Giáo Trình Xử Lý Số Tín Hiệu

TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN KHOA KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Người biên soạn: Phạm Hồng Thịnh Quy Nhơn 2009 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 1.1 NHẬP MÔN 1.1.1 ðịnh nghĩa tín hiệu 1.1.2 Phân loại tín hiệu 1.1.3 Hệ thống xử lý tín hiệu 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.1 Các dạng biểu diễn dãy số 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 1.2.3 Các phép toán dãy 12 1.3 HỆ THỐNG RỜI RẠC 13 1.3.1 Khái niệm 13 1.3.2 Phân loại hệ thống rời rạc 15 1.3.2.1 Hệ thống không nhớ (Memoryless systems) 15 1.3.2.2 Hệ thống tuyến tính (Linear systems) 15 1.3.2.3 Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems) 16 1.3.2.4 Hệ thống nhân (Causal systems) 16 1.3.2.5 Hệ thống ổn ñịnh (Stable systems) 17 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian 17 1.3.3.1 Khái niệm 17 1.3.3.2 Tích chập 18 1.3.3.3 Các tính chất hệ thống tuyến tính bất biến 21 1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 25 1.4.1 Khái niệm 25 1.4.2 Nghiệm PTSP-TT-HSH 25 1.5 HỆ THỐNG RỜI RẠC ðỆ QUY (RECURSIVE) VÀ KHÔNG ðỆ QUY (NONRECURSIVE) 31 1.5.1 Hệ thống khơng đệ quy FIR 31 1.5.2 Hệ thống ñệ quy IIR 31 1.5.3 Thực hệ FIR IIR 34 1.6 HÀM TƯƠNG QUAN VÀ HÀM TỰ TƯƠNG QUAN 35 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.6.1 Hàm tương quan 35 1.6.2 Hàm tự tương quan 37 Chương BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 39 2.1 BIẾN ðỔI Z 39 2.1.1 Biến ñổi Z thuận 39 2.1.1.1 Biến đổi Z hai phía 39 2.1.1.2 Biến ñổi Z phía 40 2.1.2 Miền hội tụ biến ñổi Z 41 2.1.3 Các tính chât biến đổi z 45 2.1.4 Biến ñổi z hữu tỷ 47 2.2 BIẾN ðỔI Z NGƯỢC 49 2.2.1 ðịnh lí Cauchy 49 2.2.2 Biến ñổi z ngược 49 2.2.3 Các phương pháp tìm biến đổi z ngược 50 2.2.3.1 Phương pháp thặng dư 50 2.2.3.2 Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa 51 2.2.3.3 Phương pháp phân tích X(z) thành tổng phân thức tối giản 53 2.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z 60 2.3.1 Hàm truyền ñạt hệ thống TT-BB 60 2.3.2 Hàm truyền đạt hệ mơ tả PT – SP – TT –HSH 60 2.3.3 Giải phương trình sai phân TT – HSH sử dụng biến đổi z 61 2.3.4 Phân tích hệ thống TT – BB miền z 64 CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC ω 76 3.1 BIẾN ðỔI FOURIER 77 3.1.1 Biến ñổi Fourier thuận 77 3.1.1.1 ðịnh nghĩa 78 3.1.1.2 Sự tồn biến ñổi Fourier 78 3.1.1.3 Các dạng biểu diễn hàm X(ejω) 79 3.1.1.4 Quan hệ biến ñổi Fourier biến ñổi Z 81 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.1.2 Biến ñổi Fourier ngược 82 3.1.3 Các tính chất biến đổi Fourier 83 3.2 PHỔ CỦA TÍN HIỆU SỐ 88 3.2.1 Các đặc trưng phổ tín hiệu số 88 3.2.2 Phổ tín hiệu liên tục x(t) tín hiệu lấy mẫu x(n.T) 90 3.3 ðẶC TÍNH TẦN SỐ VÀ HÀM TRUYỀN ðẠT PHỨC CỦA HỆ XỬ LÝ SỐ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN NHÂN QUẢ 93 3.3.1 ðặc tính tần số hàm truyền đạt phức H(ejω) 93 3.3.2 Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền ñạt phức H(ejω ) 96 3.4 CÁC BỘ LỌC SỐ LÝ TƯỞNG 98 3.4.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng 98 3.4.2 Bộ lọc thông cao lý tưởng 100 3.4.3 Bộ lọc dải thông lý tưởng 102 3.4.4 Bộ lọc dải chặn lý tưởng 104 3.4.5 Bộ lọc số thực tế 107 CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC (MIỀN K) 108 4.1 BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY TUẦN HOÀN 108 4.2 BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY KHƠNG TUẦN HỒN CĨ ðỘ DÀI HỮU HẠN (DFT) 110 4.2.1 Biến ñổi Fourier rời rạc (DFT) 110 4.2.2 Quan hệ DFT với FT ZT 114 4.3 PHÉP DỊCH VỊNG, TÍCH CHẬP VỊNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT 116 4.3.1 Phép dịch vòng tích chập vòng DFT 116 4.3.1.1 Phép dịch vòng 116 4.3.1.1 Phép dịch vòng 119 4.3.2 Các tính chất DFT 122 4.4 TÍNH TRỰC TIẾP DFT VÀ IDFT 126 4.4.1 Số lượng phép toán tính trực tiếp DFT IDFT 126 4.4.2 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, ñối xứng, N lẻ 127 4.4.3 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, ñối xứng, N chẵn 132 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.4.4 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N lẻ 134 4.4.5 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N chẵn 137 Chương TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN 141 5.1 PHÂN TÍCH BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 141 5.1.1 ðặc tính xung h(n) lọc số FIR pha tuyến tính 141 5.1.2 ðặc tính tần số lọc số FIR pha tuyến tính 145 5.1.2.1 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 146 5.1.2.2 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 149 5.1.2.3 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 149 5.1.2.4 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 151 5.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 152 5.2.1 Phương pháp cửa sổ 152 5.2.1.1 Các bước thiết kế lọc số phương pháp cửa sổ 150 5.2.1.2 Một số hàm cửa sổ thường dùng 153 5.2.2 Phương pháp lấy mẫu tần số 160 5.2.2.1 Cơ sở phương pháp lấy mẫy tần số 160 5.2.2.2 Các bước tổng hợp lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số 163 CHƯƠNG THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ CĨ ðÁP ỨNG XUNG CĨ CHIỀU DÀI VƠ HẠN IIR 165 6.1 CƠ SỞ TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR 165 6.2 PHƯƠNG PHÁP BẤT BIẾN XUNG 166 6.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI SONG TUYẾN 170 6.4 PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ðƯƠNG VI PHÂN 175 6.5 BỘ LỌC TƯƠNG TỰ BUTTERWORTH .175 6.6 BỘ LỌC TƯƠNG TỰ CHEBYSHEP 176 6.7 BỘ LỌC TƯƠNG TỰ ELIP (CAUER) 178 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 1.1 Nhập mơn 1.1.1 ðịnh nghĩa tín hiệu Tín hiệu đại lượng vật lý chứa thơng tin (information) Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn hàm hay nhiều biến độc lập Ví dụ 1.1 - Tín hiệu âm dao động học lan truyền khơng khí, mang thơng tin truyền đến tai Khi biến thành tín hiệu điện (điện áp hay dòng điện) giá trị hàm theo thời gian - Tín hiệu hình ảnh tĩnh hai chiều ñược ñặc trưng hàm cường ñộ sáng hai biến không gian Khi biến thành tín hiệu điện, hàm biến thời gian ðể thuận tiện, ta qui ước (khơng mà làm tính tổng quát) tín hiệu hàm biến ñộc lập biến thời gian (mặc dù có khơng phải vậy, chẳng hạn biến ñổi áp suất theo ñộ cao) Giá trị hàm tương ứng với giá trị biến ñược gọi biên ñộ (amplitude) tín hiệu Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ khơng phải giá trị cực đại mà tín hiệu đạt 1.1.2 Phân loại tín hiệu Tín hiệu phân loại dựa vào nhiều sở khác tương ứng có cách phân loại khác Ở ñây, ta dựa vào liên tục hay rời rạc thời gian biên ñộ ñể phân loại Có loại tín hiệu sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục biên độ liên tục - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục biên độ rời rạc ðây tín hiệu tương tự có biên độ rời rạc hóa - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): Là tín hiệu biểu diễn hàm biến rời rạc + Tín hiệu lấy mẫu: Hàm tín hiệu rời rạc liên tục (khơng lượng tử hố) + Tín hiệu số: Hàm tín hiệu rời rạc rời rạc Tín hiệu số tín hiệu rời rạc biên ñộ biến số Các loại tín hiệu ñược minh họa Hình 1.1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trên Hình 1.2 mơ tả q trình số hóa tín hiệu tương tự tín hiệu xung thành tín hiệu số bít Khi số hóa tín hiệu tương tự gây sai số lượng tử (xem Hình 1.2a), số hóa tín hiệu xung ngồi sai số lượng tử có sai số pha (xem Hình 1.2b) x(t) x(t) 4 2 t x(nT) x(nT) 4 2 n nT x(nT) x(nT) 4 2 nT nT Bít Bít nT nT nT nT nT nT nT nT Bít Bít Bít t Bít Bít Bít a Số hóa tín hiệu tương tự b Số hóa tín hiệu xung Hình 1.2: Q trình số hóa tín hiệu liên tục CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nhận xét: Do tín hiệu số trường hợp đặc biệt tín hiệu rời rạc nên phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc hồn tồn áp dụng cho xử lí tín hiệu số Trong chương trình tìm hiểu phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc 1.1.3 Hệ thống xử lý tín hiệu a) Hệ thống tương tự xa(t) ya(t) HT b) Hệ thống số xd(nTs) HT yd(nTs) c) Hệ thống xử lý tín hiệu tổng quát ADC Sample Signal Hold Quantizer DSP DAC x(t) y(t) Digital Signal Tín hiệu x(t) đầu vào chuyển thành tín hiệu số nhờ ADC, qua DSP đưa vào DAC ta có y(t) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Các dạng biểu diễn dãy số Một tín hiệu rời rạc biểu diễn dãy giá trị (thực phức) Phần tử thứ n dãy (n số nguyên) ñược ký hiệu x(n) dãy ñược ký hiệu sau: x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞ (1.1.a) x(n) ñược gọi mẫu thứ n tín hiệu x Dãy số biểu diễn dạng hàm số, bảng số liệu, ñồ thị, dãy số liệu Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) xác ñịnh với ñối số số nguyên n, dãy số khơng xác định ngồi giá trị ngun n đối số x(n) Ví dụ 1.2 Dãy số x(n) ñược biểu diễn hàm số :  1, x ( n) =   0, n ∈ [ 0,3 ] n ∉ [ , ] n -1 - Biểu diễn dãy số x(n) dạng bảng số liệu Bảng 1.1 Bảng 1.1 n -∞ -3 -2 -1 x(n) 0 0 1 ðồ thị dãy x(n) - Biểu diễn đồ thị dãy x(n) Hình 1.6, - Biểu diễn dãy x(n) dạng dãy số liệu : x(n) = ∞ { , , ,1,1,1, , , }, ký ↑ hiệu ↑ để số liệu ứng với ñiểm gốc n = Ta biểu diển theo kiểu liệt kê Ví dụ: x = { , 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0, } (1.1.b) Trong đó, phần tử ñược mũi tên phần tử tương ứng với n = 0, phần tử tương ứng với n > xếp phía phải ngược lại Nếu x = x(t) tín hiệu liên tục theo thời gian t tín hiệu ñược lấy mẫu cách ñều khoảng thời gian Ts, biên ñộ mẫu thứ n x(nTs) Ta thấy, x(n) cách viết ñơn giản hóa x(nTs), ngầm hiểu ta chuẩn hố trục thời gian theo Ts Ts gọi chu kỳ lấy mẫu (Sampling period) Fs = 1/Ts ñược gọi tần số lấy mẫu (Sampling frequency) Ghi chú: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt - Từ ñây sau, trục thời gian ñược chuẩn hóa theo Ts, cần trở thời gian thực, ta thay biến n nTs - Tín hiệu rời rạc có giá trị xác định thời điểm ngun n Ngồi thời điểm tín hiệu khơng có giá trị xác định, khơng ñược hiểu chúng có giá trị - ðể ñơn giản, sau này, thay ký hiệu ñầy ñủ, ta cần viết x(n) hiểu ñây dãy x = {x(n)} 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc a/ Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence) ðây dãy nhất, ký hiệu δ(n), ñược ñịnh nghĩa sau: 1, n = 0, n ≠ 0, (1.2) { , , , , , , 0, } (1.3) δ ( n) =  hay δ ( n) = ↑ Dãy δ (n) ñược biểu diễn ñồ thị hình 1.3(a) b/ Dãy chữ nhật Dãy chữ nhật kí hiệu rectN(n) định nghĩa sau: 1, ≤ n ≤ N − rect N ( n) =  n ≥ N 0, (1.4) c/ Tín hiệu nhẩy bậc đơn vị (Unit step sequence) Dãy thường ñược ký hiệu u(n) ñược ñịnh nghĩa sau: n≥0 1, u (n) =  0, n < (1 5) Dãy u(n) ñược biểu diễn đồ thị Hình 1.3 (c) Mối quan hệ tín hiệu nhẩy bậc đơn vị với tín hiệu xung ñơn vị: u ( n) = n ∑ δ (n) ⇔ δ (n) = u(n) − u(n − 1) , k = −∞ với u(n-1) tín hiệu u(n) ñược dịch phải mẫu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (1 6) Nếu ñạt tất tiêu kỹ thuật ñã cho giảm số ñiểm lấy mẫu N thực lại bước cho ñến chọn ñược Nmin ñảm bảo ñạt tất tiêu kỹ thuật cho Nếu khơng đạt tăng số ñiểm lấy mẫu N thực lại bước cho ñến chọn ñược Nmin ñể HN(ejω) lọc cần tổng hợp ñạt ñược tất tiêu kỹ thuật ñã cho Bước 4: Xác ñịnh ñặc tính xung h(n)N lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp : (5.56) h( n) N = IDFT [ H ( k ) N ] - ðối với lọc loại 1, để tìm h(n)N tính IDFT theo (5.51) - ðối với lọc loại 2, để tìm h(n)N tính IDFT theo (5.52) - ðối với lọc loại 3, ñể tìm h(n)N tính IDFT theo (5.54) - ðối với lọc loại 4, để tìm h(n)N tính IDFT theo (5.55) Nếu N lớn, sử dụng thuật tốn FFT để tính IDFT (5.56) 164 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ CĨ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI VƠ HẠN IIR Cũng giống lọc FIR, người ta thường dùng số phương pháp tổng hợp lọc IIR có đáp ứng xung có chiều dài vơ hạn (IIR: Infinite Impulse Response) Phương pháp trình bày chương biến ñổi từ lọc tương tự sang lọc số theo phép ánh xạ Việc tổng hợp lọc tương tự coi ñã biết kiến thức Cơ sở kỹ thuật ðiện - ðiện tử, tổng hợp lọc số IIR ta bắt ñầu việc tổng hợp lọc miền tương tự tức xác ñịnh hàm truyền ñạt Ha(s) sau biến đổi sang miền số Có phương pháp để chuyển từ lọc tương tự sang lọc số tương ñương - Phương pháp bất biến xung - Phương pháp biển ñổi song tuyến - Phương pháp tương ñương vi phân Với ñiều kiện ñã tổng hợp Ha(s) ðể tìm hàm truyền đạt tương tự Ha(s), người ta có phương pháp tổng hợp - Butterworth - Chebyshev - Elip hay Cauer Sau ñây nghiên cứu nội dung 6.1 Cơ sở tổng hợp lọc số IIR Ta mơ tả lọc tương tự hàm hệ thống nó: (6.1) {αk} {βk} hệ số lọc, ñáp ứng xung liên quan với Ha (s) thông qua biến đổi Laplace: (6.2) Bộ lọc tương tự có hàm hệ thống hữu tỷ Ha (s) mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: 165 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (6.3) Một ba ñặc trưng tương ñương lọc tương tự tạo phương pháp biến ñổi lọc sang miền số khác ñược xét ñây Ta biết rằng, hệ thống tuyến tính bất biến tương tự với hàm hệ thống Ha(s) ổn ñịnh, tất điểm cực phân bố tồn bên trái mặt phẳng s (s: biến số phức, s=σ+ jΩ) Do đó, phép biến đổi có kết quả, có tính chất sau: Trục Ωj mặt phẳng s ánh xạ lên đường tròn ñơn vị mặt phẳng z Như có quan hệ trực tiếp hai biến tần số hai miền Nửa trái mặt phẳng s ánh xạ vào phía đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng z Như lọc tương tự ổn ñịnh ñược biến ñổi thành lọc số ổn ñịnh Ta lưu ý thể vật lý lọc IIR ổn định khơng thể có pha tuyến tính hàm hệ thống lọc pha tuyến tính phải thoả mãn điều kiện sau: (6.4) ñây −Nz biểu diễn ñộ trễ N ñơn vị thời gian, lọc có điểm cực ánh xạ gương ngồi đường tròn đơn vị ứng với điểm cực đường tròn Vì lọc khơng ổn định Do đó, lọc IIR nhân ổn định khơng thể có pha tuyến tính ðặc ñiểm lọc IIR chiều dài ñáp ứng xung 6.2 Phương pháp bất biến xung Trong phương pháp bất biến xung, mục đích ta tổng hợp lọc IIR có đáp ứng xung đơn vị h(n) phiên ñược lấy mẫu ñáp ứng xung lọc tương tự Nghĩa h(n)=h(nT) n=0 , 1, , (6.5) ðược biểu diễn phạm vi việc lấy mẫu ñáp ứng xung lọc tương tự với ñáp ứng tần số Ha(F), lọc số với ñáp ứng xung ñơn vị h( n) = (nT) có đáp ứng ần số (6.6) Hoặc (6.7) 166 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rõ ràng, lọc số với ñáp ứng tần số có ñặc tuyến ñáp ứng tần số lọc tương tự tương ứng khoảng lấy mẫu (hiện tượng alias) T ñược chọn ñủ nhỏ để tránh hồn tồn tối thiểu hố ảnh hưởng lẫn mẫu ðiều rõ ràng phương pháp bất biến xung khơng phù hợp lọc thơng cao lẫn phổ xử lý lấy mẫu Muốn tìm hiểu ánh xạ mặt phẳng z mặt phẳng s ñược biểu thị trình lấy mẫu, ta dựa vào cơng thức tổng qt hố (6.7) để có mối liên hệ biến đổi z h( n) biến ñổi Laplace ha(t) Mối quan hệ (6.8) Ở ñây (6.9) Chú ý rằng, s = jΩ, (6.8) trở thành (6.7), ñây thừa số j Ha (ω) ñã bị bỏ ký hiệu ta ðặc tính chung ánh xạ (6.10) z = esT đạt ñược cách thay s = σ + j Ω biểu diễn biến phức z theo toạ ñộ cực z= rejω Với thay (6.10) trở thành (6.11) Rõ ràng, ta phải có Do đó, σ