Giáo Trình Lý Thuyết Mạch

_Chương Những khái niệm - – CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN – DẠNG SĨNG CỦA TÍN HIỆU √ Hàm mũ √ Hàm nấc đơn vị √ Hàm dốc √ Hàm xung lực √ Hàm sin √ Hàm tuần hoàn – PHẦN TỬ MẠCH ĐIỆN √ Phần tử thụ động √ Phần tử tác động – MẠCH ĐIỆN √ Mạch tuyến tính √ Mạch bất biến theo thời gian √ Mạch thuận nghịch √ Mạch tập trung – MẠCH TƯƠNG ĐƯƠNG √ Cuộn dây √ Tụ điện √ Nguồn độc lập Lý thuyết mạch môn học sở chuyên ngành Điện tử-Viễn thông-Tự động hóa Khơng giống Lý thuyết trường - mơn học nghiên cứu phần tử mạch điện tụ điện, cuộn dây để giải thích vận chuyển bên chúng - Lý thuyết mạch quan tâm đến hiệu phần tử nối lại với để tạo thành mạch điện (hệ thống) Chương nhắc lại số khái niệm mơn học 1.1 DẠNG SĨNG CỦA TÍN HIỆU Tín hiệu biến đổi hay nhiều thơng số q trình vật lý theo qui luật tin tức Trong phạm vi hẹp mạch điện, tín hiệu hiệu dòng điện Tín hiệu có trị khơng đổi, ví dụ hiệu pin, accu; có trị số thay đổi theo thời gian, ví dụ dòng điện đặc trưng cho âm thanh, hình ảnh Tín hiệu cho vào mạch gọi tín hiệu vào hay kích thích tín hiệu nhận ngã mạch tín hiệu hay đáp ứng Người ta dùng hàm theo thời gian để mơ tả tín hiệu đường biểu diễn chúng hệ trục biên độ - thời gian gọi dạng sóng Dưới số hàm dạng sóng số tín hiệu phổ biến _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương Những khái niệm - 1.1.1 Hàm mũ (Exponential function) v(t ) = Keσt K , σ số thực (H 1.1) dạng sóng hàm mũ với trị σ khác (H 1.1) 1.1.2 Hàm nấc đơn vị (Unit Step function) ⎧1 , t ≥ a u(t - a) = ⎨ ⎩0 , t < a Đây tín hiệu có giá trị thay đổi đột ngột từ lên thời điểm t = a (H 1.2) số trường hợp khác hàm nấc đơn vị (a) (b) (c) (H 1.2) Hàm nấc u(t-a) nhân với hệ số K cho Ku(t-a), có giá tri K t ≥ a 1.1.3 Hàm dốc (Ramp function) Cho tín hiệu nấc đơn vị qua mạch tích phân ta ngã tín hiệu dốc đơn vị t r(t) = ∫ u(x)dx −∞ Nếu ta xét thời điểm t=0 mạch khơng tích trữ lượng trước thì: t 0 −∞ r(t) = ∫ u(x)dx + u(0) với u(0) = ∫ u(x)dx = Dựa vào kết ta có định nghĩa hàm dốc đơn vị sau: ⎧t , t ≥ a r(t - a) = ⎨ ⎩0 , t < a (H 1.3) dạng sóng r(t) r(t-a) _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương Những khái niệm - (a) (H 1.3) (b) Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm Kr(t-a), dạng sóng đường thẳng có độ dốc K gặp trục t a 1.1.4 Hàm xung lực (Impulse function) Cho tín hiệu nấc đơn vị qua mạch vi phân ta tín hiệu xung lực đơn vị du(t) δ( t ) = dt (δ(t) gọi hàm Delta Dirac) Ta thấy δ(t) hàm số theo nghĩa chặt chẽ tốn học đạo hàm hàm nấc có trị = t ≠ không xác định t = Nhưng hàm quan trọng lý thuyết mạch ta hình dung xung lực đơn vị hình thành sau: Xét hàm f1(t) có dạng (H 1.4a): ⎧1 ⎪ r (t ) , f1 (t ) = ⎨ δ ⎪⎩1 , t ∈ {0,δ} t >δ (a) (b) (c) (d) (H 1.4) Hàm f0(t) xác định bởi: df (t) f0 (t) = dt (0≤ t ≤δ) = t > δ (H 1.4b) δ Với trị khác δ ta có trị khác f0(t) phần diện tích giới hạn f0(t) trục hồnh ln ln =1 (H 1.4c) Khi δ→0, f1(t) → u(t) f0(t) → δ(t) Vậy xung lực đơn vị xem tín hiệu có bề cao cực lớn bề rộng cực nhỏ diện tích đơn vị (H 1.4d) Tổng quát, xung lực đơn vị t=a, δ(t-a) xác định bởi: t ⎧1 , t ≥ a ∫− ∞ δ(t)dt = ⎨⎩ , t < a Các hàm nấc, dốc, xung lực gọi chung hàm bất thường f0(t) độ dốc f1(t) = _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương Những khái niệm - 1.1.5 Hàm sin Hàm sin hàm quen thuộc nên giới thiệu vài hàm có quan hệ với hàm sin – Hàm sin tắt dần: v(t)=Ae-σtsinωt, t>0 A số thực dương (H 1.5a) – Tích hai hàm sin có tần số khác v(t)=Asinω1t.sinω2t (H 1.5b) (a) (H 1.5) (b) 1.1.6 Hàm tuần hồn khơng sin Ngồi tín hiệu kể trên, thường gặp số tín hiệu như: cưa, hình vng, chuỗi xung gọi tín hiệu khơng sin, tuần hồn hay khơng Các tín hiệu diễn tả tổ hợp tuyến tính hàm sin, hàm mũ hàm bất thường (H 1.6) mô tả số hàm tuần hoàn quen thuộc (H 1.6) 1.2 PHẦN TỬ MẠCH ĐIỆN Sự liên hệ tín hiệu tín hiệu vào mạch điện tùy thuộc vào chất độ lớn phần tử cấu thành mạch điện cách nối với chúng Người ta phân phần tử làm hai loại: – Phần tử thụ động: phần tử nhận lượng mạch Nó tiêu tán lượng (dưới dạng nhiệt) hay tích trữ lượng (dưới dạng điện từ trường) Gọi v(t) hiệu hai đầu phần tử i(t) dòng điện chạy qua phần tử Năng lượng đoạn mạch chứa phần tử xác định bởi: t W(t) = ∫ v(t).i (t)dt −∞ - Phần tử thụ động W(t) ≥ 0, nghĩa dòng điện vào phần tử theo chiều giảm điện _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương Những khái niệm - Điện trở, cuộn dây tụ điện phần tử thụ động – Phần tử tác động: phần tử cấp lượng cho mạch Năng lượng đoạn mạch chứa phần tử W(t)t0 Tín hiệu vào thường hàm thực theo thời gian nên đáp ứng hàm thực theo thời gian tùy thuộc tín hiệu vào đặc tính mạch Dưới số tính chất mạch dựa vào quan hệ y(t) theo x(t) 1.3.1 Mạch tuyến tính Một mạch gọi tuyến tính tuân theo định luật: Nếu y1(t) y2(t) đáp ứng hai nguồn kích thích độc lập với x1(t) x2(t), mạch tuyến tính đáp ứng x(t)= k1x1(t) + k2x2(t) y(t)= k1y1(t) + k2y2(t) với x(t) k1 k2 Trên thực tế, mạch thường không hồn tồn tuyến tính nhiều trường hợp bất tuyến tính khơng quan trọng bỏ qua Thí dụ mạch khuếch đại dùng transistor mạch tuyến tính tín hiệu vào có biên độ nhỏ Sự bất tuyến tính thể tín hiệu vào lớn Mạch gồm phần tử tuyến tính mạch tuyến tính Thí dụ 1.1 Chứng minh mạch vi phân, đặc trưng quan hệ tín hiệu vào theo hệ thức: dx(t) mạch tuyến tính y(t) = dt Giải dx (t) Gọi y1(t) đáp ứng x1(t): y 1(t) = dt dx (t) Gọi y2(t) đáp ứng x2(t): y (t) = dt Với x(t)= k1x1(t) + k2 x2(t) đáp ứng y(t) là: dx(t) dx (t) dx (t) y(t) = = k1 + k2 dt dt dt y(t)=k1y1(t)+k2y2(t) Vậy mạch vi phân mạch tuyến tính 1.3.2 Mạch bất biến theo thời gian (time invariant) Liên hệ tín hiệu tín hiệu vào khơng tùy thuộc thời gian Nếu tín hiệu vào trễ t0 giây tín hiệu trễ t0 giây độ lớn dạng không đổi Một hàm theo t trễ t0 giây tương ứng với đường biểu diễn tịnh tiến t0 đơn vị theo chiều dương trục t hay t thay (t-t0) Vậy, mạch bất biến theo thời gian, đáp ứng x(t-t0) y(t-t0) Thí dụ 1.2 Mạch vi phân thí dụ 1.1 mạch bất biến theo thời gian Ta phải chứng minh đáp ứng x(t-t0) y(t-t0) Thật vậy: dx(t − t ) dx(t − t ) d(t − t ) x = = y(t − t )x1 dt d(t − t ) d(t) _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương Những khái niệm - Để minh họa, cho x(t) có dạng (H 1.13a) ta y(t) (H 1.13b) Cho tín hiệu vào trễ (1/2)s, x(t-1/2) (H 1.13c), ta tín hiệu trễ (1/2)s, y(t-1/2) vẽ (H 1.13d) (a) (b) (c) (d) (H 1.13) 1.3.3 Mạch thuận nghịch Xét mạch (H 1.14) +          +  v1      Mạch  i2 i’2      Mạch  v1 (H 1.14) Nếu tín hiệu vào cặp cực v1 cho đáp ứng cặp cực dòng điện nối tắt i2 Bây giờ, cho tín hiệu v1 vào cặp cực đáp ứng cặp cực i’2 Mạch có tính thuận nghịch i’2=i2 1.3.4 Mạch tập trung Các phần tử có tính tập trung coi tín hiệu truyền qua tức thời Gọi i1 dòng điện vào phần tử i2 dòng điện khỏi phần tử, i2= i1 với t ta nói phần tử có tính tập trung    i1                                                          i2           Phần tử (H 1.15)   Một mạch gồm phần tử tập trung mạch tập trung Với mạch tập trung ta có số điểm hữu hạn mà đo tín   hiệu khác Mạch không tập trung mạch phân tán Dây truyền sóng thí dụ mạch phân tán, tương đương với phần tử R, L C phân bố dây Dòng điện truyền dây truyền sóng phải trễ thời gian để đến ngã _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương Những khái niệm - 10 1.4 MẠCH TƯƠNG ĐƯƠNG Các phần tử cấu thành mạch điện phải biểu diễn mạch tương đương Trong mạch tương đương chứa thành phần khác Dưới số mạch tương đương thực tế số phần tử 1.4.1 Cuộn dây (H 1.16) Cuộn dây lý tưởng đặc trưng giá trị điện cảm Trên thực tế, vòng dây có điện trở nên mạch tương đương phải mắc nối tiếp thêm điện trở R xác cần kể thêm điện dung vòng dây nằm song song với 1.4.2 Tụ điện (a) (b) (H 1.17) (c) (H 1.17a ) tụ điện lý tưởng, kể điện trở R1 lớp điện mơi, ta có mạch tương (H 1.17b ) kể điện cảm tạo lớp dẫn điện (hai má tụ điện) thành vòng điện trở dây nối ta có mạch tương (H 1.17c ) 1.4.3 Nguồn độc lập có giá trị khơng đổi 1.4.3.1 Nguồn hiệu Nguồn hiệu đề cập đến nguồn lý tưởng Gọi v hiệu nguồn, v0 hiệu đầu nguồn, nơi nối với mạch ngồi, dòng điện qua mạch i0 (H 1.18a) Nếu nguồn lý tưởng ta ln ln có v0 = v không đổi Trên thực tế, giá trị v0 giảm i0 tăng (H 1.18c); điều có nghĩa bên nguồn có điện trở mà ta gọi nội trở nguồn, điện trở tạo sụt áp có dòng điện chạy qua sụt áp lớn i0 lớn Vậy mạch tương đương nguồn hiệu có dạng (H 1.18b) _ Nguyễn Trung Lập THUYẾT MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - L -1 1 ]= [sint-tcost] 2 (s + 1) [ 10.3.5 Biến đổi đạo hàm Ò Đạo hàm bậc ∞ d df(t) =∫ f(t)e −st dt dt dt Lấy tích phân phần Đặt u = e-st ⇒ du = -s e-st dv=df(t) ⇒ v = f(t) ∞ df(t) ∞ = e−st f(t) + s∫ f(t)e −st dt 0 dt − st Vì lim e f(t) =0, số hạng thứ vế phải = - f(0+) L L t →∞ L df(t) = sF(s) - f(0 ) dt (10.9) + f(0+) giá trị f(t) t → 0+ Ò Đạo hàm bậc df (t) = dt L ⎤⎫ L⎧⎨dtd ⎡⎢⎣ df(t) ⎬ dt ⎥⎦ ⎩ ⎭ ⎡ df(t) ⎤ df(0 + ) =s ⎢ ⎥ − dt ⎣ dt ⎦ L L Trong df (t) df(0 + ) = s2 F(s)- sf(0+ ) dt dt (10.10) df(0 + ) df(t) giá trị t → 0+ dt dt Ò Đạo hàm bậc n Từ kết trên, ta suy trường hợp đạo hàm bậc n d n f(t) df n - (0 + ) n n-1 n-2 df(0 + ) = s F(s) s f(0 ) s - + dt dt n dt n - L (10.11) 10.3.6 Biến đổi tích phân L ⎡⎢⎣∫ f(t)dt ⎤⎥⎦ = ∫ Đặt t ∞ 0 t [ ∫ f(t)dt ]e −st dt t u= ∫ f(t)dt ⇒ du = f(t) dv=e-stdt ⇒ v= − e−st s _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - L − st ⎡ t f(t)dt ⎤ = − e ⎥⎦ ⎢⎣ ∫0 s Khi t → ∞ e-st → ∫ t f(t)dt t =0 ∫ t ∞ + s f(t)dt ∫ ∞ f(t)e −st dt = nên số hạng thứ vế phải triệt tiêu L ⎡⎢⎣∫ f(t)dt ⎤⎥⎦ = 1s F(s) t (10.12) Khi áp dụng vào mạch điện, thời gian thường xác định từ - ∞ đến t, ∫ t -∞ f(t)dt chia làm phần ∫ t -∞ t -∞ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt Số hạng thứ vế phải số ta đặt f -1(0+)= ∫ f(t)dt -∞ Hệ thức (10.12) viết lại cho trường hợp tổng quát nhất: −1 ⎡ t f(t)dt ⎤ = F(s) + f (0+ ) ⎢⎣ ∫ - ∞ ⎥⎦ s s L (10.13) 10.3.7 Biến đổi tf(t) Lấy đạo hàm hệ thức (10.1), đồng thời hốn chuyển tốn tử lấy đạo hàm tích phân, ta được: ∞ d ∞ dF(s) =∫ f(t)e − st dt = ∫ - tf(t)e − st dt ds ds [ ] Vế phải hệ thức Vậy [ ] L [-tf(t)] L [tf(t)]= − dF(s) ds (10.14) Thí dụ 10.9 Tìm biến đổi hàm tu(t) tcosωt f(t)=u(t) ⇒ F(s)= s L [tu(t)=] = − dsd ( 1s ) = s1 f(t) = cosωt ⇒ F(s)= L [tcosωt] = − dsd ⎡⎢⎣ s s s + ω2 2 s ⎤ s2 − ω = + ω ⎥⎦ (s2 + ω ) Dựa vào định lý ta có số cặp biến đổi Kết hợp định lý với định nghĩa phép biến đổi ta có thêm số cặp biến đổi thông dụng Bảng cho biến đổi số hàm _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 10.4 ÁP DỤNG VÀO GIẢI MẠCH Để áp dụng biến đổi Laplace vào tốn giải mạch, ta thực theo hai cách: - Viết phương trình vi tích phân mạch điện, dùng biến đổi Laplace ta phương trình đại số - Biến đổi mạch sang lãnh vực tần số nhờ biến đổi Laplace, viết phương trình đại số cho mạch 10.4.1 Giải phương trình vi tích phân Dưới số thí dụ cho thấy cách áp dụng biến đổi Laplace vào giải mạch Thí dụ 10.10 Mạch RC nối tiếp (H 10.3), khóa K đóng t=0 Xác định i(t), cho tụ tích điện ban đầu với điện tích q0 Bảng STT f(t) δ(t) u(t) F(s) t s2 t n −1 , n nguyãn (n − 1)! sn eat teat t n −1 at e , n nguyãn (n − 1)! s- a (s - a)2 (s - a)n 1- eat (eat − ebt ) a− b 10 Sinωt 11 Cosωt 12 Sin(ωt+θ) 13 Cos(ωt+θ) 14 e-at Sinωt 15 e-at Cosωt s -a s(s- a) (s − a)(s − b) ω s + ω2 s s + ω2 ssinθ + ωcosθ s2 + ω scosθ − ωsin θ s2 + ω ω (s + a)2 + ω s+ a (s + a)2 + ω _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 10 ω s − ω2 s s − ω2 Sinhωt 16 17 Coshωt 18 df(t) dt d f(t) dt d n f(t) dt n 19 20 21 ∫ t −∞ sF(s)-f(0+) s2F(s) - sf(0+) - df(0 + ) dt snF(s) - sn-1f(0+) - sn-2 df(0 + ) - dt f(t − τ).u(t − τ) 23 24 af1(t) + bf2(t) 25 tf(t) dt n - −1 F(s) f (0+ ) + s s f(t)dt 22 df n - (0+ ) e-sτ F(s) a F1(s) + b F2(s) F(s+ a) e-at f(t) − dF(s) ds * Khi sử dụng bảng 1, phải nhân f(t) với u(t), nói cách khác, f(t) thỏa điều kiện f(t)=0 t0 mạch (H 10.9a) Cho i(0)=4A v(0)=8V (a) (H 10.9) (b) Mạch biến đổi cho (H 10.11b) (2/s + 3) + − 8/s I(s)= + s + 2/s 2s + (4s - 8)(s - 3) = (s + 3s + 2)(s + 3) 4s2 + 6s - 24 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Triển khai I(s) 13 20 I(s)= − + − s+ s+ s+ Suy ra, t>0 i(t)=-13e-t+20e-2t- 3e-3t A = Thí dụ 10.13 Xác định v(t) mạch (H 10.10a) Cho i(0)=1A v(0)=4V (a) (b) (H 10.10) Viết phương trình nút cho mạch biến đổi (H 10.10b) V V sV + + + − =0 3s s 24 24 _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 14 4s − 24 16 20 =− + (s + 2)(s + 4) s+ s+ ⇒ V(s)= v(t)=-16e-2t+20e-4t V 10.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s) Trong phân giải mạch điện phép biến đổi Laplace, kết đạt hàm theo s có dạng P(s)/Q(s) , P(s) Q(s) đa thức Nếu P(s)/Q(s) có dạng bảng ta có kết biến đổi Laplace ngược Trong nhiều trường hợp ta phải triển khai P(s)/Q(s) thành tổng hàm đơn giản có bảng Gọi m n bậc P(s) Q(s) Có trường hợp * m≤n, triển khai P(s)/Q(s) * m>n, ta phải thực phép chia để P(s) P (s) = A + A 1s + .+ A m − n sm − n + Q(s) Q (s) P1(s) Q1(s) có bậc ta triển khai P1(s)/Q1(s) (10.18) 10.5.1 Triển khai phần Ị Trường hợp Q(s)=0 có nghiệm thực phân biệt s1 , s2, sn P(s) K K2 Kn = + + + Q(s) s - s1 s - s2 s - sn Ki (i= 1, 2, ., n) số xác định bởi: P(s) K i = (s − si ) Q(s) s=s (10.19) (10.20) i Thí dụ 10.14 L s− , xác định i(t)= -1[I(s)] s + 3s + Phương trình s2+3s+2=0 có nghiệm s1=-2 s2=-1 K K s− I(s)= = + s + 3s + s + s + P(s) K = (s + 2) =3 Q(s) s=-2 Triển khai hàm I(s)= K = (s + 1) P(s) = -2 Q(s) s=-1 − s+ s+ _ I(s)= Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 15 ⇒ i(t)= 3e-2t-2e-t Ò Trường hợp Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r P(s) P(s) K K2 Kr = = + + + r Q(s) (s - si ) s - si (s - si ) (s - si ) r Để xác định K1, K2, Kr, ta xét thí dụ sau: (10.21) Thí dụ 10.15 P(s) s+ = Q(s) (s + 1)2 P(s) K K2 = + (1) Q(s) s + (s + 1)2 Nhân vế phương trình (1) với (s+1)2 s+2=(s+1)K1+K2 (2) Cho s=-1, ta K2=1 Nếu ta làm để xác định K1 xuất lượng vơ định Để xác định K1, lấy đạo hàm theo s phương trình (2) 1+0=K1+0 ⇒ K1=1 Tóm lại P(s) 1 = + Q(s) s + (s + 1)2 Và i(t) = e-t + te-t Với Q(s)=0 có nghiệm kép, số xác định nhờ đạo hàm bậc Suy rộng ra, Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r, ta cần đạo hàm từ bậc đến bậc r-1 Triển khai Ò Trường hợp Q(s)=0 có nghiệm phức liên hợp s=α ± jω P(s) P(s) = Q(s) (s - α - jω)(s - α + jω) (10.22) P(s) K K* = + Q(s) (s - α - jω) (s - α + jω) Các số K xác định P(s) K = (s − α + jω) = Ae − jθ , Q(s) s=α− jω Và K* = (s − α − jω) (10.23) P(s) = Ae + jθ Q(s) s=α+ jω (10.24) Thí dụ 10.16 P(s) = Q(s) s + 4s + Q(s)=0 có nghiệm -2 ± j Triển khai I(s)= _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 16 I(s)= P(s) K K* = + Q(s) (s + + j) (s - - j) K = (s + + j) 1 P(s) = j = ej90° 2 Q(s) s= −2− j K* = (s + − j) I(s)= P(s) 1 = − j = e− j90° Q(s) s= −2+ j 2 j1/2 j1/2 − s+ + j s+ - j ⇒ ejt − e− jt i(t)= j [e ( −2− j )t − e( −2+ j )t ] = e− 2t [ ] 2j Hay i(t)=e-2tsint A 10.5.2 Công thức Heaviside Tổng qt hóa tốn triển khai hàm I(s)=P(s)/Q(s), Heaviside đưa công thức cho ta xác định hàm i(t), biến đổi ngươc I(s) 10.5.2.1 Q(s)=0 có n nghiệm phân biệt L i(t)= -1 [I(s)] = L -1 [ n P(s) P(s)e st ] = ∑ (s − s j ) Q(s) Q(s) s =s j =1 j (10.25) Hoặc P(sj ) sj t e j = Q' (sj ) n i(t) = ∑ (10.26) Trong sj nghiệm thứ j Q(s)=0 Thí dụ 10.17 Giải lại thí dụ 10.14 cơng thức Heaviside s− I(s)= , xác định i(t)= -1[I(s)] s + 3s + Phương trình s2+3s+2=0 có nghiệm s1=-2 s2=-1 Q(s)= s2+3s+2 ⇒ Q’(s) = 2s+3 Ap dụng công thức (10.26) n P(s ) P(−2) − 2t P(−1) − t st j + e e ej = i(t) = ∑ Q' (−1) Q' (−2) j = Q' (sj ) L ⇒ i(t)= 3e-2t-2e-t A 10.5.2.2 Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r L i(t)= -1 [I(s)] = L -1 r -n r P(s) t n − d R(sj ) s jt [ ]=e ∑ Q(s) dsr - n s = sj n = (r - n)! (n − 1)! (10.27) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 17 sj nghiệm đa trùng bậc r P(s) R(sj ) = (s − sj ) r Q(s) (10.28) Thí dụ 10.18 Giải lại thí dụ 10.15 cơng thức Heaviside P(s) s+ = I(s)= Q(s) (s + 1)2 Q(s)=0 có nghiệm kép, r=2, sj=-1 Ap dụng cơng thức (10.27) s+ Với R(sj ) = (s + 1)2 = s + 2 (s + 1) t d(s + 2) t i (t) = e [ + (s + 2)] 1! 0! ds 0! 1! i(t) = e-t + te-t A −t Và ; s = −1 Thí dụ 10.19 Cho mạch điện (H 10.11), tụ C tích điện đến V0=1V khóa K đóng t=0 Xác định dòng i(t) t di Ri + L + ∫ i dt = −∞ dt Lấy biến đổi Laplace L[sI(s)-i(0+)]+RI(s)+ [I(s)+q(0+)]=0 Cs Dòng điện qua cuộn dây liên tục nên i(0+)= i(0-)=0 q(0+): điện tích ban đầu tụ: q(0+ ) Vo = =− Cs s s (Để ý dấu điện tích đầu tụ ngược chiều điện tích nạp dòng i(t) chạy qua mạch) Thay giá trị đầu vào, xếp lại 1 I(s) = = s + 2s + (s + 1)2 + ⇒ L i(t)= -1 [I(s)]=e-tsint.u(t) Thí dụ 10.20 Cho mạch (H 10.12), khóa K đóng t=0 mạch khơng tích trữ lượng ban đầu Xác định i2(t) Viết pt vòng cho mạch di + 20i − 10i = 100u(t) (1) dt di + 20i − 10i = (2) dt _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 18 Lấy biến đổi Laplace, để ý mạch khơng tích trử lượng ban đầu: (s+20)I1(s)-10I2(s)= 100 s (3) -10 I1(s)+ (s+20)I2(s)=0 (4) Giải hệ (3) (4) 100 s − 10 1000 I2(s)= = s + 20 − 10 s(s + 40s+ 300) − 10 s + 20 Triển khai I2(s) 3,33 1,67 I (s) = + + s s + 10 s + 30 s + 20 ⇒ i2(t)= 3,33-5e-10t+1,67e-30t 10.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ CUỐI 10.6.1 Định lý giá trị đầu Từ phép biến đổi đạo hàm: = sF(s)-f(0+) L df(t) dt Lấy giới hạn s→ ∞ lim ] = lim L df(t) dt s→∞ s→∞ mà lim s→∞ Vậy lim [sF(s)-f(0+)] [ ]= lim L df(t) dt [ s→∞ ∫ ∞ df(t) −st e dt =0 dt [sF(s)-f(0+)]=0 s→∞ f(0+) số nên f(0+)= lim sF(s) (10.29) s→∞ (10.29) nội dung định lý giá trị đầu Lấy trường hợp thí dụ 10.10, ta có: V − q /C I(s)= R s + 1/RC V − q /C i(0+)= lim sI(s)= R s→∞ 10.6.2 Định lý giá trị cuối _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 19 = sF(s)-f(0+) L df(t) dt Từ phép biến đổi đạo hàm: Lấy giới hạn s→ lim s→0 mà Vậy ] = lim L df(t) dt [ s→0 ∫ ∞ df(t) −st e dt = lim [sF(s)-f(0+)] dt s→0 ∞ df(t) −st e dt lim = = ∫0 dt ∫ df(t) = f(∞) - f(0+) s→0 s→0 f(∞)-f(0+)= lim [sF(s)-f(0+)] ∞ lim s→0 Hay f(∞)= lim sF(s) (10.30) s→0 (10.30) nội dung định lý giá trị cuối, cho phép xác định giá trị hàm f(t) trạng thái thường trực Tuy nhiên, (10.30) xác định nghiệm mẫu số sF(s) có phần thực âm, khơng f(∞)= lim f(t) khơng hữu t →∞ Thí dụ, với f(t)=sint sin∞ khơng có giá trị xác định (tương tự cho e∞ ) Vì (10.30) khơng áp dụng cho trường hợp kích kích hàm sin Lấy lại thí dụ 10.13, xác định dòng điện mạch trạng thái thường trực V 1 I(s)= ( − ) R s s + R/L V s V i(∞)= lim sI(s)= (1 − )= R s + R/L R s→0 V i(∞)= R BÀI TẬP ÒÒ Ò 10.1 Mạch (H P10.1) Khóa K đóng t=0 mạch khơng tích trữ lượng ban đầu Xác định i(t) t> 10.2 Mạch (H P10.2) Xác định v(t) t> Cho v(0)=10V (H P10.1) (H P10.2) 10.3 Mạch (H P10.3) Xác định vo(t) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 20 ⎧4V, t < vi(t) = ⎨ − t ⎩ 4e , t > 10.4 Mạch (H P10.4) Xác định vo(t) Cho vo(0)=4V i(0)=3A Cho (H P10.3) (H P10.4) 10.5 Mạch (H P10.5) Xác định io(t) 10.6 Mạch (H P10.6) Dùng định lý kết hợp xác định vo(t) (H P10.5) (H P10.6) 10.7 Mạch (H P10.7) đạt trạng thái thường trực t=0- với khóa K vị trí Chuyển K sang vị trí 2, thời điểm t=0 Xác định i t>0 (H P10.7) 10.8 Mạch (H P10.8) đạt trạng thái thường trực t=0 Xác định v t>0 (H P10.8) 10.9 Mạch (H P10.9) đạt trạng thái thường trực t=0- Xác định i t>0 _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 21 (H P10.9) 10.10 Mạch (H P10.10) Xác định i(t) t>0 Cho v(0) = V i(0) = A (H P10.10) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH CuuDuongThanCong.com LÝ THUYẾT https://fb.com/tailieudientucntt ... (d) CCCS (H 1.12)   1.3 MẠCH ĐIỆN - Có hai tốn mạch điện: Phân giải mạch điện: cho mạch tín hiệu vào, tìm tín hiệu Tổng hợp mạch điện: Thiết kế mạch có tín hiệu vào Giáo trình quan tâm tới loại... _  Chương 2 Định luật và định lý mạch điện  ‐  2.5 Định lý Thevenin Norton Định lý cho phép thay phần mạch phức tạp mạch đơn giản gồm nguồn điện trở Một mạch điện giả sử chia làm hai phần (H 2.15) (H 2.15) Định lý Thevenin... Kirchhoff để giải mạch Trước hết, để đơn giản, xét đến mạch gồm toàn điện trở loại nguồn, gọi chung mạch DC Các phương trình diễn tả cho loại mạch phương trình đại số (Đối với mạch có chứa L &