Kỷ yếu TOÁN học THANH hóa 2019

HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI SỞ GD VÀ ĐT THANH HĨA ——————–o0o——————– NGUYỄN VĂN MẬU - HỒNG VĂN THI (CHỦ BIÊN) CÁC CHUN ĐỀ TỐN HỌC CẬP NHẬT CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA MỚI KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC SẦM SƠN 28-28/09/2019 Mục lục Lời nói đầu Chương trình hội thảo Trần Văn Nhung Terence Tao - Con người nghiệp Lê Đại Hải, Mai Công Mãn, Tạ Duy Phượng Dãy truy hồi tuyến tính cấp - mơ hình tốn học đơn giản nhiều tốn thực tế Phạm Văn Hoằng, Nguyễn Chí Qn Một tiêu chuẩn kiểm tra số vô tỉ ứng dụng Nguyễn Văn Ngọc Một số bất đẳng thức hình học tam giác Hoàng Văn Thi, Lê Văn Tiến Đa thức nội suy cổ điển số ứng dụng Vũ Tiến Việt Một số áp dụng hệ thức hình học phẳng Lê Thị Bình Sử dụng hàm lồi giải toán cực trị tam giác Lê Văn Cao Một số dạng toán đẳng thức bất đẳng thức lớp hàm số học Nguyễn Bá Đang Vẽ hình gợi ý nảy sinh cho lời giải tốn hình học tương ứng Huỳnh Kim Linh Tuyển chọn số lớp phương trình hàm tập rời rạc Lê Thị Minh Áp dụng định lí Rolle chứng minh bất đẳng thức đa thức Nguyễn Văn Nhiệm Chứng minh số bất đẳng thức phương pháp so sánh giá trị đồ thi lồi, lõm điểm cực biên Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Đỗ An Khánh, Bùi Thị Hằng Mơ, Tạ Duy Phượng Phân tích số dạng 10n + thừa số nguyên tố Hoàng Minh Quân, Nguyễn Văn Sơn Một số đẳng thức liên quan đến số Catalan Nguyễn Viết Sơn Một số dạng tốn tính giới hạn hàm số qua kỳ Olympic Nguyễn Đình Thanh Một số ứng dụng nguyên lý Dirichlet Trịnh Khắc Tuân Bổ đề nâng số mũ ứng dụng 1 1 1 1 1 1 1 1 Trịnh Văn Hoa Một số phương pháp tính giới hạn dãy lặp Lê Quang Vũ Ứng dụng biểu thức vectơ tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chóp Bùi Văn Bình Sử dụng ngun lí kẹp cho tốn tính giới hạn dãy số Lê Thanh Bình Một số phương pháp xác định góc hai mặt phẳng Đỗ Đường Hiếu Vận dụng điều kiện đồng phẳng ba vectơ Lường Văn Hưng Sử dụng phép vị tự tìm ảnh đường tròn Euler Lê Văn Lâm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thưc hoán vị Nguyễn Bá Long Tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp dồn biến Nguyễn Sĩ Tam Sử dụng tính chất số Cnk để giải số toán nhị thức Newton Bùi Anh Tuấn, Hồ Thị Diễm Chinh, Lâm Minh Huy, Đặng Thị Huệ, Nguyễn Ngọc Phương Anh Ứng dụng công nghệ 3D dạy học theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể năm 2018 1 1 1 1 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 TERENCE TAO - CON NGƯỜI VÀ SỰ NGHIỆP Trần Văn Nhung Tóm tắt nội dung Bài viết câu chuyện đời nghiệp thần đồng Toán học, Giáo sư Terence Tao (Terry Tao), người 15 tuổi công bố báo khoa học đầu tiên, Cử nhân Thạc sĩ năm 16 tuổi, Tiến sĩ năm 21 tuổi, Giáo sư năm 24 tuổi (kỷ lục Alia Sabur 18 tuổi, người Pakistan), giữ kỷ lục học sinh trẻ giới (11 tuổi) lần giành Huy chương (Đồng, Bạc, Vàng) IMO giành Giải thưởng Fields năm 2006 anh 31 tuổi (kỷ lục Jean-Pierre Serre 28 tuổi, người Pháp) chứng minh giả thuyết cấp số cộng gồm toàn số nguyên tố Thần đồng toán học Terence Tao Terence Tao (Terry Tao) bộc lộ lực toán học đặc biệt từ nhỏ người ta gọi anh thần đồng toán học Giáo sư John Garnett Trường Đại học Los Angeles, California (UCLA, Hoa Kỳ) gọi anh ”Mozart (của) tốn học” Tao có IQ = 230, thuộc loại cao giới, nằm topten thiên tài giới có IQ từ 190 đến 230 Theo thống kê: 50 Tuy nhiên, số IQ có tính chất chủ quan gây tranh cãi, liệu thước đo thích hợp để đánh giá độ thơng minh người Một số người không đồng ý cho thành đạt thước đo thông minh Bill Gates số người siêu thành đạt nói (đại ý): Khái niệm thơng minh hiểu khác trước Người thông minh không thiết phải "trên giỏi thiên văn, tường địa lý, kinh sử làu làu" mà phải người đặt vào hồn cảnh, cơng việc hồn thành xuất sắc, tối ưu Stephen Hawking nói: "Sự thơng minh khả thích ứng với thay đổi" "Những khoe khoang số IQ (chỉ số thông minh) họ kẻ thua cuộc" Terence Tao sinh ngày 17/7/1975 Adelaide (Australia) Bố mẹ anh người Hoa, nhập cư từ Hongkong vào Australia Bố anh bác sĩ nhi khoa, mẹ anh nhận Cử nhân Trường Đại học Hongkong giáo viên toán bậc THPT Hongkong Bố anh kể lại gặp mặt gia đình, tuổi anh dạy Toán tiếng Anh cho cậu bé tuổi Khi hỏi Terence Tao biết số chữ, bố anh trả lời: Anh học từ chương trình truyền hình Sesame Street Nữ Giáo sư Miraca Gross, chuyên gia nghiên cứu giáo dục tài Trường Đại học New South Wales (Australia), viết hẳn tham luận Terence Tao tài liệu xuất Prufrock Press Trong bà nhắc lại kỷ niệm đáng Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 nhớ khả đặc biệt Tao anh chưa đầy tuổi: ”Cậu bé làm nhẩm đầu phép tính nhân số có hai chữ số, tơi, người đến để vấn cậu ấy, lại cần đến bút giấy để kiểm tra lại kết quả” Thần đồng Terence Tao bắt đầu học đại học tuổi Để định hướng cho mình, Billy Tao (bố Terence Tao) tham khảo ý kiến chuyên gia giáo dục cho đứa trẻ thiên tài Ông nghĩ: ”Để lấy độ tuổi trẻ, hay để trở thành người phá kỷ lục, chẳng có nghĩa lý Tơi thích mơ hình kim tự tháp tri thức, đáy rộng chắc, kim tự tháp lên cao Nếu bạn muốn nhanh chóng lên cột, chắn bạn dễ bị lung lay đỉnh bạn bị đổ sụp xuống” Và Billy Tao mời giáo sư tốn học làm thầy dạy Nhờ mà Terence Tao có nghiệp tuyệt vời Người viết (Trần Văn Nhung) cho suy nghĩ Billy Tao không lĩnh vực tốn học khoa học mà theo nghĩa rộng cho muốn trở thành người thành đạt, nhân văn, hài hòa hạnh phúc: Dù thần đồng hay học sinh, sinh viên bình thường, ngồi việc học tập, nghiên cứu chuyên môn (đương nhiên với tốc độ kết khác nhau), cần phải trau dồi thêm kiến thức văn hố đủ chắc, đủ rộng, để đặt chun mơn đó, vào Và cuối cần phải rèn luyện để có sức khỏe dẻo dai làm tảng cho tất điều vừa nói trên, cho nghiệp cho việc làm người Như M D Vauvenargues nói: ”Ta phải chăm sóc khỏe mạnh thân thể để giữ gìn khỏe mạnh trí tuệ”; hay A Chekhov: ”Cần có trí tuệ minh mẫn, đạo đức sáng thân thể khỏe mạnh” A Einstein nói giáo dục (https://diendantoanhoc.net/topic/15040-alberteinstein/, "Nền giáo dục cho tư độc lập" đăng New York Times số tháng 10, 1952: ”Nhà trường phải luôn tạo cho học trò cá tính cân đối khơng nên biến chúng thành nhà chuyên môn” Tôi xin mạo muội đề xuât "công thức" làm người thời đại tồn cầu hóa cách mạng cơng nghiệp 4.0 sau: Sức khỏe tốt + Trái tim nhân nhậu + Bộ óc tốt + Kỹ sống tốt + Tiếng Anh + Công nghệ thông tin = Công dân toàn cầu 4.0 Đối với vậy, đời người chạy Marathone (42,195 km) chạy cự li ngắn (100m, 1.000m hay 2.000 m) Qua ảnh thấy Terence Tao khỏe mạnh, vui tươi đẹp trai, có gia đình hạnh phúc, khơng giống Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 vài thần đồng khác Thì để vun trồng thần đồng, tài đặc biệt cần có ơng bố, bà mẹ, thầy cô giáo môi trường xuất sắc Xin trích nguyên văn đoạn từ tài liệu [b]: ”Vào ngày 16-7-1983, ngày trước sinh nhật lần thứ Terence Tao, Ken Clements - chuyên gia giáo dục trẻ em có khiếu toán học, đến thăm nhà cậu bé để đánh giá khả cậu Trong trình đánh giá, anh đưa cho Tao chuỗi câu hỏi viết giấy, Tao trả lời miệng mà khơng viết giấy Tất câu trả lời cậu Dưới câu hỏi câu trả lời Tao: Câu 1: Hai đường tròn có bán kính 2cm 3cm Khoảng cách tâm chúng 4cm Vậy chúng có giao hay khơng? Tao: Có Nếu chúng không giao nhau, khoảng cách tâm chúng lớn Câu 2: Một kim tạo góc 20 phút? Tao: Đơn giản! 1/3 1/12 vòng tròn kín 1/36 đường tròn 1/36 3.600 tương đương với 100 Câu 3: Một can dầu nặng 8kg Khi rót nửa số dầu khỏi can can nặng 4,5kg Hỏi cân nặng can rỗng bao nhiêu? Tao: Chú có phương trình đại số, khó tính nhẩm Trọng lượng can + trọng lượng dầu = Trọng lượng can +1/2 (trọng lượng dầu) = 1/2 Vậy, trọng lượng dầu = 7kg, trọng lượng can = 1kg Câu 4: Bây khoảng thời gian kể từ trưa đến 1/3 quãng thời gian từ đến nửa đêm? Tao: phần + phần = 12 Vậy phần = giờ, chiều Câu 5: Chú từ nhà tới trường 30 phút, anh phải 40 phút Anh rời khỏi nhà trước phút Vậy phút vượt anh ấy? Tao: 35 phút Nếu khởi hành thời gian với anh trai đến trước 10 phút Ồ không, 15 phút, hai nửa đường Câu 6: Chu vi tam giác vuông 5cm Độ dài cạnh bên 2cm Vậy chiều dài cạnh thứ ba bao nhiêu? Tao: Cạnh thứ ba 1cm À khơng, điều khơng Theo định lý Pythagore phải bậc Không thể được, phi lý! Câu 7: Một lớp học nhận số thông thường số đặc biệt, tất có 80 Một thường có giá 20 cent đặc biệt có giá 10 cent Hỏi lớp học nhận loại? Tao: Cháu thực (cười) (R+S = 80 Tất cho giá Không thể giải Có thể 40 thường 40 đặc biệt Hoặc 50 thường 30 đặc biệt).” Trích vấn Terence Tao, từ Gazette Hội Toán học Australia, vào tháng 9/2010 (lúc Tao 35 tuổi), Đỗ Đức Thái & Trịnh Duy Tiến (ĐHSP Hà Nội) dịch: Gazette: Khi anh bỏ qua lớp, anh có bỏ qua tất mơn học hay mơn tốn? Terence Tao: Khi tuổi học bạn trang lứa môn tiếng Anh, Vật lý, Nhưng tốn tơi học với anh chị 11, 12 tuổi Gazette: Anh có nhiều đóng góp cho tốn học? Terence Tao: Khơng tơi, nhiều nhà toán học giỏi Thật tuyệt vời nghe đột phá tốn học Tơi muốn nhắc đến Perelman, người chứng minh Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Giả thuyết Poincaré Đó cơng trình thực tuyệt vời! Gazette: Cộng anh ai? Terence Tao: Liên tục thay đổi Hiện cộng tác nhiều với ba người: Ben Green làm lý thuyết số Cambridge, Tamar Ziegler làm lý thuyết ergodic Israel Vũ Hà Văn nhà xác suất Rutgers (Nguồn tài liệu Terence Tao: http://terryTerence Tao) Khi lên tuổi, Tao đạt 760 (trên 800) điểm mơn Tốn thi SAT hai đứa trẻ đạt 700 điểm lịch sử chương trình nghiên cứu tài đặc biệt Johns Hopkins Từ năm lên tuổi anh theo học giảng toán học bậc đại học Năm 1986, 11 tuổi, anh tham dự Kì thi Olympic Toán Quốc tế (IMO) dành cho học sinh THPT Kết thi Tao ba năm liền sau: Tại IMO 1986 19 điểm (HCĐ), 1987 40 điểm (HCB) 1988 34 điểm (HCV) Cho đến Tao giữ kỷ lục học sinh trẻ (11 tuổi) tham dự, lần giành HC IMO người trẻ (13 tuổi) giành HCV lịch sử IMO (từ năm 1959 tổ chức Rumani) Tại IMO năm 1988 tổ chức Australia, Terence Tao (lúc 13 tuổi) Ngơ Bảo Châu (16 tuổi) dự thi Bài tốn khó năm số số học tổng số trăm thí sinh có em làm này, có Ngô Bảo Châu Việt Nam anh giành Huy chương vàng với số điểm tuyệt đối 42 42 Bài toán số CHLB Đức đề nghị (7 điểm), khó IMO 1988 Australia: Cho a b số nguyên dương thỏa mãn a2 + b2 chia hết cho ab + Hãy chứng minh ( a2 + b2 )/( ab + 1) bình phương số nguyên (Let a and b be positive integers such that ab + divides a2 + b2 Show that a2 + b2 /ab + is the square of an integer) Paul Erdos ă (72 tui) v Terence Tao (10 tui) cựng lm toỏn nm 1985 Paul Erdos ă (1913-1996, th 83 tuổi): Bố mẹ người Do thái, giáo viên tốn Hungary Cả đời Ơng cơng bố 1.525 báo khoa học giả thuyết (conjectures), treo phần thưởng cho nhiều toán, từ 25 USD - nhiều ngàn USD Người ta thiết lập hẳn Dự án S Erdos ă (The Erdos ă Number Project, https://oakland.edu/enp/) thống kê, nghiên cứu tìm nhiều điều thú vị xung quanh nhà toán học huyền thoại nhõn loi th k XX S Erdos ă E số nguyên mô tả "khoảng cách cộng tác" mt ngi i vi Erdos ă Theo thng kờ nm 2007: Erdos ă cú 511 ng tỏc gi, nhng ngi có số E =1, có 8.162 người với E=2 (đồng tác giả với đồng tác giả Erdos) ¨ nhiều người có số Hội thảo Khoa hc, Sm Sn 28-28/09/2019 Erdos ă l 3, 4, E max 15 Người ta thng kờ c S Erdos ă ca hng trm nh khoa học khắp giới trao Giải Nobel Vật lý, Hóa học, Y học Kinh tế, Giải thưởng Fields giải thưởng cao quý khác Ví dụ: E(M Curie) = 7, E(A Einstein) = 2, E(L V Kantorovich) = 2, E(A Wiles) = 3, E(N B Châu) = 4, PGS TS Nguyễn Mậu Chung, Khoa Vật lý, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN, có bỏo vit chung vi Erdos ă v hn 200 bi báo quốc tế khác có uy tín Số cơng trình, úng gúp v sc lao ng ca Erdos ă cú thể sánh vơi L Euler: Euler làm việc mỡnh v vit nhiu trang hn, Erdos ă cú nhiu đồng tác giả có nhiều cơng trình GS Tao giảng hay SV, NCS báo cáo khoa học? Cơng trình Giải thưởng Fields Terence Tao Các toán số nguyên tố mãi khó khăn bí ẩn Các số ngun tố lớn trở nên thưa thớt hơn, vào năm 300 TCN nhà toán học Hy Lạp Euclid chứng minh rằng, tập hợp số nguyên tố vô hạn Euclid tin có vơ hạn ”số nguyên tố sinh đôi” (twin primes), tức cặp số nguyên tố cách đơn vị, ví dụ 5, 11 13, ông chứng minh Và chưa có sau ông 2.300 năm làm điều P Erdos ¨ nói: "Nếu tốn nêu mà sau trăm năm chưa giải phải thuộc lý thuyết số" Vài ví dụ minh họa: n Định lý (nhỏ) Fermat: Với số tự nhiên n, 22 + số nguyên tố Sau này, L Euler (1707-1783) cho phản thí dụ với n = Giả thuyết Goldbach nhà toán học người Đức Christian Goldbach (1690-1764) nêu vào năm 1742 thư gửi tới Leonhard Euler, toán lâu dài tiếng chưa giải lý thuyết số nói riêng tốn học nói chung "Mỗi số tự nhiên chẵn lớn biểu diễn tổng hai số nguyên tố." Ví dụ: = + 2, = + 3, = + 3, 10 = + 3, Giả thuyết tới × 1018, đến chưa chứng minh hoàn toàn (https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Câu hỏi: Có tìm được, xây dựng hay không đa thức/công thức P(n) mà P(n) nguyên tố với n = 1, 2, , n, ? Câu trả lời khơng! Thậm chí P(n) ngun tố với dãy vơ hạn n chưa có Terence Tao chứng minh, nguyên tắc, có dãy số nguyên tố với độ dài bất kỳ, không dãy cụ thể Hai ”đa thức hiếm”: P(n) = n2 + n + 41 số nguyên tố với n=1, 2, 3, , 39 Q(n) = n − 79n + 1601 số nguyên tố với n=0, 1, , 79; n tăng lên ∞ chưa biết hai đa thức P(n), Q(n) có cho vô hạn số nguyên tố hay không? Số nguyên tố p gọi số nguyên tố Chen (Trần) p + số nguyên tố tích hai số nguyên tố Vào năm 1966, Trần Cảnh Nhuận (Chen Jingrun) chứng minh có vơ hạn số nguyên tố Một số số nguyên tố Chen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101 Vào tháng 10/2005 Micha Fleuren nhóm PrimeForm tìm thấy số ngun tố Chen lớn nay, (1284991359 × 298305 + 1) × (96060285 × 2135170 + 1) − với 70.301 chữ số Ứng dụng quan trọng số nguyên tố: RSA thuật tốn mật mã hóa khóa cơng khai Rivest, Shamir, Adleman đưa lần đầu năm 1977 ĐH MIT (Mỹ) Khóa RSA xây dựng đựa việc phân tích hợp số n = p.q, p q hai số nguyên tố đủ lớn, xa tốt Nói rõ hơn: Khi tìm n, p, q lớn p, q cách xa khóa tốt, bí mật Một phương pháp khác để lập khóa nhờ sử dụng đường cong elliptic (ECC) đề xuất độc lập N Koblitz S Miller vào năm 1985 Một khóa ECC 256- bit bảo mật tốt khóa RSA 3.072-bit Đóng góp Tao Tao nhận Cử nhân Thạc sĩ Trường Đại học Flinders (Australia) năm 17 tuổi Năm 1992, anh giành học bổng Fulbright để làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Princeton (Mỹ) hướng dẫn Giáo sư Elias Stein nhận Bằng Tiến sĩ 20 tuổi Năm 24 tuổi, anh phong Giáo sư thực thụ (full professor) UCLA (Mỹ) giáo sư trẻ lịch sử trường đại học Tao giáo sư trẻ kỷ lục giới chưa? Alia Sabur (SN 22/02/ 1989 New York, Mỹ, gốc Pakistan) nhà khoa học vật liệu Mỹ Cô giữ kỷ lục Guinness giáo sư trẻ giới 18 tuổi (https://vi.wikipedia.org/ wiki/Alia-Sabur) Tao nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học giải tích điều hồ, phương trình vi phân đạo hàm riêng, tổ hợp, lý thuyết số, xử lý tín hiệu, Tạp chí NewScientist (22/8/2006) viết: ”Terence Tao nhà toán học trẻ tiếng đến mức mà nhiều nhà toán học giới muốn lôi anh giải tốn anh trở thành Ơng ”Thợ giải tốn” hợp tác đắc lực với đồng nghiệp giới” Giáo sư C L Fefferman (Giải thưởng Fields) nói: ”Nếu bạn bị bế tắc toán, cách giải tìm cách lơi Terence Tao” Giáo sư John Garnett (UCLA) nói : ”Tao viết 56 báo khoa học vòng hai năm tất có chất lượng cao Còn tơi năm may mắn ba bài” Năm 2006, 31 tuổi, Đại hội Toán học giới (ICM) lần thứ 25 Madrid, Tao người trẻ nhất, người Australia giáo sư UCLA giành Giải thưởng Fields đóng góp to lớn cho lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, tổ hợp, giải tích điều ho�) Cnk = 3k.Cnk + 2.Cnk , (0 ≤ k ≤ n) Như VT tách thành tổng đơn giản hơn: VT = Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + · · · + n.Cnn + 2(Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn ) = 3n.2n−1 + 2.2n = 2n−1 (3n + 4) Từ u cầu tốn, ta có PT 2n − 1.(3n + 4) = 1600   3n + = 25 n −1 (3n + 4).2 = 25.2 n−1 = ⇔ n = ⇔ ⇒ n ∈ N, n >  n ∈ N, n > Vậy n = thỏa mãn yêu cầu bfi toán Giáo viên nhận xét: Nhiều tốn cần phải dung kỹ thuật phân tích số hạng để tách tổng thành nhiều tổng Ví dụ 1.3 Tìm số nguyên dương n cho: 2 2n 2n+1 C2n +1 − 2.2C2n+1 + 3.2 C2n+1 − 4.2 C2n+1 + · · · + (2n + 1).2 C2n+1 = 2005 Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn tổng vế trái Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát số hạng tổng VT có dạng nào? Câu hỏi 2: Nếu khơng có hệ số k có tính tổng hay không? k Câu hỏi 3: Với số hạng dạng k2k C2n +1 ta nên xử lý nào? Câu hỏi 4: Công thức làm để ”cân bằng” hệ số k tổng trên? Lời giải Áp dụng tính chất (*) ta có k k k −1 k.2k C2n +1 = (2n + 1).2 C2n (1 ≤ k ≤ 2n+1) 1 2 2n 2n VT = (2n + 1) C2n +1 − C2n+1 + C2n+1 − · · · + C2n = (2n + 1).(1 − 2)2n = 2n + Từ ta có n = 1002 Chú ý 1.1 Khi áp dụng tính chất (*) cho số hạng tổng, ta không cần quan tâm đến dấu lũy thừa có số hạng Ví dụ 1.4 Tính tổng sau a S1 = 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + · · · + n.(n − 1).Cnn b S2 = 1.2.3.Cn3 + 2.3.4.Cn4 + + (n − 2).(n − 1)n.Cnn Giáo viên đặt câu hỏi hướng dẫn HS làm ý a (ý b làm tương tự): Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát số hạng tổng VT có dạng nào? Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Câu hỏi 2: Với số hạng dạng (k − 1)k.Cnk làm hệ số không phụ thuộc k? Lời giải a Số hạng tổng quát tổng (k − 1)k.Cnk Áp dụng tính chất (*) hai lần liên tiếp, ta có k −2 (k − 1)k.Cnk = n.(k − 1).Cnk− −1 = n ( n − 1).Cn−2 , (2 ≤ k ≤ n) −2 S1 = n(n − 1)(Cn0 −2 + Cn1 −2 + Cn2 −2 + · · · + Cnn− ) = n ( n − 1).(1 + 1) n −2 = n(n − 1).2n−2 b Số hạng tổng quát tổng có dạng: (k − 2).(k − 1).k.Cnk Áp dụng tính chất (*) ba lần kiên tiếp ta có k −2 (k − 2).(k − 1).k.Cnk = n(k − 2)(k − 1)Cnk− −1 = n ( n − 1)( k − 2)Cn−2 = n(n − 1)(n − 2)Cnk− −3 , (3 ≤ k ≤ n) S2 = n(n − 1)(n − 2) Cn0 −3 + Cn1 −3 + · · · + Cnn−3 = n(n − 1)(n − 2)(1 + 1)n−3 = n(n − 1)(n − 2).2n−3 Giáo viên nhận xét: Trong số tổng phải áp dụng tính chất (*) nhiều lần để ”cân bằng” hệ số Ví dụ 1.5 Rút gọn tổng sau 2012 S1 = 12 C2012 + 22 C2012 + 32 C2012 + + 20122 C2012 Giáo viên đặt câu hỏi định hướng: Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát số hạng tổng VT có dạng nào? k Câu hỏi 2: Có thể phân tích hệ số số hạng k2 C2012 để đưa số hạng dạng kCnk hay không? k Lời giải Số hạng TQ tổng k2 C2012 Ta có k k k k −1 k −1 k2 C2012 = k(k − 1)C2012 + kC2012 = 2012(k − 1)C2011 + 2012C2011 k −2 k −1 = 2012.2011C2010 + 2012C2011 , (2 ≤ k ≤ 2012) Ta có 1 2010 2011 S1 = C2012 + 2012.2011(C2010 + C2010 + C2010 + · · · + C2010 ) + 2012(C2011 + C2011 + · · · + C2011 ) = 2012.2011(1 + 1)2010 + 2012 + 2012 (1 + 1)2011 − = 2012.2011.22010 + 2012.22011 = 2012.2013.22010 Giáo viên đặt câu hỏi để rút kết luận cho học: Từ ví dụ nêu dấu hiệu để áp dụng tính chất (*)? ...cách tiếp cận mẻ việc học sinh học, lịch sử, văn hóa, tốn học Việc ứng dụng công nghệ 3D dạy học giúp cho học sinh hiểu rõ học Có thể đưa loại cơng nghệ 3D khác vào dạy học 3D Scanning, 3D Printing, ...môn học nghệ thuật công nghiệp, kỹ thuật, khoa học ứng dụng khoa học túy (Technology, 2012) Kỹ thuật: nghệ thuật khoa học để thực ứng dụng thực tế kiến thức khoa học túy, vật lý hay hóa học, ...tốn học vào giải số vấn đề thực tế ∗ Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Đại học Kinh tế Kỹ thuật Bình Dương ‡ Trường Đại học Khoa học Tự nhiên † Trường Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09 /2019