĩa tích phân xác định, tính chất ph-ơng pháp tính Ch-ơng hai trình bày nội dung đề tài ph-ơng pháp giải số dạng tích phân xác định nh-: Tích phân hàm hữu tỉ, Tích phân hàm vô tỉ, Tích phân hàm l-ợng giác, Tích phân hàm siêu việt, Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối Ch-ơng ba số tập trắc nghiệm theo h-ớng đề thi Mục lục Bảng chữ viết tắt KiÕn thøc liªn quan 1.1 Nguyªn hàm tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định) 1.1.3 Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm 10 1.2 Tích phân xác định 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 TÝnh chÊt 17 b f (x)dx 1.2.3 Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I = 17 a Ph-ơng pháp giải số dạng tích phân xác định 20 2.1 Tích phân hàm hữu tỉ hàm hữu tỉ hóa 20 2.1.1 Ph-ơng pháp phân tích, sử dụng nguyên hàm 20 2.1.2 Ph-ơng pháp đổi biến số 23 2.1.3 Ph-ơng pháp tích phân phần 25 2.2 Tích phân hàm vô tỉ 26 2.2.1 Sử dụng nguyên hàm 26 2.2.2 Ph-ơng pháp đổi biến 27 2.2.3 Ph-ơng pháp tích phân phần 30 2.3 TÝch ph©n cđa hàm l-ợng giác 31 2.3.1 Biến đổi, sử dụng nguyên hàm 32 2.3.2 Ph-ơng pháp đổi biến 35 2.3.3 Ph-ơng pháp phần 37 2.4 TÝch ph©n hàm siêu việt 39 2.4.1 Biến đổi, sử dụng nguyên hàm 39 2.4.2 Ph-ơng pháp đổi biến 40 2.4.3 Ph-ơng pháp tích phân tõng phÇn 41 2.5 Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối 43 Mét sè bµi tập trắc nghiệm 47 3.1 Đề thi minh họa năm 2017 47 3.2 Đề thi thử nghiệm năm 2017 47 3.3 §Ị thi tham khảo năm 2018 48 3.4 Một số tập khác 49 Kết luận h-ớng phát triển đề tài 60 Tài liệu tham khảo 61 Bảng chữ viết tắt Viết tắt Nội dung ĐH, CĐ Đại học, Cao đẳng TCCN Trung cấp chuyên nghiệp THPT Trung học phổ thông NXB Nhà xuất SGK Sách giáo khoa GD Giáo dục GV Giáo viên Ch-ơng Kiến thức liên quan 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 Nhắc lại khái niệm vi phân Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x (a; b) Cho x số gia ∆x cho: x + ∆x ∈ (a; b) Khi ta gọi tích f (x)x y x vi phân hàm số y = f (x) x øng víi sè gia ∆x vµ kÝ hiƯu lµ dy hc df (x) Nh- vËy ta cã: dy = y ∆x (1); hc df (x) = f (x)∆x (1 ) Mặt khác, với y = x ta có dy = dx = x ∆x ⇔ dx = ∆x (2) Thay (2) vào (1) (1'), ta đ-ợc: dy = y dx (3); hc df (x) = f (x)dx (3 ) 1.1.1.2 Định nghĩa nguyên hàm a) Định nghĩa Hàm số F (x) đ-ợc gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) F (x) = f (x), x (a, b) b) Định lý (Ta thừa nhận định lý này) Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) thì: i) Với số C, F (x) + C nguyên hàm f (x) khoảng ii) Ng-ợc lại, G(x) nguyên hàm f (x) khoảng (a.b) viết G(x) = F (x) + C (C = const) Khi ®ã: {F (x) + C, C R} đ-ợc gọi họ nguyên hàm f (x) khoảng (a; b) c) Tính chất Tính chất Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x), H(x) nguyên hàm hàm số h(x) thì: i) F (x) + H(x) nguyên hàm hàm số f (x) + h(x) ii) F (x) H(x) nguyên hàm hµm sè f (x) − h(x) TÝnh chÊt NÕu F (x) nguyên hàm hàm số h(x), k số thực kF (x) nguyên hàm hàm số kf (x) Tổng quát: k1 , k2 , , kn số thực F1(x), F2 (x), , Fn (x) lần l-ợt nguyên hàm hàm số f1 (x), f2 (x), , fn (x) k1 F1(x)k2 F2(x)ã ã ã kn Fn (x) nguyên hàm hàm số k1 f1(x) k2 f2(x) ± · · · ± kn fn (x) 1.1.1.3 Định nghĩa tích phân bất định a) Định nghĩa Họ nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) gọi tích phân bất định hàm f (x) KÝ hiÖu: f (x)dx = F (x) + C, ®ã: f (x)dx Nh- vËy, ta cã: C số tuỳ ý dấu tích phân bất định f (x) Hàm số d-ới dấu tích phân bất định f (x)dx biểu thức vi phân d-ới dấu tích phân bất định Chú ý Họ nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) tích phân bất định f (x) khoảng b) Tính chất Giả sử F (x) nguyên hàm hàm số f (x) Khi đó, ta có: F (x)dx = F (x) + C d f (x)dx = f (x)dx [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx f (x)dx = f (x) kf (x)dx = k f (t)dt = F (t) + C ⇒ n f (x)dx ki fi (x)dx = f (u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C n i=1 ki fi (x)dx i=1 c) Sù tån t¹i nguyên hàm Ta thừa nhận định lí: Mọi hàm số f (x) liên tục [a; b] có nguyên hàm đoạn Chú ý Để tính f (x)dx ta phải tìm hàm số cho đạo hàm f (x) 1.1.2 Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định) 1.1.2.1 Bảng họ nguyên hàm dx = x + C xα dx = xα+1 + C (α = −1) α+1 dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C ax + C (0 < a = 1) a dx = ln a x cos xdx = sin x + C sin xdx = − cos x + C dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x Bảng 1.1.2.2 Các họ nguyên hµm më réng uα+1 + C (α = −1) u u dx = α+1 u dx = ln |u| + C (u = 0) u 1 dx = ln |ax + b| + C (a = 0) ax + b a eax+b dx = eax+b + C (a = 0) a cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a 1 dx = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 cot(ax + b) + C dx = − a sin2(ax + b) α B¶ng 1.1.3 Mét sè ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm Cơ sở lý thuyết ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm ta tìm cách đ-a nguyên hàm nguyên hàm (hoặc mở rộng) đ-ợc trình bày phần 1.1.2 Trong phần này, ph-ơng pháp đ-a một, hai ví dụ minh hoạ Chúng ta, nghiên cứu ph-ơng pháp ch-ơng Ph-ơng pháp Biến đổi, áp dụng công thức họ nguyên hàm Ph-ơng pháp ta dùng với tập bản, ta dùng phép biến đổi thông th-ờng để đ-a nguyên hàm Ví dụ Tính họ nguyên hàm sau: a) c) (2x + 5)4 dx e2x dx e2x + b) d) sin3 x cos xdx (ln x + 3)2 dx x Gi¶i 10 a) Ta cã: (2x + 5)4 dx = = 1 (2x + 5)5 (2x + 5)4 d(2x + 5) = +C 2 (2x + 5)5 +C 10 sin4 x +C b) Ta cã: sin x cos xdx = sin xd(sin x) = d(e2x+3 ) e2x dx = c) Ta cã: = ln(e2x + 3) + C 2x 2x+3 e +3 e (ln x + 3)2 (ln x + 3)3 d) Ta cã: dx = (ln x + 3) d(ln x + 3) = +C x Ph-ơng pháp Xác định họ nguyên hàm ph-ơng pháp phân tích 3 Ph-ơng pháp phân tích thực chất dùng đồng thức để biến đổi biểu thức d-ới dấu tích phân thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận đ-ợc từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Ph-ơng pháp chung: n B-ớc 1: Biến đổi f (x) dạng f (x) = αi fi (x)dx i=1 ®ãfi (x) cã nguyên hàm bảng công thức i = const (i = 1, n) B-íc 2: ¸p dơng tính chất tích phân bất định Ta có: n f (x)dx = n αi fi (x)dx = i=1 αi fi (x)dx i=1 x(1 − x)2007dx VÝ dô Tính họ nguyên hàm sau: I = Giải Sử dụng ®ång nhÊt thøc: x = − (1 − x) Ta đ-ợc: x(1 x)2007 = [1 (1 x)](1 − x)2007 = (1 − x)2007 − (1 − x)2008 Khi ®ã, ta cã: I= = x(1 − x)2007dx = (1 − x)2007dx − (1 − x)2008d(1 − x) − (1 − x)2008 dx (1 − x)200d(1 − x) (1 − x)2009 (1 − x)2008 − +C = 2009 2008 11 Ch-ơng Một số tập trắc nghiệm 3.1 Đề thi minh họa năm 2017 Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 2x − √ 1√ B f (x)dx = − 2x − + C A f (x)dx = (2x − 1) 2x − + C 3 √ 1√ C f (x)dx = (2x − 1) 2x − + C D f (x)dx = 2x − + C π C©u 25 TÝnh tÝch ph©n I = cos3 x sin xdx A I = − π 4 B I = −π C I = D I = − e C©u 26 TÝnh tÝch ph©n I = x ln xdx 1 A I = e2 − B I = e2 + C I = e2 − D I = 3.2 Đề thi thử nghiệm năm 2017 Câu 22 Tìm nguyên hµm cđa hµm sè f (x) = cos 2x 1 B f (x)dx = − sin 2x + C A f (x)dx = sin 2x + C 2 C f (x)dx = sin 2x + C D f (x)dx = −2 sin 2x + C C©u 23 Cho hàm số f (x) có đạo hàm đoạn [1; 2], f (1) = vµ f (2) = 47 TÝnh I = f (x)dx A I = B I = −1 C I = Câu 24 Biết F (x) nguyên hàm cđa hµm f (x) = D I = vµ F (2) = x−1 TÝnh F (3) A F (3) = ln − B F (3) = ln + C F (3) = D F (3) = C©u 25 Cho f (x)dx = 16 TÝnh I = f (2x)dx A I = 32 B I = C I = 16 D I = 4 dx = a ln + b ln + c ln Với a, b, c sè nguyªn x +x TÝnh S = a + b + c C©u 26 BiÕt A S = B S = C S = −2 D S = 3.3 Đề thi tham khảo năm 2018 C©u 19 TÝch ph©n A 16 225 dx b»ng x+3 B log C ln D 15 √ √ dx √ = a − b c Với a, b, c số √ (x + 1) x + x x + nguyên d-ơng Tính P = a + b + c C©u 32 BiÕt A S = 24 B S = 12 C S = 18 D S = 46 Câu 50 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 1 1 f (1) = 0, [f (x)]2 dx = 7, x2 f (x)dx = TÝch ph©n f (x)dx b»ng 0 A B C D 48 3.4 Một số tập khác Câu 1: Cho tích phân I   x x  1dx Khẳng định sau sai: 32 C I  u B I  27 A I   udu D I  3 Câu 2: Giá trị trung bình hàm số y  f  x   a; b , kí hiệu m  f  b tính theo cơng thức m  f   f  x  dx Giá trị trung bình hàm số b  a a f  x   sinx  0;  là: A B   Câu 3: Cho C   2 0 D    f  x  dx  Khi   f  x   2sin x .dx bằng: A   B  Câu 4: Giả sử  C 4 D  f ( x)dx  2,  f ( x)dx  3,  g( x)dx  khẳng định sau sai ? A   f ( x)  g  x   dx  C 4  f ( x)dx   g( x)dx B  f ( x)dx   g( x)dx  f ( x)dx  D 0   I2   Câu 5: Cho I1   cos x 3sin x  1dx 0 Phát biểu sau sai? 14 A I1  B I1  I khác sin x dx (sinx  2) 3 C I  2ln  2 D Đáp án  Câu 6: Cho tích phân I   sin x 1  cos2 x  dx đặt t  cosx Khẳng định sau sai:  sin x dx A I   cos x 1 dt B I   41t 1 C I   t 3 12 D I  12 49 ( x  1)d x Câu 7: Cho   a  b Khi a  b bằng: x2  x  B C A D x 1 1 x dx  e Khi đó, giá trị a là: e B e C a Câu 8: Cho A 1 e  Câu 9: Cho tích phân I   A sin x  2 cos x   B 2  a D 2 1 e , với   I bằng: C D   sin x  sin x  cos x dx  Giá trị a Câu 10: Cho     B C D Câu 11: Giả sử A, B số hàm số f ( x)  Asin( x)  Bx Biết A  f ( x)dx  Giá trị B f '(1)  B Một đáp số khác C A Câu 12: Tính tích phân: I   a  ab  3b là: A D dx kết I  a ln3  b ln5 Giá trị x 3x  B C D x 1 b dx  a ln  ? x2 c 1 C a  b  2c  10 D ab  c  Câu 13: Khẳng định sau sai kết B ac  b  A a.b  3(c  1)  x3 dx  0 x4  a ln ? C a  D a  Câu 14: Khẳng định sau kết A a  B a  Câu 15: Cho f ( x) hàm số chẵn liên tục thỏa mãn  f ( x)dx  Khi 1 giá trị tích phân  f ( x)dx là: A B C D 50 Câu 16: Giả sử dx  x   a  lnb Giá trị a,b ? A a  0; b  81 B a  1; b  C a  0; b  D a  1; b  3ea  Câu 17: Khẳng định sau kết  x ln xdx  ? b A a.b  64 B a.b  46 C a  b  12 D a  b  e  ea  Câu 18: Cho  e sin x d x  Khi sin a  cos2a b A B C x Câu 19: Với a  , giá trị tích phân sau A ln a2 2a  B ln a2 a 1 dx 0 x  3x  C ln x Câu 20: Biến đổi  dx thành   x hàm hàm số sau? A f (t )  2t  2t B f (t )  t  t D a a2  a  1  f (t )dt , với t  D ln a2 2a  1  x Khi f (t ) C f (t )  t  t D f (t )  2t  2t Câu 21: Cho n  enx xdx  (e  1)(e  1) Giá trị n A B C D 3x  x  dx  a ln  b Khi đó, giá trị a  2b là: x2 1 B 40 C 50 D 60 Câu 22: Giả sử I   A 30 Câu 23: Biết tích phân 2x    x dx = aln2 +b Thì giá trị a là: A B C Câu 24: Cho đồ thị hàm số y = f(x) đoạn [0;6] hình vẽ D y y = f(x) O x 51 Biểu thức có giá trị lớn nhất: A  f ( x)dx B Câu 25: Biết  f ( x)dx C  f ( x)dx 3 2 D  f ( x)dx  f ( x)dx  5;  f ( x)dx  Tính  f ( x)dx ? B 2 A C D Câu 26: Tính tích phân sau: I   x a  x dx A Cả đáp án B 2a  C a   2a 3 D  2a 3 0  x2 dx = a giá trị a 1 A B C 12 Câu 28: Nếu  dx  ln  m  m x 1 x     A 12 B C Câu 27: Biết tích phân Câu 29: Bằng cách đổi biến số x  2sin t tích phân A  dt B   C dt  D 12 D dx 4 x  là:  D tdt   dt t ln m e x dx Câu 30: Cho A   x  ln Khi giá trị m là: e  A m = 0; m = B Kết khác C m = Câu 31: Tìm khẳng định sai khẳng định sau:   x A  sin dx   sin xdx 0 B  (1  x) x dx  0 1 C  sin(1  x)dx   sin xdx D m = D x 1 2007 (1  x)dx  2009 Câu 32: Cho f ( x) hàm số chẵn  f ( x)dx a chọn mệnh đề 3 52 A  f ( x)dx   a B  f ( x)dx 2a 3 C  f ( x)dx a D 3  f ( x)dx a Câu 33: Cho 0 2  f  x dx  f  x  hàm số chẵn Giá trị tích phân  f  x dx là: A -2 B e Câu 34: Hàm số f ( x)  C -1 D 2x  t ln tdt e đạt cực đại x x A  ln B C ln Câu 35: Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai?  0 A  sin xdx   dx  D  ln   2  B  sin xdx   cos tdt   2 12 C  sin xdx   sin  x  1 d sin  x  1 D  sin xdx   sin tdt 80  0 x Câu 36: Tích phân:  (3x  e ).dx = a + b.e Khi a + 5b A C 13 B 18 Câu 37: Giả sử  A D 23 dx  ln c Giá trị c 2x  B C D 81  Câu 38: Cho I   sin n x cos xdx  A B Khi n bằng: 64 C D a Câu 39: Biết  (4sin x  )dx  giá trị a  (0; ) là: A a   B a  Câu 40: Tích phân 1  A a     2  a   x dx ax  2 B a     C a   1  C a     2  D a     2 D a     53  Câu 41: Cho tích phân I   sin x.esin x dx :.một học sinh giải sau: x 0t 0 Bước 1: Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận: x   t 1  I  2 t.et dt  u t du  dt Bước 2: chọn   t t dv  e dt  v  e 1 1 0   t.et dt  t.et   et dt  e  et  1 Bước 3: I  2 t.et dt  Hỏi giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Bài giải sai từ bước B Bài giải sai từ bước C Bài giải hoàn toàn D Bài giải sai bước Câu 42: Nếu f ( x) liên tục A 0  f ( x)dx  10 ,  f (2 x)dx bằng: B 29 C 19 D Câu 43: Cho tích phân I   x  dx , kết sau: (I) I    x   dx    x   dx (II) I      dx    x   dx x (III) I  2  x   dx kết đúng? A Chỉ II B Chỉ III C Cả I, II, III D Chỉ I  , đó, giá trị a  b là: 3 A  B C  D 5 10 Câu 45: Cho hàm số y = f(x) liên tục triệt tiêu x = c [a; b] Các kết sau, câu đúng? Câu 44: Giả sử I   sin 3x sin xdx  a  b b A  a b f ( x) dx   f( x)dx  a B a b C b c f ( x) dx  a b a c f ( x) dx   f( x) dx   f( x) dx b  f( x) dx   f ( x)dx a  c D A, B, C a 54 Câu 46: Khẳng định sau sai kết   1 (2 x   sin x ) dx      1 ? 0  a b A a  2b  B a  b  C 2a  3b  D a  b  2 x  ln x ln 2 Câu 47: Biết  , a tham số Giá trị tham số a dx   x A B C -1 D a  a dx  Mệnh đề sau đúng? cos x A a số chẵn B a số lớn C a số nhỏ D a số Câu 48: BIết:  lẻ Câu 49: Tìm khẳng định sai khẳng định sau   x A  sin dx   sin xdx 0  B  e x dx        C  sin  x   dx   cos  x   dx 4 4   0 1 e D  sin(1  x)dx   sin xdx 0 Câu 50: Giả sử A dx 1 x   ln c Giá trị c là: B C 81 D   2 Câu 51: Cho hai tích phân I   sin xdx J   cos xdx Hãy khẳng định 0 đúng: A I  J C I  J B I  J D Không so sánh Câu 52: Cho tích phân I   t dt A I    t 1  x2 dx Nếu đổi biến số t  x2 t dt B I   t 1 2 tdt C I   t 1 x2  x tdt t 1 D I   2 Câu 53: Cho I   x x  1dx u  x  Chọn khẳng định sai khẳng định sau: A I   udu B I   udu 32 C I  u 3 D I  27 55 a Câu 54: Biết  sin x cos xdx  Khi giá trị a   2  A B C D 3 dx Câu 55: Một học sinh tính tích phân I   sau:  ex e x dx (I) Ta viết lại I   x x e 1  e  e e e e du du du (II) Đặt u  e I       ln u  ln  u  u (1  u ) u 1  u e (III) I  ln e  ln(e  1)  ln1  ln   ln e 1 Lý luận trên, sai sai từ giai đoạn nào? A III B I C II D Lý luận x Câu 56: Giả sử b b c a c a  f ( x)dx  2,  f ( x)dx  với a  b  c  f ( x)dx bằng? C 1 B A D 5 Câu 57: Hàm số y  tan x nhận hàm số nguyên hàm? A 2tan 2x  x B tan x  x C tan 2x  x D tan x  x e2016 Câu 58: Tích phân  cos(ln x).dx =   m.e2016 Khi giá trị m: 1 A m   B m  C m  D m  1 2  Câu 59: Với a  Giá trị tích phân A  a2 B Câu 60: Cho  e3 x d x  A a  b  2a  x sin  ax  dx  a2 C a2 D  a   2a ea  Khi khẳng định sau b B a  b C a  b D a  b t Câu 61: Với t thuộc (-1;1) ta có x dx   ln Khi giá trị t là: 1 2 56 B  A 1/3 Câu 62: Nếu A 2 D 1/2 C d d b a b a  f ( x)dx  ;  f ( x)dx  , với a  d  b  f ( x)dx bằng: B C D  Câu 63: Tính I   (2 x  1)sin xdx Lời giải sau sai từ bước nào: Bước 1: Đặt u = 2x + 1; dv = sin2xdx Bước 2: Ta có du = dx; v = cos2x     Bước 3: I  (2 x  1)cos x |02   2cos xdx  (2 x  1)cos x |02 2sin x |02 Bước 4: Vậy A Bước B Bước C Bước D Bước b Câu 64: Biết   x  dx  , b nhận giá trị bằng: A b  b  B b  b  C b  b  b4 2x  1 x  dx  a  b ln Tổng a  b bằng: B C -3 D b  Câu 65: Tích phân A 1 Câu 66: Với a  Tích phân  2x a a  x  a2  B a  a  1 A a D dx có giá trị C a 1 a  a  1 D a 1 a 1 Câu 67: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? dx A    x2  C 1 x b B Nếu  f  x  dx  f  x   0,  x a;b a C b c b a a c  f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx với a, b, c thuộc TXĐ f  x  D Nếu F(x) nguyên hàm f(x) f  x F  x  nguyên hàm hàm số 57 Câu 68: Cho biết I   trị a  b A 11 x  11 a dx  ln , với a, b số nguyên dương Giá x  5x  b B 12 C 10 D 13  dx Câu 69: Cho I   , J    sin x  cos x  dx K    x  3x  1 dx 1 3x  63 Tích phân có giá trị ? A I B K C J D J K Câu 70: Nếu 9 0  f ( x)dx  37  g( x)dx  16   f ( x)  3g( x) dx bằng: A 122 B 74 Câu 71: Nếu A 1 C 48 3  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx có giá trị B Câu 72: Cho D 53 C D 12 a  b  sin x  b  f ( x)  với a,b số thực Tìm nguyên hàm F(x) sin x       f(x) biết F    ; F    0; F    4 6 3 3 A F  x   B F  x    tanx-cotx    tanx+cotx   4 3 C F  x   D F  x    tanx-cotx    tanx+cotx   4 dx  a ln  b ln  c Khi a  2b  4c  x A B C D Câu 74: Tính số A B để hàm số f ( x)  Asin  x  B thỏa mãn đồng Câu 73: Cho x thời điều kiện f '(1)   f ( x)dx  2 A A   , B  B A  , B    A  2, B  C A  2, B  2 D Câu 75: Tìm a cho I   [a +(4 - a)x + 4x ]dx = 12 A Đáp án khác B a = - C a = D a = 58 Câu 76: Giả sử k  dx  x k A  ln(2  3) Giá trị k C B D 1 Câu 77: Biết tích phân  (2 x  1)e x dx  a  b.e , tích ab bằng: A B -1 C -15 D  cot x cot x    Câu 78: Biết x   ;  dx Kết luận   Gọi I   x  x  4 3  sau ? I A 12 B 1 I 1 I D C m  1, m  6 D C I 12 m Câu 79: Tìm m biết   x  5.dx  A m  1, m  m  1, m  B m  1, m  6  Câu 80: Nếu đặt t  cos2 x tích phân I    2sin x  1 sin xdx trở thành: 4 A I  t dt 0 B I  t dt 0 C I   t 5dt D I   t dt 59 kết luận h-ớng phát triển đề tài - Với hai ch-ơng đề tài, đề tài giải đ-ợc mục đích nhiệm vụ đặt nghiên cứu, s-u tầm tài liệu, quán hoá trình bày sở lý luận, ph-ơng pháp giải số dạng tích phân theo loại hàm số Đề tài đ-a đ-ợc ví dụ minh hoạ, tập trắc nghiệm ch-ơng - Với nội dung đ-ợc trình bày đề tài, mong muốn tài liệu tham khảo hữu ích cho em học sinh lớp 12, em ôn thi CĐ - ĐH, ng-ời yêu thích vấn đề - Đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến quý báu để đề tài đ-ợc hoàn thiện xác nhận thủ tr-ởng đơn vị Vĩnh T-ờng, ngày 20 tháng 12 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ng-ời khác Hạ Trọng Liên 60 Tài liệu tham khảo [1] Th.s Lê Hồng Đức Ph-ơng pháp giải toán luyện thi Đại học, tập NXB Hà Nội, 2004 [2] Nhóm GV chuyên Toán tr-ờng THPT thành phố Hồ Chí Minh Phân loại ph-ơng pháp giải toán tích phân NXB trẻ, 2001 [3] Phan Huy Khải Giới thiệu dạng toán luyện thi Đại học phần II NXB Hà Nội, 2002 [4] Ngô Thúc Lanh (chủ biên) SGK Giải tích 12 (chỉnh lí hợp năm 2000) NXB GD [5] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (chủ biên) SGK Giải tích 12 NXB GD 2008 [6] Nguyễn Xuân Liêm Giáo trình giải tích tập 1, NXB GD, 2000 [7] Bộ GD ĐT Đề thi minh họa năm 2017 61