Chuyên đề điểm cố định _1 (1)

1 CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LỜI NĨI ĐẦU Trong phân mơn hình học phẳng, tốn đường điểm cố định ln gây nhiều khó khăn cho học sinh tính trừu tượng Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh dạng tốn này, tơi xin giới thiệu đến thầy chun đề tốn điểm cố định, đường cố định Tôi kham khảo qua nhiều tài liệu cập nhật dạng toán điểm cố định, đường cố định thường kì thi gần Chuyên đề gồm tốn phần:  Hệ thơng kiến thức cần nhớ  Các ví dụ minh họa  Bài tập tự luyện  Hướng dẫn giải Mặc dù có đầu tư lớn thời gian song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học sinh! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bài toán đường cố định điểm cố định tốn khó, địi hỏi học sinh phải có kĩ phân tích tốn suy nghĩ, tìm tịi cách sâu sắc để tìm lời giải Một vấn đề quan trọng giải toán đường cố định điểm cố định dự đốn yếu tố cố định Thơng thường ta dự đoán yếu tố cố định phương pháp sau:  Giải toán trường hợp đặc biệt để thấy yếu tố cố định cần tìm Từ ta suy trường hợp tổng quát  Xét đường đặc biệt để họ đường để thấy yếu tố cố định cần tìm  Dựa vào tính đối xứng, tính độc lập, bình đẳng đối tượng để hạn chế phạm vi hình tứ tìm yếu tố cố định Khi giải toán đường cố định điểm cố định ta thường thực bước sau: a) Tìm hiểu tốn: Khi tìm hiểu toán ta xác định + Yếu tố cố định(điểm, đường, … ) + Yếu tố chuyển động(điểm, đường, … ) + Yếu tố không đổi(độ dài đoạn, độ lớn góc, … ) + Quan hệ khơng đổi(Song song, vng góc, thẳng hàng, … ) b) Dự đốn điểm cố định: Dựa vào vị trí đặc biệt yếu tố chuyển động để dự đoán yếu tố cố định Thơng thường ta tìm hai vị trí đặc biệt cộng thêm với đặc điểm bất biến khác tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đốn điểm cố định c) Tìm tịi hướng giải: Từ việc dự đốn yếu tố cố định tìm mối quan hệ yếu tố với yếu tố chuyển động, yếu tố cố định yếu tố khơng đổi CHUN ĐỀ HÌNH HỌC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho ba điểm A, C, B thẳng hàng theo thứ tự Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm D, E cho CE CA   Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đường tròn CB CD ngoại tiếp tam giác BEC H khác C Chứng minh đường thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển đoạn thẳng AB Phân tích tìm lời giải Tìm hiểu đề bài: M + Yếu tố cố định: đoạn thẳng AB   30 , ADB   60 + Yếu tố không đổi: BEC B C A D Do số đo cung BC cung CA không đổi H Ba điểm B, D, H thẳng hàng E, H, A thẳng hàng Dự đoán điểm cố định: Khi C trùng B (d) tạo với E BA góc 60 , suy điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA góc 60 Khi C trùng A (d) tạo với AB góc 30 , suy điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB góc 30 Khi By Az cắt M M điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định 90 nên M thuộc đường trịn đường kính AB Tìm hướng chứng minh: M thuộc đường trịn đường kính AB cố định cần chứng minh số đo   2MBA   2CHA   2CDA   120 cung AM khơng đổi Thật sdAM Lời giải Ta có tan D  CA   60 Ta lại có CHA   CDA   60  3D CD   60 Gọi giao điểm đường trịn đường kính AB với CH M Ta có MHA   2MCA   2CHA   2CDA   120 Do số đo cung MA khơng đổi Lại có đường Ta có sdAM trịn đường kính AB cố định nên M cố định CH ln qua M cố định Ví dụ Cho đường tròn  O; R  dây cung AB  R Lấy điểm P khác A B dây AB Gọi  C; R  đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn  O; R  A Gọi  D; R  đường CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC trịn qua P tiếp xúc với đường tròn  O; R  B Các đường tròn  C; R   D; R  cắt M khác P Chứng minh P di động AB đường thẳng PM ln qua điểm cố định Phân tích tìm lời giải Tìm hiểu đề bài: + Yếu tố cố định: Đường tròn  O; R  dây AB + Yếu tố khơng đổi: DPCO hình bình hành Số đo cung BP đường tròn  D; R  số đo cung AP O M  khơng đổi đường trịn  C; R  , số đo góc BMA Dự đốn điểm cố định: Khi P trùng với A PM B D C A P tiếp tuyến  O; R  nên điểm cố định nằm tiếp tuyến  O; R  A Khi P trùng với B PM tiếp tuyến  O; R  nên điểm cố định nằm tiếp tuyến  O; R  B I Do tính chất đối xứng hình nên điểm cố định nằm đường thẳng qua O vng góc với AB Do điểm cố định nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB Lời giải Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM I Vì AB  R nên số đo cung AB đường   DPB  tam giác OAB cân tròn  O; R  120 Tam giác BDP cân ta D nên ta OBA   OAB  Do ta BDP   BOA  nên số đo cung BP đường tròn O nên OBA  D; R  số đo cung BA đường tròn đo cung PA  C; R   O; R  120 Hoàn toàn tương tự ta số   60 AMP   600 nên 120 Do ta có BMP   BMP   AMP   120  BOA  BMA   BOA  nên tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đường trịn ngoại tiếp Tứ giác BMOA có BMA   PMA   120 Vậy I thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác BOA Từ suy IMA AOB số đo cung IA 120 nên I cố định Vậy MP qua I cố định Ví dụ Cho hình vng ABCD có tâm O Vẽ đường thẳng d quay quanh O cắt AD, BC thứ tự E, F Từ E, F vẽ đường thẳng song song với BD, CA chúng cắt I Qua I vẽ CHUN ĐỀ HÌNH HỌC đường thẳng m vng góc với EF Chứng minh m qua điểm cố định d quay quanh O Phân tích tìm lời giải Khi điểm E trùng với điểm A HI qua A vng góc với AC Khi điểm E trùng với điểm D HI qua B vng góc với BD Do tính chất đối xứng hình vẽ nên điểm cố định nằm đường trung trức AB Từ ta dự đốn điểm cố định K nằm đường trịn đường kính AB Lời giải   IAE   180 Dễ thấy điểm I thuộc AB Ta có IHE nên tứ giác IHEA nội tiếp Từ suy   IEA   450 IHA   IBF   180 nên tứ giác IHFB nội tiếp Ta lại có IHF   BFI   450 Do BHI   IHA   BHI   90 nên H thuộc đường tròn Vẽ đường tròn đường kính AB ta có BHA đường kính AB Giả sử HI cắt đường trịn đường kính AB K Khi ta có   2KHA   2IHA   90 sdKA Do K thuộc đường trịn đường kính AB số đo cung KA 90 nên điểm K cố định Vậy HI qua điểm K cố định d quay quanh O Ví dụ Cho đường trịn (O) bán kính R đường thẳng d cắt (O) C, D Một điểm M di động d cho MC  MD ngồi đường trịn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB (với A, B tiếp điểm) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Phân tích tìm lời giải CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Do đường thẳng OH cho trước, nên dự đoán F AB cắt OH điểm cố định Gọi H trung điểm CD giao điểm AB với MO, OH E, A F Ta thấy tứ giác MEHF nội tiếp tam giác OMH vng nên ta suy OF khơng đổi Từ suy F cố định C H O D M E Lời giải Gọi H trung điểm CD giao điểm AB với B MO, OH E, F Tam giác OBM vng B có đường cao BE nên ta OE.OM  OB  R   FEM   900 nên tứ giác MEHF nội tiếp Ta lại có FHM  chung OHM   OEF   90 nên đồng dạng với Xét hai tam giác OHM OEF có góc MOF Do ta OH OM OE.OM   OF  OE OF OH Từ ta OF  R2 Do đường tròn (O) đường thẳng d cho trước nên OH không đổi Từ OH suy OF khơng đổi Mà điểm O cố định nên điểm F cố định Vậy đường thẳng AB qua điểm F cố định Nhận xét: Bài toán trường hợp điểm M nằm tia đối tia CD Khi đường thẳng AB qua điểm F cố định Ví dụ Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm A C Đường tròn (O) thay đổi qua A B Gọi PQ đường kính đường trịn (O), PQ vng góc AB, (P thuộc cung lớn AB) Gọi CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh QI qua điểm cố định đường tròn (O) thay đổi Phân tích tìm lời giải CHUN ĐỀ HÌNH HỌC Do điểm A, B, C cố định nên ta dự đoán P đường thẳng IQ cắt AB điểm cố định Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp Dựa vào tứ giác nội tiếp tam giác đồng dạng ta chứng minh đường thẳng I O cho qua K cố định A Lời giải D K B C Gọi IQ cắt AB K Ta có tứ giác PDKI nội tiếp  chung Xét hai tam giác vng CIK CDP có DCP Q nên tam giác CIK đồng dạng tam giác CDP, suy CI CK   CI.CP  CD.CK CD CP Lại thấy hai tam giác CIB CAP đồng dạng nên suy CI CA   CI.CP  CA.CB CB CP CA.CB CD Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD khơng đổi Khi độ dài CK khơng đổi nên ta suy Từ ta CK.CD  CA.CB  CK  điểm K cố định Suy IQ qua điểm K cố định đường trịn (O) thay đổi Ví dụ Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B cố định thuộc đường trịn (AB khơng phải  Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt đường kính) Gọi M trung điểm cung nhỏ AB khơng nằm đường trịn Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn cho tương ứng E, F khác M a) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn b) Gọi O1 , O tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BDF Chứng minh C, D thay đổi đoạn AB đường thẳng AO1 BO cắt điểm cố định Phân tích tìm lời giải + Để chứng bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn ta chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp, muốn ta chứng minh + Đường trịn (O) cho trước nên dự đốn AO1 qua điểm cung lớn AB Vận dụng tứ giác nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng qua điểm cố định, điểm cung Lời giải a) Ta xét trường hợp sau CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC + Xét trường hợp C nằm A D Khi ta thấy M     sdMB   sdAE  MCB    sdMA   sdAE  MFE C A  D B H O O1 Mà ta thấy số đo hai cung MB MA nên ta   BCE   180 nên   MFE  Lại có MCB MCB E F   MFE   180 Từ suy tứ giác CDFE suy BCE N nội tiếp đường tròn + Xét trường hợp D nằm A C Chứng minh hoàn toàn tương tự ta bốn điểm C, D, F, E nằm đường tròn Vậy bốn điểm C, D, F, E nằm đường tròn b) Ta xét trường hợp C nằm A D, trường hợp lại chứng minh tương tự Hạ O1H  AC có O1A  O1C nên tam giác O1 AC cân O1    C ta AO C  2AO H Do O H tia phân giác góc AO 1   nên suy AO   C  2AEC H  AEC Mà ta có AO 1   MAB  nên AO   H  MAB Lại có AEC    90 H  HAO Xét tam giác AO H vuông H nên AO 1 1   HAO   900 nên MAO   90 Do ta MAB 1 Suy MA tiếp tuyến đường tròn (O1)   2MAN   180 nên M, O, N thẳng hàng Kéo dài AO1 cắt đường tròn (O) N, suy MON  Lại có MN vng góc với AB nên N điểm cung lớn AB  Do AO ; BO qua N Lập luận tương tự BO qua N điểm cung lớn AB  điểm cung lớn AB Vậy AO ; BO qua điểm cố định Ví dụ Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh BC (D khác B C) Đường tròn  O1  qua D tiếp xúc AB B Đường tròn  O  qua D tiếp xúc AC C Gọi E giao điểm thứ hai đường tròn  O1  đường tròn  O  Chứng minh D di động đoạn BC đường thẳng ED ln qua điểm cố định Kết cịn khơng trường hợp D di động ngồi đoạn BC Phân tích tìm lời giải Chứng minh A, B, C, E nằm đường tròn Gọi DE cắt đường tròn  O  điểm thứ hai S Ta dự đoán đường thẳng DE qua điểm cố định S Tuy nhiên để chứng minh S cố định ta cần số đo cung SA, SB, SC khơng đổi CHUN ĐỀ HÌNH HỌC Lời giải Gọi  O  đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn  O1  qua D tiếp xúc với AB   BED  Đường tròn O qua D tiếp xúc với AC C B nên ABC  2   CED  Nên ACB A S   BED   CED   BAC   ABC   ACB   1800 Suy BAC Do tứ giác ABEC nội tiếp đường trịn Gọi DE cắt đường tròn  O  điểm thứ hai S Từ O   BED  ta suy nên hai cung AC SB ABC D B O1 Mà số đo cung AC không đổi B cố định nên điểm C O2 E S cố định Do S điểm cố định Vậy đường thẳng ED qua điểm cố định Trường hợp điểm D nằm đoạn BC Chẳng hạn D nằm tia đối tia CB(trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự) Ta chứng minh bốn điểm A, B, C, E nằm đường tròn  O  Gọi DE cắt  O  điểm thứ hai S Kẻ tia Cy tia đối tia CA Khi đường tròn  O    DCy;  DCy   ACB  Suy CED   ACB  nên ta SEC   180  CED  khơng đổi ta có CED Vậy điểm S cố định Vậy đường thẳng ED qua điểm cố định Ví dụ Cho góc vuông xAy, điểm B cố định Ay, điểm C di chuyển Ax Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự M, N Chứng minh đường thẳng MN ln qua điểm cố định Phân tích tìm lời giải Chứng minh tứ giác BIHN nội tiếp, dựa vào tứ giác nội tiếp để chứng minh MN qua điểm cố định Lời giải Gọi H giao điểm AI với MN Từ B CM  CN nên tam giác CMN cân C   90  C  Suy CNM N H   90  C  BNH Do I giao điểm đường phân giác I A M C CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 10   900  C  Do ta tam giác ABC nên BIA   BNH  nên suy tứ giác BIHN nội BIA tiếp   90  BHI   90 Do tam giác ABH vng H Lại có BNI   450 nên suy tam giác ABH vuông cân H Do A, B cố định nên điểm H cố Mà ta có BAH định Vậy MN ln qua điểm H cố định    Suy    tam giác ABH vng H BAH Nhận xét: Trường hợp tổng quát xAy điểm H cố định Ví dụ Cho đường trịn tâm O, dây AB Điểm M di chuyển cung lớn AB Các đường cao AE, BF tam giác ABM cắt H Đường trịn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự C, D a) Chứng minh đường thẳng kẻ từ M vng góc với CD qua điểm cố định b) Chứng minh đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD qua điểm cố định Phân tích tìm lời giải + Trong phần a, dựa vào tứ giác ABEF nội tiếp đường x tròn ta dự đốn đường thẳng kẻ từ M vng góc với M CD qua điểm O cố định Để có điều E F ta cần chứng minh OM vng góc với CD + Trong phần b, dựa vào tính chất tam giác C khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến D H O B A K cạnh tương ứng Lời giải   MAB  Do a) Kẻ tiếp tuyến Mx với đường trịn (O) Khi theo tính chất tiếp tuyến ta có BMx AE BF đường cao tam giác MAB nên tứ giác ABEF nội tiếp đường trịn đường kính AB   MAB  Do MEF   BMx  , suy Mx//EF Suy OM vng góc với EF Từ ta có MEF Ta có H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD HE vng góc với MD nên E trung điểm MD CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ... điểm O cố định nên điểm F cố định Vậy đường thẳng AB qua điểm F cố định Nhận xét: Bài toán trường hợp điểm M nằm tia đối tia CD Khi đường thẳng AB qua điểm F cố định Ví dụ Cho đoạn thẳng AC cố. .. BC CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 22 trung điểm MN, O giao điểm AC BD Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định Phân tích tìm lời giải Hình thang ABCD cố định nên O cố định Ta dự đoán IK qua điểm cố định. .. đổi BC cố định AC CD nên điểm D M cố định Do điểm N M đối xứng qua D nên N cố định hay đường trung trực PQ qua điểm cố định Ví dụ 21 Cho điểm A thay đổi nằm ngồi đường trịn tâm (O; R) cố định Vẽ