7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Toán học Chuyên mục: Chuyên đề ôn thi Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số Lê Minh An Thứ bảy, 15 Tháng 2012 00:00 Bài giảng thuộc Khóa ơn thi ĐH 2013 Thảo luận đặt câu hỏi - Thơng báo lịch học - Đăng kí làm Giảng viên - Đăng kí làm học viên Trong đề thi em gặp vấn đề toán chẳng hạn như: Bài toán: Cho hàm số: (2, 3) y = x + (m − 1)x + (2m − 3)x − Tìm m để hàm số đồng biến trên Để làm toán cần hiểu được: - Đồng biến gì? - Để làm tốn cần thực cơng việc gì? A – Lý thuyết 1.Định nghĩa: Kí hiệu: K khoảng đoạn, nửa khoảng hàm số (C) : y = f (x) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến K x tăng y tăng mà x giảm x1 , x2 thuộc K , ta có x1 > x2 f (x1 ) > f (x2 ) xác định y đồng biến nghịch biến K ta nói chung y = f (x) giảm, tức với Ngược lại, y = f (x) gọi nghịch biến K x tăng y giảm mà x giảm x1 , x2 thuộc K , ta có x1 > x2 f (x1 ) < f (x2 ) y = f (x) K đơn điệu y K tăng, tức với Chú ý:K khoảng đoạn, nửa khoảng Định lý: (Cách xét tính đơn điệu hàm số): (C) y = f (x) http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 1/8 7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Toán học Cho hàm số (C) : y = f (x) - (C) đồng biến trênK - (C) nghịch biến có đạo hàm K : ′ ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K hữu hạn điểm thuộc ′ K hữu hạn điểm thuộc K ⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K K Nhận xét: 1.Việc xét tính đơn điệu hàm số quy việc xét dấu biểu thức đạo hàm nó! 2.Với loại hàm ta xét, bỏ điều kiện “bằng hữu hạn điểm thuộc K ” 3.Trong ba loại hàm: Hàm đa thức bậc 3: y = ax + bx + cx + d ⇒ y ′ = 3ax + 2bx + c, (a ≠ 0) Hàm đa thức bậc trùng phương: y = ax + bx + c ⇒ y ′ = 4a x + 2bx = 2x(2a x + b), (a ≠ 0) Hàm đa thức bậc bậc nhất: ax + b y = ⇒ y ′ ad − bc = cx + d (cx + d) (dấu không phụ thuộc vào biến x) Thì việc xét dấu biểu thức đạo hàm y ′ đơn giản quy toán tam thức bậc B – Một số ví dụ: Bắt đầu với ví dụ đơn giản em cần ý cách trình bày Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = x − x − 2x + 2 LG: TXĐ: D = R Ta có: y ′ = x − x − , y ′ = ⇔ x − x − = ⇔[ x = −1 x = ′ Lập Bảng xét dấu y : Kết luận: - Hàm số nghịch biến (−1; 2) - Hàm số đồng biến (−∞; −1) (2; +∞ ) Chú ý: Khi kết luận tính đơn điệu em không viết, chẳng hạn: “Hàm số nghịch biến (−∞; −1) ∪ xác định” Viết sai chất, y ′ (2; +∞ ) ”, “hàm số đồng biến > 0, ∀x ≠ a ”, “đồng biến tập ∀x ≠ a ta kết luận: hàm số đồng biến (−∞; a) (a; +∞ ) http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 2/8 7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Tốn học Ví dụ 2: Cho hàm số: mx + y = Tìm m để hàm số nghịch biến (−1; 1) x + m Phân tích: ′ - Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, cần tính y xét dấu y ′ - Đây hàm phân thức bậc bậc nhất, đạo hàm có dấu khơng phụ thuộc vào x, tức ′ ′ y > 0, ∀x ∈ D y < 0, ∀x ∈ D , với điều kiện “hàm nghịch biến” ta cần: y ′ − m = 2 < ⇔ m − < (x + m) - Khi ta có hàm số nghịch biến (−∞; −m) (−m; +∞ ) - Vậy làm để có hàm nghịch biến (−1; 1)? Tốt em thực việc xét vị trí tương đối ba điểm 1, −1, −m trục số em nhận để thỏa mãn điều kiện −m phải nằm ngồi điểm −1 1, tức −m ∉ (−1; 1) ⇔ m ∉ (−1; 1) Từ em có lời giải: TXĐ: D = R∖{−m} y ′ m − = (x + m) Để hàm số nghịch biến (−1; 1) y ′ < 0, ∀x ∈ (−1; 1) ⇔ { m − < ⇔ m ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2) −m ∉ (−1; 1) Vậy với m ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2) Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x thỏa mãn điều kiện đề + (m − 1)x + (2m − 3)x − Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; 3) Phân tích: Với việc phân tích tương tự ta nhận thấy tốn thực chất tốn sau: Tìm m để y ′ = x + 2(m − 1)x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3) Với tốn em có cách làm khác LG: TXĐ: y ′ D = R = x + 2(m − 1)x + 2m − Để hàm số đồng biến (2; 3) y Cách 1: ′ Δ = (m − 1) ′ ≥ 0, ∀x ∈ (1, 2) ⇔ x − 2m + = m + 2(m − 1)x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3) − 4m + = (m − 2) Do đó: ′ 2 http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… = + 2x + = ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3) 3/8 7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Toán học Nếu m = Nếu m ≠ Khi đó: Để y ′ TH1: y ′ y ′ y ′ 2 = x + 2x + = (x + 1) = có hai nghiệm phân biệt ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3) x1 < x2 , (t/m) x1 , x2 ∈ {−1; −2m + 3} ≥ ⇔ x ∈ (−∞; x1 ] ∪ [x2 ; +∞ ) ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3) < x1 x2 < (*) x1 = −1; x2 = −2m + ⇒ −1 < −2m + ⇔ m < ⎧ ⎪ (∗) ⇔ ⎨ ⎩ ⎪ < −1 [ −2m + < m < ⇔ < m < 2 TH2: x1 = −2m + 3; x2 = −1 ⇒ −2m + 32 \displaystyle{\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left [ \begin{array}{l}3 < -2m+3\\-1 \end{array} \right.} ⇔ m > Vậy với thỏa mãn điều kiện đề m > Cách 2: x + 2(m − 1)x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3) −x + 2x + ⇔ g(x) = ≤ m, ∀x ∈ (2; 3) 2(x + 1) ⇔ max g(x) ≤ m x∈(2;3 ) Xét: −x + 2x + g(x) = −x ′ 2(x + 1) ⇒ g(x) − 2x − , g (x) = nghịch biến (2; 3) ⇒ max g(x) = g(2) = x∈(2;3 ) Vậy với m > < 0, ∀x ∈ (2; 3) 2(x + 1) thỏa mãn điều kiện đề Nhận xét: - Cách thứ có số em chưa quen, điều dễ hiểu em làm quen với phương pháp hàm số, chắn em thích thấy dễ dàng tiếp xúc với nhiều lớp toán sử dụng phương pháp hơn! - Ở cách thứ nhất, nhiều trường hợp tốn dạng em khơng tính x1 , x2 "đẹp" tốn trên, em cần sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để giải quyết, ví dụ minh họa: Ví dụ 4: Cho hàm số: y = Tìm m x − (2m + 1)x + (3m + 2)x − 5m + 2 để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) LG: http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 4/8 7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Tốn học TXĐ: y ′ D = R = x − (2m + 1)x + 3m + Để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) y ⇔ f (x) = x ⇔ x1 ≤ f (x) = < x2 ⇔ { x1 < ≤ x2 ⇔ { ≤ 0, ∀x ∈ (0; 1) − (2m + 1)x + 3m + ≤ 0, ∀x ∈ (0; 1) phương trình ⇔ { ′ có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1 ≤ < ≤ x2 x1 x2 ≤ (x1 − 1)(x2 − 1) ≤ 3m + ≤ ⇔ m ≤ −2 m + ≤ Nhận xét: - f (x) có hệ số a = > nên trường hợp f (x) = vơ nghiệm (Δ thỏa mãn tốn (các em ý lại định lí dấu tam thức bậc 2) - Hệ điều kiện { x1 ≤ < x2 ) nghiệm kép (Δ = 0) không < bao hàm điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Chú ý điều kiện x1 < ≤ x2 phương trình có hai nghiệm trái dấu) Ví dụ 5: (ĐH QGHN – 2000) Cho hàm số y = x + 3x + mx + m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Phân tích: Bài tốn tương đương với: Tìm để g(x) = 3x m + 6x + m có mang dấu âm đoạn có độ dài Vấn đề cần phân tích âm đoạn có độ dài 1, chưa gặp em có cảm giác lạ lẫm với kiểu câu hỏi Cùng suy nghĩ chút nhé, xét dấu tam thức bậc hai có khả nào? - Nếu Δ ≤ g(x) mang dấu âm khoảng nào, khoảng có độ dài nào? - Tương tự Δ > sao? Khi trả lời câu hỏi em phát Δ ≥ xuất đoạn “Trong khoảng hai nghiệm” có độ dài hữu hạn độ dài đoạn |x1 − x2 | (với x1 , x2 nghiệm g(x) ) ′ Từ ta có điều kiện tương đương toán là: { Δ = − 3m > |x1 − x2 | = Và đến phản xạ tự nhiên ta nghĩ đến định lí Viet! Bài tốn giải LG: TXĐ: y ′ D = R = g(x) = 3x Để thỏa mãn yêu cầu đề y ′ Nếu Δ ≤ ′ ′ + 6x + m, Δ = − 3m g(x) ≥ 0, ∀x ∈ ′ ≤ đoạn có độ dài R = (−∞; +∞ ) (không thỏa mãn) Δ > ⇔ m < g(x) g(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ ; ] http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 5/8 7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Toán học ′ Nếu , Δ > ⇔ m < Khi đó, để y ′ ≤ có hai nghiệm g(x) g(x) ≤ 0, ∀x ∈ x1 < x2 [x1 ; x2 ] đoạn có độ dài |x1 − x2 | = ⇔ (x1 − x2 ) = ⇔ (x1 + x2 ) 2 − 4x1 x2 = ⇔ (−2) m = ⇔ m = mãn) Bài toán: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d − (thỏa Tìm điều kiện để hàm số đồng biến khoảng có độ dài ≥ k Cách giải: Điều kiện toán thỏa mãn a0 ) thỏa mãn |x1 − x2 | ≥ k ⇔ (x1 − x2 ) 2 ≥ k ⇔ (x1 + x2 ) y ′ ≥ khoảng có độ dài , điều xảy ≥ k − x1 x2 ≥ k Sử dụng định lí Viet suy kết Sau ví dụ hàm phân thức bậc hai bậc nhất.(Loại hàm không gặp câu I.2, gặp phần riêng chương trình nâng cao) x Ví dụ 6: Cho hàm số: − (3m + 1)x + 5m − y = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 1) x − m LG: TXĐ: D = R∖{m} Hàm số xác định khoảng (0; 1) y ′ x Khi đó: m ∉ (0; 1) ⇔ m ∈ (−∞; 0] ∪ [1; +∞ ) − 2mx + 3m = − 4m + (x − m) Để hàm số đồng biến khoảng (0; 1) y ⇔ x - Nếu: , ≥ ∀x ∈ (0; 1) , − 2mx + 3m Xét tam thức ′ − 4m + ≥ ∀x ∈ (0, 1) f (x) = x Δ ≤ ⇔ −2m − 2mx + 3m − 4m + (*) , ′ Δ = −2m + 4m − − √2 + 4m − ≤ ⇔ m ∈ (−∞; + √2 ] ∪ [ Thì f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ; +∞ ) , kết hợp với điều kiện ban đầu (*)⇔ + √2 m ∈ (−∞; 0] ∪ [ ; +∞ ) - Nếu: − √2 Δ > ⇔m ∈ ( + √2 Thì f (x) có hai nghiệm phân biệt Do để f (x) ≥ 0, ∀x ∈ TH1: TH2: x1 < x2 ≤ ⇔ { ) ; (0; 1) x1 < x2 f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 1) ⊂ (−∞; x1 ] ∪ x1 + x2 < x1 x2 ≥ ⇔{ (−∞; x1 ] ∪ [x2 ; +∞ ) [x2 ; +∞ ) 2m < 3m < x1 < x2 ⇔ < x1 − < x2 − tức là: ⇔ m < ≤ x1 < x2 x1 < x2 ≤ (Không t/m) − 4m + ≥ (**) f (x) http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 6/8 7/5/2014 Đặt Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Toán học t = x − ⇔ x = t + g(t) = (t + 1) (**)⇔ ⇔ { f (x) − 2m(t + 1) + 3m ≤ t1 < t2 t1 + t2 < với ⇔{ ta được: − 4m + = t 2 + (2 − 2m)t + 3m − 6m + nghiệm g(t) t1 , t2 t1 t2 ≥ Kết luận: Vậy với , vào − √3 2m − < ⇔m ≤ 3m − 6m + ≥ + √2 m ∈ (−∞; 0] ∪ [ thỏa mãn điều kiện đề bài! ; +∞ ) Chú ý: Nhiều tài liệu trình bày lời giải tốn ngắn gọi dựa vào định lí đảo dấu tam thức bậc hai, định lí khơng giới thiệu SGK chương trình THPT, em cần ý Xu hướng đề thường khơng q khó mà đánh vào tâm lí lười suy nghĩ học sinh, đề thường dùng ngôn ngữ khác để ẩn nội dung câu hỏi, em cần rèn luyện tâm lí bình tĩnh vững vàng khơng lười biếng! Với số ví dụ chắn chưa thể giúp em nắm tốn tính đơn điệu em cần tự rèn luyện cách làm tập.một lời khuyên chân thành dù tập dễ hay khó em nên lần làm thật cẩn thận trình bày rõ ràng làm đến kết kết cuối cùng! Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: y = (m − 1)x + mx + (3m − 2)x Tìm m để hàm số đồng biến R Bài 2: Cho hàm số: mx + 5m − y = x + m a.Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b.Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (−2; −1) c.Tìm m để hàm số đồng biến hai khoảng (−∞; −4) (1; +∞ −1 Bài 3: Cho hàm số: y = Bài 4: Cho hàm số: y = x Tìm m m = − 2(m + 1)x (m + 1)x y = x m + (m − 1)x + (m + 3)x − + (12m + 5)x + Tìm m để hàm số đồng biến (0, 3) + (2m − 1)x − (3m + 2)x + m để khoảng nghịch biến hàm số có độ dài Bài 6: Cho hàm số: Tìm x đề hàm số đồng biến (−∞; −1] [2; +∞) Bài 5: Cho hàm số y Tìm ) − (2m + 1)x + (3m + 2)x − 5m + 2 để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn Bài 7: Cho hàm số y = x − 2mx − 3m + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; 2) http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 7/8 7/5/2014 Bài 8: Tìm Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu hàm số - Diễn đàn Toán học m để hàm sốy = mx + sin x + sin 2x + sin 3x tăng với x ∈ R Bài 9: Cho hàm số: x + (1−m )x+1+m y = x−m Tìm m để hàm số đồng biến (1, +∞ ) Tài liệu tham khảo: [1] Trần Sĩ Tùng: 200 toán khảo sát hàm số - 2012 [2] Trần Phương: Bài giảng luyện thi Đại học [3] Nguyễn Anh Dũng: Chuẩn bị trước kì thi - Tạp chí TH & TT [5] Các thảo luận VMF http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 8/8 ... thức bậc 2) - Hệ i u kiện { x1 ≤ < x2 ) nghiệm kép (Δ = 0) không < bao hàm i u kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Chú ý i u kiện x1 < ≤ x2 phương trình có hai nghiệm tr i dấu) Ví dụ 5:... http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A 1i- h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392 -bai- giang-1-tinh-do… 5/8 7/5/2014 B i giảng I. 1 - Tính đơn i u hàm số - Diễn đàn Toán... http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A 1i- h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392 -bai- giang-1-tinh-do… 6/8 7/5/2014 Đặt B i giảng I. 1 - Tính đơn i u hàm số - Diễn đàn