Đề thi học sinh giỏi 10

Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội Trường THPT Cổ Loa Kì thi Olympic Toán học Môn Toán 10 Thời gian làm bài: 150 phút Bài I ( 4 điểm) Giải phương trình 2 2 ( 3) 2 3 4 5x x x x x+ + + = + + Bài II ( 4 điểm ) Cho (P): y = x 2 và hai điểm A, B thuộc (P) lần lượt có hoành độ là – 1 và 3. Điểm M di động trên cung nhỏ AB của (P). Chứng minh rằng S ΔABM ≤ 8 (đơn vị diện tích). Bài III ( 4 điểm ) Tìm a và b để hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x xy z a x x y z b x y z  + =  + =   + + =  có nghiệm duy nhất. Bài IV ( 4 điểm ) Cho ΔABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp ΔABC tiếp xúc với cạnh AC và BC lần lượt tại M và P. BM cắt đường tròn nội tiếp tam giác tại điểm thứ hai là N. Biết rằng N là trung điểm của BM và BM = 12 2 . a)Chứng minh rằng ΔBNP đồng dạng ΔBPM. b) Tính độ dài các cạnh của ΔABC. Bài V ( 4 điểm ) Chứng minh rằng với x, y, z là các số thực dương thì 3 (1 )(1 )(1 ) 2(1 ) x y z x y z y z x xyz + + + + + ≥ + -------------Hết-------------- . Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội Trường THPT Cổ Loa Kì thi Olympic Toán học Môn Toán 10 Thời gian làm bài: 150 phút Bài I ( 4 điểm) Giải phương trình