Chuong4

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Tiết 49, 50, 51, 52, TC Ngày soạn: Ngày giảng: A. Mục tiêu: 1. Về kiến thức: • HS nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, chủ yếu thơng qua các ví dụ và minh họa cụ thể. • Một vài giới hạn đặc biệt, biết được khái niệm CSN lùi vơ hạn và cơng thức tính tổng của nó. Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vơ hạn. • Định lý về giới hạn hữu hạn, nắm được định nghĩa giới hạn vơ cực • Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn. 2. Về kỹ năng: • Tính giới hạn của dãy số theo định nghĩa. • Tính giới hạn của dãy số thơng qua các giới hạn đặc biệt và định lý về giới hạn dãy số, Tính tổng của một CSN lùi vơ hạn, tính giới hạn vơ cực của dãy số. 3. Về tư duy, thái độ: • Thái độ cẩn thận, chính xác. • Tư duy tóan học một cách lơgíc, sáng tạo • Thấy được những ứng dụng thực tiễn của tốn học B. Chuẩn bị: Giáo viên: Đồ dùng dạy học Học sinh: Đồ dùng học tập C. Gợi ý về phương pháp giảng dạy: Gợi mở vấn đáp thơng qua các hoạt động tư duy D. Tiến trình bài giảng: 1. Kiểm tra bài cũ: + Dãy số là gì ? Thế nào là dãy số tăng (giảm) ? Bài tập áp dụng: Liệt kê 5 số hạng đầu của hai dãy số 1 n u n = và 2 ( 1) n n v n − = . Xét tính tăng giảm của chúng. 2. Bài mới: Hoạt động 1: Định nghĩa hữu hạn của dãy số Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV tổ chức cho HS thực hiện HĐ1: ? Hãy biểu diễn ( ) n u dưới dạng khai triển ? Hãy biểu diễn ( ) n u trên trục số ? Nhận xét xem khoảng cách từ u n tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn? Bắt đầu từ số hạng u n thì khoảng cách 1 1 1 1 1 1, , , , , ., , . 2 3 4 5 20 Khoảng cách nhỏ dần Trường THPT Đức Trí 1 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến từ u n tới 0 nhỏ hơn 0,01? GV cho HS ghi nhận nội dung định nghĩa : Dãy số có giới hạn là 0 Kí hiệu: →+∞ = n n lim u 0 Hay: → n u 0 khi n → +∞ Nhấn mạnh: Khi → +∞ ⇒ → n n u 0 Cho HS thảo luận nhóm VD1 GV tổ chức cho HS thực hiện VD sau Cho dãy số = + n 1 u 1 n hãy biểu diễn dãy số trên trục lớn a) Nhận xét xem khoảng cách từ u n tới 1 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn? b) Bắt đầu từ số hạng u n thì khoảng cách từ u n tới 1 nhỏ hơn 1,1? GV: KHi đó ta nói dãy số có giới hạn là 1 GV cho HS ghi nhận nội dung định nghĩa 2: Dãy số có giới hạn là a Kí hiệu: →+∞ = n n lim u a Hay → n u a khi n → +∞ Hãy nêu phương pháp để chứng minh dãy số n u có giới hạn là a? < ⇔ < ⇔ > n 1 u 0,01 0,01 n 100 n Tương tự: n > 1000 HS ghi nhận nội dung định nghĩa 1 Thảo luận rút ra trí thức + Dãy số có giới hạn không thì n u có thể nhỏ hơn một số dương bất kì. + Khi n lớn thật lớn thì 0 n u → a) khoảng cách nhỏ dần b) < ⇔ + < ⇔ > n 1 u 1,1 1 1,1 n 10 n HS ghi nhận nội dung định nghĩa 2 Ta CM hiệu ( ) →+∞ − = n n lim u a 0 Hoạt động 2: Củng cố định nghĩa Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Củng cố định nghĩa thông qua VD Cho dãy số n 4n 1 V n + = . CMR n n lim V 4 →+∞ = ? Muốn CM n n lim V 4 →+∞ = ta cần CM điều gì. Qui đồng mẫu rồi đưa về dạng tìm giới hạn không. Cho HS thảo luận nhóm VD2. ( ) →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ +   − = −  ÷     = =  ÷   ⇒ = n n n n n n 4n 1 Ta có : lim V 4 lim 4 n 1 lim 0 n lim V 4 Thảo luận nhóm và cử đại diện rút ra kiến thức. Chuyển việc tìm GHHH của dãy số về việc tìm GH không. Hoạt động 3: Một vài giới hạn dạng đặc biệt Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ta thừa nhận các kết quả sau: Trường THPT Đức Trí 2 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến a) k n n 1 1 lim 0; lim 0; k n n + →+∞ →+∞ = = ∈¢ b) n n lim q 0 →+∞ = nếu q 1 < c) Nếu = n u c (c là hằng số) thì →+∞ →+∞ = = n n n lim u lim c c Chú ý: →+∞ = ⇔ = n n n lim u a limu a HS ghi nhận các giới hạn thừa nhận Khắc sâu tri thức. Thay kí hiệu lim baèng lim n n n u a u a →+∞ = = Hoạt động 4: Củng cố và dặn dò. ? Định nghĩa giới hạn của dãy số và nhắc lại các giới hạn thừa nhận. Tìm giới hạn của dãy số sau: 6 1 lim 3 2 n n − + Hướng dẫn HS học và làm BT ở nhà ? Phương pháp chứng minh dãy số có giới hạn là a Làm các bài tập 1,2 • Rút kinh nghiệm: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 50: Kiểm tra bài cũ: 1. Câu hỏi: Làm Bài tập 1a,b 2: Tìm a) 6 1 lim 3 2 n n − + ; b) 3 5.4 lim 4 2 n n n n + + . * Đáp án: 1a) = = = 1 2 n 2 n 1 1 1 u ;u ; .;u 2 2 2 1 b)   = = =  ÷   n n n 1 1 limu lim lim 0 2 2 vì 1 1 2 < 2a) 6 1 lim 2 3 2 n n − = + 2b) 3 5.4 lim 4 2 n n n n + + =5 Bài mới: Hoạt động 1: Định lý về giới hạn hữu hạn. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV nêu nội dung định lý 1 Trường THPT Đức Trí 3 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến * Nhấn mạnh: +) Tính chất về giới hạn của một thương và giới hạn của một căn +) Sau này sẽ tính giới hạn dựa vào các giới hạn dặc biệt và định lý 1 GV tổ chức HS thực hiện VD VD1: Tính 6n 5 lim 3n 1 − + + + Chia cả tử và mẫu cho n. + Áp dụng định lý 1 để tính các giới hạn. + Áp dụng các giới hạn đặc biệt để tính. VD2: Tính 2 2 1 lim 3 2 1 n n n n − + + − ? VD3: Tính 2 2 2n lim 1 3n + + + Chia cả tử và mẫu cho n. + Đưa n vào trong dấu căn bậc hai. + Dựa vào định lý và các giới hạn đặc biệt để tính giới hạn Chú ý: Khi tính giới hạn của một dãy số bất kì các em có thể trình bày ngắn gọn không cần thiết sử dụng các công thức GHĐB. Cho HS thảo luận nhóm hai VD3, VD4. HS ghi nhận kiến thức HS thảo luận nhóm và cử đại diện lên trình bày. VD1: 6n 5 lim 3n 1 − + + 6n 5 5 6 n n lim lim 3n 1 1 3 n n − + − + = = + + 5 lim 6 n 1 lim 3 n   − +  ÷   =   +  ÷   ( ) 5 lim 6 lim n 1 lim3 lim n − + = + 1 6 lim5. n 3 0 − + = + 1 6 lim5.lim 6 5.0 6 n 2 3 3 3 − + − + − = = = = − VD2: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 lim lim 2 1 3 3 2 1 3 n n n n n n n n − + − + = = + − + − VD3: 2 2 2 2n 2 2n n lim lim 1 3n 1 3n n + + = + + 2 2 2 2 2 2n 2 2 2 lim 2 n n n lim lim 1 3n 1 1 3 lim 3 n n n + + + = = = +   + +  ÷   2 2 2 2 2 2 1 lim 2 lim lim2 lim2. 2 n n n 1 0 3 3 lim lim3 n 1 lim2.lim 2 2.0 2 2 n 3 3 3   + + +  ÷   = = = + + + + = = = Thảo luận nhóm rút ra tri thức. Trường THPT Đức Trí 4 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Hoạt động 2: Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh CSN có cơng bội q với q 1< được gọi là CSN lùi vơ hạn HS lấy VD về CSN lùi vơ hạn và chỉ ra cơng sai của CSN đó? ? Hãy tính tổng S n của n số hạng đầu tiên. ? limS n b»ng bao nhiªu. Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn. Hay: = − 1 n u S 1 q VD2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn với = n n 1 u 2 ? = n n 1 u 2 có phải là một CSN khơng. ? Chứng tỏ = n n 1 u 2 là một CSN lùi vơ hạn. VD3: Tính tổng ( ) n n n 1 1 1 1 1 S 1 . . 1 3 9 27 81 3 = − + − + + + − +… ? Chứng tỏ ( ) − n n 1 . 1 3 là một CSN lùi vơ hạn. ? Cơng thức tính tổng CSN lùi vơ hạn. VD4: Tính tổng 1 1 1 1 3 9 27 3 n S = + + + + +L L ? Chứng tỏ 1 3 n là CSN lùi vô hạn. ? Công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn ? Cho HS thảo luận nhóm về VD5 HS khắc sâu khái niệm. Ví dụ: n 1 1 1 1 1; ; ; ; . ; . 2 4 8 2 là CSN lùi vơ hạn với 1 q 2 = CSN (u n ), víi u 1 = 2 vµ q = 1/4. ( ) − = + + + + + = − n 1 n 1 2 3 4 n u . 1 q S u u u u . u 1 q ( ) − = = − − n 1 1 n u . 1 q u limS lim 1 q 1 q vì limq n = 0 VD2: = n n 1 u 2 Có = 1 1 u 2 ; = 2 1 u 4 nên 1 q 2 = Vậy: = = = − − 1 n 1 u 2 S 1 1 1 q 1 2 VD3: Ta có ( ) n n 1 1 1 1 1 1; ; ; ; ; .; . 1 3 9 27 81 3 − Là CSN lùi vơ hạn với 1 q 3 = − Nên: = = = − + 1 n u 1 3 S 1 1 q 4 1 3 VD4:  1 1 1 , 1 1 3 3 u q= − < = < . Trường THPT Đức Trí 5 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến  1 1 1 3 1 1 2 1 3 u S q = = = − − . Thảo luận nhóm. Củng cố và dặn dò ? Nắm vững nội dung định lý 1 ? Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Về nhà làm các bài tập 3 trong SGK và bài tập ứng dụng trong SBT. • Rút kinh nghiệm: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 51 Kiểm tra bài cũ 1. Câu hỏi: Làm BT 3b và L = 3 3.2 lim 3 2 n n n n + + . 2. Tính tổng 2 1 1 1 ( 1) 1 . 10 10 10 n n S − − = − + − + + + * Đáp án: + − = 2 2 3n n 5 3 lim 2n 2 và 2 1 3.( ) 3 3.2 3 lim lim 1 2 3 2 1 ( ) 3 + + = = + + n n n n n n 1 10 1 11 u S q = = − − Bài mới: ` Hoạt động 1: Định nghĩa giới hạn vô cực. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Tổ chức cho HS thực hiện HĐ2 Bảng sau đây cho biết bề dầy cảu một số chồng giấy (tính theo mm) 1 u … 1000 u … 1000 000 u … n u 0,1 … 100 … 100 000 … n 10 ? Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị n u khi n tăng lên vô hạn ? Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ trái đất tới mặt trăng?(Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm nhất định là 384.10 9 mm) HS đọc, theo dõi và suy ngẫm HĐ2 + Khi n t¨ng th× u n t¨ng theo vµ khi n dÇn tíi v« cùc th× u n còng tiÕn ®Õn v« cùc. + 9 8 n 384.10 n 384.10 10 > ⇔ > Trường THPT Đức Trí 6 Năm học: 2008-2009 Giỏo ỏn i s 11 c bn Giỏo viờn: Dng Minh Tin GV: Ta cng chng minh c rng = n n u 10 cú th ln hn mt s dng bt k k t mt s hng no ú tr i. Dóy s ( ) n u c gi l dn ti dng vụ cc khi n dn ti vụ cc GV cho HS ghi nhn nh ngha gii hn dn ti vụ cc Hãy xét mối liên hệ giữa giới hạn dơng vô cực và âm vô cực? GV cng c kin thc thụng qua VD v gii hn dóy s = 2 n u n v = 2 n u n ? Dãy trên có giới hạn bằng bao nhiêu. ? Hãy xác định : Lim(n k ) và lim (q n ) với q > 1. HS ghi nhn nh ngha gii hn dn ti vụ cc Nhn xột: ( ) = + = n n limu lim u + Có giới hạn vô cực + Biểu diễn dóy s đợc trờn trục số. + Limn k = + , với n nguyên dơng + Limq n = + . Hot ng 2: Mt vi gii hn c bit Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh Ta tha nhn cỏc kt qu sau: a) k limn = + vi k nguyờn dng b) n limq = + nu q>1 HS ly VD ( ) n lim 5 ? = ( ) 21 lim n ? = 3 2 lim 2 1 + n n n = ? 2 limn = + , 201 limn = + , n lim3 = + , n 9 lim 2 = + ữ ( ) n lim 5 = ( ) 21 lim n = 3 1 3 2 2 lim lim 2 1 1 1 2 + ữ + = = + ữ n n n n n Hot ng 3: nh lý Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh Ta tha nhn nh lý di õy a) lim lim 0 lim = = = n n n n u a u v v Nu b) lim 0 lim 0 lim 0 ( ) = > = = + > n n n n n u a u v v v n c) lim lim . lim 0 = + = + = > n n n n u u v v a GV cng c kin thc thụng qua cỏc VD HS ghi nhn kin thc Trng THPT c Trớ 7 Nm hc: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến VD1: Tính ( ) 2 lim 2n 5n 7+ − GV hướng dẫn HS cách làm + Chia hai n 2 . + Áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt. VD2: Tính n 3n 7 lim 2n.5 − GV hướng dẫn HS cách làm + Chia cả tử và mẫu cho n. + Tìm giới hạn của tử và mẫu sau khi chia cho n. + Phân tích và áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt. VD3: Tính 2 3 lim 2 . 1 − − + n n n + Đặt n làm thừa số chung. + Xác định giới hạn tử và mẫu. + Kết luận. VD1: ( ) 2 2 2 5 7 lim 2n 5n 7 limn 2 n n   + − = + −  ÷   Ta có 2 limn = +∞ và 2 5 7 lim 2 2 n n   + − =  ÷   nên ( ) 2 lim 2n 5n 7 + − = +∞ VD2: n n 7 3 3n 7 n lim lim 2n.5 2.5 − − = Ta có: 7 lim 3 n   −  ÷   =3 và n lim2.5 = +∞ Nên n n 7 3 3n 7 n lim lim 2n.5 2.5 − − = = 0 VD3: 3 2 2 3 lim lim 1 2 . 1 2 − − − − = + + n n n n n n 3 lim 2 2   − − = −  ÷   n và 1 lim 2   + = +∞  ÷   n n . 3 2 2 3 lim lim 0 1 2 . 1 2 − − − − ⇒ = = + + n n n n n n Hoạt dộng 4: Củng cố và dặn dò ? Định nghĩa giới hạn dần tới vô cực ? Nhắc lại các giới hạn đặc biệt, và nội dung định lí 2. Về làm các bài tập 7a, b và 8a. • Rút kinh nghiệm: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 52-TC BÀI TẬP Kiểm tra bài cũ: Câu 1: Định lí về giới hạn vô cực. Câu 2: Tính 3 lim 2 3 . n n n + − và 4 4 2 3 lim 2 n n + − Trường THPT Đức Trí 8 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Bài mới: Hoạt động 1: Tìm các giới hạn hữu hạn Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Bài 3: c) n n n n 3 5.4 lim 4 2 − + + Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất. + Sử dụng các áp công thức GHHH tính giới hạn tử, giới hạn mẫu. d) 2 3n n 1 lim 4n 2 − + − + Đưa lũy thừa bậc chẵn cao nhất ra khỏi căn. + Chia cả tử và mẫu cho n. Bài 4: Hướng dẫn HS nắm bắt đề bài. ? Bìa hình vuông ban đầu có độ dài bằng bao nhiêu. ? Hình vuông đầu tiên cần tô có độ dài bao nhiêu. ? Hình vuông sau có độ dài cạnh như thế nào so với hình vuông trước. ? Dựa vào các giá trị của u 1 , u 2 , u 3 các em hãy dự đoán công thức tổng quát của (u n ) và chứng minh. ? Nó có phải là một CSN. Nếu phải thì tính limS n tính được bằng cách nào. Bài 5: Tình tổng c) n n n n n n 3 5 3 5.4 4 lim lim 5 4 2 3 1 4   −  ÷ −   = = − +   +  ÷   d) 2 2 3n n 1 3n n 1 n lim lim 4n 2 4n 2 n − + − + = − − 2 2 3n n 1 3 n lim 2 4 4 n − + = = − Bài 4: a) Ta có:     = = = =  ÷  ÷       = = =  ÷   2 2 1 2 2 2.2 2 3 n 2.3 2.n 1 1 1 1 u ; u 2 2 4 2 1 1 1 u ; u 8 2 2 Chứng minh n u bằng phương pháp quy Ta có diện tích từng ô vuông lập thành một cấp số nhân với công bội 1 4 . = = 1 2.1 2 1 1 u 2 2 nên công thức đúng với n = 1 G/S với n = k đúng tức là: = k 2.k 1 u 2 Ta chứng minh: ( ) + + = k 1 2. k 1 1 u 2 Thật vậy: ( ) + + = = = k 1 k 2.k 2. k 1 1 1 1 1 u . u . 2 4 4 2 b) = + + + = = = − − 1 n 1 2 n 1 u 1 4 S u u . u 1 1 q 3 1 4 Bài 5: Trường THPT Đức Trí 9 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến ( ) ( ) − − = − + − + + + n 2 n 1 1 1 1 S 1 . . 9 9 9 Hướng dẫn HS nắm bắt đề bài. + Chứng minh nó là một CSN lùi vô hạn. + Sử dụng công thức tính tổng dựa vào giới hạn. Bài 6: Hướng dẫn HS giải. + Hãy phân tích a bằng tổng của một dãy số nào đó. + Chuyển dãy số đó về thành một CSN. + Sử dụng công thức giới hạn tính tổng của CSN đó. Ta có: ( ) ( ) − − − n 2 n 1 1 1 1 1; ; ; .; ; . 9 9 9 là CSN lùi vô hạn với số hạn đầu u 1 = -1 và công bội 1 9 q = − ( ) ( ) − − ⇒ = − + − + + + n 2 n 1 1 1 1 S 1 . . 9 9 9 − = = − + 1 9 1 10 1 9 Bài 6: a = 1,020202 .=1+0,02+0,0002+ . + ⇒ = + = − 2 2 2 101 100 =1+ + . a 1 1 100 10000 99 1 100 Hoạt dộng 2: Tính các giới hạn vô cực Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Bài 7: Hướng dẫn HS giải bài tập ? Các giới hạn này theo các em có dạng nào. ? Để giải các bài tập có dạng GHVC ta dùng thường sử dụng cách nào. Phân tích thành các giới hạn đơn giản, đặc biệt. Tương tự ( )   − + = − + = +∞  ÷   2 1 d )lim n n n lim n 1 limn n Bài 8: Tính a) 2 2 4 1 lim 3 2 n n n − − + b) 2 2 3 1 lim 1 2 n n n + + − c) 2 2 lim 1 n n   −  ÷ +   d) 2 2 lim 2 1 n n n n+ − + Chia cả tử và mẫu cho n lũy thừa bậc cao nhất. Bài 7: Tính các giới hạn sau ( ) 3 2 a )lim n 2n n 1 + − + = +∞ ( ) 2 b )lim n 5n 2 − + − = −∞ ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − + = − + 2 2 2 2 c ) lim n n n n n n . n n n lim n n n ( ) − − = = − + 2 n 1 lim 2 n n n HS thảo luận trình bày bài 8. 2 2 2 2 1 1 4 4 1 ) lim lim 2 3 3 2 2 − − − − = = + + n n n n a n n Trường THPT Đức Trí 10 Năm học: 2008-2009