Luận văn thác sĩ trường vector trên các mặt và đặc trưng euler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN TRẦN PHONG TÊN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN TRƢỜNG VECTOR TRÊN CÁC MẶT VÀ ĐẶC TRƢNG EULER Ngành: SƯ PHẠM TOÁN Mã số: 101 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ ANH VŨ TP Hồ Chí Minh – Năm 2011 MỤC LỤC Trang phụ bìa 01 Mục lục .02 Lời mở đầu .03 Chƣơng – Kiến thức chuẩn bị 04 1.1.Số vòng quay ánh xạ liên tục .04 1.2.Đồng luân tham số hóa 05 1.3.Mở rộng định nghĩa số vòng quay 09 1.4.Xích (dây chuyền), chu trình 11 Chƣơng – Chỉ số trƣờng vector 14 2.1.Trường vector mặt phẳng 14 2.2.Chuyển tọa độ 18 2.3.Trường vector mặt cầu 22 Chƣơng – Trƣờng vector mặt khác đặc trƣng Euler 26 3.1.Trường vector mặt xuyến mặt khác .26 3.2.Đặc trưng Euler 29 Chƣơng – Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 LỜI MỞ ĐẦU Topo đại số ngành toán học đại sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu Topo học Trong Tôpo học, người ta nghiên cứu tính chất khơng thay đổi vật thể ta làm biến dạng liên tục chúng Ví dụ tách trà vòng xuyến mặt topo có phép biến đổi liên tục biến tách trà thành vòng xuyến ngược lại Ứng dụng Topo đại số phong phú, ví dụ như: định lí Jordan, định lí điểm bất động Brouwer… Với mục đích tiếp cận Topo đại số ngơn ngữ giải tích hình học vi phân, chọn đề tài “Trường vector mặt đặc trưng Euler” làm luận văn tốt nghiệp Về nội dung, luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu tổng quan khái niệm “Số vòng quay”, “1 – xích”,…là kiến thức tảng cho chương Chương 2: Chỉ số trƣờng vector Trong chương này, định nghĩa trường vector mặt phẳng mở rộng trường vector cho tập mở có điểm kì dị, định nghĩa số trường vector điểm kì dị – bất biến đồng luân đặc trưng tính chất địa phương trường vector lân cận điểm kì dị Nêu lên mối quan hệ hai trường vector hai tập mở khác Và cuối định nghĩa trường vector mặt cầu số tương ứng Chương 3: Trƣờng vector mặt khác đặc trƣng Euler Chương giới thiệu trường vector số trường vector mặt xuyến mặt tổng quát mặt cầu có g tay cầm (hay gọi tay quai) Phần cuối chương trình bày đặc trưng Euler cho mặt compact – bất biến đồng luân mặt compact Chương 4: Kết luận Tổng kết lại luận văn nêu hướng nghiên cứu sau luận văn Do kiến thức thân non trẻ, khơng tránh khỏi thiếu sót q trình thực khóa luận, kính mong q thầy bạn góp ý để tơi hồn chỉnh luận tốt hoàn thiện kiến thức thân Xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số vòng quay ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1.1 Với  :  a; b  \ P ta định nghĩa số vòng quay  quanh P , kí hiệu W  , P  sau: Bước 1: Chia nhỏ đoạn  a; b thành a0  t0  t1   tn  b cho đoạn nhỏ ti 1; ti  có ảnh qua ánh xạ  nằm hình quạt đỉnh P   Bước 2: Chọn hình quạt U i chứa  ti 1; ti  hàm góc tương ứng i U i , với  i  n Định nghĩa W  , P   2 n    P     P  i 1 i i i i 1 Nhận xét i Sự chia nhỏ bước tồn điểm ảnh  nằm hình quạt đỉnh P ii Định nghĩa số vòng quay hồn tồn độc lập với lựa chọn bước bước iii.Nếu  đường cong đóng, có nghĩa   a     b  W  , P  số nguyên iv Với đường liên tục  :  a; b  r :  a; b    :  a; b  \ P , tồn hàm liên tục cho:   t   P   r (t ).cos  (t )  ; r (t ).sin  (t )   , a  t  b Hơn nữa, r xác định r  t     t   P  xác định cách sai khác số nguyên lần 2 1.2 Đồng luân tham số hóa Giả sử R   a; b  c; d  hình chữ nhật đóng  : R  ánh xạ liên tục Các hạn chế  lên cạnh hình chữ nhật xác định đường  ,  ,  ,  sau:   t     t; c  ,   t    t; d  , a  t  b   t     a; s  ,   t     b; s  , c  s  d Định lí 1.2.1 Với P khơng thuộc   R  ta có: W  , P   W  , P   W  , P   W  , P  Chứng minh Ta chia nhỏ hình chữ nhật thành hình chữ nhật Ri , j cho ảnh Ri , j qua ánh xạ  chứa hình quạt U i , j (có đỉnh P ) mà có hàm góc liên tục Việc chia nhỏ hồn tồn thực nhờ vào việc sử dụng bổ đề Lebesgue Khi đó, cạnh cạnh chung hai hình vng nhỏ kề Lúc tính tổng số vòng quay tất thu hẹp  lên cạnh hình vng nhỏ, ta tính số vòng quay  thu hẹp lên cạnh hai lần, lần theo hướng khác Hai số vòng quay triệt tiêu lẫn Do đó, kết cuối lại tổng số vòng quay thu hẹp  lên cạnh ngoài:  W  |R , P    W |Ri , j , P i, j  Mặt khác: W  |R , P   W  , P   W  , P   W  , P   W  , P    Và W |Ri , j , P  0, i, j ảnh Ri , j chứa miền mà có hàm góc i , j Vì vậy, W  , P   W  , P   W  , P   W  , P   Định lí giúp ta suy số vòng quay bất biến qua đồng luân nhận xét quan trọng Hệ 1.2.1 Nếu hai đường   \ P đồng luân với với điểm mút cố định hay đồng luân với qua đường đóng, thì: W   , P   W  , P  Chứng minh Đây kết nhận trực tiếp áp dụng định lí 1.2.1 với  đồng luân H   Trường hợp   đồng luân với điểm mút cố định, số vòng quay đường từ hình chữ nhật 0; trường hợp   đồng luân qua đường đóng, đường giống nhau, số vòng quay chúng triệt tiêu kết Hệ 1.2.2 Cho  :  a; b  \ P đường cong liên tục  : c; d    a; b hàm liên tục i Nếu   c   a   d   b W   , P  =W  , P  ii Nếu   c   b   d   a W   , P   W  , P    Đặc biệt,  1  t     a  b  t  , a  t  b W  1 , P  W  , P  Chứng minh Cho  :  a; b  \ P đường cong liên tục  : c; d    a; b hàm liên tục i Giả sử   c   a   d   b Xác định  :  a; b  c; d   U công thức:    t , s     t    s   a; b   Vì hàm giá trị nhỏ hay hàm hợp hai hàm liên tục liên tục nên  liên tục Các thu hẹp  lên cạnh hình chữ nhật  a; b  c; d     ,     ,   đường điểm   b  Áp dụng định lí 1.2.1 ta có: W   , P   W  , P  ii Giả sử   c   b   d   a Xác định  :  a; b  c; d   U công thức:    t , s    max  t    s   b; a   Khi thu hẹp  lên cạnh hình chữ nhật  a; b  c; d     ,     ,   đường điểm   a  Áp đụng định lí 1.2.1 ta có: W   , P   W  , P  Giả sử  1  t     a  b  t  , a  t  b , ánh xạ  :  a; b   a; b xác định   s   a  b  t thỏa   a   b,   b   a  1    Áp dụng công thức vừa chứng minh ta có: W  1 , P   W  , P  Định lí 1.2.2 Giả sử  :  a; b  \ P  :  a; b  \ P đường đóng, đoạn thẳng nối   t    t  không chạm đến điểm P Khi đó: W   , P   W  , P  Chứng minh Gọi H :  a; b  0;1  xác định công thức: H  t , s   1  s    t   s.  t  , a  t  b,  s  Đây đồng luân liên tục từ  đến  qua đường đóng Từ giả thiết, ta suy ảnh hình chữ nhật qua H nằm \ P Áp dụng hệ 1.2.1 ta có: W  , P   W  , P  Mệnh đề 1.2.1 Cho   đường đóng từ khoảng đóng đến đó,   đồng luân qua đường đóng W   , P   W  , P  Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên theo hệ 1.2.1 Điều kiện cần: giả sử W  , P   W  , P  2 \ P Khi \ P - Nếu W  , P   W  , P     có phần khơng chứa gốc tọa độ, chúng đồng luân với ánh xạ điểm khác gốc tọa độ nên đồng luân với - Nếu W  , P   W  , P     có phần chứa gốc tọa độ Mặt khác, chúng hướng với nên chúng đồng luân với 1.3 Mở rộng định nghĩa số vòng quay Cho khoảng đóng I   a; b đường tròn C có tâm  x0 ; y0  , bán kính r Đặt  : I  C xác định bởi:   t    x0 ; y0    r.cos  2 t  ; r.sin  2 t   ,  t  Khi đó,  ánh xạ 1-1 từ I lên C , ngoại trừ      1 Điều kéo theo F ánh xạ từ C vào tập mở U   F  ánh xạ từ I đến U với      1 , ánh xạ biểu diễn dạng với hàm F Bổ đề 1.3.1 Ánh xạ  liên tục F liên tục Chứng minh Ta xem C không gian thương I với điểm đầu mút đồng nhất, ánh xạ chiếu  Điều có nghĩa tập X C mở  1  X  mở I Vì vậy, với tập mở V U , F 1 V    mở  1 V    1 F 1 V  mở Bổ đề chứng minh Định nghĩa 1.3.1 Với ánh xạ liên tục F : C  \ P , định nghĩa số vòng quay F xung quanh P , kí hiệu: W  F , P  , số vòng quay đường   F  xung quanh P Mệnh đề 1.3.1 Giả sử C biên đĩa đóng D F : C  thành hàm liên tục từ D đến 2 \ P Khi đó, F mở rộng \ P W  F , P   Chứng minh Chiều thuận: Giả sử C biên đĩa đóng D F : C  hàm liên tục từ D đến 2 \ P mở rộng thành \ P Gọi  x0 ; y0  tâm, r bán kính đĩa đóng D   F  : 0;1  \ P ánh xạ tương ứng F Gọi F : D  H t, s   F \ P mở rộng liên tục F thì:  x , y   s  r.cos  2 t ; r.sin  2 t  ,0  t  1,0  s  1là đồng luân 0 từ  đến đường điểm F  x ; y  Đồng luân nằm bên 0 \ P số vòng quay đường 0, theo hệ 1.2.1 ta có W  F, P  Chiều đảo: Giả sử F :C  \ P thỏa W  F , P   Lấy P '  \ P đặt F : C  U ánh xạ biến C thành P ' Khi đó,   F  ánh xạ nên W  , P    W  , P  Các đường  ,  đường đóng, theo mệnh đề 1.2.1 ta có  đồng luân với  qua đường đóng, nghĩa tồn ánh xạ liên tục H : 0;1  0;1  U cho: H  t ,1   , H  t ,0   ,0  t  1; H  0, s   H 1, s  ,0  s  1 10 Điều cho ta thấy K ánh xạ thuộc lớp C  Ta có: H  Q  t    Kt * V  đồng luân từ J *V đến *V suy Index O  J*V   Index O *V  Việc lại chứng minh Index O  J*V   Index OV với ánh xạ tuyến tính khả nghịch J Áp dụng bổ đề 2.2.2, có đường không gian ma trận 1  khả nghịch từ J đến ma trận đơn vị I ma trận I '    , đường 0 1 cho t J t với a  t  b có đồng ln H  Q  t    J t * V  từ J *V đến I*V I '* V Hiển nhiên I*V  V việc lại chứng minh Index O  I '* V   Index OV Viết V dạng V  x; y    p( x; y); q( x; y)  , ta có:  I '* V  ( x; y)   p( x;  y); q( x;  y)  Và điều quy toán cho F  x; y    p( x; y); q( x; y)  R  x;  y  , theo định nghĩa số vòng quay dễ thấy ánh xạ R F R F hạn chế xuống đường tròn có số vòng quay Mệnh đề 2.2.2 Giả sử V W trường vector liên tục khơng có điểm kì dị lân cận U điểm P Cho D  U đĩa đóng có tâm P Khi đó, có trường vector V khơng có điểm kì dị U cho: i V V đồng U \ D ii V W đồng lân cận P Chứng minh Giả sử tích vơ hướng V  P  W  P  dương V  Q  W  Q   0, Q  D , tồn hàm  thuộc lớp C  đồng lân cận P đồng D lấy giá trị  0;1 21 Đặt: V  Q   1   (Q) V  Q    (Q)W Q  ta có V  Q  V  Q   0, Q  D V khơng có điểm kì dị nên điều kiện i ii thỏa mãn 2.3 Trƣờng vector mặt cầu Trường vector V mặt cầu S ánh xạ gán điểm P S với vector V  P  không gian tiếp xúc TP S S P , ánh xạ P V  P  ánh xạ liên tục Nếu S  S P   x; y; z  khơng gian tiếp xúc là: TP S   a; b; c  |  a; b; c   x; y; z   ax  by  cz  0 Cũng phần trước, ta chấp nhận tập hữu hạn điểm kì dị Z mặt cầu S Hình 2.3.1 Gọi N  0;0;1 S  0;0; 1 cực Bắc cực Nam S Xét phép chiếu cầu xuyên tâm N , với điểm P S \  N  có đường thẳng qua N P đường thẳng giao với mặt phẳng z  điểm P ' Tương ứng P P ' cho ta song ánh, hình vẽ ta thấy phép chiếu cầu có tính chất sau:  Phép chiếu biến S  0;0; 1 thành  0;0  22  Biến đường xích đạo thành đường tròn đơn vị  Biến bán cầu Nam thành vùng bên biến bán cầu Bắc thành vùng bên ngồi đường tròn đơn vị  Phép chiếu không xác định N z  x, y   Từ đó, hàm ngược  ứng với tọa độ điểm  x; y  mặt phẳng (Hình 2.3.2) là: : S với  x; y   2x 2y x2  y   ; ;   Ma trận 2  x  y 1 x  y 1 x  y 1 Jacobian J ,P  P   x; y  song ánh từ đến không gian tiếp xúc S điểm   P  Nếu V trường vector S  *V trường vector xác định bởi: J ,P   *V  ( P)   V  ( P)   *V liên tục P V liên tục   P  Hình 2.3.2 23 Giả sử V trường vector liên tục khơng có điểm kì dị S , trường vector tương ứng  *V khơng có điểm kì dị Lấy Cr đường tròn tâm gốc tọa độ mặt phẳng Theo hệ 2.1.2 số vòng quay  *V quanh Cr Cho r đủ lớn, Cr xem đường tròn nhỏ quanh điểm cực Bắc, số vòng quanh  *V quanh đường tròn khác Điều cho ta thấy trường vector mặt cầu phải có điểm kì dị Tương tự, xét phép chiếu cầu xuyên tâm S ta có hàm ngược  ứng với tọa độ điểm  x; y  mặt phẳng  :  x; y   S với  2x 2 y  x2  y   ; ;   2 2  x  y 1 x  y 1 x  y 1  Bây giờ, ta định nghĩa số trường vector mặt cầu Cho V trường vector với tập hữu hạn điểm kì dị S điểm P mặt cầu, ta định nghĩa Index PV số  *V  *V điểm tương ứng (theo mệnh đề 2.2.1 số  *V  *V hai xác định) Và nữa, ta dùng phép chiếu cầu xuyên tâm từ điểm S , tất phép biến đổi ánh xạ khả vi thuộc lớp C  Mệnh đề 2.3.1 Cho trường vector V với hữu hạn điểm kì dị S , ta có:  Index V  PZ P Chứng minh Chứng minh mệnh đề gồm hai bước sau: Bước 1: Tồn trường vector V S với W trường vector  PZ Index PV  Ví dụ,   ví dụ 2.1.5, W  x; y   x  y ;2 xy , 24 V  *W trường vector phần bù điểm cực Bắc với điểm kì dị có số điểm cực Nam Và V thác triển liên tục đến điểm cực Bắc với giá trị điểm vector  2;0;0  Bước 2: Ta tổng số hai trường vector V W S Thật vậy, lấy P điểm khác điểm kì dị S , theo mệnh đề 2.2.2 thay V trường vector V với số tương tự V ta giả sử V W đồng lân cận P Xét phép chiếu cầu xuyên tâm P, ta có hai trường vector mặt phẳng đồng bên đĩa lớn chứa tất điểm kì dị trường vector, áp dụng hệ 2.1.2 cho ta tổng số vòng quay chúng 25 CHƢƠNG TRƢỜNG VECTOR TRÊN CÁC MẶT KHÁC VÀ ĐẶC TRƢNG EULER 3.1 Trƣờng vector mặt xuyến mặt khác Phần trước ta tìm hiểu trường vector mặt phẳng sau tìm hiểu tiếp trường vector số trường vector mặt cầu Trong phần ta tìm hiểu trường vector số mặt khác Mặt ta xem xét mặt xuyến: Xem X không gian thương mặt phẳng chúng sai khác lát tích 2 , đồng hai điểm đồng hai cạnh đối hình vng đơn vị 0;1  0;1 Ta có ánh xạ: :  X  S1  S1 Khi đó, cho trường vector V X giống cho trường vector V Ta định nghĩa số Index PV số tương ứng trường vector V 26 điểm nghịch ảnh P Cũng phần trước, ta chấp nhận tập hữu hạn điểm kì dị Z V liên tục miền xác định trừ Z Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1.1 Cho trường vector V với hữu hạn điểm kì dị mặt xuyến X , ta có:  Index V  P PZ Chứng minh Lấy hình vuông R   a; a  1  b; b  1 cho ảnh biên R X khơng giao với tập điểm kì dị Z Xét trường vector tương ứng V lân cận R Theo mệnh đề 2.1.1 ta có số vòng quay V quanh biên R tổng số V R , số vòng quay Và số bên R số tương ứng V X Do ta có điều phải chứng minh Bây giờ, ta tổng qt hóa ta tìm hiểu trường vector mặt cầu mặt xuyến phần trước mặt có g lỗ hổng (hay gọi mặt rống g ) mặt cầu có g tay cầm (hay gọi g tay quai) Định lí kết tổng quát Định lí 3.1.1 (Poincaré – Hopf) Cho X mặt cầu với g tay cầm trường vector V với điểm kì dị X , tổng số V điểm kì dị  2g Chứng minh 27 Ý tưởng chứng minh tương tự chứng minh mệnh đề 2.3.1 Tồn trường vector có tổng số X  2g , ta cần chứng minh hai trường vector X có tổng số Thật vậy, lấy đĩa C làm làm thủng đĩa nhỏ D (nằm đường tròn) mặt X trải phần bù X \ D xuống mặt phẳng Tuy nhiên phần bù khơng vi phơi (hoặc đồng phôi) với mặt phẳng xác định ta thực điều ánh xạ  : X \ D  vi phôi địa phương, nghĩa điểm P X \ D có lân cận ảnh ngược vi phơi Để hình dung điều ta xét mặt xuyến, phần bù đĩa tạo thành hai dải nối lại với Ánh xạ  từ X \ D hình dung ảnh dải mặt phẳng Ảnh đường tròn C vòng quanh biên, ta định nghĩa số vòng quay W V|C , O  cách cắt C thành mảnh nhỏ, mảnh tạo thành từ song ánh  mặt phẳng, sau dùng định nghĩa thơng thường số vòng quay 28 mảnh ta biết Chúng ta định nghĩa số V điểm P  X \ D cách sử dụng vi phôi địa phương * để đồng V với trường vector *V gần điểm   P  định nghĩa Index PV số *V   P  Để hoàn thành chứng minh ta phải rằng:  PX \ D Index PV  W V|C , O  Để có điều này, ta cộng thêm vài nhát cắt phần bù cách cẩn thận khơng xun qua điểm kì dị nào: Áp dụng mệnh đề 2.1.1 ánh xạ hạn chế *V lên mảnh ý mảnh cộng thêm ta đếm hai lần với dấu đối mà chúng triệt tiêu lẫn Do ta có điều cần chứng minh 3.2 Đặc trƣng Euler Trong hình học topo đại số có sợi dây liên kết cơng thức Euler, liên hệ cạnh, đỉnh mặt đa diện với công thức tổng quát quen thuộc với v  e  f  , công thức cho đa diện lồi Vậy tổng qt cho mặt compact cơng thức có ln hay khơng? Câu trả lời “Không” mà chúng sai khác số 29 Giả sử X mặt compact có phép tam giác phân X Điều có nghĩa X cắt thành miếng nhỏ đồng phôi với tam giác Đặt v số đỉnh, e số cạnh f số mặt Khi ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.1 Cho phép tam giác phân mặt cầu X với g tay cầm (tay quai) Khi ta có: v  e  f   g Chứng minh Ý tưởng chứng minh xây dựng trường vector V X cho có điểm kì dị số đỉnh, điểm kì dị có số -1 cạnh điểm kì dị có số cho mặt Khi mệnh đề suy từ định lí Poincaré – Hopf Để làm điều này, ta phân nhỏ trọng tâm sau: đặt đỉnh cạnh, mặt nối chúng lại hình vẽ: 30 Sau xây dựng trường vector X cho tam giác trông giống sau: Xây dựng dọc theo cạnh: những cạnh cũ vẽ vector từ đỉnh cũ đến đỉnh thêm vào cạnh, cạnh vẽ vector thẳng tới đỉnh nằm mặt Sau phủ đầy tam giác để làm cho liên tục Hồn tất việc này, ta có có trường vector V có điểm kì dị đỉnh Hơn đỉnh cũ có số +1, đỉnh dọc theo cạnh có số -1 đỉnh nằm mặt có số +1 Ta có v đỉnh cũ, e đỉnh nằm cạnh f đỉnh nằm mặt Theo định lí Poincaré – Hopf ta có: 31 v. 1  e. 1  f  1   g Số v  e  f , với phép tam giác phân bất kì, ln tổng số trường vector gọi “đặc trƣng Euler” mặt Ví dụ 3.2.1 Xét mặt cầu S ứng với g  , ta có:  Index V   g  PZ Xét phép tam giác phân sau: Ta có: v  6, e  12, f   v  e  f   12   Suy ra: v  e  f   g  32 P Ví dụ 3.2.2 Xét mặt xuyến ứng với g  , ta có:  Index V   g  PZ Xét phép tam giác phân sau: Ta có: v  6, e  16, f  10  v  e  f   16  10  Suy ra: v  e  f   g  33 P CHƢƠNG KẾT LUẬN Luận văn trình bày hệ thống khái niệm tảng như: số vòng quay, số vòng quay mở rộng,…định nghĩa trường vector với số trường vector điểm mặt phẳng, mặt cầu, mặt xuyến mặt cầu tổng quát với g tay cầm Đặc biệt luận văn giới thiệu cách dùng số trường vector để định nghĩa đặc trưng Euler – bất biến đồng luân mặt compact Với cách tiếp cận theo ngôn ngữ giải tích hình học vi phân, chúng tơi hi vọng luận văn tài liệu hữu ích cho sinh viên chun ngành Tốn muốn tìm hiểu topo đại số Mặc dù cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót mong q độc giả góp ý Chúng tơi xin cảm ơn 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh: 1 William Fulton, Algebraic Topology, A first course, Springer – Verlag, 1995  2 G.E Bredon, Topology and Geometry, Springer – Verlag, 1993 3 M.J Greenberg and J.R Harper, Algebraic Topology, A first course, Benjamin/Cummings, 1981 35 ... TRƢỜNG VECTOR TRÊN CÁC MẶT KHÁC VÀ ĐẶC TRƢNG EULER 3.1 Trƣờng vector mặt xuyến mặt khác Phần trước ta tìm hiểu trường vector mặt phẳng sau tìm hiểu tiếp trường vector số trường vector mặt cầu... trƣờng vector 14 2.1 .Trường vector mặt phẳng 14 2.2.Chuyển tọa độ 18 2.3 .Trường vector mặt cầu 22 Chƣơng – Trƣờng vector mặt khác đặc trƣng Euler 26 3.1 .Trường vector mặt. .. giới thiệu trường vector số trường vector mặt xuyến mặt tổng quát mặt cầu có g tay cầm (hay gọi tay quai) Phần cuối chương trình bày đặc trưng Euler cho mặt compact – bất biến đồng luân mặt compact