Về đồng dư đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HOÀN VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HOÀN VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Kiều Nga THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Thị Kiều Nga, trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán K11A, bạn học viên đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Hoàn i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kiến thức đa thức ẩn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Bậc đa thức 1.1.3 Phép chia với dư 1.1.4 Nghiệm đa thức 1.1.5 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ đa thức Một số định lý số học Đồng dư đa thức 10 2.1 Đồng dư đa thức với môđun đa thức 10 2.2 Tập hợp gồm lớp tương đương theo quan hệ đồng dư 2.3 môđun đa thức 15 Trường A[x] (p(x)) 17 2.4 Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố 18 2.5 Đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố 2.6 Đồng dư x2 ≡ a (mod m) 2.7 Phương trình đồng dư bậc hai tổng quát 35 23 29 Một số ứng dụng đồng dư đa thức giải toán sơ cấp 38 3.1 Tìm đa thức dư chia đa thức f (x) cho g(x) A[x] 38 3.2 Chứng minh đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) A[x] 40 3.3 Tìm điều kiện để f (x) chia hết cho g(x) 6= A[x] 43 ii 3.4 Bài toán nghiệm đa thức 51 3.5 Một số toán khác 51 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 iii Mở đầu Đa thức khái niệm quan trọng toán học Đa thức không đối tượng nghiên cứu Đại số mà cịn cơng cụ quan trọng sử dụng nghiên cứu Giải tích Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu Trong kỳ thi học sinh giỏi nước toán đa thức thường đề cập đến Vì chương trình tốn phổ thông đa thức chuyên đề quan trọng cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng dư đa thức vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đa thức mà trường hợp đặc biệt phương trình đồng dư đồng dư thức Theo [4], cho A trường, f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= Ta nói f (x) đồng dư với g(x) theo môđun p(x) f (x) − g(x) chia hết cho p(x) A[x] Vì "đồng dư đa thức theo mơđun đa thức" coi tổng quát khái niệm "đồng dư thức" biết Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu đồng dư đa thức theo môđun đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Các kết luận văn tham khảo tài liệu [2], [4], [6], [7] Hơn nữa, đưa đặc trưng đồng dư đa thức theo môđun đa thức (Mệnh đề 2.1.2) số tính chất đồng dư đa thức theo mơđun đa thức (Định lý 2.1.3) Sử dụng đồng dư đa thức, nghiên cứu số ứng dụng đồng dư đa thức giải toán sơ cấp Luận văn gồm chương Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị đa thức số tính chất số học cần thiết cho chương sau Chương 2: Nghiên cứu đồng dư đa thức: Đồng dư đa thức theo môđun đa thức số trường hợp đặc biệt môđun số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Chương 3: Trình bày số ứng dụng đồng dư đa thức toán sơ cấp Mặc dù cố gắng thời gian lực nghiên cứu hạn chế nên mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức đa thức ẩn kiến thức số học khái niệm đa thức, bậc, nghiệm đa thức, số định lý thường gặp Định lý phép chia với dư, Định lý Bezout, Viete, hàm Euler, số định lý quan trọng số học, nhằm thuận tiện cho việc theo dõi chương sau 1.1 1.1.1 Một số kiến thức đa thức ẩn Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành giao hốn có đơn vị Một đa thức ẩn với hệ số A biểu thức có dạng: f (x) = a0 + a1 x + + am xm , ∈ A với i = 0, m x kí hiệu gọi biến Khi đó, gọi hệ số thứ i đa thức, xi gọi hạng tử thứ i đa thức, a0 gọi hạng tử tự Kí hiệu A[x] tập đa thức biến x với hệ số A Cho hai đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn g(x) = b0 + b1 x + + bm xm thuộc A[x] Khơng giảm tính tổng quát, ta giả sử m > n m = n + t Khi g(x) = b0 + b1 x + + bn xn + bn+1 xn+1 + + bn+t xn+t Ta nói hai đa thức f (x) g(x) = bi với i = 0, n bn+1 = = bn+t = Định nghĩa 1.1.2 Cho hai đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn g(x) = b0 + b1 x + + bm xm thuộc A[x] Khi max {n,m} f (x) + g(x) = X (ai + bi )xi i=0 f (x)g(x) = m+n i X X i=0  aj bi−j xi j=0 Quy ước = i > n bi = i > m Khi A[x] vành giao hốn có đơn vị với phép cộng phép nhân đa thức, A[x] gọi vành đa thức ẩn với hệ số A 1.1.2 Bậc đa thức Định nghĩa 1.1.3 Bậc đa thức khác A[x] f (x) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn n an 6= 0, kí hiệu deg f (x) = n Quy ước, đa thức khơng có bậc có bậc −∞ Sau tính chất bậc đa thức Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), g(x) hai đa thức khác thuộc A[x] (i) Nếu f (x) + g(x) 6=   n o deg f (x) + g(x) max deg f (x), deg g(x) (ii) Nếu f (x)g(x) 6=   deg f (x)g(x) deg f (x) + deg g(x), đẳng thức xảy A miền nguyên 1.1.3 Phép chia với dư Định lý 1.1.5 (Định lý phép chia với dư) Cho A vành giao hoán có đơn vị f (x), g(x) hai đa thức thuộc A[x], g(x) đa thức có hệ số cao khả nghịch A Khi tồn q(x), r(x) ∈ A[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) deg r(x) < deg g(x) r(x) 6= Các đa thức q(x) r(x) định lý gọi đa thức thương dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Kết sau hệ trực tiếp Định lý phép chia với dư trường hợp đa thức g(x) đa thức bậc có hệ số cao Hệ 1.1.6 (Định lý Bezout) Cho A vành giao hoán có đơn vị g(x) ∈ A[x], α ∈ A Khi dư phép chia f (x) cho x − α f (α) Chú ý 1.1.7 Cho f (x) ∈ A[x], α ∈ A Ta có lược đồ sau gọi lược đồ Horner để tìm thương dư phép chia f (x) cho x − α Giả sử n P f (x) = xi , an 6= Theo Định lý phép chia với dư, chia f (x) cho i=0 x − α, ta f (x) = (x − α)q(x) + r với r = f (α) deg q(x) = n − Giả sử q(x) = bn−1 xn−1 + + b1 x + b0 Đồng hệ số, ta có bn−1 = an , bn−2 = an−1 + αbn−1 , , bk−1 = ak + αbk , , b0 = a1 + αb1 , r = a0 + αb0 an an−1 a1 a0 α bn−1 = an bn−2 = an−1 + αbn−1 b0 = a1 + αb1 r = a0 + αb0 A[x] (p(x)) = q d   Ví dụ 2.2.3 Cho A = Z 3Z = Z3 = 0, 1, (mod 3) m(x) = x3 + ∈ Z3 (x)  Ta có Z3 [x] (m(x)) = 33 = 27   Ví dụ 2.2.4 Cho A = Z 2Z = Z2 = 0, (mod 2) m(x) = x4 + x2 + ∈ Z2 [x], deg m(x) =   Ta có Z2 [x] (m(x)) = 24 = 16 Khi Z2 [x] (m(x)) gồm phần tử sau: [0], [1], [x], [x + 1], [x2 ], [x2 + 1], [x2 + x], [x2 + x + 1], [x3 ], [x3 + 1], [x3 + x], [x3 + x + 1], [x3 + x2 ], [x3 + x2 + 1], [x3 + x2 + x], [x3 + x2 + x + 1] 16 2.3 Trường A[x] (p(x)) Trên A[x] (p(x)) định nghĩa phép toán cộng nhân sau: [a(x)]p(x) + [b(x)]p(x) = [a(x) + b(x)]p(x) [a(x)]p(x) [b(x)]p(x) = [a(x)b(x)]p(x) , Khi phép cộng phép nhân khơng phụ thuộc vào phần tử đại diện Nghĩa là, [a(x)]p(x) = [a0 (x)]p(x) [b(x)]p(x) = [b0 (x)]p(x) ,

hay a(x) ≡ a0 (x) mod p(x) , b(x) ≡ b0 (x) mod p(x)
a(x) + b(x) ≡ a0 (x) + b0 (x) mod p(x)
a(x)b(x) ≡ a0 (x)b0 (x) mod p(x) Do [a(x) + b(x)]p(x) = [a0 (x) + b0 (x)]p(x) [a(x)b(x)]p(x) = [a0 (x)b0 (x)]p(x) Suy A[x] (p(x)) vành giao hốn có đơn vị := [1]p(x) phần tử không := [0]p(x) , với [a(x)](p(x)) ∈ A[x] (p(x)) có phần tử đối [−a(x)]p(x) Mệnh đề sau cho điều kiện để A[x] (p(x)) trường Mệnh đề 2.3.1 Giả sử p(x) ∈ A[x] đa thức có bậc lớn Khi A[x] (p(x)) trường p(x) đa thức bất khả quy A Chứng minh (⇒) Giả sử p(x) không bất khả quy A Khi đó, ta có p(x) = r(x)s(x), với r(x), s(x) ∈ A[x] deg r(x), deg s(x) < deg p(x) 17 Do [r(x)](p(x)) , [s(x)](p(x)) ∈ A[x] (p(x)), [r(x)]p(x) [s(x)]p(x) 6= [0]p(x) Vì [r(x)]p(x) [s(x)]p(x) = [p(x)]p(x) = [0]p(x) nên A[x] (p(x)) có ước khơng Suy A[x] (p(x)) không trường (⇐) Giả sử [a(x)]p(x) ∈ A[x] (p(x)), [a(x)]p(x) 6= [0]p(x) Khi đó, ta có
a(x) p(x) Do a(x), p(x) = Vì p(x) đa thức bất khả quy A nên tồn r(x), s(x) ∈ A[x] cho a(x)r(x) + p(x)s(x) = Suy := [1] = [a(x)r(x) + p(x)s(x)]p(x) = [a(x)r(x)]p(x) + [p(x)s(x)]p(x) = [a(x)r(x)]p(x) = [a(x)]p(x) [r(x)]p(x) Do [r(x)]p(x) phần tử nghịch đảo [a(x)]p(x) Suy A[x] (p(x)) trường  Ví dụ 2.3.2 Q[x] (x2 − 5) trường x2 − đa thức bất khả quy Q Nếu h i [a + bx] phần tử khác [0] nghịch đảo a/d − (b/d)x với d = a2 − 5b2 Trong mục chương này, xét trường hợp đặc biệt đồng dư đa thức theo môđun đa thức Các kết mục tham khảo [2], [6], [7] Trước hết ta xét đồng dư tuyến tính 2.4 Đồng dư đa thức với mơđun ngun tố Trong phần này, xét trường hợp đặc biệt đồng dư đa thức với môđun đa thức p(x) số nguyên tố g(x) = Trong suốt phần ta giả thiết đa thức thuộc Z[x] Định lý sau suy từ Định lý phép chia với dư 18 Định lý 2.4.1 Cho f (x) đa thức nguyên Số nguyên c nghiệm đồng dư f (x) ≡ (mod m) tồn đa thức p(x) số nguyên b cho f (x) = (x − c)p(x) + mb Chứng minh Theo Định lý phép chia với dư, giả sử f (x) = (x − c)p(x) + a, p(x) đa thức nguyên a đa thức hằng, nghĩa số nguyên Mặt khác ta có f (c) = a c nghiệm đồng dư a ≡ (mod m), nghĩa a = mb Suy điều cần chứng minh Ta xét đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod p), p số nguyên tố Nếu bậc deg f (x) > p, ta làm giảm bậc f (x) sau: Chia đa thức f (x) cho xp − x, theo Định lý phép chia với dư tồn hai đa thức q(x) r(x) cho f (x) = (xp − x)q(x) + r(x) deg r(x) < p Theo Định lý Fermat, ta có ap − a ≡ (mod p) f (a) ≡ r(a) (mod p), với số nguyên a Sử dụng điều ta chứng minh kết sau Định lý 2.4.2 Nếu p số nguyên tố với đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod p) tương đương với đồng dư đa thức r(x) ≡ (mod p), r(x) đa thức có bậc nhỏ p Ta chứng minh định lý theo phương pháp khác cách sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.4.3 Giả sử n > p n ≡ r (mod (p − 1)), với r p − Khi đó, xn ≡ xr (mod p) với x 19
Chứng minh Vì n ≡ r mod (p − 1) nên n = q(p − 1) + r Nếu x 6≡ (mod p) theo Định lý Fermat ta có xp−1 ≡ (mod p) Nếu x ≡ (mod p) hiển nhiên xn ≡ xr (mod p) Sử dụng Bổ đề 2.4.3 ta thay tất số hạng có bậc x lớn p đồng dư đa thức f (x) số hạng tương đương có bậc nhỏ p cho ta đa thức nguyên r(x) có bậc nhỏ p có nghiệm tương tự đồng dư đa thức môđun p đa thức f (x) Ví dụ 2.4.4 Xét đồng dư x11 + 2x8 + x5 + 3x4 + 4x3 + ≡ (mod 5) Đặt f (x) = x11 + 2x8 + x5 + 3x4 + 4x3 + chia f (x) cho g(x) = x5 − x Ta có f (x) = (x6 + 2x3 + x2 + 1)(x5 − x) + 5x4 + 5x3 + x + Do đồng dư tương đương với 5x4 + 5x3 + x + ≡ (mod 5), suy x + ≡ (mod 5) có nghiệm x ≡ (mod 5) Theo Bổ đề 2.4.3 11 ≡ 3, ≡ 4, ≡ theo môđun Ta thay x11 , 2x8 , x5 tương ứng x3 , 2x4 , x Từ ta có x3 + 2x4 + x + 3x4 + 4x3 + = 5x4 + 5x3 + x + ≡ x + (mod 5) Định lý 2.4.5 Cho p số nguyên tố Các số a1 , a2 , , ak ∈ Z, không đồng dư với môđun p với i = 1, k Khi , i = 1, k nghiệm đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod p) tồn hai đa thức nguyên q(x) r(x) cho: f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ak )q(x) + pr(x) deg r(x) < k Chứng minh Nếu tồn đa thức q(x), r(x) thỏa mãn điều kiện định lý f (aj ) = pr(aj ) ≡ (mod p) Suy aj nghiệm đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod p) với ∀j = 1, k Điều ngược lại chứng minh quy nạp theo k Với k = tồn q(x), r(x) theo Định lý 2.4.1 Giả sử định lý với k − nghiệm Khi tồn đa thức q1 (x), r1 (x) cho f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ak−1 )q1 (x) + pr1 (x) Vì f (ak ) ≡ (mod p) nên ta có (ak − a1 )(ak − a2 ) (ak − ak−1 )q1 (ak ) ≡ (mod p) 20 (2.4) ... 1( mod p) Chương Đồng dư đa thức Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề đồng dư đa thức là: Đồng dư đa thức với môđun đa thức, đồng dư đa thức với môđun nguyên tố đồng dư đa thức với môđun... đặc trưng đồng dư đa thức theo môđun đa thức (Mệnh đề 2.1.2) số tính chất đồng dư đa thức theo môđun đa thức (Định lý 2.1.3) Sử dụng đồng dư đa thức, nghiên cứu số ứng dụng đồng dư đa thức giải... "đồng dư đa thức theo mơđun đa thức" coi tổng quát khái niệm "đồng dư thức" biết Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu đồng dư đa thức theo môđun đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên