BÀI 5. PHÉP QUAY

TLDH CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI LỚP TOÁN THẦY THÀNH MƠN TỐN HÌNH LỚP 11, CHƯƠNG I BÀI PHÉP QUAY BÀI PHÉP QUAY A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí điểm, hình thực phép quay cho trước Dạng 2: Tìm tọa độ ảnh, tạo ảnh điểm qua phép quay Q     Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh đường thẳng qua phép quay Q Dạng 4: Tìm ảnh, tạo ảnh đường tròn qua phép quay     , với I  a; b  , với I  a; b  I ,    I ,    14 23 Q Dạng 5: Tìm ảnh, tạo ảnh đường cong (H) (khác dạng toán 3, 4) qua phép quay I  a; b      I ,   , với 27 Dạng 6: Ứng dụng phép quay để chứng minh tính chất hình học .29 Dạng 7: Ứng dụng phép quay để tìm quỹ tích điểm .31 Dạng 8: Các toán thực tế 33 HAI TLDH BÀI PHÉP QUAY A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa M' Cho điểm O góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành nó,biến điểm M khác O thành điểm M ' cho OM '  OM góc lượng giác  OM ; OM '  gọi phép quay tâm O góc   Điểm O gọi tâm quay,  gọi góc quay phép quay O α M  Phép quay tâm O góc  thường kí hiệu Q O,  OM  OM ' Q O ,   M   M '    OM , OM '    Nhận xét  Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lượng giác nghĩa chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ  Khi    2k  1  , k  Q O;  phép đối xứng tâm O  Khi   2k , k  Q O;  phép đồng II BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP QUAY Trong mặt phẳng Oxy , cho M  x; y  , M '  x '; y ' QO,   M   M '  x '  x cos   y sin  Khi ta có:   y '  x sin   y cos  Đặc biệt: i) Nếu   x '   y  y'  x  HAI TLDH x '  y   y '  x x '  x iii) Nếu     y'  y ii) Nếu     Trong mặt phẳng Oxy , cho M  x; y  , M '  x '; y ' , I  a; b  Q I ,   M   M '  x ' a   x  a  cos    y  b  sin  Khi ta có:   y ' b   x  a  sin    y  b  cos  III TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY Tính chất 1: Phép quay bảo tồn khoảng cách hai điểm (hay phép quay phép dời hình Cụ thể: Nếu QO ,   A   A ' QO ,   B   B ' A ' B '  AB Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn bán kính Nhận xét: Cho đường thẳng d QO ,   d   d ' Khi đó: i) Nếu     k  d '  d ii) Nếu   k 2 , O tuỳ ý   k , O  d d '  d iii) Nếu     k 2 , O  d d ' // d       iv) Nếu      d , d '            Tính chất 3: QO ,   M   M '  Q O ,    M '  M O d α d' I α (sử dụng cho tốn ngược: tìm tạo ảnh) B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí điểm, hình thực phép quay cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI HAI TLDH Bước Xác định tâm quay góc quay theo u cầu tốn Bước Áp dụng kiến thức sau: OA  OA ' i) Nếu  QO ,  ( A)  A '  OA, OA '    QO ,  (O)  O  QO ,  ( AB )  A ' B ' ii) Nếu QO ,  ( A)  A '  Q (  OAB )   OA ' B ' O ,      QO ,  ( B)  B ' Bước Kết luận PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc  ABC  600 (các đỉnh ghi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) Xác định ảnh cạnh CD qua phép quay Q   A,60    Lời giải A + Do ABC , ACD tam giác nên ta có: Q 0  A,60    + Vậy Q  60 C   B Q A,600  D   C 0  A,60       D B    CD   BC C Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O , (các đỉnh ghi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) Gọi M , N , P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh AD, DC , CB, BA Tìm ảnh tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay 90 Lời giải HAI TLDH + Ta có: Q  0  O ,90    Q O,900     + Vậy M A O   O , D    D   C, Q O,900  N   P    Q 0  O ,90       N Q O  ODN   OCP P B C Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD có tâm O (các đỉnh ghi theo chiều chiều kim đồng hồ) Gọi M , N trung điểm AB, OA Tìm ảnh tam giác AMN qua phép tâm O góc quay 90 Lời giải + Ta có: Q   O,900     A  D , Q O,900  M   M ', Q O,900  N   N ' (với             M ', N ' trung điểm đoạn AD, OD ) + Vậy Q 0  O ,90     AMN   DM ' N ' PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình vng ABCD tâm O hình bên Hãy cho biết phép quay phép quay biến tam giác OAD thành tam giác ODC A Q O ;90o  B Q O;  45o   C Q O;90o    D Q O ;45o   Lời giải Chọn A + Do: Q O ;90o  O   O, Q O ;90o  A   D, Q O ;90o  D   C  Câu      Cho tam giác ABC Hãy xác định góc quay phép quay tâm A biến B thành điểm C A   30 B   90 C   120 D   600   600 HAI TLDH Lời giải Chọn D Câu  AB  AC + Ta có:  nên Q( A;60 ) ( B )  C ( AB, AC )  60   Cho tam giác ABC vng AB  CD góc A 60 (các đỉnh tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ) Về phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác ACD Ảnh cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay 60 là: A CD B AI với I trung điểm B C CJ với J trung điểm A D DK với K trung điểm AC Lời giải Chọn D D A K C B Từ giả thiết suy ABC tam giác đều, AC  AB Xép phép quay tâm A góc quay 600 , ta có:  Biến B thành K ;  Biến C thành D Vậy ảnh BC KD Câu [1H1-5.2-2] Cho tam giác ABC có tâm O đường cao AA, BB, CC (các đỉnh tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ) Ảnh đường cao AA qua phép quay tâm O góc quay 240 là: A AA B BB C CC  D BC Lời giải Chọn B HAI TLDH A C' B' O B C A' Do tam giác ABC nên    OC   C OA  120 AOB  B Khi xét phép quay tâm O góc quay 240 :  Biến A thành B  Biến A thành B Vậy ảnh AA BB Câu [1H1-5.2-2] Cho hình thoi ABCD có góc  ABC  60 (các đỉnh hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ) Ảnh cạnh CD qua phép quay Q A, 60 là: A AB B BC C CD D DA Lời giải Chọn B A D B C Xét phép quay tâm A góc quay 60 :  Biến C thành B  Biến D thành C Vậy ảnh CD BC HAI TLDH Dạng 2: Tìm tọa độ ảnh, tạo ảnh điểm qua phép quay Phương pháp giải Loại 1: Tìm ảnh điểm M Cách 1: Dựa vào hình vẽ hệ trục toạ độ Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ Loại 2: Tìm tạo ảnh điểm M Chú ý: Q I ,   N   M  Q I ,    M   N PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A  1;5 Tìm tọa độ điểm B ảnh điểm A qua phép quay tâm O  0;0  góc quay 900 Lời giải Cách 1: +) Do Q O,900      A  B nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: B  5;1 Cách 2: +) Do Q O,900     x  y  Vậy B  5;1 A 1  B  A  B nên  yB  Ax Chú ý: Ưu tiên giải cách Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  3;  Tìm ảnh M qua phép quay tâm O , góc quay 30 Lời giải  3 0 2  xM '  3cos 30  4sin 30  3  M +) Do Q  M ' nên   M '   2;      O, 300      y  3sin 300  cos 300     M'  HAI TLDH Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  3;  Tìm toạ độ điểm N cho điểm M ảnh N qua phép quay tâm I 2;3 , góc quay 90   Lời giải +) Ta có: Q I , 900      N   M  Q I , 900     M   N  xN   xN   yM  nên  Vậy   yN   yN     xM   M  3;  PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu [1H1-5.3-1] Trong mặt phẳng Oxy , ảnh điểm M  6;1 qua phép quay Q O;90 là: A M 1;6  B M  1; 6  C M  6; 1 D M  6;1 Lời giải Chọn B Cho điểm M  x; y  Khi QO;90  M   M    y; x  Do đó, với điểm M  6;1 Q O;90  M   M   1; 6  Câu 2: [0H1-5.3-1] Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;0) Tìm tọa độ ảnh A điểm A qua phép quay Q  (O; ) A A(0; 3) B A(0;3) C A(3;0) D A(2 3; 3) Lời giải Chọn B + Ta có: Q   O;   2 : A( x; y )  A( x; y)  x   y  + Nên  Vậy A(0;3)  y  x  Câu 3: [0H1-5.3-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M (2;0) điểm N (0; 2) Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N , góc quay A   30 B   45 C   900 D   270 HAI TLDH Lời giải Chọn C  x  x cos   y sin  + QO;  : M ( x; y )  N ( x; y) Khi đó:   y  x sin   y cos  Thử đáp án ta nhận   90 + Hoặc biểu diễn hệ trục tọa độ ta đáp án tương tự Câu [1H1-5.3-1] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B(3;6) Tìm toạ độ điểm E cho B ảnh E qua phép quay tâm O góc quay (900 ) A E (6;3) B E (3; 6) C E (6; 3) D E (3;6) Lời giải Chọn C Điểm E (6; 3) Câu 5: [1H1-5.3-1] Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  3;0  Tìm tọa độ ảnh A điểm A qua phép quay Q   O ;  2  A A  3;0  B A  3;0  C A  0; 3   D A 2 3; Lời giải Chon C Dựa vào hình vẽ chọn đáp án C Q   : A( x; y )  A( x; y)  O ;  2   x  y  Nên  Vậy A(0; 3)  y   x  3 HAI 10 TLDH A d ' :  x  y    B d ' :  x  y   C d ' :  x  y  10  D d ' :  x  y   10  Lời giải Chọn D Lấy hai điểm M  2;0  ; N 1; 2  thuộc d Gọi M '  x1 ; y1  , N '  x2 ; y2  ảnh M , N qua Q I ;450     x1    x1    2   cos 450    1 sin 450   Ta có  0  y1    2   sin 45    1 cos 45  y  1   2  M '   ;1   2   Tương tự  x2    x2   1   cos 450   2  1 sin 450    0  y2   1   sin 45   2  1 cos 45  y2   2    N '  2;1  2   2  Ta có M ' N '   ;  5;1        Gọi d '  Q I ;450  d  d ' có VTCP u  M ' N '   5;1  VTPT n   1;5    Phương trình:     d ' :  x    y   2    x  y   10  HAI 21 TLDH Câu [1H1-5.4-2] (THPT HOA LƯ A - LẦN - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy , phép quay tâm I  4; 3 góc quay 180 biến đường thẳng d : x  y   thành đường thẳng d  có phương trình A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Lời giải Chọn B d M 180 d M Ta có phép quay Q I ;180o phép đối xứng tâm I ( ký hiệu ĐI )   Vì I  d nên ĐI  d   d  d / / d  , suy phương trình d  : x  y  m   m  5  M  0;5   d  Xét  ĐI  M   M   M   8;  11   I  4;  3 Cho M   8; 11  d   m  Vậy d  : x  y   Câu [1H1-5.4-2] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3x  y   Viết phương trình đường thẳng d  ảnh d qua phép quay tâm O góc quay 90o A d  : x  y   B d  : x  y   C d  : 3x  y   D d  : x  y   Lời giải Chọn B Qua phép quay tâm O góc quay 90o đường thẳng d biến thành đường thẳng d  vng góc với d Phương trình đường thẳng d  có dạng: x  y  m  Lấy A  0;   d Qua phép quay tâm O góc quay 90o , điểm A  0;  biến thành điểm B  2;0   d  Khi m  2 HAI 22 TLDH Vậy phương trình đường d  x  y   Dạng 4: Tìm ảnh, tạo ảnh đường tròn qua phép quay Q     I ,   , với I  a; b   A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Loại 1: Tìm ảnh đường tròn (C) Cách 1: Dựa vào tính chất phép quay Cho đường tròn C  A; R  Q I ,    C     C ' , với C '  A '; R ' Khi ta có: i) R '  R ii) Q I ,   A  A ' (quay DẠNG TOÁN 2) Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ Loại 2: Tìm tạo ảnh đường tròn (C) Chú ý: Q I ,    C1     C   Q I ,     C     C1  PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn  C  :  x     y  3  Tìm ảnh đường tròn  C  qua phép quay tâm O , góc quay 180 Lời giải Cách 1: HAI 23 TLDH +) Đường tròn  C  có tâm I  2;  3 bán kính R  + Gọi C '  I ', R ' ảnh  C  qua phép quay Khi ta có: R '  R  Q Q O,1800      I   I ' , suy ra: 0  O ,180     xI '   xI  2  I '  2;3   yI '   yI  +) Vậy  C ' có PT là:  x     y  3  Cách 2: + Gọi  C ' ảnh  C  qua phép quay Q 0  O ,180    +) Với điểm M  x; y    C  , M '  x '; y '   C ' cho Q 0  O,180    M   M ' x '  x x  x '  +) Khi ta có:  y'  y y  y' +) Do M  x; y    C  nên ta có:  x  2 2 2 2   y  3     x '     y ' 3    x '    y ' 3  2 +) Do M '  x '; y '   C ' nên  C ' có PT  x     y  3  Chú ý: Ưu tiên giải cách Cách 3: 2 Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho  C  :  x  A    y  B   R 2 Nếu QO ,    C     C '     k 2  C '  :  x  A    y  B   R 2 +) Do  C  :  x     y  3   x     y  3 Q O,1800       C     C ' nên  C ' có PT  HAI 24 TLDH Ví dụ Trong hệ tọaTrong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn  C  : x  y  x  y  12  Tìm ảnh đường tròn C qua phép quay tâm A 1;  , góc quay 180     Lời giải Cách 1: +) Đường tròn  C  có tâm I  2;  3 bán kính R  + Gọi C '  I ', R ' ảnh  C  qua phép quay Khi ta có: R '  R  Q A, 1800     Q 0  A, 180     I   I ' , suy ra: A trung điểm II ' nên ta có:  xI '  xA  xI   I '  0;     yI '  y A  yI  7 +) Vậy  C ' có PT là: x   y    25 Cách 2: 2 Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho  C  :  x  A    y  B   R 2 Nếu Q I ,    C     C '     k 2 , I  a; b   C '  :  x  A  2a    y  B  2b   R 2 +) Do  C  : x  y  x  y  12    x     y  3  25 Q  I   I ', A 1;  5 nên  C ' 0  A, 180     x   2.1   y    5  có PT  25  x   y    25 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn  C  :  x    y  Viết phương trình đường tròn  C1  cho C ảnh đường tròn C qua phép quay tâm O , góc quay 90    1 Lời giải Cách 1: HAI 25 TLDH +) Đường tròn  C  có tâm I  2;0  bán kính R  8, gọi C1  I1 , R1  +) Theo đề ta có: Q O,900     Suy ra: R1  R    C     C   Q O, 900   C     C     Q 0  O , 90        I    I1   I1  0; 2  +) Vậy  C1  có PT là: x   y    Cách 2: 2 Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho  C  :  x  A    y  B   R Nếu Q O ,   C    C '    2 Q +) Do  C  :  x    y   có PT x  y  2.sin  900    k   C ' :  x  B.sin     y  A.sin    R O,900       C     C   Q O, 900   C     C  nên  C          x2   y  2  PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: 2 Tìm ảnh đường tròn  C  :  x  1   y    qua phép quay Q I ;900 với I  3;    A  C '  :  x     y    2 B  C '  :  x  3   y    2 D  C '  :  x  3   y    C  C '  :  x     y    2 2 Lời giải Chọn D   C  có tâm J 1; 2  , R  , gọi J '  x '; y '   Q I ;900  I  ta có       x '   1  3 cos     sin  3   y '   1  3 sin      cos    2 2  J '  3;  mà R '  R  nên phương trình  C '  :  x  3   y    HAI 26 TLDH Câu 2 [1H1-5.4-3] Tìm ảnh đường tròn  C  :  x  1   y    qua phép quay Q I ;900 với I  3;    A  C '  :  x     y    2 B  C '  :  x  3   y    2 D  C '  :  x  3   y    C  C '  :  x     y    2 2 Lời giải Chọn D  C  có tâm J 1; 2  , R  , gọi J '  x '; y '   Q I ;900  I  ta có       x '   1  3 cos     sin  3   y '   1  3 sin      cos    2 2  J '  3;  mà R '  R  nên phương trình  C '  :  x  3   y    Dạng 5: Tìm ảnh, tạo ảnh đường cong (H) (khác dạng toán 3, 4) qua phép quay Q     I ,   ,  với I  a; b  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Loại 1: Tìm ảnh đường cong (H) Bước 1: Gọi (H’) ảnh (H) qua phép quay Q I ,  Bước 2: Với điểm M  x; y    H  , M '  x '; y '   H ' cho Q I ,    M   M '     HAI 27 TLDH  x '  theo x  x  theo x '(1)  Áp dụng biểu thức toạ độ ta có:   y '  theo y  y  theo y '(2) Bước 3: Do M  x; y    H  nên thay (1), (2) vào phương trình (H), biến đổi phương trình theo x ', y ' Bước 4: Do M '  x '; y '   H ' nên (H’) có phương trình là: (KL) Loại 2: Tìm tạo ảnh đường cong (H) Chú ý: Q I ,   H1    H   QO ,    H    H1  PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P  : y  x  x  Tìm ảnh parabol  P  qua phép quay tâm O , góc quay180 Lời giải + Gọi  P ' ảnh  P  qua phép quay Q  O,1800     +) Với điểm M  x; y    P  , M '  x '; y '   P ' cho Q 0  O ,180    M   M ' x '  x x  x '  +) Khi ta có:  y'  y y  y' +) Do M  x; y    P  nên ta có:  y '    x '     x '    y '   x '2  x ' +) Do M '  x '; y '   P ' nên  P ' có PT y   x  x  x2 y   Viết phương trình qua phép quay tâm O , góc quay 90 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường cong  E  có phương trình đường cong  E1  cho  E  ảnh  E1  Lời giải +) Theo đề ta có: Q 0  O, 90     E1   E  Q 0  O, 90     E   E1 +) Với điểm M  x; y    E  , M '  x '; y '   E1  cho Q  0  O , 90    M   M ' HAI 28 TLDH x '   y x  y '  +) Khi ta có:  y'  x  y  x ' +) Do M  x; y    E  nên ta có  y '   x '  +) Do M '  x '; y '   E1  nên  E1  có PT  x ' 1  y '   x2 y   PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu [2H3-3.3-1] (THPT Chuyên Hồng Văn Thụ-Hòa Bình-Lần 1-2018) Trong khơng gian Oxyz , x 1 y  z   đường thẳng d : qua điểm 2 A M 1; 1;0  B N  1;1;0  C Q  1; 2;  D P 1; 2; 2  Lời giải Chọn A Nhận thấy tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d Dạng 6: Ứng dụng phép quay để chứng minh tính chất hình học A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước Xác định tâm quay O góc quay  hợp lý Bước Sau sử dụng tính chất sau để chứng minh: OA  OA ' i) Nếu QO ,  ( A)  A '   OA, OA '     AB  A ' B ' ii) Nếu QO ,  ( AB)  A ' B '   AB, A ' B '   QO ,  (O)  O  QO ,  ( AB )  A ' B ' iii) Nếu QO ,  ( A)  A '  QO ,  (OAB )  OA ' B '  QO ,  ( B)  B ' iv) Nếu M , M ' trung điểm AB, A ' B ' QO ,  ( AB)  A ' B ' HAI 29 TLDH OM  OM ' QO ,  ( M )  M ' Suy ra:   OM , OM '   v) Nếu G, G ' trọng tâm OAB, OA ' B ' OG  OG ' QO ,  (OAB)  OA ' B ' QO ,  (G)  G ' Suy ra:   OG , OG '    Bước Kết luận Chú ý: Trong trình chứng minh ta sử dụng thêm tính chất hình học phẳng hay kỹ vẽ thêm chứng minh PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác BAE CAF vng cân A Gọi I , M , J theo thứ tự trung điểm EB, BC , CF Chứng minh tam giác IMJ vuông cân Lời giải +) Ta có: Q  0  A,90    Suy ra: Q  0  A,90    ( E )  B, Q  0  A,90    (C)  F F E ( EC )  BF  EC  BF EC  BF   2MI  CE  MI  MJ +) Mà:       MIJ vuông cân M MI  MJ MJ  BF   A J I C B M Ví dụ Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABEF ACIK Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM vng góc với FK AM  FK Lời giải D K +) Gọi D điểm đối xứng với B qua A +) Ta có: Q  ( D)  F , Q  (C)  K  A,90     A,90    F Suy ra: Q A,900 ( DC )  FK  FK  DC , FK  DC (1)  A  I E C B M HAI 30 TLDH   +) Mà: AM đường trung bình BCD  AM  DC   +) Từ (1) (2) suy ra: AM  FK AM  FK Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngồi tứ giác dựng tam giác ABM CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN ADK Chứng minh MNPK hình bình hành +) Ta có: Q 0  B ,60    Suy ra: Q 0  B ,60    ( A)  K , Q 0  D,60    (C)  P M 0  A, 60    C K 0  A, 60    +) Ta có: Q P D ( AC )  KP  KP  AC   +) Ta có: Q Suy ra: Q N  B,60    A 0  D,60    0  D ,60    ( A)  M , Q ( AC )  MN  MN  AC 1 +) Ta có: Q Suy ra: Q Lời giải (C)  N 0 ( B)  M , Q 0  A, 60    ( D)  K B ( BD )  MK  MK  BD  3 0  C , 60    ( B)  N , Q 0  C , 60    ( D)  P Suy ra: Q 0  C , 60    ( BD )  NP  NP  BD    MN  KP Vậy tứ giác MNPK hình bình hành +) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:   MK  NP Dạng 7: Ứng dụng phép quay để tìm quỹ tích điểm A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước Tìm phép quay QO ,  ( M )  N , (với M điểm thay đổi, N điểm cần tìm quỹ tích, O điểm cố định, góc  khơng đổi) Bước Tìm quỹ tích điểm M Bước Do điểm M chạy đường  H  nên điểm N chạy đường  H ' ảnh đường  H  qua phép quay Q O,  HAI 31 TLDH Bước Vậy quỹ tích điểm N đường  H ' Chú ý số quỹ tích bản: 1) Nếu AM  k , ( k không đổi, A cố định) M chạy đường tròn  C  tâm A , bán kính R  k 2) Nếu MA  MB , ( A, B cố định) M chạy đường trung trực đoạn AB 3) Nếu  AMB  900 , ( A, B cố định) M chạy đường tròn đường kính AB PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho đường tròn  C  tâm O đường kính BC Điểm A chạy đường tròn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABEF Tìm quỹ tích điểm E Lời giải  BA  BE +) Ta có:   BA, BE   90  Q F ( A)  E 0 A  B ,90    +) Do A chạy đường tròn  C  nên E chạy đường tròn  C ' ảnh đường tròn  C  qua phép quay Q E B C O  0  B ,90    +) Vậy quỹ tích điểm E đường tròn  C ' Ví dụ Cho đường thẳng d điểm G không nằm d Với điểm A nằm d a dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích điểm B A chạy d Lời giải +) Do tam giác ABC có tâm G nên ta có: B GA  GB ( A)  B   Q 0  G,120   GA, GB   120   +) Do A chạy đường thẳng d nên B chạy đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép quay Q G  G,120     C +) Vậy quỹ tích điểm B đường thẳng d’ d A HAI 32 TLDH Dạng 8: Các tốn thực tế PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M bên tam giác cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Lời giải Chọn phép quay tâm A , góc quay 600  AM  AN  MN Q M   N  0  A,60   Ta có:   nên:  AC  AD    C   D Q 0  MC  ND  A,60     D A 600 N   Suy ra: MA  MB  MC  MN  MB  ND  BD Khi đó: MA  MB  MC đạt GTNN  MA  MB  MC  BD  M , N  BD +) Xác định vị trí điểm M : Do M , N  BD nên ta có: M B C  AMB  1800  600  1200  0    AMC  AND  180  60  120 Vậy M nhìn cạnh tam giác ABC góc   BMC  120 1200 Ví dụ Bạn Nam bạn Minh chơi trò chơi xoay Rubic Nam đố Minh xoay tầng thứ để lộ tầng thứ hai Hãy xác định góc  tạo cạnh hình vng tầng cạnh hình vng tầng cho giao hai hình vng có chu vi nhỏ Lời giải HAI 33 TLDH A1 B A F E α G B1 N O H D1 M K C L D C1 Qua phép quay ta có: A1 EF  C1 LK  EF  KL, A1E  C1 K , A1 F  C1 L B1GH  D1MN  GH  MN , B1G  D1M , B1 H  D1 N BGF  DML  GF  ML, BG  DM , BF  DL CHK  ANE  HK  NE , CH  NA, CK  AE Suy phần giao hai hình vng ABCD, A1 B1C1D1 bát giác EFGHKLMN có chu vi là: y  2( EF  FG  GH  HK ) Ta có:  A1E  A1F  FG  BF  BG   BF  BG  GH  B1G  B1 H   B1G  B1H  HK  CH  CK   CH  CK  EF  A1 E  A1 F  Cộng vế với vế ta có: y   A1E  A1F  BF  BG  B1G  B1H  CH  CK  HAI 34 TLDH Thay A1E  C1K , CK  AE Ta có: y   AE  BF   ( A1 F  B1G )  ( BG  CH )  ( B1 H  C1 K )  Gọi x cạnh hình vng ta có: y   x  EF  x  GF  x  GH  x  HK  y   y   4x    y  8x 2   y  x     1  , ''  ''  EN  x   1 ( Giao hai hình vng bát giác góc tạo thành AD A1D1 hợp với góc   45o ) HAI 35 ... HAI 27 TLDH  x '  theo x  x  theo x '(1)  Áp dụng biểu thức toạ độ ta có:   y '  theo y  y  theo y '(2) Bước 3: Do M  x; y    H  nên thay (1), (2) vào phương trình (H), biến đổi... Suy ra: Q A,900 ( DC )  FK  FK  DC , FK  DC (1)  A  I E C B M HAI 30 TLDH   +) Mà: AM đường trung bình BCD  AM  DC   +) Từ (1) (2) suy ra: AM  FK AM  FK Ví dụ Cho tứ giác... xN   yM  nên  Vậy   yN   yN     xM   M  3;  PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu [1H1-5. 3-1] Trong mặt phẳng Oxy , ảnh điểm M  6;1 qua phép quay Q O;90 là: A M 1;6  B M