Cơ lưu chất - Chương 4

Tài liệu tham khảo bài giảng cơ lưu chất biên soạn bởi Ts.Nguyễn Thị Bảy trường ĐH Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Chương 4 ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT

I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER)

Xét một khối hình hộp vi phân dxdydz trong khối chất lỏng lý tưởng chuyển động.

Tổng lực tác động trên khối hình hộp vi phân =>

∂ +

p(x,y,z,t) : áp suất

u (x,y,z,t) : vận tốc

F r

v r

= ρ

−

r

ρ

www4.hcmut.edu.vn/~hchoai/baigiang

Nếu viết trên phương x thì :

dt

du x

p

∂

∂

− ρ

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

− ρ

thêm vào vế phải

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

− ρ

x

u u x

u u x

u u x

u

z

y y z z

y y

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂ +

∂

∂

r r

=

− ρ

sau khi biến đổi, ta có:

t

u y

u x

u u x

u z

u u u u u x x

p

y z x z z y x x

∂

∂ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂ +

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

∂

∂

=

∂

∂

− ρ

t

u u

u

u x x

p

z y y z

∂ +

− +

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

∂

∂

ρ

và viết dưới dạng vector − = ∂ + + ω×

r

pt Euler dạng Lam-Gromêko

Tương tự trên phương y

u x

u grad t

u gradp

∂

=

−

II.TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

Lực có thế:Lực khối đơn vị F là lực có thế khi có thể tìm được một hàm π(x,y,z) sao cho

π

= − uuuur r

nghĩa là :

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

−

và π(x,y,z) được gọi làhàm thế

Thí dụ : Lực khối đơn vị là trọng lực là một lực có thế với : π(x,y,z) = gz

Hàm áp suất : Π(x,y,z) gọi là hàm áp suất

+

=

Nếu chất lỏng không nén được: ρ = const thì : Π= ρ ∫ + Thay vào phương trình Lamb Gromêkô :

− ⎜ ⎝ π+Π+ ⎟ ∂ ⎠ = + ϖ

r

+

= Π ρ

1 Trường hợp chuyển động không quay (chuyển động thế):

Một chuyển động không quay luôn luôn tìm được một hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z,t) sao cho:

ϕ

= r Chuyển động không quay ϖ r =

− ⎜ + π + Π + ⎟ =

∂

uuuur

= + Π + +

∂

∂ ϕ π chuyển độngổn định, không nén đượcvà chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất làtrọng lực

= + + ρ

− ⎜⎝π + Π + ⎟ ∂⎠= + ϖ

r

− uuuur ⎜ ⎝ π + Π + ⎟ ∂ ⎠ = uuuur ϕ

∂

2 Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đuờng dòng:

Chuyển động ổn định : =

∂

∂r

− ⎜π + Π + ⎟= ϖ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ π + Π +

= + Π +

π

Nếu chất lỏngkhông nén đượcvà chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất làtrọng lựcthì thay (4.12) cho

trên một đường dòng là

= + + ρ

r r ω

r

ωv

3 Chuyển động ổn định tích phân dọc theo đường xoáy:

Đường xoáy là cong đi qua các điểm có vector vận tốc xoáy là tiếp tuyến

Tương tự như trên đường dòng, nhân 2 vế , là một vector vi phân trên đường xoáy

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ Π + π

= + Π + π

Nếu chất lỏngkhông nénđược và chỉ chịu ảnh hường duy nhất làtrọng lựcthì thay (4.12) cho

trên một đường xoáy là

= + + ρ

4 Chuyển động ổn định, tích phân theo phương pháp tuyến với đuờng dòng

r r

r

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂

= τ

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂

= Π +

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂

= Π +

∂

Π +

∂

Nếu chất lỏng chuyển độngổn định, không nén đượcvà chỉ chịu ảnh hường duy nhất làtrọng lựcthì chotrên phương pháp tuyến của đường dòng là

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∂

∂

ρ

( +Π)=−

∂

∂ π

khi những đường dòng thẳng song song thì R Ỉ ∞ hay ⎜⎜⎛ + ⎟⎟⎞=

∂

∂

áp suất phân bố theo qui luật thủy tĩnh trên phương thẳng góc với đường dòng

r

Vector đơn vị trên phương s và n v

r τ

CV

III PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG

Xét thể tích kiểm soát W, bao quanh diện tích A

Đại lượng nghiên cứu là năng lượng

X = E

Năng lượng đơn vị

κ= u2/2 + gz (động năng + thế năng)

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∫∫

∫∫∫ ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞ + ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞

∂

∂

Theo định luật I nhiệt động lực học, sự biến thiên năng lương trong một hệ thống của các phần tử chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) , bằng công suất cung cấp cho hệ thống cộng với nhiệt lượng thêm vào hệ thống trong một đơn vị thời gian

+

=

∫∫∫

Không có sự

P: công suất cung cấp cho hệ thống, nhiệt lượng thêm vào trong 1 đơn vị thời gian

dw

Không có sự trao đổi nhiệt =

P do lực tác dụng trên diện tích A bao quanh thể tích kiểm soát gồm

r áp suất -p

τ r Ứng suất do ma sát

( ) ∫∫ ( )

∫∫

∫∫

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∂

Thay vào:

sắp xếp lại, > Phương trình năng lượng dạng tổng quát :

( )

∫∫

∫∫

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∂

ρ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

ρ

C V

dA

∫∫

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∂

∂

A

∫∫

∫∫

∫∫ ⎜⎜⎝⎛ + + ⎟⎟⎠⎞ r r = rr + ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞ρ r r

ρ ρ

ρ ρ

Trường hợp chọn thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy tại mặt cắt A1 và A2 có đường

dòng song song :

( )

∫∫

∫∫

∫∫

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+ + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

ρ

ρ ρ

ρ ρ

V1

p2

V2

p1

Mặt chuẩn

z1

z2

( )

∫∫

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

ρ

Hằng số Đường dòng thẳng song

song

Sb

∫∫

∫∫

∫∫ ⎜⎜⎝⎛ + + ⎟⎟⎠⎞ r r = rr +⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞ ρ rr

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

−

=

∫∫

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

ρ ρ

α

Trong đó α1, α2được gọi là hệ số sửa chữa (hiệu

Đối vớidòng chảy rối: α ≈1

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫ ⎜⎜⎝⎛ + + ⎟⎟⎠⎞ r r = rr +⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞ ρ rr

ρ ρ

ρ ρ

Tương tự tại mặt cắt A2 cũng có

ρ ρ

α ρ

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

Đối vớidòng chảy tầng: α>1

∫∫

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

ρ α

ρ ρ

α

γ

τ γ

α γ

Thay vào phương trình năng lượng:

Đặt :

γ

τ

∫∫

−

=

−

r

Gọihf1-2là tổn thất năng lượng trong dòng chảy

−

+ + +

= + +

γ

α γ

α

( )

∫∫

∫∫

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

ρ

ρ ρ

Phương trình năng lượng cho trường hợp

( i) Chuyển động ổn định, (ii) Không trao đổi nhiệt, (iii) Tại mặt

A1, , A2đường dòng thẳng song song, (iv) Chất lỏng không nén và (v) Lưu lượng tại mặt cắt A1và A2bằng nhau

Xem chất lỏng không nén (ρ1= ρ2= ρ) và Q1= Q2= Q Chia 2 vế cho ρgQ và chú ý ρg=γ

Vị năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng

α γ

Ý nghĩa các số hạng:

Động năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng

Áp năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng

Z Thế năng ( cột nước đo áp ) +

γ

Năng lượng của dòng chảy tính trên một đơn vị trọng lượng chất lỏng +

+

=

γ

α

( Cột nước năng lượng , m) Năng lượng toàn dòng tại một mặt cắt trong một đơn vị thời gian (Công suất của dòng chảy, Watt)

γ

= Phương trình năng lượng khi có máy bơm hoặc tua bin:

1 1

2 1

p g

ρ +

ρ + α

g

p g

V

+HB -HT

HB Năng lượng máy bơm cung cấp cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng (m)

HT Năng lượng tua bin lấy từ một đơn vị trọng lượng chất lỏng (m)

γQHB (watt) γQHT (watt)

−

+ + +

= + +

γ

α γ

α

Đường năng và đường cột nước đo áp ( chất lỏng lý tưởng)

Đường cột nước đo áp Đường năng

Mặt chuẩn Điềm dừng

nước đo áp +

+

=

γ

γ

γ, chất lỏng

khí

khí

khí

M

N

p2

p2

p1

p1

p1

p1

Oáng Pitot

IV ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG

1 Đo lưu tốc ( ống Pitot )

Aùp dụïng phương trình Bernoulli cho điểm 1 và 2, xem lưu chất lý tưởng

+ +

= + +

ρ ρ

−

=

−

=

ρ ρ ρ Aùp dụïng tính chất áp suất tĩnh học tuyệt đối

ρ

+

ρ

+

ρ

=

−

ρ

ρ −

=

−

ρ

ρ ρ

ρ

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

= ρ ρ

Oáng pitot

Oáng Pitot được lắp trên máy bay để đo vận tốc của máy bay

ρ

ρ

=

CI: H s ng Pitot

CI> 1, N u ch t l ng lý tưởng CI= 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

= ρ ρ

Thông thường ρk<< ρ nên ρ/ρk >> 1 nên

ρ

ρ

=

Để xét đến ảnh hưởng của sự ma sát của dòng khí, hệ số CI được thêm vào để điều chỉnh vận tốc tính bằng công thức trên

Hãy giải thích tại sao CI> 1 khi xét đến sự ma sát của dòng khí ?

2 Đo lưu lượng ( ống Ventury )

(C<1 : hệ số ống Ventury)

−

=

Aùp dụng phương trình năng lượng giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2

−

+ + +

= + +

γ γ

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=

−

γ γ

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

−

+ + +

= + +

γ γ

h

gas

A B

ZA ZB

Z2

Z 1

V1

V 2

p 1

P 2

datum

3 Xác định lưu lượng qua một lỗ

4 Xác định công suất của một máy bơm

Vận tốc qua lỗ tại mặt cắt co hẹp : =

Với Cv hệ số lưu tốc

CD= ε Cv hệ số lưu lượng (ε : hệ số co hẹp)

Công suất cung cấp cho dòng chảy P = γQHb Công suất của máy bơm Pb= γQHb/ η

η : hiệu suất máy bơm (%)

Ac H

C i tiến máy bơm ly tâm

V PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG :

Đại lượng nghiên cứu trong thể tích kiểm soát là động lượng

C V

Động lượng đơn vị : κ = r

∫∫∫

Động lượng trong thể tích kiểm soát là

Aùp dụïng định luật về động lượng:

∑

r

∑

∑

∫∫

∂

ρ ρ

∂

ρ ρ

V1

V2 C.V

-Chuyển động ổn định

∑

∫∫

∂

ρ ρ

∑

∫∫

∫∫

∫∫ ρr v + ρr v + ρr v = r ∫∫ ρ r r v + ∫∫ ρ r v = ∑ r

∑

∫∫

ρα

αo1, αo2là hệ số sửa chữa động lượng

∫∫

∫∫

=

= ρ

ρ α Với chuyển động tầng trong ống : αo = 4/3

và rối thì αo= 1,02 -1,05

∑

= +

r

ρα ρα

∑

=

r

ρα ρα

ĐL ra ĐL vào Tổng lực ∑ r (Lực khối :Trọng lượng,… )

∑ r (Lực mặt :Aùp lực, lực ma sát, )

Xét một chuyển động

- Thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy:

- Không nén được

Nếu Q1= Q2= Q ρα r − ρα r = ∑ r ρ α r − α r = ∑ r

VI.ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG

1 Lực của tia nước tác dụng trên một tấm phẳng nghiêng góc α, vận tốc và lưu lượng đến V1và Q1

Xem trọng lượng tia nước không đáng kể

2 Lực của dòng chảy tác dụng lên một tấm chắn có bề rộng bằng 1 đơn vị, lưu lượng q và độ sâu h1, h2

B qua ma sát đáy

V1

Q1

F =?

α

F = ρ Q1 V1sinα

F

q

q

h1

h2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

Máy bơm ly tâm

Cấu tạo bộ phận cải tiến máy bơm

ly tâm có thể hút sâu

Source: HT Hùng-NHD Kha-NT Hải-LH Dương

Source: HT Hùng-NHD Kha-NT Hải-LH Dương

Source: HT Hùng-NHD Kha-NT Hải-LH Dương