1 tập tốn hình học phẳng UP TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Lời mở đầu: I CÁC BÀI TỐN Bài tốn 31 [1] GR O THÀNH VIÊN BAN QUẢN TRỊ NHĨM HÌNH HỌC PHẲNG HÌ NH HỌ C PH ẲN G Cho tam giác ABC Đựng đường cao AD,BE ,CF Điểm M trung điểm DF N điểm thuộc tia DE Cho ∠M AN = ∠BAC Chứng minh M A phân giác ∠N M F Chứng minh (Lê Hoài Nam) Gọi K điểm DE thỏa M A phân giác ∠KM F Do DA phân giác ∠KDM nên A tâm bàng tiếp góc D KM D ∠KDM Vậy ∠KAM = 90 − = ∠BAC điểm N trùng điểm K ta có đpcm Nhận xét: qua lời giải ta nhận thấy việc điểm M trung điểm DF khơng cần thiết ta tổng qt thành cho điểm M DF HÌNH HỌC PHẲNG GROUP tập tốn hình học phẳng UP Bài toán 32 [2] HỌ C PH ẲN G GR O Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB = BD) Gỉa sử AC = CD Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABD Gọi giao (BIC) AB F gọi E trung điểm AD Chứng minh rẳng AI ⊥ EF Chứng minh (Phan Thành Sơn) Cho AI cắt (BCI) I, J , DB cắt (BCI) B, H BI cắt JH M Ta có CF A = CHD AF = DH Do CJHI nội tiếp nên ∠CJA = ∠CEA = 90 CJEA nội tiếp Suy ∠AJH = ∠IJH = ∠ICH = ∠ACE = ∠AJE J, H, E thẳng hàng HÌ NH Do ∠IM J = ∠IAB = ∠IAE AIEM nội tiếp ∠EHD = ∠BHJ = ∠BIJ = ∠AIM = ∠AEM = ∠HED Suy DH = DE = AE = AF BI ⊥ EF Bài toán 33 [3] Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trực tâm D Điểm I , J chân đường cao từ B , C Điểm E thay đổi cung BC không chứa A Điểm F , G giao điểm EB , EC với CJ , BI Điểm H trung điểm F G Chứng minh H, J, I thẳng hàng HÌNH HỌC PHẲNG GROUP tập tốn hình học phẳng ẲN G GR O UP Vậy Mà JF B đồng dạng JF IG = JB IC IGC HỌ C Ta có PH Chứng minh (Vũ Long Trần Lê) JDB dồng dạng IDC nên HÌ NH Vậy áp dụng Menelaus cho JD DI JF IG = = JB IC JD ID F GD ta có IJ chia đơi F G Bài tốn 34 [4] Tam giác ABC ngoại tiếp (I) nội tiếp (O) OA, OB , OC cắt (I) điểm D, E , F tiếp tuyến (I) điểm cắt H , G, K Chứng minh AG, BK , CH đồng quy HÌNH HỌC PHẲNG GROUP ẲN G GR O UP tập tốn hình học phẳng PH Chứng minh (Trần Minh Ngọc) HỌ C Bổ đề (Định lí Steinbart) Cho tam giác ABC , ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc BC , AC , AB D, E , F Trên (I) lấy X , Y , Z Chứng minh DX , EY , F Z đồng qui AX , BY , CZ đồng qui Quay lại toán: Gọi tiếp điểm (I) BC , AC , AB X Y , Z áp dụng bổ đề ta suy DX , EY , F Z đồng qui Gọi tiếp tuyến D (I) cắt BC P tương tự Q, R đường đối cực điểm DX , EY , F Z đồng qui P , Q, R thẳng hàng Vậy ta áp dụng định lí Desargues ta suy AG, BK , CH đồng qui HÌ NH Nhận xét tốn ta thay O điểm ta chứng minh tương tự Bài tốn 35 [5] Cho tam giác ABC có nội tiếp (O).Gọi M trung điểm BC đường cao BE, CF M E cắt (AM F ) AB U , P M F cắt (AM E) AC tạI V , Q Đường thẳng qua O vng góc với AM cắt đường thẳng qua A song song BC L Chứng minh (AU V ), (AP Q), (L, LA) đồng trục HÌNH HỌC PHẲNG GROUP tập tốn hình học phẳng GR O UP ẲN G Nhận xét Hiện chưa có bạn gữi lời giải cho Bài toán 36 [6] HÌ NH HỌ C PH Cho tam giác ABC nội tiếp (O), trung tuyến đỉnh A cắt (O) D Đường cao BE , CF cắt H EF cắt BC G Gọi L hình chiếu G lên OH Chứng minh A, D, G, L thuộc đường tròn Chứng minh (Cách 1: Trí Phan Quang) Bổ đề (IMO Shortlist 2011) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp Ω Gọi B0 trung điểm AC C0 trung điểm AB Điểm D chân đường cao từ A G trọng tâm ABC Gọi ω đường tròn qua B0 , C0 thỏa tiếp xúc với Ω điểm X = A Chứng minh D, G, X thẳng hàng Quay lại tốn HÌNH HỌC PHẲNG GROUP tập tốn hình học phẳng GR O UP Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB Đường tròn (W ) qua N , P tiếp xúc với (O) X Ta thấy AD cắt OH G1 trọng tâm ABC Mà H trực tâm AGM suy AH ⊥ AM Y Suy G, L, Y, G1 thuộc đường tròn HY.HG = HG1 HL = HA.HU ( với U giao AH BC ) Suy A, G1 , U, L thuộc đường tròn Mà theo bổ đề X, U, G1 , A1 thẳng hàng ( với AA1 //BC A1 ∈ (O) ) Suy gọi GX giao (O) D GX.GD = GB.GC = GU.GM suy U, M, D , X thuộc đường tròn Vây AD qua M Suy D trùng D Vậy ∠XDM = ∠G1 U M = (LA, LG) Suy A, L, G, M thuộc đường tròn Nhân xét Ngồi cách Tran Quan, Khương Nguyên Trường Mạnh Tuấn đưa cách khác cho Bài toán 37 [7] HỌ C PH ẲN G Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đường tròn (K) qua B , C cắt AB , AC M , N Gọi J tâm (AM N ) Điểm E , F trung điểm AB , AC Điểm D hình chiếu A lên BC EJ cắt (AED) P F J cắt (AF D) Q Chứng minh (AP Q) tiếp xúc (O) HÌ NH Chứng minh (Đựa theo ý tưởng Vinh Nguyễn) Do BCM N nội tiếp ta có AO ⊥ M N A, J, D thẳng Do AF DQ AEDP nội tiếp nên EJ.JP = AJ.JD = N J.JQ Qua phép nghịch đảo cực J phương tích AJ.JD Ta có đề sau: cho tam giác ABC đường cao AD Điểm I AD E , F hình chiếu A lên BI , CI Chứng minh (DEF ) tiếp xúc đường tròn Euler ABC Từ giả thiết ta có AEDB nội tiếp AF DC nội tiếp EI.IB = AI.ID = F I.IC suy EF BC nội tiếp đường tròn (J) Gọi giao AE , AD, CF (J) X , Y , Z Ta có AEF I nội tiếp Suy ∠ZXA = 180 − ∠EF Z = 180 − ∠EAI XZ//AD HÌNH HỌC PHẲNG GROUP tập tốn hình học phẳng UP Gọi giao (DEF ) BC K Suy ∠Y KD = ∠Y ED = ∠Y EF + ∠F ED = 90− ∠AEY + ∠BAD = 90 − ∠XDY + ∠BAD = 90 − ∠DF Z + ∠BAD = 90 − ∠DAC + ∠BAD GR O Vậy ta thấy ∠Y KD không đổi I di chuyển AD Gọi trung điểm BC M , trực tâm ABC lả H , trung điểm AH N I trùng H ta có KY trùng M N KY song song với M N trung diểm KY thuộc đường thẳng nối D tâm Euler ABC (DEF ) tiếp xúc với đường tròn Euler ABC Bài tốn 38 [8] HÌ NH HỌ C PH ẲN G Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi N trung điểm OH Đường thẳng qua E vng góc với BN cắt đường thẳng qua F vng góc với CN X Gọi M trung điểm BC Chứng minh XM chia đôi AO Nhận xét chưa có bạn gửi lời giải cho Bài toán 39 [9] Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Điểm D thuộc cung BC không chứa A Đường thẵng qua D vuông AB , AC cắt AC , AB L, K Đối xứng LK qua D HG Chứng ràng AD ⊥ HG HÌNH HỌC PHẲNG GROUP ẲN G GR O UP tập tốn hình học phẳng Chứng minh Ta có HG//KL Mà DK , DL vng AC , AB nên D trực tâm AKL AD ⊥ KL Nhận xét Đây tính chất tương đối hiển nhiên Bài tốn 40 [10] HÌ NH HỌ C PH Cho tam giác ABC Điểm D thuộc đoạn BC , điểm E thuộc đoạn AD (BDE) cắt AB K (CDE) cắt AC L Gọi M giao điểm DK BE , N giao điểm DL với CE Điểm O tâm (EBC) Chứng minh AO ⊥ M N Nhận xét HÌNH HỌC PHẲNG GROUP tập tốn hình học phẳng UP Hiện chưa có bạn gửi lời giải cho Đây tốn hay mở rộng tính chất quen thuộc sau: Cho tam giác ABC Trực tâm H , đường cao AD, BE , CF giao DE CH X giao DF BH Y Tâm đường tròn Euler ABC N Chứng minh AN ⊥ XY HÌ NH HỌ C PH ẲN G [1] toán 31 [2] toán 32 [3] toán 33 [4] toán 34 [5] toán 35 [6] Bài toán 36 [7] toán 37 [8] toán 38 [9] toán 39 [10] toán 40 GR O II NGUỒN THAM KHẢO HÌNH HỌC PHẲNG GROUP ...tập tốn hình học phẳng UP Bài toán 32 [2] HỌ C PH ẲN G GR O Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB = BD) Gỉa sử AC = CD Gọi I tâm... ∠IAB = ∠IAE AIEM nội tiếp ∠EHD = ∠BHJ = ∠BIJ = ∠AIM = ∠AEM = ∠HED Suy DH = DE = AE = AF BI ⊥ EF Bài toán 33 [3] Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trực tâm D Điểm I , J chân đường cao từ B , C Điểm... dạng IDC nên HÌ NH Vậy áp dụng Menelaus cho JD DI JF IG = = JB IC JD ID F GD ta có IJ chia đơi F G Bài tốn 34 [4] Tam giác ABC ngoại tiếp (I) nội tiếp (O) OA, OB , OC cắt (I) điểm D, E , F tiếp tuyến