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≤ T x , x ∈ H✳ ✭✐✐✮ ST ≤ S T ✳ ✭✐✐✐✮ T = T ∗ ✳ ✭✐✈✮ T ∗ T = T ❈❤♦ ✳ T ∈ B(H)✳ ❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû tü ❧✐➯♥ ❤đ♣ ♥➳✉ ❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞÷ì♥❣ ✭❦➼ ❤✐➺✉ T, K ∈ B(H), T ≥ K ♥➳✉ (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ T ≥ 0✮ T − K ≥ 0✳ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥➳✉ (T x, x) ≥ ợ ú ỵ r ợ ộ x H ❉♦ ✤â✱ T ∗T T∗ = T✱ x ∈ H✳ T ∈ B(H) t❤➻ ❧➔ ❞÷ì♥❣✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ T : H → H ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❣✐↔ sû T x, x = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✳ ❑❤✐ ✤â ✭✐✮ ◆➳✉ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ♣❤ù❝ t❤➻ T = 0✳ ✭✐✐✮ ◆➳✉ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈➔ ❚ ❧➔ tü ❧✐➯♥ ❤đ♣ t❤➻ T = ✹ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ✤â ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦ tr➯♥ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✳ ❈❤♦ ▼ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞✉② t ữợ M (y + z) = y M (y+z) ✈ỵ✐ ♠å✐ x=y+z H✳ ▼é✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ H ✤➲✉ ❝â t❤➸ ✈ỵ✐ y ∈ M, z ∈ M ⊥ ✳ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ = y ≤ y 2+ z = y+z P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ πM : H → M ✳ ✳ ❚ø ✤â ❍ì♥ ♥ú❛ πM (y+z) ≤ y+z y ∈ M, z ∈ M ⊥ ✳ ❉♦ ✤â πM = πM ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ trø tr÷í♥❣ ❤đ♣ π M ≤ 1✳ M = {0} ❉♦ ✈➔ πM (y) = y P = ợ ú ỵ r y∈M ♥➯♥ πM = πM ✈➔ ∗ π M = πM ✳ ✶✳✷ ❑❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❞ü❛ tr➯♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✹❪✳ ❚ø ✤➙② trð ✈➲ s❛✉ ❝❤ó♥❣ tổ ỵ H ổ rt ✈➔ ■ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝❤➾ sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❤❛② ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❝õ❛ H ▼ët ❞➣② ♥➳✉ tỗ t số f {fi }iI ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ 0 δ > ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I i∈I t❤➻ QA,v t❤➻ (V, v) pi {fj }j∈I = A{fj }j∈I i∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ (W, w)✳ A, (V, v) ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤õ ✤➸ ❝❤♦ QA,v ≤ ❱➻ ✈➟② t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✼✳ ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ vi Api {fj }j∈I = A vi ∗ ✳ TV,v QA,v = A ∈ LTW,w QA,v ✲❜↔♦ TV,v ❧➔ ❞➣② ❦➳t ❤đ♣ ❇❡ss❡❧✱ ✈➔ QA,v ♥❤÷ tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✻✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ◆➳✉ QA,v ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ A δ ✳ ✣➸ t❤➜② ✤✐➲✉ ữ ỵ r Api {fj }jI vi ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✽✳ ❧➔ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳ A ≤ δ pi {fj }j∈I {fj }j∈I ∈ KW i∈I A = {fj }j∈I δ ❇➜t ❦ý ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ ❝â ❞↕♥❣ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛ q✉❛ ♠ët ✤è✐ ♥❣➝✉ QA,v ✲❜↔♦ ∗ TW,w ✱ t❤➻ ∗ f = ATW,w f✱ tr♦♥❣ ✤â 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SW,w ek = wi2 ek = i=1 ✈ỵ✐ k=1 i=1 ✈➔ ∞ wi2 ek , ej SW,w ek , ej = = i=1 0 ∞ wi2 ♥➳✉ k = 1, j = k ♥➳✉ k = 1, j = k i=1 ❱➻ ✈➟② SW,w ❧➔ t♦→♥ tû ❝❤➨♦✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✤â ♥➳✉ −1 A = SW,w TW,w l∞ (N)\l2 (N)✱ t❤➻ (V, v) t❤➻ −1 SW,w Wk = Wk ✈ỵ✐ ♠å✐ −1 Vk := Apk KW = SW,w Wk ✳ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❞➣② ❦➳t ❤đ♣ ❇❡ss❡❧✳ ✷✹ k ∈ N✳ ◆❤÷ v ỗ t trồ wi i SW,w ✳ ◆➳✉ vi −1 QSW,w TW,w v s❛♦ ❝❤♦ (i) {fj }j∈I ∈ pi KW ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤♦ vi ≤ t❤➻ wi wi −1 (i) (i) SW,w fj ≥ fj vi vi SW,w wi (i) (i) = {fj }j∈I ≥ i {fj }j∈I vi SW,w (i) −1 QSW,w TW,w v {fj }j∈I = ❈❤♦ (W, w) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣ H✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✹ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ∗ TW,w ❧➔ t♦→♥ tû ❆ ❝â ❞↕♥❣ −1 ∗ −1 A = SW,w TW,w + R IKW − TW,w SW,w TW,w , tr♦♥❣ ✤â R ∈ B(KW , H)✳ ❚ø ✤➙② ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺ ✈➔ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✼ ❝❤♦ t❛ ♠ỉ t↔ s❛✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t t ỵ (W, w) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣ H✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ vi > δ > ✈ỵ✐ ♠é✐ i ∈ I ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ (W, w) ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ (V, v)✱ tr♦♥❣ ✤â −1 ∗ −1 Vi = SW,w TW,w + R IKW − TW,w SW,w TW,w (pi KW ) ✈➔ R ∈ B(KW , H)✳ ✷✳✷✳✷ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ỵ s t ữỡ t ữủ t ủ ố ợ {fi }i∈I ⊂ H ci fi ❧➔ ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈ỵ✐ ❝➟♥ ≤β c ✈ỵ✐ ♠å✐ β✱ c ∈ l2 (I) t iI ỵ ợ ộ i ∈ I ✱ ❝❤♦ wi > 0, vi > 0✱ ✈➔ ❝❤♦ Wi, Vi ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ H✳ ❈❤♦ {fil }l∈Li ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ Wi ✈➔ {f˜il }l∈Li ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ Vi ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝➟♥ αi , βi , α ˜ i ✈➔ β˜i t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ●✐↔ sû < α = ✷✺ infi∈I αi ≤ β = supi∈I βi < ∞ ✈➔ < α ˜ = infi∈I α ˜ i ≤ β˜ = supi∈I β˜i < ∞✳ ❈❤♦ Q : KW → KV , Q{hi }i∈I := { hi , fil f˜il }i∈I ✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ l∈Li ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ✶✳ {wi fil }i∈I,l∈Li ✈➔ {vi f˜il }i∈I,l∈Li ❧➔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ tr♦♥❣ H✳ ✷✳ (V, v) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ◗✲✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ (W, w)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ◆➳✉ {hi }i∈I ∈ KW ✱ t❤❡♦ ✭✷✳✹✮ ✈➔ ✭✶✳✷✮✱ hi , fil f˜il i∈I β˜i ≤ i∈I l∈Li | hi , fil |2 l∈Li β˜i βi hi ≤ ˜ ≤ ββ i∈I hi < ∞ i∈I ❱➻ ✈➟② ◗ ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ πWi (f ), fil = f, πWi fil = f, fil ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ✤÷đ❝ ∗ TV,v QTW,w (f ) =TV,v Q({wi πWi (f )})i∈I l ˜l =TV,v wi πWi (f ), fi fi l∈Li i∈I = wi πWi (f ), fil f˜il vi i∈I l∈Li πWi (f ), wi fil vi f˜il = i∈I l∈Li f, wi fil vi f˜il = i∈I l∈Li ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ sè ❤↕♥❣ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❜➡♥❣ {wi fil }i∈I,l∈Li ✈➔ {vi f˜il }i∈I,l∈Li f ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ H ❧➔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ tr♦♥❣ ✷✻ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ H✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣✱ ❝❤✐ t✐➳t ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ỗ t tỷ t t tr ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❦❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ✲ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✈➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ❚r♦♥❣ ✤â ✤✐ s➙✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤❛✐ ✈➜♥ ✤➲ ❝❤➼♥❤ ❧➔✿ • ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❑➳t q✉↔ ỵ t ủ ố t ữủ tứ ố ỵ ❝❤♦ t❛ ❦➳t q✉↔ ♥➔②✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤✉♥❣✳ ✷✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ▼✳❙✳ ❆s❣❛r✐ ❛♥❞ ❆✳ ❑❤♦sr❛✈✐ ✭✷✵✵✺✮✱ ✏❋r❛♠❡s ❛♥❞ ❜❛s❡s ♦❢ s✉❜s♣❛❝❡s ✐♥ 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