Summary of doctoral thesis in mathematics: Stability and stabilization for some evolution equations in fluid mechanics

Purpose of thesis: Resear h thesis on the problem: The stability and stabilization of some evolution equations appear in fluid mechanics.

ặậèấ ầ ặầ ẩ ặ ậè è ặ ậè ẫ ầ ấ ầ ặ èấ ặẻ è è èầặ é ỉí ỉ ể ậ ặ ẻ èầặậ ặ ậễ èầặ ặặ ấậè ắ ặ ầấ ậầ ẹ ỉ é ặ ẻầèầặ ậ ề éíì ì ẳẵ ẳắ ầ èầấ è ậậ ặ è ặể ắẳẵ ÌÁ Ë Ì × Ø × × × Ị ĨĐƠÐ Ø Ø Ø À º ÙỊ ỈĨ È Ĩ Ð ề ệì ỉí ắ ậ ềỉ ấ ệ ẵ ấ ệ ắ ấ ệ è ỉ Ú ×ĨƯ × × × ×× ××Đ ỊØ ××Ĩ ºÈƯĨ º È ÐÐ ĨÙỊ Ð Ị Ø Ø Ø À ỈĨ È Ì Ị ÍỊ Ú Ư× ØÝ Ð Ú Ð è ể ì ì é ề ệì ỉí ắ ĨỊººººººº Ì Ø × × Ị ĨÙỊ Ĩ À Ị Ø ỈĨ È Ỉ Ø ĨỊ Ð Ä Ĩ Ư ệí ề é ề ệì ỉí ắ ỉ ệ ệí ặèấầ ẵ ầèẻ èầặ ẩ ệỉ ỉ é ặ ệ ềỉ ể ễ íì é ề èầặ ậèầấ é ểéỉ ểề ểéể ầ è ế ỉ ểềì ễễ é ễệể ìì ìá ì éì ẹễểệỉ ềỉ ẹ ØØƯ Ø Ị ĨÐĨ ݺ Ì Ị Ị Û Ị × ×ƠƯ Ø Ư×Ø Ị Ị Đ ƠƠƯĨƠƯ Ø Ĩ Ø Ị ×× Ĩ × Ø Ø Ø × Ø ×ØÙ Ý Ĩ ĨƯƯ ×ƠĨỊ × ØĨ Ø ×ĨÐÙØ ĨỊ ể é ị ỉ ệ ề ề ễểễạ ế ỉ ĨỊ× Ð ×× Ø Ý Ù× Ị Ø ÙØÙƯ Ù×ØĐ ỊØ× ØĨ × Ø × Û Ý Ø ƠƯĨ Ð ẹá ì ỉ ééểì ệ ìéỉì ỉ ì ệ ề ề ìỉ é ỉí ìỉ ỉ ểề ệí ìểéạ ể ỉ ễệể ììá éé ễỉ ễệể é ẹ ẽ ễệể ìì ì ì ềểỉ ìỉ ỉ ẹạ ìỉ Ø ĨỊ ƯÝ ×Ø Ø ƠƠƯĨƠƯ × × Ø Ü ×Ø Ị Ị Ø ÝỊ Р׸ × Ị Đ ỉ éá ỉ ểệệ ìễểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ĨỊ× Ĩ Ø ØĨ ×Ø Ị × Ú ĨƯ Ĩ ×ĨÐÙØ ĨỊ׸ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ׺ ÁỊ Đ Ø Ị Ø ƠƯ ƠƠƯĨ Ø ĨỊ× Ư ×ƠĨỊ× × ỉ ềểéể í è éểề ạỉ ẹ ì ỉể ề ỉ ề ééạễểì ễểệỉ ềỉ ỉể ìỉ í Ø Ị Ị Ø ØƯ Ị× Đ Ø Å ØØ ỊØ ĨỊº Ø Ư ×ØÙ Ý Ị Ø ×ØÙ Ý ể ệ ệ ế ềỉéí ề ì ì ểềá ƠƯĨ ×× Ĩ Û Ú ØƯ Ị×Đ ×× ĨỊ Ị é é ỉ ểề ẹể ẩấầ ề é ỉíá ễ ểễé ểềỉệểéìá ểệ ì ề ỉệí ễễệểễệ ỉ ệ ề ểẹ ềể ì ề ệ ềỉ í ìỉ ệìá ×Ø ÜØ Ị× Ú ÐÝ Ĩ ỊĨỊÐ Ị Ư Ơ ệ é ỉí ểệ ặ ểé ệ é ìì × Ĩ ×Ý×Ø Đ× ×Ø ÐÐ ×Đ Ðк Ì Ù× ỉ ìì ỉà ệạậỉể ệ ỉ ệẹì ề ểềì ệ ệ ì ì ề ì ề ệ ề ệ ĨÐ ÙÐØ ỊØ Ư Ø ĨỊ ĨƯ ¸ Ø ØØ ỊØ ĨỊ Ð ×× × Ơ Ư Đ Ø Ð ×Ý×Ø Đ ĨƯ Ø ×ƠƯ ×ĨĐ Ị × × ƯĨĐ ìá ệí ểẹ ìỉ ềỉ ìỉì ặ ÕÙ Ø ĨỊ× Ị ×ĐĨĨØ Ị Ú ĨƯƯ ×ƠĨỊ Đ ×Ý×Ø Đº Ì Û ××Ù × ÕÙ Ø ĨỊ× Ị Û Đ Ø Ø Ị Ø ØØƯ Ø Ư ¿ é ị ỉ ểề ế ỉ ểềì ề é ểẹễé Ü ØÝ Ĩ ỊØ ƯỊ Ø ĨỊ Ð Đ Ø ệìỉá ẻể ỉ ề ềểềé ề ệệ ềỉ ề ể ìỉ ế ỉ ểềì ể ệá ỉ ìéỉì ểệ ểỉ ệ ề ệạậỉể ểề ìạẻể ểẹ ỉ ìểẹ Ø Đ × ÛƯ ØØ Ị Ị× Û Ø ĨĐĨ ề ểì ẵ ệ é ỉ ểề ệí ểề ỉ ĨỊ×   ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u + ∇p = f    ∇ · u =  u(x, t) =     u(x, 0) = u0 (x) ÁÒ ỉ ặ é ìỉ ệạậỉể ềẹ í ìạẻể ệ ể ẹ ỉ ỉ ệìá ẹ ỉ ậỉể ìạẻể ỊØ Ø ÛĨƯ × Ĩ à РỊØ ƯĨÚ ÊÙ Ĩ Ị ºÌº Ị Ị º Ê Ð ØÝ Ị Đ Ị× Ø Ø ×Ø O Ø Ị Ư Ⱥ̺ èệ ề ìễ ỉỉ ềỉ ểề ể ỉ ệạ ĩỉ ềì éí ầ é ẻ ệ ự ề ểá ẩ ệựềạ ể ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ề ỉ ểệ ì ể ắẳẵ àá ể ì ì ỉể ìỉ í ỉ é ị ỉ ểề ể ìỉệểề ặ ểệ ề ểề ắẳẵàá ặ ì ỉ Ú ĨƯ ¿ ĨÙỊ Û × ×ØÙ Đ Ĩ Ø ỉể éểề ạỉ ẹ í ệ ỉ ắẳẵ àá ề ề ẵà O ì R+ , ề ế é ØÝ Û × ỊÚ ×Ø Ị Û ĨÐ O × R+ , ỉỉệ ỉểệì ỉể ỉ é ắẳẵắà è ẩè èệ ề ắẳẵ è ìỉ ề ể ẩểé ỉ ắẳẳ àá ế ỉ ểềì ểề ỉ Ị ĨĐ ÈĨ Ị Ư Ị ĨỊ ØØƯ Ø Ü ×Ø Ị Ü ×Ø Ị Ø ÕÙ Ø ĨỊ× Ị ÙØ × Ø × Ý Ị Ú Ị׺ Ì Ĩ ×ĨÐÙØ ĨỊ× Ị Ø ƯĐ× Ĩ O × R+ , Đ Ø Ð ÕÙ ×Ø ĨỊ× Ư Ð Ø ÕÙ Ø ĨỊ× Đ Ø Ị ºÌº Ị Àº ÜƠĨỊ ỊØ é ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ễệể é ẹ ẵà ặ ĩỉá ểềì ệ ỉ ểééể ề ắ gạặ u u + (u · ∇)u = ∇p + f   ∂t   ∇ · (gu) =   u(x, t) =     u(x, 0) = u0 (x), ề ỉ ễ ìỉ ỉ ìểéỉ ĨỊ× Ị Ø ƯĐ× Ĩ ÕÙ Ø ĨỊ× Ú Ü ×Ø Ị Ị ×ØÙ ỊĨỊ¹ ÙØĨỊĨĐĨÙ× × × ´× º ắ ề ể ề ĩ ìỉ ề Ĩ Ị Ú º Ï Ị Ω × R+ , Ị Ω × R+ , Ị Ị ÕÙ Ø ĨỊ× ì R , éểề ạỉ ẹ ắẳẵẵàá ểệ ể gạặ ểỉ ề ắà + ỉỉệ ỉểệì ểệ ắ è ì ề ểề ĩỉ ềì éí ề ệạậỉể ệạậỉể ỉểềểẹểì ì ề è ẫí ỉ ắẳẵắàá ề ề ẽ ề ắẳẵàá Àº ÃÛ Ị Ư Ø Ị Ư Ị × Ø ỉ ề ệ ỉể ẵà ề ấể ắẳẳ àá ềà ể ệá ỉ ề ìỉ ỉ ệ ệ ĩ ìỉ ề ề ế ề ìì ẽ ệ ệ ề ề ề è ể ắẳẵắàá ìỉ ÐÐ Đ ỊÝ ĨƠ Ị ××Ù × Ø ×Ý×Ø Đ ắàá ì ĩễểề ềỉ é ìỉ é ỉí ể ì ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ắà ậỉ é ị ỉ ểề ể ìỉệểề ậỉ é ị ỉ ểề ể éểề ạỉ ẹ ề ééíá ểềì ế Ø ĨỊ× Û Ø Ừ Ị Ø ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ׺ Ú ĨƯ Ĩ ×ĨÐÙØ ĨỊ׺ ĨÐÐĨÛ Ị ×ØÓ ∇ · (gu) = 0,     u(x, t) = 0,    u(x, t) = ϕ(x, t), Ü ×Ø Ị ËØĨ × Ư ÐÐĨ Ị ề é íì gạặ ắ ề ìỉ ẫí ỉ ắẳẵắàá ¸ Ø Ú x ∈ O, t > 0, x O, t > 0, ệ ệạậỉể ề ểá ấ × Ị Ð × ỊĨ Ư ×ÙÐØ ĨỊ Ø ×Ø ỉ ểệì ệệ ề ìỉ ểạ ỉ ềị ẻ é ệể ắẳẵẵàá é ỉí ể ìỉ ỉ ểề ệí ế Ø ĨỊ× Û Ø ĨÙØ»Û Ø Ị Ư ỊØ ÛĨƯ ì ì ệạ ề ắẳẵ ắẳẵ àá ề ắẳẵắàá ĩ ìỉ ề ééể ặ í ẹ ềí è ề è ẫí ỉ ắẳẵ àà ể ệá ỉể ỉ ệ x O, t > 0, ề ìỉ é ắẳẳẵá ắẳẳàá ể ắẳẵẵà è ềểé é íì ể ắẳẳ àá ệựềạấ ìểéỉ ểềì ØĨ Ø × F (u(t − ρ(t)))]dt Ð ØÝ Ĩ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× ØĨ ¾ ĨƯ Ị×Ø ề ấ ệựềạấ ẽ ề ìỉ ệìá ì Ư¹ËØĨ x ∈ O, t ∈ [−τ, 0], ÕÙ Ø ĨỊ× Û Ø Ị Ư ỊØ Ý Ị Ị Ú Ð Ý×   du = [ν∆u − (u · ∇)u − ∇p + f +     +G(u(t (t)))dW (t), è gạặ ìỉ ắ ề ìỉ ể è ểệ é ỉí ể ìểéỉ ểềì ỉể ễệể é ẹ ắ ẩấẩầậ ấ ì ể ìểẹ ệ ỉ ầ è ì ì ĨỊ Ø ÚĨÐÙØ ĨỊ ËÁË ƠƯĨ Ð Đ Ì ÕÙ Ø ĨỊ× ƠƠ ×Ø Ð ØÝ Ư Ị ÐÙ Đ ề ìỉ é ị ỉ ểề ề ì ầ è ặ ấ ì ệ ể éỉ ểề ậ ầẩ ầ ỉ è ìỉ ế ỉ ểềì ễễ ẹ ềì ểề é ặ ỉ ẹá ìỉể è é ỉí ệ ề ệạậỉể gạặ ìỉ ắ ậậ ề é é ị ỉ ểề ể ìểẹ ẹ ìạẻể ìỉ ề ìá ề ẹ éí gạặ ỉ ìíìỉ ẹá ệạậỉể ì ểạ ỉ ệ ệạậỉể ế ỉ ểềì ỉ ì ìíìạ ề ỉ é íì ấ ì ệ ì ểễ ểềỉ ềỉ ẵ è ệ ẹ ềì ểề é ặ ệạậỉể ìạẻể ỉ ìíìạ ĩễểề ềỉ é ìỉ é ỉí ỉ ẹ ẵà ĩ ìỉ ề ề ế ề ìì ể ìỉệểề ắà ậỉ ỉ ệ ề ễểệỉ é ệ ◦ ×ØƯĨỊ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× ỊØ ƯỊ é ềể ểệ í ìạ ểềỉệểé ỉ ẹéỉ ễé ỉ ềể ì ìễạ ể ì ềỉ ềỉ ềì ỉí ểềỉ ềỉ ắ ẵà ỉ ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì é ị ỉ ểề ể ề ề èểạ ẹ ềì ểề é ĩ ìỉ ề ề ế ề ìì ể ìỉệểề ắà ậỉ ỉ ỉ ĩễểề ềỉ ệạậỉể ì ìíìỉ ẹ é ìỉ é ỉí ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì é ị ỉ ểề ể ề ề gạặ ệ ề ễểệỉ é ệ ×ØƯĨỊ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× ỊØ ƯỊ Ð ềể ểệ ề ỉ í ìạ ểềỉệểé ỉ ìễạ ẹ ềì ểề é ểềỉệểé ậỉ é Þ Ø ĨỊ Ĩ ÐĨỊ ¹Ø Đ Ư ◦ Ø ểề ể ểềỉ ềỉ ỉ ẵà ề ỉ ìỉ ểì éé ỉ ề ềạỉ ẹ ậỉể gạặ ìỉ ắ ĩỉ ệề é ểệ ì ệạậỉể ì ÕÙ Ø ĨỊ× Ð Ý׺ Ü ×Ø Ị Ị Ø ểềì ỉể ỉ ắà è ểệ ể ìểéỉ ểềì ềạ ề ế ề ìì ể ìỉ ỉ ểề ệí ìểéạ ỉ ệẹ ề ìỉ ìíìỉ ẹ ĩễểề ềỉ Ð ×Ø ĐĨ×Ø ×ÙƯ ÜƠĨỊ ỊØ Ø ĨỊ× ØĨ Ø ×ØĨ Ð ØÝ Ð ×Ø ×Ø Ị Đ Ị ×ÕÙ Ư Ð ØÝ Ĩ ÕÙ Ø ĨỊ׺ Ø Û Ị éạ ìểéạ ấ ậ èể ìỉ í ỉ ỉ ấ èầ ĩ ìỉ ề ểẹễ ØỊ ×× ÌĨ ×ØÙ Ý Ø ÌĨ ×ØÙ Ý Ø ấ è ỉ ì ì ẩệể ề ểệí Ị ËØĨ ƠĨỪ ĨÐÐĨÛ Ị ÙỊ ÕÙ Ị ×× ËØĨ ểẹ ìạẻể ỉ ề ề ẩệể ề ỉ ỉ ệề Ð ÜƠĨỊ ỊØ Ø ĨỊ Ð ×Ø ×ØƯĨỊ Ø ĨỊ× ĨƯ ×Ø Ý Ý Ư Ị ĨĐ ỊĨ × ĨÙỊ ×ØƯĨỊ Ð Þ Ø ĨỊ ĨỊØƯĨÐ Û Ø ểệ ìễạ ặ ì ệ ệạ ểẹ ềì Ì Ị ÜƠĨỊ ỊØ Ð ×Ø Ø Ø ĨỊ× ĨƯ ĨỊØƯĨÐ× Û Ø Ø ×ÙƠƠĨỪ Ị ĨỊØƯĨÐ× ƠƯĨÚ Ị ÐĨỊ ¹Ø Đ Ý Ù× Ị ĨĐ Ø ÜØ ƯỊ Ð ểệ ì ểệ ắ ỉ ểềì ề ểẹ ềì è ì ệ ề ỉ gạặ ỉ éạ ề ề ểề ểệ ề ểì éé ỉ ề ềạỉ ẹ ĨÙỊ ĨỊ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× Ð Þ Ø ĨỊ Ĩ Ð ØÝ Ĩ Ờ Ư ¾º Đ Ị× ĨỊ Ð ×Ø Ị ÐÝ× ×º ×Ø Ø ểề ệí ìểéỉ ểềì ễệể ề é ị ỉ ểề ể ề ệ ìéỉì ĩ ìỉ ề ề ÕÙ Ị ×× ØÝ Ĩ ×ØƯĨỊ ×Ø Ị ÕÙ Ø ểềì ề ì ểềỉ ềỉì ể ìểéỉ ểềì ẹ Ø Ĩ × Ĩ Å Ø ×Ø Đ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× Ị Ø Ư ÙÐ Ø Ị ËÁË ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× ƠƯĨÚ Ị Ĩ ×ØƯĨỊ ễễệểĩ ẹ ỉ ểềá ệểề ééì ề ế é ỉí ì ỉ ỉ ề é ị ỉ ểề ễệể Ð Đ Ì ÌÀ Ị Ị Ư Ý Đ Ø ể ì ề ìỉ ậèậ ầ é ệ é ỉí Ĩ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ Đ Ø Ð ĨỊØƯĨÐ Ø º Ĩ ×ĨÐÙØ ĨỊ× Ị ×Ø Ị Ư Ý Ư ỉ ề ì ậ ềạ ề ỉ ỉ ểềì ệ ỉ ểề ể ệạậỉể ểệ ìỉ ì ế ì ểềỉ ềỉì ể ễỉ ệ ẩệể Ị Ø Ü ×Ø Ị ÐÙØ ĨỊ× ØĨ Ø ×ÕÙ Ư Û ×Ø ÙỊ ÕÙ Ị ×× Ĩ Û Ø ƯĐ Ị ×Ø ×Ý×Ø Đ Ð ØÝ Ị ×ĨÐÙØ ĨỊ ØĨ Ø Ø ĨỊ× Û Ø Ị Ị Ø × ĨỊØ ỊØ× Ĩ ÐĐĨ×Ø ×ÙƯ ×ØĨ Ð Ý× Ị Ờ ệ ĩễểề ềỉ ĩễểề ềỉ ìỉ ắ ểề ỉ ìỉ ỉ ểề ệí ìểạ é ìỉ gạặ ểẹ ềì è é ẹ ề é ỉí ể ỉ ệạậỉể × × ÕÙ ¹ Ư Ø º ËÌÊÍ × Ø ì ì èấ ậ ầ è ềỉệể ỉ ểềá ề ấ ệ ề ìá ỉ ậậ ểề éì ểềá ỉ ễỉ ệ ẵ ẩệ é ẹ ề ệ ễỉ ệ ắ ậỉ ỉ ểệì ểệ ì ệ é ỉ × × Ị ÐÙ × ØĨ Ø Ờ Ư× ×º é ị ỉ ểề ể ặ ệạậỉể ìạẻể ệạậỉể ì ỉ ế ỉ ểềì ễỉ ệ ậỉ ễỉ ệ ặ è ệạậỉể ì é ị ỉ ểề ể ắ ìỉ é ỉí ể ế ỉ ểềì ỉ gạặ ìểéỉ ểềì ØĨ ×ØĨ Ị Ø Ð Ý׺ ÕÙ Ø ĨỊ׺ ×Ø ắ gạ ễỉ ệ ẵ ẩấ ề ỉ ì ểỉ Ø Ø Ị ÕÙ Ð Ø Ø ½º½º ÊÁ Ư ÐÐ ×ĨĐ Ë Ị Ư Ð ĨỊ Ờ× ÙỊ Ø ĨỊ ×Ơ ׸ ĨƠ Ư ØĨƯ׸ ×ØĨ × ĨƯ Ø Ĩ ỉ ễỉ ệá ặ ềểềé ề ìá ỉ ệ ỉ ệẹ ểééể ề ặ ề ỉ ìểẹ èầặ ậẩ ì ì ỉ ểềá ệ ìéỉì ề éíì ìá ề ế éạ ỉ ểề é ệ ìéỉì ỉ ểẹễ ỉề ìì ẹ ỉ ể ìà ỉể ễệể ì × Ị Ø ÌÀ Ị ×Ø Ị Ø Đ Ù×Ù Ð Ị Ư ×ÙÐØ× Ờ Ư׺ Ë Ư Ơ Ø ×ĨĐ Ĩ Ø Ư ×ÙÐØ× ĨÙØ Ø ÙỊ Ø ĨỊ ×Ơ × Ø Ø Û ÐÐ Ù× Ò Ø Ø × × ËĨ ĨÐ Ú ×Ơ p m m p ´×Ơ L (O)á ìễ H (O)á ìễ H0 (O)àá ìễ L (0, T ; Y ) C([0, T ]; Y )º ề ỉ ểềá éìể V ệ é ỉ ỉể ặ ệạậỉể ìạẻể ỉ ề Vg ệ é ỉ ỉể g ạặ ệạậỉể ì ề ề Hg ẵắ è ẵắẵ ẽ ầẩ ấ ỉ éìể ậỉể ì ểễ Ư ØĨƯ Ị Ø ĨƠ Ư ØĨƯ Ư ui b(u, v, w) = i,j=1 Ä ĐĐ ½º½º Ï ÙỊ Ø ĨỊ ×Ơ × ÕÙ Ø ĨỊ׺ A:V →V′ ĨƯ O ÐÐ Ý u, v ∈ V B :V ×V →V′ (B(u, v), w) = b(u, v, w), Û ÕÙ Ø ểềì H èầấậ (Au, v) = ((u, v)), ẽ ề ỉ ểề ìễ ì Aá B ầễ ệ ỉểệì ề ễệ × ỊØ ĨƯ ÐÐ Ý u, v, w ∈ V, ∂vj wj dx ∂xi Ú  1/4  u 3/4 v |w|1/4 w 3/4 , ∀u, v, w ∈ V,  c|u| |b(u, v, w)| ≤ cλ−1/4 u v w , ∀u, v, w ∈ V,   c u v 1/2 |Av|1/2 |w|, ∀u ∈ V, v ∈ D(A), w H, ệ c ệ ẵắắ ễễệểễệ Ag Bg ầễ ệ ỉểệì ẽ ề ỉ ỉ ểềìỉ ỊØ׺ ĨƠ Ư ØĨƯ Ag u, v Ï ỊĨØ Ï Ý Ð×Ĩ η1 Ø Ị g Ø Cg Ag : Vg → Vg′ ỊÚ ÐÙ ĨƠ Ư ØĨƯ g Ĩ Ø Ag º ĨƠ Ư ØĨƯ Bg : Vg × Vg → Vg′ Ý = bg (u, v, w), ∀u, v, w ∈ Vg , Ö bg (u, v, w) = ui i,j=1 Ï ĨỊ× Ư Ø ĨƠ Ư ỉểệ (Cg u, v)g = (( ẹẹ ẵắ Ý = ((u, v))g , ∀u, v ∈ Vg Ư×Ø Bg (u, v), w Û Ị Ư Ï O ∂vj wj gdx ∂xi Cg : V g → H g Ò Ý ∇g ∇g · ∇)u, v)g = bg ( , u, v), ∀v ∈ Vg g g Ú  1/2 1/2 1/2 1/2  c1 |u|g u g v g |w|g w g ,    c |u|1/2 u 1/2 v 1/2 |A v|1/2 |w| , g g g g g g |bg (u, v, w)| ≤ 1/2 1/2  c3 |u|g |Ag u|g v g |w|g ,     1/2 1/2 c4 |u|g v g |w|g |Ag w|g , ci , i = 1, , 4, Ư Ä ĐĐ ½º¿º Ä Ø ƠƠƯĨƠƯ Ø ĨỊ×Ø ỊØ׺ u ∈ L2 (0, T ; Vg )¸ Ø Ị Ø ÙỊ Ø ĨỊ Cg u Ý (Cg u(t), v)g = (( ∇g ∇g · ∇)u, v)g = bg ( , u, v), ∀v ∈ Vg , g g Ị Ì Ì ĨÐÐĨÛ Ị ểệ ẹ ắẵ è ệ ỉ ểệ ẹ ì Ø Ä Ø Ü ×Ø× Đ Ị Ư ×ÙÐØ Ị Ø × × Ø ĨỊº f ∈ (L2 (O))3 º Ì Ị Ø Ð ×Ø ĨỊ ×ØƯĨỊ ×Ø Ø ĨỊ ệí ìểéỉ ểề u ể ễệể é ẹ ắẵà ì ỉ ì í ề u ểệ ể ệá Ø ĨÐÐĨÛ Ị 1/2 λ1 ν ĨỊ ν2 > |f | ỉ ểề c0 |f | 3/4 ắà ểé ì , ắ ẵẵá ỉ ề ỉ ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ắẵà ì ÙỊ ÕÙ Ị Û c0 × Ø Ư ÜƠĨỊ ềỉ ắ ậè ẽ ééí ìỉ ặ ệ ỉ ìỉệểề éể ééí é èầặ ầ ặ ặè ểềì ìỉ ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ ấặ ậè èầặ ểééể ề ấ ậầèầặậ ầặèấầ ểềỉệểéé ặ ệạậỉể ậạ ìạẻể ỉ ế ỉ ểềì ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u + ∇p      = 1ω h + f   ∇·u=0     u(x, t) =    u(x, 0) = u (x) Û Û Ø Ư 1ω × Ø ×ĐĨĨØ h = h(x, t) Ä Ø Ù× Ư Ø Ư ×Ø ĨÙỊ × Ø ƯÝ ÙỊ Ø ĨỊ Ĩ Ø f (L (O)) ề O ì R+ , Ị O × R+ , ĨỊ Ị ∂O × R+ , O, ĨĐ Ị ω⊂O u0 ∈ V ệ ềá ì ề ắ ểềỉệểé ề O = O\ω, Vω = u ∈ (C0∞ (Oω ))3 : ∇ · u = ½½ ỊĨØ Ý ∗ Ý λ1 (ω) Ø ĨỊ× Aω Ø ËØĨ Ư×Ø × ĨƠ Ư ØĨƯ ỊÚ ÐÙ Ư Ø Ĩ Ø Ị ĨỊ Oω º Ï ỊĨØ Aω º ĨƠ Ư ØĨƯ ĨỊØƯĨÐÐ Ư h = −k(u − u∗ ), k ∈ R+ , Ị Ø ĨƯƯ ×ƠĨỊ Ị ÐĨ× ÐĨĨƠ ×Ý×Ø Ñ   ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u      +∇p + 1ω k(u − u∗ ) = f   ∇·u=0     u(x, t) =    u(x, 0) = u (x) O × R+ , Ị O × R+ , ĨỊ Ị Ï ề ắ O ì R+ , O ì ỉ Ï Ư Ì γ ∗ (u∗ ) := sup {|b(u, u∗ , u)| : |u| = 1} ≤ γ u∗ Hα ỊĨÛ Ị ƠĨ× Ø ĨỊ ØĨ ×Ø Ø × × Ø ĨỊº ĨƯ Đ ¾º¾º Ä Ø Ø Đ Ị Ư ×ÙÐØ Ĩ Ø u∗ ∈ V ∩ (H β (O))3 , β > 5/2, ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ìểéỉ ểề ỉể ắẵà ì ỉ ềí ìỉệểề ỉ νλ∗1 (ω) > γ ∗ (u∗ ) Ì Ị ĨƯ ỊØ Ĩ Ø Ị u0 ∈ V u0 ¸ Ø Ư × k ≥ k0 ×Ù ỊØÐÝ Ð Ư ỉ ề ễ ềạ ìểéỉ ểề u C([0, ); V ) ỉể ắ ì ỉ u(t) u∗ ĨƯ ×ĨĐ η > 0º À Ư Ê Đ ệ ắẵ u í ỉ et u0 u∗ α α, ∀t ≥ 0, := |u|2 + α2 u ÈĨ Ị Ư Ị ÕÙ Ð Øݸ Û Ú −2 λ∗1 (ω) À Ị ĨĐ Ì ẵắ ì ì ỉ ỉ ềỉéí ệ ì ỉ ×Ø Ø sup ×Ø(x, ∂O) x∈Oω λ∗1 (ω) Ò Đ ¯ Ị Oω = O \ ω ĨƯ Đ ¾º¾ Ø Oω ≥C Ị º Ị ØƯ Ư ÐÝ Ð Ư ỊĨÙ Ý ×Ø Ø u∗ º Ì × Ý Đ Ư ĨƯ ¸ ÜƠĨỊ ỊØ Ị Ø Ø ểééểì ééí ìỉ ềềé ệ é ị ệểẹ é ắ ậè èầặ ầ èẩ ẽ ểềì èẻ ệ ỉ ậè èầặ ấ ậầèầặậ èầ ặầậ ểééể ề ìỉể ìỉ ặ ệạậỉể ìạẻể ỉ ế ỉ ểềì   d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u+     ∗    = f dt + σ(I − α ∆)(u − u )dWt ∇·u=0     u(x, t) =    u(x, 0) = u (x) Û Ư ∇p]dt Ị O × R+ , Ị O × R+ , ĨỊ Ị σ > 0¸ Wt : R, t Rá ì ểề ắ µ ∂O × R+ , O, Đ Ị× ĨỊ Ð ẽ ề ệ ễệể ìì è ểệ ẹ ắ −3/4 c0 |f |λ1 ν> Û c0 × Ø Ư σ α2 σ α2 − , + 4 ìỉ ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ ẵẵá ỉ ễệể é ẹ ắ ì éể ééí ĩễểề ềỉ ééí ìỉ ềỉ ắ ìểéỉ ểề u ể é ểệ ễệ ì éíá ỉ ệ N ỉ P(N ) = 0á ì ỉ ỉ ểệ ∈ / N Ø Ư × T (ω) ×Ù Ø Ø ĨƯ ỊÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ u(t) Ĩ ƠƯĨ Ð Đ ắ àá ỉ ểééể ề ìỉ ẹ ỉ ểé ì ĨƯ ×ĨĐ ℓ > : Ü ×Ø× u(t) − u ấ ẹ ệ ìỉệểề ắắ u(0) u è ìá ỉ ẹéỉ ễé ỉ ĨƯ ν Ị Ø ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ u −3/4 c0 |f |λ1 Ì ∗ −ℓt , αe Ð Ư Ừ u º ÅĨƯ ĨÚ Ư¸ ĨƯ ể ì ỉ ềí ỉ ắ ỉể ềể × σ¸ Ø Ú Ị ÐĨỊ ν > 0¸ Ừ ìỉ é ị ì ỉ ềỉ ệ é α2 σ α2 + − , 4 Ơ Ư Đ Ø Ư ∀t ≥ T (ω) −3/4 c0 |f |λ1 ×Ø Ị Ð ØÝ ĨƯ Ø é íì ểểì ìểéỉ ểề é ểé ì ẵ ễỉ ệ ậè èầặ ầ ẫ ẽ ểềì ìẹểểỉ ểề ĩễểề ềỉ ệỉ é ìỉ ề ểề gạặ Ú ĨĐ Ị Ừ ×ÙƠƠĨỪ ×Đ ÐÐ Û Ị ĨƯ ×Ø ËØĨ Ð Þ × ĨƯ × Ơ Ư Ĩ ỉ ề ỉ ì ỉ O ầ è ểề ệ ỉ ì ỉ ể ềỉá ẽ é ề ệ ×ĨĐ ×ØƯĨỊ O\ω Ø × ×Ù ×Ø ¹ ×ĨÐÙØ ĨỊ× ỉể ắ ỉ ệ ểềỉệểéì ĩ ìỉì ề ééíá ệạ ĩỉ ệề é ề ế ì ễ ệ ể ềỉéí gạặ ìỉ ểì éé ỉ ề ềạỉ ẹ ì ì ểééể ề ì ẩấầ ểề ỉ ễ ễ ệì ẵ ỉ ẹ ìểéỉ ểề ề ề R2 ỉ ắ gạặ ệạậỉể ì ỉ ề ềểề ễệ ììệ u0 ììẹ ì ỉ ỉ Ị Ø Ø Ø Ị º Å ĨĐ u = u(x, t) = (u1 , u2 ) p(x, t) ½ Ø  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f   ∂t   ∇ · (gu) =   u(x, t) =     u(x, 0) = u0 (x), Đ Ị× ĨỊ Ð Ü ×Ø Ị ỊÝ ÙỊ×Ø Ú ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ Ø Ị × ØĨ Ø Ờ Ư × ÛƯ ØØ Ị ÌÌÁỈ ĨỊ× Ø ĨỊ ×Ù Ú ĨƯ Ĩ Ý × ĨÛ Ị Ị Ø Đ Ị× ĨỊ Ð Ø ĨỊ Ĩ Ø ×ØÙ Ý Ø Ø ω ⊂ O ÐĨỊ ¹Ø Đ ØÛĨ¹ Ý ƠƯĨƠĨỪ ĨỊ Ð ĨỊØƯĨÐÐ Ư Û Ø Ư Ë Ư Ø ÕÙ ỉ ểềì ề ễệể é ị ề ỉ ậ Ĩ × ØĨ Ị Ị Øݺ Ì Û Ý Ù× ề ấạậèầ ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ề ế ỉ ểềì ề ì ỉ ẹ ẽ ìỉ ì ệìỉá Û ×ØƯĨỊ Ị ĨƠ Ị ×Ù × Ø ×ĨÐÙØ ĨỊ ẵ O ỉ ểềì ậ ểề ẻ èầặậ ệạậỉể é ỉí ể ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ề gạặ ắ ìẹểểỉ ì ểề O ì R+ , ề O ì R+ , + ẵà O ì R , ĨỊ O ÙỊ ỊĨÛỊ Ú ÐĨ ØÝ Ú ØĨƯ¸ ν >0 ∂Oº ÕÙ Ø ĨỊ× Ị Ị ƯÝ × Ø p= Ị Đ Ø Ú × Ĩ× ØÝ Ð Ú ÐĨ Øݺ ÙỊ Ø ĨỊ g × Ø × × Ø ĨÐÐĨÛ ề ììẹễạ (G1) g W 1, (O) ì ỉ Ø < m0 ≤g(x)≤M0 ∀x = (x1 , x2 ) ∈ O, Û Ư Ị O ¿º¾º η1 > ỉ ậè ặ è ầ ề ỉ ểề ẵ ì ỉ ệìỉ Ag ểễ ệ ỉểệ ặẫ ậè ỉ ề é ể ỉ ì ề ề ậậ ặ ặ èầặ ấ ề ểệ ẹ ẵ ì ểễ ệ ỉểệ ễỉ ệ ẵà ặè ậè ậầèầặậ é ẹ ềỉ ề ìỉệểề u ∈ D(Ag ) νAg u∗ + νCg u∗ + Bg (u , u ) = f è gạậỉể ẩầặ f ∈ L2 (Ω, g) ×ĨÐÙØ ĨỊ ØĨ ƠƯĨ Ð ẹ ẵà ì 1/2 |g| < m0 , Ị ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×Ù Ø Ø L2 (O, g) f ∈ L2 (O, g)¸ Ø Ị ƠƯĨ Ð ẹ ẵà ểề ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u∗ × Ø × Ý Ị u∗ g ≤ |f |g 1/2 |∇g|∞ η1 ν − 1/2 ẹ ỉì ỉ é ìỉ ắà m0 ểệ ĨÚ Ư¸ Ø ĨÐÐĨÛ Ị ĨỊ ν2 − Û Ư c1 × Ø Ø ĨỊ |∇g|∞ ĨÐ × 1/2 m0 ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ ẵắá ỉ ìểéỉ ểề ỉể ẵà ì ề ế ề éể ậè èầặ ậè ặ ẽ ểềì èầặ ầ ặ ặè ệ ỉ ấặ ề ỉ ìỉệểề ìỉ ỉ ĨỊ ƯÝ ÐÐÝ ÜƠĨỊ ỊØ Ä ĨÐÐĨÛ Ị c1 |f |g , η1 > ĨỊØƯĨÐÐ ÐÐÝ ×Ø Ð º Ê ậầèầặậ ầặèấầ ắ gạặ ệạậỉể ậạ ì ế ¹ Ø ĨỊ×  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p   ∂t     = 1ω hg + f  ∇ · (gu) =      u(x, t) =    u(x, 0) = u Ò O × R+ , Ò O × R+ , ểề ề O ì R+ , O, ẵ Û 1ω Ư ×ĐĨĨØ × Ø Ư Ø Ư ×Ø ÙỊ Ø ĨỊ Ĩ Ø ƯÝ ∂ω ¸ f ∈ L (O, g) Ị u0 ĨÙỊ hg (x, t) × Ø Ä Ø Ù× ×Ù × Ø ∈ Hg ω⊂O Ư Ú Ị¸ Û Ø hg = ĨỊØƯĨк Ị Oω = O\ω, Vgω = u ∈ (C0∞ (Oω ))2 : ∇ · (gu) = Ä Ø Agω () ỉ ểềì gạậỉể ỉ ệìỉ ì ểễ ệ ØĨƯ ỊÚ ÐÙ Ư Ø Ĩ Ø Ị ĨƠ Ư ØĨƯ Oω º ĨỊ Ï ỊĨØ Ý Agω º ĨỊØƯĨÐÐ Ư hg = −k(u − u∗ ), k ∈ R+ , Ị Ï Ø ĨƯƯ ×ƠĨỊ Ị ÐĨ× ÐĨĨƠ ×Ý×Ø Ñ  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u   ∂t     +1ω k(u − u∗ ) + ∇p = f  ∇ · (gu) =      u(x, t) =    u(x, 0) = u (x) Ị O × R+ , Ị O × R+ , ĨỊ Ị ∂O × R+ , O × Ø γg∗ (u∗ ) = sup {|bg (u, u, u∗ )| : |u|g = 1} ≤ γg u∗ Ì ĨƯ ẹ ắ ỉể ì ỉ ỉ ề ÓÖ u∗ ∈ D(Ag ) 1− |∇g|∞ 1/2 m0 η1 u0 ∈ Hg ỊÝ ×ØƯĨỊ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ ỊØ Ĩ η1∗ (ω) > γg∗ (u∗ ) Ò Ø |u(t) − u∗ |g ≤ e−δt |u0 − u |g , t 0, ểệ ìểẹ ẵ > k k0 ì ềỉéí é ệ ỉ ề ìểéỉ ểề u C([0, +); Hg ) u0 ỉ ệ ì L2loc (0, +; Vg ) ỉể ì ỉ ễ Ị D(Ag ) Ø ν Ì ´¿º µ Ê Đ Ư ¿º½º Ý Ø ÈĨ Ị Ư Ị ÕÙ Ð Øݸ Û Ú −2 η1∗ (ω) À Ị ĨĐ è ì ì ậè ỉ ặ × Ø Ø ỊĨ٠ݹ×Ø Ø Ý Đ Ị ỉ ỉ ểééểì è ệ ểệ u ì ĩễểề ềỉ ềềé ệ ééí ìỉ ệểẹ é ị é Ị º ¹ Ư Ø ØƯ Ư ÐÝ Ð Ư ề èầặ ầ ặè ẽ ểềì ệ ềí ìỉ ềỉéí ×Ø(x, ∂O) sup x∈Oω η1∗ (ω) Ị Đ Ị Oω = O \ ểệ ẹ ắá ỉ O C ậè èầặ ặậầặ ểééể ề ấ ậầèầặậ à ĨỊØƯĨÐÐ ¾ ỊØ ƯƠĨÐ ỊØ ĨƠ Ư ØĨƯ Ih  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p   ∂t     = −µIh (u − u∗ ) + f  ∇ · (gu) =      u(x, t) =    u(x, 0) = u gạặ ậạ ầặèấầậ ệạậỉể ì ế ỉ ểềì Û Ø Û Ö f = f (x) ∈ Hg ẽ ììẹ ỉ ì ểệ ệ há ỉ × Ø × Ø ĨƯ Đ ¿º¿º Ä Ø ×ĨÐÙØ ểề ỉể ẵà ể ỉ ì ỉ àá O × R+ , Ò O, Ih : Vg → H g ÒØ ØÝ Û Ø M0 2 c0 h ϕ 2g , ∀ϕ ∈ Vg m0 ỊÌ Ị Ð Ø Ị × Ị ƯƯĨƯ Ĩ ×Ø Đ Ø u ềí ìỉệểề ểệ ẹ ẵ ậễễểì ỉ ề h Ư ƠĨ× Ø Ú Ơ Ư Đ Ø Ư× ×Ù Ø M0 2 µc h < ν m0 O ì R+ , ểề ểềỉệểéé ệ ĨÐÐĨÛ Ị f ∈ Hg Ị Ị ƠƠƯĨÜ Đ Ø × Ø |ϕ − Ih (ϕ)|2g ≤ Ì O × R+ , Ú Ịº Ø Ø ỊØ ƯƠĨÐ ỊØ ĨƠ Ư ØĨƯ Ø Ị 2ν|∇g|2∞ + µ> m20 ´¿º µ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ Ø Ih × Ø × × Ø 2c21 |f |2g η1 ν − |g| 1/2 m0 ẵ è ề ĨƯ u ØĨ ×Ý×Ø Đ u0 ∈ Hg ×Ù ềá ỉ ệ ĩ ìỉì ỉ ểệ ÒÝ T > 0¸ Ø u ∈ C([0, T ]; Hg ) ∩ L2 (0, T ; Vg ), ÙÒ ÕÙ Û ×ĨÐÙØ ĨỊ du ∈ L2 (0, T ; Vg′ ), dt Ò |u(t) − u∗ |2g ≤ e−ηt |u0 − u∗ |2g , ∀t ≥ 0, |∇g|2∞ −2 Û Ư η = µ − 2ν m20 c21 |f |2g ẵẳà > Ù ØĨ ĨỊ¹ |∇g|∞ 1/2 m0 η1 Ø ĨỊ ´¿º ậè è ề ỉ èầặ è ấặ ì ì ỉ ểềá ậặ ầấ ểềì ậè ầậ (F1) ỉ ểééể ề ểệ ềí ễểì Ø Ú Ư Ø ĨÐÐĨÛ Ị Ø ƯĐ F (x, t) ì ề ỉ ề ỉ ểề ẽ ẵ ììẹễỉ ĨỊ ĨỊ Ø ĨỊ×Ø ỊØ ØĐ ĨÐÐĨÛ Ị Ị O × R+ , Ò O × R+ , Ø ∂O × R+ ××ÙĐ Ø Ơ Ư Ĩ ÙỊ Ø ĨỊ ỉ ìỉệ ỉệ è ẵẵà ĩỉ ệề é ểệ ệ Ü ×Ø× h(x, ω0 t) Û Ø Ơ Ư Ĩ Tper ì ỉ ììẹ ỉ ạặạ ìíìỉ ẹ ểề > 0¸ Û 1    ω ht (x, ω0 t) = −F (x, ω0 t) ∇ · (gh) = h=0 éìể èặ ậ ∂u    ∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = F (x, ω0 t) ∇ · (gu) =    u(x, t) = Ï ÁÄÄ ĨƯ Ơ ƯĨ Tper ØĐ Ơ ƯĨ Ø Ò O × R+ , Ò O × R+ , ểề ỉ ỉ O ẵắà F L (0, Tper ; D(Ag )) Ò F L∞ (0,Tper ;D(Ag )) Û Ø ÙƠƠ Ư ĨÙỊ × Ị Ơ Ị ỊØ Ĩ ểệ ể ệá ììẹ ỉ ỉ h ∈ L∞ (0, Tper ; D(Ag )) Ị Ø Ư Ü ×Ø× ƠĨ× Ø Ú ĨỊ×Ø ỊØ Lh Ị Ơ Ị ỊØ Ĩ ω0 ×Ù Ø Ø h Ì L∞ (0,Tper ;D(Ag )) ĨƯ Đ ¿º º Ơ Ị ềí ề ểề Lh F ìì ẵà , c1 , c3 , η1 , Lh Ò F Ä Ø íễểỉ ỉ ìíìỉ ẹ ẵẵà L∞ (0,Tper ;D(Ag )) ĨÐ º Ì ỊØ Ư ĩ ìỉì L (0,Tper ;D(Ag )) ì ì ẵà > ỉ ỉ ểệ Tper ạễ ệ ể ìểéỉ ĨỊ uper × Ø×ÝỊ 1/2 uper (t) Û Ư Ì Ì g c1 , c3 Ư Ø ĨƯ Đ ¿º º Ị × Ø× νη ≤ 2c1 |∇g|∞ 1/2 m0 η1 ĨỊ×Ø ỊØ× Ị Ä ĐĐ Ä Ø ÝƠĨØ ềí ìểéỉ ểề ìì ẵà u(ã) ỉể ìíìỉ ẹ , t [0, Tper ], ẵ ẵắ ểé ẵẵà ề é ỉ ỉ u0 Vg ềỉ é Ú Ịº ØÙĐ u0 × |u(t) − uper (t)|2g ≤ e−ηt |u0 − uper (0)|2g , t ≥ 0, Û Ư η = νη1 − ÐÙØ ĨỊ Ĩ Ø uper ĐÙ×Ø Ị |∇g|∞ 1/2 m0 η1 ỊÌ > ề uper ì ỉ ỉ ẹ ễ ệ ể ìểạ ĨƯ Đ ¿º º ÁỊ Ơ Ừ ÙÐ Ư¸ Ø ễ ệ ể ìểéỉ ểề ề ế ẵ ễỉ ệ è ậè gạặ ắ è ẻ ầ ậầèầặậ èầ ậèầ ấạậèầ ậ ẫ ề ỉ ì ễỉ ệá Û ÕÙ Ø ĨỊ× Û Ø Ị Ø ĨỊ× ×ØĨ ×Ø ×Ý×Ø Đ Ø Ú × Ĩ× ØÝ × Ð Ư Ị ×ÕÙ Ư Ị ÐÙØ ĨỊ× ØĨ Ø Ý Ù× ề ỉ ềể gạặ ìỉ ắ ìỉ í ỉ ĩ ìỉ ề ìỉ ắ ểẹễ ỉề ìì ẹ ỉ ể á ì ể ỉ ìỉ í ỉ éẹểìỉ ìệ ìỉể ặè ệạậỉể ĩễểề ềỉ gạặ ỉ ỉ ì ệạậỉể é ìỉ é ỉí ể ỉ × Ị Ị ØĨ Û Ị ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ÜƠĨỊ ỊØ Ð ×Ø × Ĩ Û Ø ƯĐ Ị ×Ø ×Ý×Ø Đ ĨƯƯ ×ƠĨỊ ×ĨÐÙØ ĨỊ × ÙỊ ÕÙ ậ ểề ẹ ìỉể ệìỉá ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ỉ èầặậ ẽè ËÌÁ Ë Ư Ø Ð Ý׺ À Ð ØÝ Ị ìểạ ế ỉ ểềì ỉ ề ỉ é íì è ẵ ì ậ ỉ èèặ O ẽ ĨỊ× Û Ø Ờ Ư × ÛƯ ØØ Ị Ị ỉ ầ è ểề ệỉ ểééể ề ì ẩấầ ểẹ ×ØĨ ĨỊ Ø Ä Ị Ị Ơ Ơ Ư ¾º R2 ìỉ ắ ỉ ìẹểểỉ gạặ ểề ệạậỉể ì ệí O ế ỉ ểềì é íì  du = [ν∆u − (u · ∇)u − ∇p + f + F (u(t − ρ(t)))]dt      + G(u(t − ρ(t)))dW (t), x ∈ O, t > 0,   ∇ · (gu) = 0,     u(x, t) = 0,    u(x, t) = ϕ(x, t), x ∈ O, t > 0, ẵà x O, t > 0, x ∈ O, t ∈ [−τ, 0], u = u(x, t) = (u1 , u2 ) × Ø ÙỊ ỊĨÛỊ éể ỉí ỉểệá p = p(x, t) ì ỉ ề ềểề ễệ ììệ > ì Ø Ị Đ Ø Ø Đ ¹ Ị Ơ Ị ềỉ ĩỉ ệề é ì ểì ỉí ể ềỉá f = f (x) × ÜØ ƯỊ Ð ĨƯ Ð Û Ø ĨƯ Ð Û Ø ĨÙØ Ð Ý¸ F (·) × Ø Ð Ý¸ G(u(t − ρ(t)))dW (t) × Ø ệ ề ểẹ ểệ é ỉ é íá W (t) ì ề ề ề ỉ ẹ ềì ểề é ẽ ề ệ ễệể ììá ỉ ề ỉ ểề ắẳ ệ : [0, +) [0, ] Ú ÐĨ ØÝ ỊÙĐ Ð ỊØ × ĨÙỊ Ø ẹ ề ềỉ ệ é ẹ ìệ [, 0]á ệ é ì ỉ ì ề ỉ ĩ ễểì ỉ ệ è ìỉể ề gạặ ìỉ ắ ệ ệ ỉỉ ề ề ỉ ệạậỉể ì ế ỉ ểềì ỉ é íì ẵà ĨƯĐ    du = [−νAg u(t) − νCg u(t) − Bg (u(t)) + f Û +F (u(t − ρ(t)))]dt + G(u(t − ρ(t)))dW (t), t > 0,   u (θ) = ϕ ∈ L2 (Ω, C([−τ, 0]; H )), θ ∈ [−τ, 0], g L2 (Ω, C([, 0]; Hg )) ệ ểề ẹ ìì ì ÕÙ ƠƠ ×ÙƯ Ð Û Ø Ø ĨƯƯ ×ƠĨỊ Ị ềểỉ ì ỉ ẹ éí ể C([, 0]; Hg )ạ ề è é ề ỉ ểề ẵ ìểéỉ ểề ể u(t) ì Ft ìỉể ìỉ ễệểạ [,0] ỉ ệẹ ề ìỉ ìíìỉ ẹ ể ắà ì ỉ ìỉể ìỉ ễệể ìì ĨÐÐĨÛ Ị ´ º¿µ t > 0, θ ∈ [−τ, 0] u(t), t ì ì ỉể ắà ễỉ ểééể ề ìệ éíá ểệ éẹểìỉ ìệ éí = E sup |ϕ(θ)|2g u ∈ L∞ (−τ, T ; Hg ) ∩ L2 (−τ, T ; Vg ) 0; ỉ éé ắà ìễệ ẹẹ ềểệẹ d    dt u(t) = −νAg u(t) − νCg u(t) − Bg (u(t)) +f + F (u(t − ρ(t))),    u0 (θ) = ϕ ∈ C([−τ, 0]; Hg ), é ế ỉ ểề ểé ì × ÐĐĨ×Ø ×ÙƯ ÐÝ ĨƯ Ị ỊØ ØÝ Ị Vg′ éé T > éẹểìỉ t [0, +)á t u(t) = u(0) + − νAg u(s) − νCg u(s) − Bg (u(s)) + f + F (u(s − ρ(s))) ds t G(u(s (s)))dW (s) + ắẵ ắ ậè è ẽ ắà ầ ậè ấặậè ẹ è ặ ỉ èầặ ậ ậè ểééể ề ấ ììẹễỉ ểề F : Hg Hg ểềìỉ ềỉ LF ề ỉ ểề ễì ỉị ậầèầặậ èầ è × Ä Ơ× ØÞ ĨỊØ ỊÙĨÙ× Û Ø |F (u) − F (v)|g ≤ LF |u − v|g , ∀u, v ∈ Hg Ị Ø ĨỊ º¾º Ä Ø ỉể ễệể é ẹ ì f Vg Ò Ú Òº Ð Ñ ÒØ Û u∗ ∈ Vg ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ ×Ù Ø Ø νAg u∗ + νCg u∗ + Bg (u∗ , u∗ ) = f + F (u∗ ) Ì ´ ĨƯ Đ ẵ ỉ f ẵà ắà ểé Ì Ú Ị Ị Vg′ º ××ÙĐ Ø Vg′ ề ỉ ỉ íễểỉ ì ì ề ỉ ề ỉ ì ệ ĩ ìỉì |g| 1− Û LF , η1 > 1/2 m0 η1 ´ u Vg ỉể ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ì ỉạ ì ÙỪ Ư c1 × Ø − 1/2 m0 η1 ƯĐĨƯ ¸ ν Û |∇g|∞ 1− Ø 1− LF η1 u∗ ĨÐÐĨÛ Ị ĨỊ |∇g|∞ ĨỊ×Ø ỊØ Ị Ä ĐĐ ≤ f Ø ĨỊ LF − η1 1/2 m0 η1 g > ẵắá ỉ c1 1/2 ề ỉ ểé ì f , µ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ ØĨ ´ º¿µ ì ề ế ẩầặ è ẽ ắắ ặè ậè è ầ ềể ììẹ ệỉ ệẹểệ ỉ ỉ è ậèầ ậè ậ ậạ ắà è G : Hg → L(K, Hg ) ÙỊ Ø ĨỊ × ễì ỉị ểềỉ ềểìá G(u) G(v) Ị ×Ù Ø ×ĨÐÙØ ĨỊ Ï ∗ u Ì Ư×Ø Ú Ø Ñ ≤ LG |u − v|g , ∀u, v ∈ Hg , G(u∗ ) = 0¸ Ú Ị Ị Ì Ø L02 Û ĨƯ Đ Ị ×ÕÙ Ư u ệ ì ỉ ìỉ ỉ ểề ệí ẵ ×Ø Ð ØÝ ĨỊ Ø ĨỊ ĨƯ Ø ×ĨÐÙØ ĨỊ ểệ ẹ ắ ỉể ì ììẹ Ø Ø Ä Ø f ∈ Vg′ Ò u∗ Û ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ Ø 1− Ø Ø |∇g|∞ 1/2 m0 η1 ÝƠĨØ >2 c1 1/2 η1 × ì ẵàá 2LF + L2G u g+ ắà ắà ểé è ề ềí u(t) ỉể ắà ểề ệ × ÜƠĨỊ ỊØ ÐÐÝ ØĨ Ø Û Đ Ị ×ÕÙ ệ è ỉ ìá ỉ ệ ĩ ìỉ ỉể ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ u∗ Ị Ø Ư Ð ỊÙĐ Ư× α0 , C0 > ×Ù Ø Ø Û ×ĨÐÙØ ĨỊ E|u(t) − u∗ |2g ≤ C0 e−α0 t , Ì Ì ĨƯ Đ º¿º Ị ỊÝ Û ××ÙĐ Ø Ø Ø ÝƠĨØ t ≥ × × Ĩ Ì ĨƯ Đ º¾ ĨÐ º ×ĨÐÙØ ĨỊ u(t) ỉể ễệể é ẹ ắà ểề ệ ì ØĨ Ø Û ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ u∗ éẹểìỉ ìệ éí ĩễểề ềỉ ééí è ỉ ìá ỉ Ư Ü ×Ø× Ư Ð ỊÙĐ Ư γ > ×Ù Ø Ø log |u(t) − u∗ |2g ≤ , t+ t lim ì ắ ầặ ẵ ấ ậèậ ề ỉ ậầặậ ì ỉ ì ìá ẩệể Ị Ø Ĩ Ø Ị Ø ÙỊ ÕÙ Ị ×× ĨÐÐĨÛ Ị Ị ÜƠĨỊ ỊØ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ểềì ễệể ề ể ìỉệểề ễểệỉ ậỉể ểẹ ìạẻể ÈƯĨÚ Ị Ø Ị ×ØƯĨỊ Ø Ø Û ×Ø ắ ấ ầ ậểẹ ìạẻể ểệ ìễạ ặ ệạ ểẹ ềì ề ĩễểề ềỉ é ìỉ ỉ Ø ĨỊ× ĨƯ ĨỊ ƠƯĨÚ Ị Ý Ù× Ị ĨĐ Ø Ị Ú ĨƯ ÙỊ Ị Ị¹ Ị Ø Ø ểềì ệ ỉ ểề ể ệạậỉể gạặ éạ ề ĨỊ ÙỊ ÕÙ Ị ×× Ĩ Û ÐĐĨ×Ø ×ÙƯ ×ØĨ é íì ề ặ ểệ ìỉ ì ế ỉ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×Ĩ¹ ÜƠĨỊ ỊØ ÜƠĨỊ ỊØ ×Ø ắ ểề é ìỉ gạặ ểẹ ềì é ẹ ề é ỉí ể ỉ ệạậỉể ì ế èầặ ×Ø Ư × Ư Ð Þ Ø ĨỊ Ĩ Ø Ø Ư Ø ×Ý×Ø Đ ƠƯĨ Ð Đ Û Ø ề ỉ ẹ ềì ểề é ặ ệạ ẹ ềì ểề é ểềỉệểé èể ìỉ í ỉ ỉ ẹ ề ểềỉệểé ắ ề ỉ èể ìỉ í ỉ ề ề é ị ỉ ểề ểềỉệểé Û Ø ×ÙƠƠĨỪ Ị Ø ƯĐ Ị ×Ø ×Ý×Ø Đ Ð ØÝ ×ØƯĨỊ Ị׺ Ü ×Ø Ị ĨƠ Ị ƠƯĨ Ð Đ× ËØĨ ĨÙỊ ĨỊØƯĨÐ× ĨĐ ×ĨÐÙØ ĨỊ ØĨ Ø Ø ĨỊ× Û Ø ÜØ ƯỊ Ð ĨƯ × ểệ ắ ểề éỉ ểềì ỉể ỉ ìế ệ í éểề ạỉ ẹ ểì éé ỉ ề ềạỉ ẹ ÈƯĨÚ Ị Ø ĨỊ× ĨƯ ×Ø ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× Ð Þ Ø ĨỊ Ĩ Ð ØÝ Ĩ Ý Ư Ị ĨĐ ỊĨ × ĨỊØƯĨÐ× Û Ø Đ Ị× ĨỊ Ð Ø ĨỊ× Ị Ð ×Ø ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ× ƠƯĨÚ Ị Ø ƯỊ Ð ểề ĩ ìỉ ề ề ế ề ìì é ị ỉ ểề ể ìỉ ề ế ỉ ểềì Ị Ø ØÝ Ĩ ×ØƯĨỊ ×Ø Ø ×Ø Ø ĨỊ ệí ìểéỉ ểềì ề ỉ ệ ìéỉì gạặ ìỉ é ị ỉ ểề ể ệạậỉể ỉ ặ ệạậỉể ì ìíìỉ ẹ í ì ề ểề ìạẻể ệí ỉ ìíìạ èầấậ ẽầấậ ấ ẩ ẵ è ẫí ỉ g ạặ ắ è ề ệạậỉể é íìá ×Ø ¾ Ị ĨƯ ĐÙỊº ÃĨƯ À ỊĨ È Ë ìỉ ệạậỉể ì ế ắẳẵ àá ềể ắ ắẳẵ àá ặ é ỉí ể ìểéạ ế ỉ ểềì ỉ é ị ỉ ểề ể é ị ỉ ểề ể ắ ềỉ ềỉ ể ểề ề ỉ ắẵẵạắắ ệạậỉể ìạẻể ỉ ầ ẵẳẵ ẵ ằ ẹ ạắẳẵ ắá ắẳẵ g ạặ ìì ệạậỉể ì ế ỉ ểềìá ầ ẵẳ ẵ ằ ề ệ ễểệỉ ề éíì ìá éỉí ể ểẹạ ậ ẵ ẳắ ỉ ỉ ẹ ỉ ìá é ề ệì ỉí ắ ệ ề ì ậ ĨỊ ỊĨÚ Ø ĨỊ ¸ Ø Ơ ỪĐ ỊØ ể éỉí ể g ạặ ề ỉ ậể ắẳẵ àá ậ ẹ ề ệ ể ậ ắ ắẳẵ àá ặẻ è ềá ầề ỉ ề ỉ ấ ìéỉì ể ỉ ậậ ặẻ è ềá ậỉ ề ặẻ è ềá ậỉ ế ỉ ểềìá ẳẳ ề è ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ắ ỉ ỉ ẻ ỉ Ê Ị ĨĐ ÇƠ Ưº ËØĨ º Ị ÌÇ ÌÀ ậ ế ỉ ểềìá ề ặẻ è è è ặẻ è ềá ầề ỉ ì ỉ ểềì ỉể ìỉể ệ ề ệ ềỉ ề ìá ậ ể Ø ÙÐØÝ Ĩ Å Ø Ð ÕÙ Ø ĨỊ× Ị ễễé ỉ ểềì ể ề ệì ỉíá ắẳẵ ẹ ỉ ì ề ỉ ì ẹ ỉ ìá ỊĨ È Ĩ Ĩ Ù Ø ĨỊ Ị¹ Ð ÍỊ Ú Ư× ØÝ º