Chuong 06 tinh toan xac suat

dùng phần mềm R vào tính toán xác suất

1 6 Tính toán xác sut và mô phng (simulation) Xác sut là nn tng ca phân tích thng kê. Tt c các phng pháp phân tích s liu và suy lun thng kê đu da vào lí thuyt xác sut. Lí thuyt xác sut quan tâm đn vic mô t và th hin qui lut phân phi ca mt bin s ngu nhiên. “Mô t”  đây trong thc t cng có ngha đn gin là đm nhng trng hp hay kh nng xy ra ca mt hay nhiu bin. Chng hn nh khi chúng ta chn ngu nhiên 2 đi tng , và nu 2 đi tng này có th đc phân loi bng hai đc tính nh gii tính và s thích, thì vn đ đt ra là có bao nhiêu tt c “phi hp” gia hai đc tính này. Hay đi vi mt bin s liên tc nh huyt áp, mô t có ngha là tính toán các ch s thng kê ca bin nh tr s trung bình, trung v, phng sai, đ lch chun, v.v… T nhng ch s mô t, lí thuyt xác sut cung cp cho chúng ta nhng mô hình đ thit lp các hàm phân phi cho các bin s đó. Trong chng này, tôi s bàn qua hai lnh vc chính là phép đm và các hàm phân phi. 6.1 Các phép đm 6.1.1 Phép hoán v (permutation). Theo đnh ngha, hoán v n phn t là cách sp xp n phn t theo mt th t đnh sn. nh ngha này tht là … khó hiu, chng khác gì … đ! Có l mt ví d c th s làm rõ đnh ngha hn. Hãy tng tng mt trung tâm cp cu có 3 bác s (x, y và z), và có 3 bnh nhân (a, b và c) đang ngi ch đc khám bnh. C ba bác s đu có th khám bt c bnh nhân a, b hay c. Câu hi đt ra là có bao nhiêu cách sp xp bác s – bnh nhân?  tr li câu hi này, chúng ta xem xét vài trng hp sau đây: • Bác s x có 3 la chn: khám bnh nhân a, b hoc c; • Khi bác s x đã chn mt bnh nhân ri, thì bác s y có hai la chn còn li; • Và sau cùng, khi 2 bác s kia đã chn, bác s z ch còn 1 la chn. • Tng cng, chúng ta có 6 la chn. Mt ví d khác, trong mt bui tic gm 6 bn, hi có bao nhiêu cách sp xp cách ngi trong mt bàn vi 6 gh? Qua cách lí gii ca ví d trên, đáp s là: 6.5.4.3.2.1 = 720 cách. (Chú ý du “.” có ngha là du nhân hay tích s). Và đây chính là phép đm hoán v. Chúng ta bit rng 3! = 3.2.1 = 6, và 0!=1. Nói chung, công thc tính hoán v cho mt s n là: ()( )( ) ! 1 2 3 . 1nnn n n=−− −××. Trong R cách tính này rt đn gin vi lnh prod() nh sau: 2 • Tìm 3! > prod(3:1) [1] 6 • Tìm 10! > prod(10:1) [1] 3628800 • Tìm 10.9.8.7.6.5.4 > prod(10:4) [1] 604800 • Tìm (10.9.8.7.6.5.4) / (40.39.38.37.36) > prod(10:4) / prod(40:36) [1] 0.007659481 6.1.2 T hp (combination). T hp n phn t chp k là mi tp hp con gm k phn t ca tp hp n phn t. nh ngha này phi nói là rt khó hiu và … rm rà! Cách d hiu nht là qua mt ví d nh sau: Cho 3 ngi (hãy cho là A, B, và C) ng viên vào 2 chc ch tch và phó ch tch, hi: có bao nhiêu cách đ chn 2 chc này trong s 3 ngi đó. Chúng ta có th tng tng có 2 gh mà phi chn 3 ngi: Cách chn Ch tch Phó ch tch 1 A B 2 B A 3 A C 4 C A 5 B C 6 C B Nh vy có 6 cách chn. Nhng chú ý rng cách chn 1 và 2 trong thc t ch là 1 cp, và chúng ta ch có th đm là 1 (ch không 2 đc). Tng t, 3 và 4, 5 và 6 cng ch có th đm là 1 cp. Tng cng, chúng ta có 3 cách chn 3 ngi cho 2 chc v. áp s này đc gi là t hp. Tht ra tng s ln chn có th tính bng công thc sau đây: () 3 3! 6 3 2 2! 3 2 ! 2  = ==  −  ln. Nói chung, s ln chn k ngi t n ngi là: () ! !! n n k knk  =  −  3 Công thc này cng có khi vit là n k C thay vì n k    . Vi R, phép tính này rt đn gin bng hàm choose(n, k). Sau đây là vài ví d minh ha: • Tìm 5 2    > choose(5, 2) [1] 10 • Tìm xác sut cp A và B trong s 5 ngi đc đc c vào hai chc v: > 1/choose(5, 2) [1] 0.1 6.2 Bin s ngu nhiên và hàm phân phi Phn ln phân tích thng kê da vào các lut phân phi xác sut đ suy lun. Hai ch “phân phi” (distribution) có l cng cn vài dòng gii thích  đây. Nu chúng ta chn ngu nhiên 10 bn trong mt lp hc và ghi nhn chiu cao và gii tính ca 10 bn đó, chúng ta có th có mt dãy s liu nh sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gii tính N N Nam N N N Nam Nam N Nam Chiu cao (cm) 156 160 175 145 165 158 170 167 178 155 Nu tính gp chung li, chúng ta có 6 bn gái và 4 bn trai. Nói theo phn trm, chúng ta có 60% n và 40% nam. Nói theo ngôn ng xác sut, xác sut n là 0.6 và nam là 0.4. V chiu cao, chúng ta có giá tr trung bình là 162.9 cm, vi chiu cao thp nht là 155 cm và cao nht là 178 cm. Nói theo ngôn ng thng kê xác sut, bin s gii tính và chiu cao là hai bin s ngu nhiên (random variable). Ngu nhiên là vì chúng ta không đoán trc mt cách chính xác các giá tr này, nhng ch có th đoán giá tr tp trung, giá tr trung bình, và đ dao đng ca chúng. Bin gii tính ch có hai “giá tr” (nam hay n), và đc gi là bin không liên tc, hay bin ri rc (discrete variable), hay bin th bc (categorical variable). Còn bin chiu cao có th có bt c giá tr nào t thp đn cao, và do đó có tên là bin liên tc (continuous variable). Khi nói đn “phân phi” (hay distribution) là đ cp đn các giá tr mà bin s có th có. Các hàm phân phi (distribution function) là hàm nhm mô t các bin s đó mt cách có h thng. “Có h thng”  đây có ngha là theo m mô hình toán hc c th vi nhng thông s cho trc. Trong xác sut thng kê có khá nhiu hàm phân phi, và  đây chúng ta s xem xét qua mt s hàm quan trng nht và thông dng nht: đó là phân 4 phi nh phân, phân phi Poisson, và phân phi chun. Trong mi lut phân phi, có 4 loi hàm quan trng mà chúng ta cn bit: • hàm mt đ xác sut (probability density distribution); • hàm phân phi tích ly (cumulative probability distribution); • hàm đnh bc (quantile); và • hàm mô phng (simulation). R có nhng hàm sn trên có th ng dng cho tính toán xác sut. Tên mi hàm đc gi bng mt tip đu ng đ ch loi hàm phân phi, và vit tt tên ca hàm đó. Các tip đu ng là d (ch distribution hay xác sut), p (ch cumulative probability, xác sut tích ly), q (ch đnh bc hay quantile), và r (ch random hay s ngu nhiên). Các tên vit tt là norm (normal, phân phi chun), binom (binomial , phân phi nh phân), pois (Poisson, phân phi Poisson), v.v… Bng sau đây tóm tt các hàm và thông s cho tng hàm: Hàm phân phi Mt đ Tích ly nh bc Mô phng Chun dnorm(x, mean, sd) pnorm(q, mean, sd) qnorm(p, mean, sd) rnorm(n, mean, sd) Nh phân dbinom(k, n, p) pbinom(q, n, p) qbinom (p, n, p) rbinom(k, n, prob) Poisson dpois(k, lambda) ppois(q, lambda) qpois(p, lambda) rpois(n, lambda) Uniform dunif(x, min, max) punif(q, min, max) qunif(p, min, max) runif(n, min, max) Negative binomial dnbinom(x, k, p) pnbinom(q, k, p) qnbinom (p,k,prob) rbinom(n, n, prob) Beta dbeta(x, shape1, shape2) pbeta(q, shape1, shape2) qbeta(p, shape1, shape2) rbeta(n, shape1, shape2) Gamma dgamma(x, shape, rate, scale) gamma(q, shape, rate, scale) qgamma(p, shape, rate, scale) rgamma(n, shape, rate, scale) Geometric dgeom(x, p) pgeom(q, p) qgeom(p, prob) rgeom(n, prob) Exponential dexp(x, rate) pexp(q, rate) qexp(p, rate) rexp(n, rate) Weibull dnorm(x, mean, sd) pnorm(q, mean, sd) qnorm(p, mean, sd) rnorm(n, mean, sd) Cauchy dcauchy(x, location, scale) pcauchy(q, location, scale) qcauchy(p, location, scale) rcauchy(n, location, scale) F df(x, df1, df2) pf(q, df1, df2) qf(p, df1, df2) rf(n, df1, df2) T dt(x, df) pt(q, df) qt(p, df) rt(n, df) Chi-squared dchisq(x, df) pchi(q, df) qchisq(p, df) rchisq(n, df) Chú thích: Trong bng trên, df = degrees of freedome (bc t do); prob = probability (xác sut); n = sample size (s lng mu). Các thông s khác có th tham kho thêm cho tng lut phân phi. Riêng các lut phân phi F, t, Chi-squared còn có mt thông s khác na là non-centrality parameter (ncp) đc cho s 0. Tuy nhiên ngi s dng có th cho mt thông s khác thích hp, nu cn. 6.3 Các hàm phân phi xác sut (probability distribution function) 6.3.1 Hàm phân phi nh phân (Binomial distribution) Nh tên gi, hàm phân phi nh phân ch có hai giá tr: nam / n, sng / cht, có / không, v.v… Hàm nh phân đc phát biu bng đnh lí nh sau: Nu mt th nghim 5 đc tin hành n ln, mi ln cho ra kt qu hoc là thành công hoc là tht bi, và gm xác sut thành công đc bit trc là p, thì xác sut có k ln th nghim thành công là: () () |, 1 nk nk k Pknp Cp p − =−, trong đó k == 0, 1, 2, . . . , n.  hiu đnh lí đó rõ ràng hn, chúng ta s xem qua qua vài ví d sau đây. Ví d 1: Hàm mt đ nh phân (Binomial density probability function). Trong ví d trên, lp hc có 10 ngi, trong đó có 6 na. Nu 3 bn đc chn mt cách ngu nhiên, xác sut mà chúng ta có 2 bn n là bao nhiêu? Chúng ta có th tr li câu hi này mt cách tng đi th công bng cách xem xét tt c các trng hp có th xy ra. Mi ln chn có 2 kh khng (nam hay n), và 3 ln chn, chúng ta có 2 3 = 8 trng hp nh sau. Bn 1 Bn 2 Bn 3 Xác sut Nam Nam Nam (0.4)(0.4)(0.4) = 0.064 Nam Nam N (0.4)(0.4)(0.6) = 0.096 Nam N Nam (0.4)(0.6)(0.4) = 0.096 Nam N N (0.4)(0.6)(0.6) = 0.144 N Nam Nam (0.6)(0.4)(0.4) = 0.096 N Nam N (0.6)(0.4)(0.6) = 0.144 N N Nam (0.6)(0.6)(0.4) = 0.144 N N N (0.6)(0.6)(0.6) = 0.216 Tt c các trng hp 1.000 Chng ta bit trc rng trong nhóm 10 hc sinh có 6 n, và do đó, xác sut n là 0.60. (Nói cách khác, xác sut chn mt bn nam là 0.4). Do đó, xác sut mà tt c 3 bn đc chn đu là nam gii là: 0.4 x 0.4 x 0.4 = 0.064. Trong bng trên, chúng ta thy có 3 trng hp mà trong đó có 2 bn gái: đó là trng hp Nam-N-N, N-N-Nam, và N-Nam-N, c 3 đu có xác sut 0.144. Thành ra, xác sut chn đúng 2 bn n trong s 3 bn đc chn là 3x0.144= 0.432. Trong R, có hàm dbinom(k, n, p) có th giúp chúng ta tính công thc () () |, 1 nk nk k Pknp Cp p − =− mt cách nhanh chóng. Trong trng hp trên, chúng ta ch cn đn gin lnh: > dbinom(2, 3, 0.60) [1] 0.432 Ví d 2: Hàm nh phân tích ly (Cumulative Binomial probability distribution). Xác sut thuc chng loãng xng có hiu nghim là khong 70% (tc là p = 0.70). Nu chúng ta điu tr 10 bnh nhân, xác sut có ti thiu 8 bnh nhân vi kt qu tích cc là bao nhiêu? Nói cách khác, nu gi X là s bnh nhân đc điu tr thành công, chúng ta cn tìm P(X ≥ 8) = ?  tr li câu hi này, chúng ta s dng hàm pbinom(k, n, p). Xin nhc li rng hàm pbinom(k, n, p)cho chúng ta P(X ≤ k). Do đó, P(X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7). Thành ra, đáp s bng R cho câu hi là: 6 > 1-pbinom(7, 10, 0.70) [1] 0.3827828 Ví d 3: Mô phng hàm nh phân: Bit rng trong mt qun th dân s có khong 20% ngi mc bnh cao huyt áp; nu chúng ta tin hành chn mu 1000 ln, mi ln chn 20 ngi trong qun th đó mt cách ngu nhiên, s phân phi s bnh nhân cao huyt áp s nh th nào?  tr li câu hi này, chúng ta có th ng dng hàm rbinom (n, k, p) trong R vi nhng thông s nh sau: > b <- rbinom(1000, 20, 0.20) Trong lnh trên, kt qu mô phng đc tm thi cha trong đi tng tên là b.  bit b có gì, chúng ta đm bng lnh table: > table(b) b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 45 147 192 229 169 105 68 23 13 3 Dòng s liu th nht (0, 5, 6, …, 10) là s bnh nhân mc bnh cao huyt áp trong s 20 ngi mà chúng ta chn. Dòng s liu th hai cho chúng ta bit s ln chn mu trong 1000 ln xy ra. Do đó, có 6 mu không có bnh nhân cao huyt áp nào, 45 mu vi ch 1 bnh nhân cao huyt áp, v.v… Có l cách đ hiu là v đ th các tn s trên bng lnh hist nh sau: > hist(b, main="Number of hypertensive patients") Number of hypertensive patients b Frequency 0246810 0 50 100 150 200 Biu đ 1. Phân phi s bnh nhân cao huyt áp trong s 20 ngi đc chn ngu nhiên trong mt qun th gm 20% bnh nhân cao 7 huyt áp, và chn mu đc lp li 1000 ln. Qua biu đ trên, chúng ta thy xác sut có 4 bnh nhân cao huyt áp (trong mi ln chn mu 20 ngi) là cao nht (22.9%). iu này cng có th hiu đc, bi vì t l cao huyt áp là 20%, cho nên chúng ta kì vng rng trung bình 4 ngi trong s 20 ngi đc chn phi là cao huyt áp. Tuy nhiên, điu quan trng mà biu đ trên th hin là có khi chúng ta quan sát đn 10 bnh nhân cao huyt áp dù xác sut cho mu này rt thp (ch 3/1000). Ví d 4: ng dng hàm phân phi nh phân: Hai mi khách hàng đc mi ung hai loi bia A và B, và đc hi h thích bia nào. Kt qu cho thy 16 ngi thích bia A. Vn đ đt ra là kt qu này có đ đ kt lun rng bia A đc nhiu ngi thích hn bia B, hay là kt qu ch là do các yu t ngu nhiên gây nên? Chúng ta bt đu gii quyt vn đ bng cách gi thit rng nu không có khác nhau, thì xác sut p=0.50 thích bia A và q=0.5 thích bia B. Nu gi thit này đúng, thì xác sut mà chúng ta quan sát 16 ngi trong s 20 ngi thích bia A là bao nhiêu. Chúng ta có th tính xác sut này bng R rt đn gin: > 1- pbinom(15, 20, 0.5) [1] 0.005908966 áp s là xác sut 0.005 hay 0.5%. Nói cách khác, nu qu tht hai bia ging nhau thì xác sut mà 16/20 ngi thích bia A ch 0.5%. Tc là, chúng ta có bng chng cho thy kh nng bia A qu tht đc nhiu ngi thích hn bia B, ch không phi do yu t ngu nhiên. Chú ý, chúng ta dùng 15 (thay vì 16), là bi vì P(X ≥ 16) = 1 – P(X ≤ 15). Mà trong trng hp ta đang bàn, P(X ≤ 15) = pbinom(15, 20, 0.5). 6.3.2 Hàm phân phi Poisson (Poisson distribution) Hàm phân phi Poisson, nói chung, rt ging vi hàm nh phân, ngoi tr thông s p thng rt nh và n thng rt ln. Vì th, hàm Poisson thng đc s dng đ mô t các bin s rt him xy ra (nh s ngi mc ung th trong mt dân s chng hn). Hàm Poisson còn đc ng dng khá nhiu và thành công trong các nghiên cu k thut và th trng nh s lng khách hàng đn mt nhà hàng mi gi. Ví d 5: Hàm mt đ Poisson (Poisson density probability function). Qua theo dõi nhiu tháng, ngi ta bit đc t l đánh sai chính t ca mt th kí đánh máy. Tính trung bình c khong 2.000 ch thì th kí đánh sai 1 ch. Hi xác sut mà th kí đánh sai chính t 2 ch, hn 2 ch là bao nhiêu? Vì tn s khá thp, chúng ta có th gi đnh rng bin s “sai chính t” (tm đt tên là bin s X) là mt hàm ngu nhiên theo lut phân phi Poisson.  đây, chúng ta có 8 t l sai chính t trung bình là 1( λ = 1). Lut phân phi Poisson phát biu rng xác sut mà X = k, vi điu kin t l trung bình λ , : () | ! k e PX k k λ λ λ − == Do đó, đáp s cho câu hi trên là: () 22 1 2 | 1 0.1839 2! e PX λ − === = . áp s này có th tính bng R mt cách nhanh chóng hn bng hàm dpois nh sau: > dpois(2, 1) [1] 0.1839397 Chúng ta cng có th tính xác sut sai 1 ch, và xác sut không sai ch nào: > dpois(1, 1) [1] 0.3678794 > dpois(0, 1) [1] 0.3678794 Chú ý trong hàm trên, chúng ta ch đn gin cung cp thông s k = 2 và ( λ = 1. Trên đây là xác sut mà th kí đánh sai chính t đúng 2 ch. Nhng xác sut mà th kí đánh sai chính t hn 2 ch (tc 3, 4, 5, … ch) có th c tính bng: ()( ) ( ) 2 3 4 ( 5) .PX PX PX PX>= =+ =+ =+ = ( ) 12PX− ≤ = 1 – 0.3678 – 0.3678 – 0.1839 = 0.08 Bng R, chúng ta có th tính nh sau: # P(X ≤ 2) > ppois(2, 1) [1] 0.9196986 # 1-P(X ≤ 2) > 1-ppois(2, 1) [1] 0.0803014 6.3.3 Hàm phân phi chun (Normal distribution) Hai lut phân phi mà chúng ta va xem xét trên đây thuc vào nhóm phân phi áp dng cho các bin s phi liên tc (discrete distributions), mà trong đó bin s có nhng giá tr theo bc th hay th loi. i vi các bin s liên tc, có vài lut phân phi 9 thích hp khác, mà quan trng nht là phân phi chun. Phân phi chun là nn tng quan trng nht ca phân tích thng kê. Có th nói không ngoa rng hu ht lí thuyt thng kê đc xây dng trên nn tng ca phân phi chun. Hàm mt đ phân phi chun có hai thông s: trung bình µ và phng sai σ 2 (hay đ lch chun σ ). Gi X là mt bin s (nh chiu cao chng hn), hàm mt đ phân phi chun phát biu rng xác sut mà X = x là: () () () 2 2 2 1 |, exp 2 2 x PX x f x µ µσ σ πσ   − === −       Ví d 6: Hàm mt đ phân phi chun (Normal density probability function). Chiu cao trung bình hin nay  ph n Vit Nam là 156 cm, vi đ lch chun là 4.6 cm. Cng bit rng chiu cao này tuân theo lut phân phi chun. Vi hai thông s µ=156, σ=4.6, chúng ta có th xây dng mt hàm phân phi chiu cao cho toàn b qun th ph n Vit Nam, và hàm này có hình dng nh sau: 130 140 150 160 170 180 190 200 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Probability distribution of height in Vietnamese women Height f(height) Biu đ 2. Phân phi chiu cao  ph n Vit Nam vi trung bình 156 cm và đ lch chun 4.6 cm. Trng hoành là chiu cao và trc tung là xác sut cho mi chiu cao. Biu đ trên đc v bng hai lnh sau đây. Lnh đu tiên nhm to ra mt bin s height có giá tr 130, 131, 132, …, 200 cm. Lnh th hai là v biu đ vi điu kin trung bình là 156 cm và đ lch chun là 4.6 cm. > height <- seq(130, 200, 1) > plot(height, dnorm(height, 156, 4.6), type="l", ylab=”f(height)”, xlab=”Height”, 10 main="Probability distribution of height in Vietnamese women") Vi hai thông s trên (và biu đ), chúng ta có th c tính xác sut cho bt c chiu cao nào. Chng hn nh xác sut mt ph n Vit Nam có chiu cao 160 cm là: P(X = 160 | µ=156, σ=4.6) = () () 2 2 160 156 1 exp 4.6 2 3.1416 24.6   − −   ×     = 0.0594 Hàm dnorm(x, mean, sd)trong R có th tính toán xác sut này cho chúng ta mt cách gn nh: > dnorm(160, mean=156, sd=4.6) [1] 0.05942343 Hàm xác sut chun tích ly (cumulative normal probability function). Vì chiu cao là mt bin s liên tc, trong thc t chúng ta ít khi nào mun tìm xác sut cho mt giá tr c th x, mà thng tìm xác sut cho mt khong giá tr a đn b. Chng hn nh chúng ta mun bit xác sut chiu cao t 150 đn 160 cm (tc là P(160 ≤ X ≤ 150), hay xác sut chiu cao thp hn 145 cm, tc P(X < 145).  tìm đáp s các câu hi nh th, chúng ta cn đn hàm xác sut chun tích ly, đc đnh ngha nh sau: P(a ≤ X ≤ b) = () b a f xdx ∫ Thành ra, P(160 ≤ X ≤ 150) chính là din tích tính t trc hoành = 150 đn 160 ca biu đ 2. Trong R có hàm pnorm(x, mean, sd) dùng đ tính xác sut tích ly cho mt phân phi chun rt có ích. pnorm (a, mean, sd) = () a f xdx −∞ ∫ = P(X ≤ a | mean, sd) Chng hn nh xác sut chiu cao ph n Vit Nam bng hoc thp hn 150 cm là 9.6%: > pnorm(150, 156, 4.6) [1] 0.0960575 Hay xác sut chiu cao ph n Vit Nam bng hoc cao hn 165 cm là: > 1-pnorm(164, 156, 4.6) [1] 0.04100591 Nói cách khác, ch có khong 4.1% ph n Vit Nam có chiu cao bng hay cao hn 165 cm. . trng hp nh sau. Bn 1 Bn 2 Bn 3 Xác sut Nam Nam Nam (0.4)(0.4)(0.4) = 0 .064 Nam Nam N (0.4)(0.4)(0.6) = 0.096 Nam N Nam (0.4)(0.6)(0.4) = 0.096 Nam. xác sut mà tt c 3 bn đc chn đu là nam gii là: 0.4 x 0.4 x 0.4 = 0 .064 . Trong bng trên, chúng ta thy có 3 trng hp mà trong đó có 2 bn gái: