Chuyên toán QH huế

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 * * * * * MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh: Phòng: Bài 1 : (2,5 điểm) a) Tìm các số thực ,u v biết : 3 3 7u v+ = và 2u v× = − . b) Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 1 3 5 9x x x− + + = . Bài 2: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB. a) Chứng tỏ : HA 2 + HB 2 + HC 2 + HD 2 = 4R 2 . b) Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp . c) Chứng minh : PR + QS ≤ AB + AD . Bài 3 : (3 điểm) a) Đặt 2 = p ; 3 2 = q . Chứng tỏ rằng : 3 3 1 1 1 2 2 2 p q p q q p − = + + + + − . b) Chứng tỏ : ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = + + + + − − − với mọi số thực , ,x y z . Suy ra với , ,a b c là các số dương ta luôn có : 3 3a b c abc+ + ≥ . c) Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi nhóm có ba số. Gọi T 1 là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T 2 là tích của ba số của nhóm thứ hai và T 3 là tích của ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng : T 1 + T 2 + T 3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ? Bài 4 : (1 điểm) Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn . Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng ( 2 3 3− )a. -------------------Hết--------------------- SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 * * * * * MÔN : TOÁN THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 1a (1đ) Ta có : 3 3 7u v+ = và 3 3 8u v× = − 0,25 u 3 và v 3 là các nghiệm của phương trình: 2 7 8 0x x− − = 0,25 Do đó : ( ) 3 3 1; 8u v= − = hoặc ( ) 3 3 8; 1u v= = − 0,25 Vậy: ( ) 1; 2u v= − = hoặc ( ) 2; 1u v= = − 0,25 1b (1,5đ) Viết lại : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 1 3 9x x x x− + + + = 0,25 ( ) ( ) 2 2 4 5 4 3 9x x x x+ − + + = 0,25 Đặt : 2 4t x x= + , phương trình trở thành: ( ) ( ) 5 3 9t t− + = hay: 2 2 24 0t t− − = 0,25 Giải ra : 6; 4t t= = − 0,25 Với 2 6 4 6t x x= ⇔ + = , giải ra : 2 10x = − ± 0,25 Với 2 4 4 4t x x= − ⇔ + = − ,giải ra : 2x = − 0,25 2a (1đ) HA 2 + HB 2 = AB 2 HB 2 + HC 2 = BC 2 HC 2 + HD 2 = CD 2 HD 2 + HA 2 = DA 2 0,25 2(HA 2 + HB 2 + HC 2 + HD 2 )= AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2 0,25 = 4R 2 + 4R 2 0,25 Vậy : HA 2 + HB 2 + HC 2 + HD 2 = 4R 2 0,25 2b (1đ) Tứ giác HPBS nội tiếp : · · · HPS HBS DBC= = . 0,25 HPAQ là hình chữ nhật : · · · · HPQ HAQ CAD CBD= = = . Do đó : · · · · 2SPQ HPS HPQ DBC= + = . 0,25 Tương tự: · · 2SRQ BDC= 0,25 Do · · 0 90DBC BDC+ = nên · · 0 180SPQ SRQ+ = ∠ SPQ+ ∠ SRQ = 180 0 0,25 Chú ý: PQRS là hình thang cân. A O S R Q P H C D B 2c (1,5đ) Ta có : PR ≤ HP+HR 0,25 Gọi E là trung điểm AB,ta có:HP ≤ HE = 2 1 AB. Gọi F là trung điểm CD, HR ≤ HF = 2 1 CD 0,25 Do đó : PR ≤ 2 1 AB + 2 1 CD 0,25 Tương tự :QS ≤ 2 1 BC + 2 1 AD 0,25 Mà : AB=BC ; AD=CD 0,25 Do đó : PR + QS ≤ AB +AD 0,25 3a (1đ) Cần chứng tỏ : 1 1 1. p q p q p q q q p − = + + + + − 0,25 Hay : ( ) 1 1 1 . p q p q p q q p q   = − + + + + +  ÷   (*) 0,25 Vế phải của (*) : 2 2 2 2 1 p p q p pq q p qp q p q q q p + + + + + − − − − − − 0,25 Do : p 2 =2 ; q 3 =2 ; q p 2 = q 2 = q 2 ; q p = p q 2 nên (*) đúng . 0,25 Chú ý : Có thể trục căn ở mẫu của 3 22 1 − để chứng tỏ đẳng thức . 3b (1đ) Khai triển vế phải: ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y z xy yz zx+ + + + − − − được vế trái . 0,25 Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 2 x y z xy yz zx x y y z z x   + + − − − = − + − + − ≥   0,25 Đặt : x = 3 a , y = 3 b , z = 3 c ; x + y + z >0 vì a, b, c dương . 0,25 Từ đó 3 3 3 3 0x y z xyz+ + − ≥ hay : a + b + c ≥ 3 3 abc . 0,25 3c (1đ) Ta có : 1 T + 2 T + 3 T ≥ 3 3 321 TTT . 0,25 1 T 2 T 3 T = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70 > 71 3 0,25 Do đó : 1 T + 2 T + 3 T > 213 mà: 1 T , 2 T , 3 T nguyên nên : 1 T + 2 T + 3 T ≥ 214. 0,25 Ngoài ra:214= 72 +72 +70 =1.8.9 + 3.4.6 +2.5.7,nên giá trị nhỏ nhất của 1 T + 2 T + 3 T là 214 0,25 4 (1đ) Gọi O là tâm của hình lập phương (L) đang xét. Dựng hình lập phương (L 1 ) có cùng tâmO, có cạnh song song với cạnh của (L) và có độ dài cạnh là a-2r, với r là bán kính của các hình cầu. Chín tâm của 9 hình cầu đều nằm trong (L 1 ) (hoặc ở trên mặt) . 0,25 Chia (L 1 ) thành 8 hình lập phương con bởi ba mặt phẳng qua O và song 0,25 song với mặt của (L 1 ) .Phải có một hình lập phương con (L 2 ) trong chúng chứa ít nhất hai tâm hình cầu. Đường chéo của hình lập phương con (L 2 ) là : 2 1 (a-2r) 3 . Khoảng cách hai tâm hình cầu lớn hơn hoặc bằng 2r. 0,25 Vì vậy 2 1 (a-2r) 3 ≥ 2r hay : 2r ≤ 32 3 + a =( 32 -3)a. 0,25 . DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 * * * * * MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH. DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 * * * * * MÔN : TOÁN THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm