Chuẩn bị cho kỳ thi QG 2

án Bài toán (D-2014) Cho x, y thỏa mãn  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu x  2y y  2x   x  3y  y  3x  4 x  y 1 Lời giải Từ giả thiết ta có: x1,2 (x 1)(x 2)  x2 3x 2  x2  3x 2 y 1,2 (y 1)(y 2)  y2 3y 2  y2  3y 2      thức P  Từ suy ra: x  2y y  2x P   x  y  3 y  x   x  y  1 xy    Q x  y   x  y  1 Đặt u  x + y ≤ u ≤ 4, Q  f u  u  u   u  1 (3u 1)(u 3) Ta có: f '  u     u 1 4 u 1 4 u 12  u 12 Lập bảng biến thiên suy hàm số f(u) đạt giá trị nhỏ u  Khi P  Q  Từ P  8 xảy  (x, y) số (1, 2) (2,1) Bài toán (THPTQG 2015) Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [1,3] thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức a b  b c  c a  12 abc  72 P  abc ab  bc  ca Lời giải Ta có : (ab  bc  ca)2  a2b2  b2c2  c2a2  2abc(a  b  c) = a b2  b c  c a  12 abc ( a  b  c )2 Đặt x  ab  bc  ca   12 Ta có: a, b, c  1;3  (a 1)(b 1)(c 1)   abc  (ab  bc  ac)  a  b  c    abc  x    abc  x  Lại có: (a  3)(b  3)(c  3)   abc  3( ab  bc  ac)  9( a  b  c)  27   abc  x  27 Vậy: 3x – 27 ≥ abc ≥ x –  2x ≥ 22  x ≥ 11 x  72 Ta có: P =  abc x 2 x 72 x  72 ≤  ( x  5) =   x x x 72 Xét f  x     , x  11;12  x 72 Ta có f '  x     x  11;12  nên x 11 72 160 P  f  x   f 11     11 11 160 160 P= a = 1, b = 2, c =  maxP = 11 11 Bình luận Đây tốn hay Ta phải dùng hai lần giả thiết biến a; b; c  1;3 để tìm miền giá trị x  ab  bc  ca đánh giá P thơng qua biến x Bài tốn (Dự bị THPTQG 2015) Cho số 1  a, b   ;1 Tìm giá trị nhỏ 2  P  a5 b  ab5  2   a  b  a b Lời giải Do a, b    a  1 b  1   ab  a  b   Khi 2 a  b2   a  b   ab   a  b    a  b  1  Mà a5 b  ab5  ab a  b  a  ab  b2  2 4 1  ab  a  b    a  b  1 a  b  8 nên P   a  b  1 a  b    3 a  b  a  b    a  b  1 Đặt t  a  b  1;2  , xét hàm số f t   t  1 t   3t, t  1;2 có  t  1  12 t 1 5t  4t3  24   0, t 1;2 , t2  2t  nên hàm số nghịch biến Do f  t   f    1 Vậy giá trị nhỏ P –1, đạt a  b  Bài toán Cho x, y, z  1 thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN biểu thức f ' t      b  c  b  a  c   8b D    b  c  b  a  c b  c  b  a  c    y2 1 x2  x  y   xy  1 z  z  Lời giải Do giả thiết ta có:  x  1 y  1  C b b  c  ba  c   b  c  b  a  c      1 b  c  b a  c b  c  b  a  c  Đặt t  b  c  b  a  c    t  13 2t  ,  t  13 t 1 t  8 2(3t 10)(6  t) f '(t)      t  2 (t 1) (t  8) (t 1)2 (t  8)2 Bảng biến thiên  P  f t   x2  y2  4 xy 1  x2  y2 4 xy 1 2 x 1 y 1  x  y  xy  x  y    x  y  1  x2  y2 1 z2  4z  x  y   x  y  xy   x  y  xy  1    z  1   z  z   P    z2  z   x  y  1   x  1 y  1 z  4z  Khảo sát hàm số f  z      z 2 z  4z    z z2  z   1;5 ta  3 f  z  f    Vậy max C =5 2 5 z = , x  1, y  z  , x  , y  1 2 2 Bài tốn Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn a  1, b  2, c  Tìm giá trị lớn của:  ab  ac  bc  8 b D   a  b  3c b  c  ba  c   b 12 a  3b  27c  Từ suy D  f  t   16 16 xảy  max D  7 a  1, b  2, c  Bài toán Cho x, y, z  1;2  Tìm giá trị lớn biểu thức 2 xy  yz  zx  yz4 E   xyz  2(2x  y  z) 2x(y  z)  yz  yz  Lời giải Vì x, y, z  1;2  , nên ta có  x  1 y   z     xyz  2(2 x  y  z)   y  z  x  yz  Dấu ‘’=’’ xảy x  y  z  Do x  nên ta có  xy  yz  zx  y z4 E   xyz  2(2x  y  z) 2x(y  z)  yz  yz    xy  yz  zx  yz4   x( y  z)  yz  x( y  z)  yz  yz  Mặt khác a  b  3c  b  c  b(a  c)   a  c  b   2a  b  3c  b  c  b(a  c) (2)  x ( y  z)  yz   yz  y  z   x ( y  z)  yz  yz  Lại có 2ab  ac  bc b c b a c   b c a 1   1 yz  yz4  x ( y  z)  yz  yz   1 yz  yz4  2( y  z)  yz  yz  Lời giải Ta có 12 a  3b2  27c    4a  b2  9c  a  b  3c (1)  ab  ac  bc  b  c  b  a  c  (3) Từ (1), (2), (3) ta có yz  yz   yz  yz  yz  Đặt t  yz  1;2  Xét f  t    t2  t  2 4t   2t  1;2  t 1   0, 27 f t  t  2  t 1 liên tục 1;2  nên f  t  đồng biến 1;2  Ta có f '  t     Suy P  f  t   f     Vậy max E   x  1; y  z  Bình luận Các tốn 8, nhìn cồng kềnh, tạo cảm giác khó ngại Tuy nhiên sau sử dụng miền giá trị biến ta đánh giá, đưa biến để khảo sát toán trở nên đơn giản Bài tốn 10 Cho x, y, z  1;2  Tìm giá trị lớn  1 1 F   x  y  z      x y z Lời giải Ta có z x y x y z  1 1 F   x  y  z            x z x y z y  x y z Khơng tính tổng qt giả sử x  y  z  x  y  x y x x y x 1 y 1 z   1 y  z  z   y  z 1 z     1 z 1 y    1 z  y  z  0 z  y  1 z  y x x y x x  y   x   1 1 Khi F   x  y  z       x y z z x y x y z  z x          2   x z x y z y x z x  z x  1 Đặt t  1;2  G   2     2 t   z x z  t Ta nhận thấy    2t 1 t  2 G 10  2 t       F  G  10 t  t 2 Vậy max F  10 ba số x, y, z có hai số số số hai số Bài toán 11 Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 1] Tìm giá trị lớn biểu thức H a3  a2 2  b2 1 b2 1  b2  b2 2  (a  2)     (a  2)  (a  2) b 1  b 1  b  (a  2)  (a  2)  a  b   a2 b 2 Dấu đẳng thức xảy  a, b {0, 1} Tương tự, ta có b3 2 2 2 c3  2  b  c   b c ;  c  a   c2a2 2 c2 1 a 1 Suy H   (a2 b2  b2c2  c2 a2 )  Dấu đẳng thức xảy  a, b, c {0, 1} a2b2  b2c2  c2a2  hay ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại Vậy max H  6, đạt ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại Lời giải Vì a, b  [0; 1] nên ta có  1 a3  b  c    b2  c2  a2  Nhận xét Mặc dù xuất phát từ giả thiết sẵn có tốn, cơng đoạn nhỏ q trình giải việc đánh giá lại có hiệu vô to lớn Thông qua ví dụ ta thấy kĩ đánh giá biến số đa dạng phong phú BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho a, b  1;2 Tìm giá trị nhỏ b3 a3 ab   a  2a  b  b3  2b  a  25 Cho số dương a, b, c  1;2  thỏa mãn P ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ 16 abc P  4 2  a  b c Cho a; b; c  0;2  thỏa mãn ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ P  a 3b3  b3c  c 3a  9abc  a   b   c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P     3abc  a2 b2  c2  24 Cho số thực   Cho a ; b  0; Tìm giá trị lớn    a  b 2   a  b   ab  8 a  b P  Cho a; b; c; d  1;2  Chứng minh :  a2  b2  c2  d   a12  b12  c12  d12   25   ... biểu thức sau: P     3abc  a2 b2  c2  24 Cho số thực   Cho a ; b  0; Tìm giá trị lớn    a  b 2   a  b   ab  8 a  b P  Cho a; b; c; d  1;2  Chứng minh :  a2  b2... b3 a3 ab   a  2a  b  b3  2b  a  25 Cho số dương a, b, c  1;2  thỏa mãn P ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ 16 abc P  4 2  a  b c Cho a; b; c  0;2  thỏa mãn ab  bc  ca... xuất phát từ giả thi t sẵn có tốn, cơng đoạn nhỏ q trình giải việc đánh giá lại có hiệu vô to lớn Thông qua ví dụ ta thấy kĩ đánh giá biến số đa dạng phong phú BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho a, b  1;2