Giữa kì 2016

Training CTRR Presented by Phan Thanh Tùng – PMCL2016.3 Dương Quốc Khánh – KHTN.2016 Chương 1: Cơ sở logic Luật logic Kiểm tra quy tắc suy diễn Vị từ, lượng từ Luật Logic GHI NHỚ: Phân phối: 𝑝∨ 𝑞∧𝑟 ⇔ 𝑝∨𝑞 ∧ 𝑝∨𝑟 De Morgan: 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑝ҧ ∧ 𝑞ത Kéo theo: 𝑝 → 𝑞 ⇔ 𝑝ҧ ∨ 𝑞 ⇔ 𝑞ത → 𝑝ҧ Hấp thu: 𝑝∨ 𝑝∧𝑞 ⇔𝑝 Luật Logic Ví dụ 1: rút gọn mệnh đề sau: 𝑝 ∧ 𝑞ത → 𝑟 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 → 𝑠ҧ ∨ 𝑟 ∧ 𝑠ҧ Giải: 𝑞 ∨ 𝑟 → 𝑠ҧ ∨ 𝑟 ∧ 𝑠ҧ 𝑟 → 𝑠ҧ ⇔ 𝑟ҧ ∨ 𝑠ҧ ⇔ 𝑟 ∧ 𝑠 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑟 ∧ 𝑠 ∨ 𝑟 ∧ 𝑠ҧ 𝑟 ∧ 𝑠 ∨ 𝑟 ∧ 𝑠ҧ ⇔ 𝑟 ∧ 𝑠 ∨ 𝑠ҧ ⇔ 𝑟 ∧ ⇔ 𝑟 Luật Logic ⇔𝑞∨𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ 𝑞ത → 𝑟 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 Do 𝑞∨𝑟∧ 𝑞∨𝑟 ⇔ nên biểu thức tương đương với: 𝑝∧0⇔0 Luật Logic Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau ሾ(𝑝 → 𝑟) ∧ 𝑞ത → 𝑝 ∧ 𝑟]ҧ → 𝑞ത → 𝑠 Luật Logic ሾ(𝑝 → 𝑟) ∧ 𝑞ത → 𝑝 ∧ 𝑟]ҧ → 𝑞ത → 𝑠 ⇔ 𝑝ҧ ∨ 𝑟 ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ∧ 𝑟ҧ → 𝑞 ∨ 𝑠 ⇔ 𝑝ҧ ∨ 𝑟 ∧ 𝑟ҧ ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑝ҧ ∧ 𝑟ҧ ∨ 𝑟 ∧ 𝑟ҧ ⇔ 𝑝ҧ ∧ 𝑟ҧ ∨ ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ⇔ ⇔ 𝑝ҧ ∧ 𝑟ҧ ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 𝑟ҧ ∧ 𝑝ҧ ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 → 𝑞∨𝑠 ∧ 𝑞∨𝑝 → 𝑞∨𝑠 → 𝑞∨𝑠 Luật kéo theo Luật kết hợp Luật phân phối Luật phần tử bù → 𝑞∨𝑠 Luật trung hòa → 𝑞∨𝑠 Luật kết hợp 𝑝ഥ ∧ 𝑝 ∨ 𝑝ഥ ∧ 𝑞 ] → 𝑞 ∨ 𝑠 Luật phân phối ⇔ ൣ𝑟ҧ ∧ ⇔ ൣ𝑟ҧ ∧ ∨ 𝑝ഥ ∧ 𝑞 ] → 𝑞 ∨ 𝑠 Luật phần tử bù ⇔ ሾ𝑟ҧ ∧ 𝑝ഥ ∧ 𝑞 ] → 𝑞 ∨ 𝑠 Luật trung hòa ⇔ 𝑟ҧ ∧ 𝑝ҧ ∧ 𝑞 ∨ 𝑞 ∨ 𝑠 Luật kéo theo ⇔ 𝑟 ∨ 𝑝 ∨ 𝑞ത ∨ 𝑞 ∨ 𝑠 Qui tắc De Morgan ⇔ 𝑟 ∨ 𝑝 ∨ 𝑠 ∨ 𝑞ത ∨ 𝑞 Luật phân phối ⇔ 𝑟∨𝑝∨𝑠∨1 Luật phần tử bù ⇔ Luật thống trị Quy tắc suy diễn Phép khẳng định Phép phủ định Tam đoạn luận Tam đoạn luận rời Phép đơn giản nối liên Luật phép nối liền Phép thêm 𝑝→𝑞 𝑝 ∴𝑞 𝑝→𝑞 ¬𝑞 ∴ ¬𝑝 𝑝→𝑞 𝑞→𝑟 ∴𝑝→𝑟 𝑝∨𝑞 ¬𝑝 ∴𝑞 𝑝∧𝑞 ∴𝑝 𝑝 𝑞 ∴𝑝∧𝑞 𝑝 ∴𝑝∨𝑞 Quy tắc suy diễn Ví dụ 3: Kiểm chứng mơ hình suy diễn sau đây: 𝑝 ∨ ¬𝑞 → 𝑟 ∨ ¬𝑠 𝑡 → ¬𝑟 ∨ 𝑢 𝑡∧𝑘 𝑘 → ¬𝑢 ∧ ℎ ℎ→𝑠 ∴𝑝→𝑚 Quy tắc suy diễn 𝑝∨¬𝑞 → 𝑟∨¬𝑠 𝑡→ ¬𝑟∨𝑢 𝑡∧𝑘 𝑘→ ¬𝑢∧ℎ ℎ→𝑠 (1) (2) (3) (4) (5) ∴𝑝→𝑚 ⇒𝑘 ∧ ⇒ ¬𝑢 ∧ ℎ 7 ⇒ℎ 8 ∧ ⇒𝑠 ⇒𝑡 10 10 ∧ ⇒ ¬𝑟 ∨ 𝑢 ⇔ 𝑟 → 𝑢 11 ⇒ ¬𝑢 12 11 ∧ 12 ⇒ ¬𝑟 13 ∧ 13 ⇒ 𝑠 ∧ ¬𝑟 ⇔ ¬ ¬𝑠 ∨ 𝑟 14 ∧ 14 ⇒ ¬ 𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ ¬𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ ¬𝑝 … ⇒ ¬𝑝 ∨ 𝑚 ⇔ 𝑝 → 𝑚 Phép đếm Ví dụ 6: Xếp 20 viên bi vào bình khác Hỏi có cách xếp thỏa mãn: a) Bình chứa viên bình chứa viên b) Bình chứa nhiều viên bình chứa viên c) Bình chứa nhiều viên bình chứa nhiều viên Giải: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 20 a) Bình chứa viên bình chứa viên Đặt: 𝑥1 = 𝑎1 + 𝑥3 = 𝑎3 + 𝑎1 + 𝑥2 + 𝑎3 + 𝑥4 = 13 Số cách xếp 13 13 𝐾413 = 𝐶13+4−1 = 𝐶16 = 560 Phép đếm b) Bình chứa nhiều viên bình chứa viên 18 M số cách xếp cho bình chứa viên: 𝑀 = 𝐾418 = 𝐶21 = 1330 N số cách xếp cho bình chứa viên bình chứa viên: 𝑁 = 560 Kết quả: 1330 − 560 = 770 Phép đếm c) Bình chứa nhiều viên bình chứa nhiều viên P số cách xếp cho bình chứa nhiều viên Q số cách xếp cho bình chứa nhiều viên bình chứa viên Kết = 𝑃 − 𝑄 + Q = 770 + Tính P: 20 Gọi R số cách xếp 20 viên vào bình: 𝑅 = 𝐾420 = 𝐶23 = 1771 15 S số cách xếp cho bình chứa viên: 𝑆 = 𝐾415 = 𝐶18 = 816 𝑃 = 𝑅 − 𝑆 = 1771 − 816 = 955 Kết quả: 𝑃 − 𝑄 = 955 − 770 = 185 Chương 3: Quan hệ Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự Dạng toán Dạng 1: Cho tập X tập có sẵn (ℕ, ℤ, ℝ,…) R quan hệ ngơi với tính chất Dạng 2: Cho tập X, gồm phần tử liệt kê (vd: X = { 0,1,2,3,4,5 }) R quan hệ với tính chất u cầu tốn Quan hệ tương đương hệlàthứ tự:hệ tương đương • Quan CMR: R quan • X CMR: R quan hệ thứ tự X, R toàn phần khơng? • có R có tính chất • Liệt R cókênhững chấtbiểu nàodiễn cho R R, lậptính ma trận • Tìm lớp tương đương, tập thương Vẽ biểu đồ Hasse • Tìm hoạchmaxX, tậpphần X theo Tìm phân minX, tử R tối tiểu, phần tử tối đại Lý thuyết Định nghĩa: Cho hai tập A, B Ta gọi tập R quan hệ hai từ A đến B R  A x B Nếu (a, b)R ta nói a có quan hệ R với b ký hiệu a R b; ngược lại (a, b) R ta kí hiệu a ഥ𝑅 b Khi A = B, ta gọi R quan hệ hai A Lý thuyết  Các tính chất: • Phản xạ: • • • a A, a R a Đối xứng: a, b  A , a R b  b R a Phản xứng:  a, b  A, (a R b  b R a)  a = b Bắc cầu: a,b,c A, (a R b  b R c)  a R c C/m R qhệ tương đương - Để c/m R qhtđ, t cần c/m điều sau: + R có tính phản xạ + R có tính đối xứng + R có tính bắc cầu Lý thuyết Ma trận biểu diễn: Cho tập A = { a1, a2, a3,…, ak }, ma trận biểu diễn quan hệ R ma trận MR = [mij], i,j = 1, 𝑘 𝑛ế𝑢 ( 𝑎𝑖 , 𝑎𝑗 ) ∈ 𝑅 mij = ൝ 𝑛ế𝑢 ( 𝑎𝑖 , 𝑎𝑗 ) ∉ 𝑅 Biểu diễn quan hệ - MR ma trận biểu diễn quan hệ R tập X ∀𝑖, mii = => R – phản xạ ∀𝑖, j: mij = mji => R – đối xứng mij = ∀𝑖 ≠ j: ቈm => R – phản xứng ji = ta chứng minh: 𝑅 − 𝑝ℎả𝑛 𝑥ạ ቈ => R – phản xứng 𝑅 − 𝑘ℎô𝑛𝑔 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 Lớp tương đương – Phân hoạch • Cho R qhtđ X, a ∈ X [a]𝑅 [a] gọi lớp tương đương chứa a theo quan hệ R tập tất phần tử có quan hệ R với a • [a]𝑅 = {b  A| b R a} • Các lớp tương đương tập X trùng rời nhau, tập X hợp rời rạc lớp tương đương Hay, X phân hoạch thành lớp tương đương theo quan hệ R Lớp tương đương – Phân hoạch Vd: Cho tập X tập số nguyên (ℤ) R quan hệ ℤ: aRb  (a – b) chia hết + R quan hệ tương đương + Lớp tương đương chứa 0, chứa theo quan hệ R: [0]8 = { …, -16, -8, 0, , 16,… } [1]8 = { …, -15, -7, 1, 9, 17,… } + Phân hoạch tập ℤ theo quan hệ R: ℤ/R = { [0]8, [1]8, [2]8, [3]8, [4]8, [5]8, [6]8, [7]8 } C/m R qhệ thứ tự, có tồn phần khơng? - Để c/m R qhtt, t cần c/m điều sau: + R có tính phản xạ + R có tính phản xứng + R có tính bắc cầu - 𝑎 ≺𝑏 a, b (S, ≺) đgl so sánh nếu:ቈ 𝑏≺𝑎 Ngược lại, ta nói a b khơng so sánh được, 𝑎 ≺𝑏 tức: ቊ 𝑏≺𝑎 ∀a, b(S, ≺): a b so sánh ≺ thứ tự toàn phần Ngược lại, ≺ thứ tự bán phần, tức: ∃ a, b(S, ≺): a b không so sánh Vẽ biểu đồ Hasse, min, max, pttt, pttđ - b(S, ≺) đgl phần tử trội a S a ≺ b b đgl trội trực tiếp a không tồn c cho: a ≺ c ≺ b (a ≠ 𝑏 ≠ 𝑐) - Phần tử nhỏ nhất, min(S): x  S ta có a ≺ x - Phần tử nhỏ nhất, min(S): - x  S ta có x ≺ a - Phần tử tối tiểu: phần tử mà khơng có cung kết thúc - Phần tử tối đại phần tử mà khơng có cung xuất phát