ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC: 2012-2013 MÔN: TOÁN (Khối A+A1+B+D)

TRNGTHPTCHUYấNTNHLOCAITHITHIHCLN 1NM HC: 2012ư2013 T:Toỏn TinhcMễN:TON (KhiA+A 1 +B+D) Thigian:180phỳt(Khụngkthigianphỏt) I.PHNCHUNGCHOTTCCCTHSINH(7.0im). Cõu1(2.0im). Chohms ( 1) 1 x m y m x + = ạ + (C m ) a)Khosỏtsbinthiờnvvth(C)cahmskhim=ư1. b) GiAlgiaoimcath(C m )vitrchonhcũnBlimcúhonhbng1thucthca(C m ), kvk 1 lnltlhsgúccatiptuynvi(C m )tiAvB.Tỡmttccỏcgiỏtrcathamsmsaocho|k+k 1 |t giỏtrnhnht. Cõu2(2.0im). a) Giiphngtrỡnh 2 3 2 os(2 ) 3 sin( 2 ) 1 2cos ( ) 2 4 c x x x p p p - + - = - - b) Giihphngtrỡnh ( )( ) 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 2 2 x y x x y x y y y x y x - - ỡ - + = ù ớ - = + - + ù ợ Cõu3(1.0im).Tớnhtớchphõn 1 2 0 . ( 1). x x x e x x I dx x e + + = + ũ Cõu4(1.0im). Chox,y,zlcỏcsthcdngvthomón iukin 2012xy yz zx xyz + + = Tỡm giỏtrlnnhtcabiuthc: 1 1 1 2 2 2 A x y z x y z x y z = + + + + + + + + Cõu5(1.0im). ChotdinABCDcúABCltamgiỏcvuụngtiA,AB=a, 3,AC a DA DB DC = = = .Bit rngDBCltamgiỏcvuụngvimEnmtrờnDAsaocho 2EA ED = - uuur uuur .TớnhthtớchtdinEBCDtheoa. PHNRIấNG(3.0im).ThớsinhchclmmttronghaiphnAhoc phn B. A.Theochngtrỡnhnõngcao. Cõu6a(1.0im).TrongmtphngtoOxychotamgiỏcABCcúA(13)B(ư11)C(30).Lpphngtrỡnh ngthngdbitdiquaAvcựngvingthngdcngiquaAchiatamgiỏcABCthnhbaphncúdin tớchbngnhau. Cõu7a (1.0im).TronghtrcOxyzchohaingthng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d - + = = - v 2 1 2 : 1 3 x t d y t z = - + ỡ ù = + ớ ù = ợ VitphngtrỡnhmtphngtrungtrccaMNbitrngMthucd 1 cũnNthucd 2 saochokhongcỏchMNl ngnnht. Cõu8a(1.0im).Chotp { } 2 : 7 0A x x x = ẻ - Ê Ơ chnngunhiờnrabasttpA.Tớnhxỏcsutbas cchnracútnglmtschn. B.Theochngtrỡnhchun. Cõu6b(1.0im).TrongmtphngtoOxychohaingthngd 1 :2x+yư2=0d 2 :xư2y+1=0.GiA,B,Clnlt lhỡnhchiuvuụnggúccaim 5 12 ( ) 13 13 M - xungd 1 ,d 2 vtrcOx.ChngminhrngbaimA,B,Cthnghng. Cõu7b(1.0im).TronghtrcOxyzchohaingthng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d - + = = - v 2 1 2 : 1 3 x t d y t z = - + ỡ ù = + ớ ù = ợ imMthucd 1 ,imNthucd 2 saochokhongcỏchMNlngnnht.VitphngtrỡnhmtcungkớnhMN. Cõu8b(1.0im). Cho 5 1 1 i z i + ổ ử = ỗ ữ - ố ứ chngminhrngz 5 +z 6 +z 7 +z 8 =0. ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHTưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Cm nbnoVnLng(luongthpt@gmail.com)giti www.laisac.page.tl TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI  ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012­2013  Tổ Toán­ Tin học  MÔN: TOÁN (KHỐI A+A1+B+D)  Hướng dẫn chấm gồm 5 trang  Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương đương với biểu điểm chấm.  Câu  ý  Nội dung  Điểm  1  a  (1điểm)  Với m=­1 thì:  x 1  y (C)  x 1 - = +  1)  TXĐ: D= R\{­1}  2)  Sự biến thiên.  *) Tính đúng các giới hạn và chỉ ra đúng các đường tiệm cận:  *) Tính đúng y’ lập đúng bảng biến thiên và KL đúng về tính đơn  điệu.  3) Vẽ đúng đồ thị.  0,25  0,25  0,25  0,25  b  (1điểm)  Ta có: A(­m;0) và  m 1  B(1; )  2 + .  Lại có:  2  1 m  y'  (x 1) - = +  nên  1  1 1 m  k ;k  1 m 4 - = = -  Suy ra:  1  1 1 m 1 1 m 1 1 m  k k (do . 0)  1 m 4 1 m 4 1 m 4 - - - + = + = + > - - -  Mà:  Cauchy  1 1 m 1 1 m  2 1, m 1  1 m 4 1 m 4 - - + ³ = " ¹ - -  Dấu “=” xảy ra:  m 1  1 1 m  m 3  1 m 4 = - é - = Û ê = - ë  Vậy  1  k k +  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1, khi  mÎ{-1;3}  0,25  0,25  0,25  0,25  2  a  (1điểm)  2  3  2 os(2 ) 3 sin( 2 ) 1 2cos ( )  2 4  c x x x p p p - + - = - -  3  2 osx 3 os2 os( 2 )  2  c c x c x p Û + = - -  2 osx 3 os2 sin 2 c c x x Û + =  sin 2 3  os2 osx  2 2  x  c x c Û - =  sin (2x­ ) sin( ­x)  3 2 p p Û =  5 2  2x­ ­x+k2  3 2 18 3  ( )  5  2x­ ( ­x) k2 2  3 2 6  x k  k Z  x k p p p p p p p p p p p é é = = + ê ê Û Û Î ê ê ê ê = - + = + ê ê ë ë  0,25  0,25  0,25  0,25  b  (1điểm)  Giải hệ phương trình ( )( )  3 2 3 2  2  3 5.6 4.2 0                              (1)  2 2      (2)  x y x x y  x y y y x y x - - ì - + = ï í - = + - + ï î  Giải : Điều kiện :  , 0 x y  x y ³ ì í ³ î  Khi đó:  Xét pt(2): ( )( )  2  2 2      (2) x y y y x y x - = + - + ( ) ( )  2 2   (2) x y y y x y x Û - - = - +  *) Nếu  0  0  0  x  x y y  y = ì - + = Û í = î  thay vào hệ pt thấy thỏa mãn :  Vậy (0 ;0) là một nghiệm của hệ phương trình.  *) Nếu  0 x y y - + ¹  khi đó. ( ) ( )  (2) 2 2 2 ( x­y+ y) x y y x y x Û - = - + ( ) ( )  2 [ 2 ( x­y+ y)+1]=0 y x y x Û - + ( )  2 0  2 ( x­y+ y)+1=0(vô nghiêm)  y x  y x - = é ê Û + ê ë  HPT trở thành :  3 2 3 2  3 5.6 4.2 0                              (1)  x=2y  x y x x y - - ì - + = í î  Khi đó thay x=2y vào pt (1)  x  2 2  3 3  x  2 2  3 ( ) 1  0 0( )  2  3 5.6 4.2 0 (*)  log 4 log 2  3 ( ) 4  2  x x x  x y loai  x y é = = Þ = é ê ê Û - + = Û Û ê = Þ = ê ê = ë ê ë  Vậy hệ pt có 2 nghiệm : (0 ;0) và  3 3  2 2  (log 4;log 2)  0,25  0,25  0,25  0,25  3  1 điểm  Tính tích phân  1  2  0  .  ( 1).  x  x  x e x x  I dx  x e + + = + ò  Ta có :  1 2  1 1  0 0  1  x  I I  x x  I dx dx  e x = + + ò ò 123 14243  *) Tính  1  1  0  x  x  I dx  e = ò  Đặt  x x  u x du dx  dv e dx v e - - = = ì ì Þ í í = = - î î  Khi đó :  1  1  0  1 1  1 2  ( ) 1  0 0  x x x  I xe e dx e  e e - - - = - + = - - = - ò  .  *) Tính  1  2  0  1  x  I dx  x = + ò  Đặt  2  2 t x x t dx tdt = Þ = Þ =  Đổi cận : với x= 0 thì t=0. với x=1 thì t = 1.  Khi đó :  1 1 1  2  2 3  2 2 2  0 0 0  1  2 2  (2 ) 2 2 2 2  0  1 1 1  t dt  I dt dt t I  t t t = = - = - = - + + + ò ò ò  *) Tính  1  3  2  0  ;  1  dt  I  t = + ò  Bằng cách đặt t=tanu. Từ đó tính được  0,5  0,25  0,25 4  2  3  2  0  1  os  tan 1 4  du  c u  I  u p p = = + ò  Kết quả :  2  3  2  I  e p = - -  4  1 điểm  Cho x, y, z là các số thực dương và thoả mãn điều kiện  2012 xy yz zx xyz + + =  .  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  1 1 1  2 2 2  A  x y z x y z x y z = + + + + + + + +  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Chứng minh bổ đề:  1 1  ( )( ) 4; , 0 x y x y  x y + + ³ " >  1 1 1 1  ( )(*)  4 x y x y Û £ + +  Dấu ‘=’ có khi x=y.  Giả thiết:  1 1 1  2012 2012 xy yz zx xyz  x y z + + = Û + + =  Ta có:  (*) (*)  1 1 1 1 1 1 2 1 1  ( ) ( )(1)  2 ( ) ( ) 4 16 x y z x y x z x y x z x y z = £ + £ + + + + + + + + +  Hoàn toàn tương tự ta có :  (*)  1 1 1 2 1  ( )(2)  2 16 x y z x y z £ + + + +  và  (*)  1 1 1 1 2  ( )(3)  2 16 x y z x y z £ + + + +  Cộng vế với vế (1) ;(2) và (3) ta nhận được :  1 1 1 1 1 1 1 2012  ( ) 503  2 2 2 4 4  A  x y z x y z x y z x y z = + + £ + + = = + + + + + +  A lớn nhất = 503 đạt được khi x=y=z=3/2012  0.25  0,25  0,25  0,25  5  (1điểm)  Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A,  AB=a,  3, AC a DA DB DC = = =  . Biết rằng DBC là tam giác  vuông và điểm E nằm trên DA thỏa mãn  2 EA ED = - uuur uuur  .Tính thể  tích tứ diện EBCD theo a.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Ta có:  1 1  3 3  DEBC  DEBC DABC  DABC  V  DE  V V  V DA = = Þ =  *) Tính V ABCD  0,25  A  D  C  I  B  E Do DA=DB=BC nên hình chiếu của D lên (ABC) chính là tâm  đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là  trung điểm I của BC.  Ta tính được BC=2a, từ tam giác DBC vuông cân tại D nên chiều  cao DI=1/2BC=a. Khi đó :  3 3  1 1 3 3  . . . . 3 ( )  3 6 6 18  DABC ABC DEBC  a a  V DI S a a a V dvtt = = = Þ =  0,25  0,25  6a  1điểm  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;3); B(­  1;1); C(3;0). Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A và  cùng với đường thẳng d’ cũng đi qua A chia tam giác ABC thành  ba phần có diện tích bằng nhau.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Gọi M, N là các điểm thuộc cạnh BC sao cho AM, AN chia tam  giác ABC thành ba phần có diện tích bằng nhau. Khi đó ba tam  giác ABM, AMN và ANC có cùng chiều cao xuất phát từ A nên.  BM=MN=NC.  Suy ra:  1 2  ;  3 3  BM BC BN BC = = uuuur uuur uuur uuur  Lại có :  (4; 1); ( 1; 1); ( 1; 1)  M M N N  BC BM x y BN x y = - = + - = + - uuur uuuur uuur  Do vậy :  1 1 2  ( ; ) : 7 2 1 0  3 3 3  BM BC M AM x y = Þ Þ - - = uuuur uuur  2 5 1  ( ; ) : 4 7 0  3 3 3  BN BC N AN x y = Þ Þ + - = uuur uuur  Kết luận : Phương trình cần tìm : 7x­2y­1=0 và 4x+y­7=0  0,5  0,25  0,25  7a  1 điểm  Trong hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng  1  1 2  :  2 1 1  x y z  d - + = = -  và  2  1 2  : 1  3  x t  d y t  z =- + ì ï = + í ï = î  Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN biết rằng M thuộc  d 1  còn N thuộc d 2  sao cho khoảng cách MN là ngắn nhất.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Gọi M(2t;1­t;­2+t) thuộc d 1  còn N(­1+2s;1+s;3) thuộc d 2  Khi đó:  (2 1 2 ; ; 5) NM t s t s t + - - - - uuuur  .  MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đường vuông góc chung của  d 1  và d 2  khi đó :  1  2  . 0  1  . 0  NM u  t s  NM u ì = ï Û = = í = ï î uuuur ur uuuur uur  Vậy M(2;0;1) và N(1;2;3)  Mặt phẳng trung trực (P) của MN đi qua trung điểm I(3/2;1;2) của  MN và nhận  (1; 2; 4) NM - - uuuur  làm véc tơ pháp tuyến nên có dạng :  2x­4y­8z+29=0 (P)  0,25  0,25  0,25  0,25  8a  1điểm  Cho tập { }  2  : 7 0 A x x x = Î - £ ¥  chọn ngẫu nhiên ra ba số từ  tập A. Tính xác suất để ba số được chọn ra có tổng là một số chẵn.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Ta có: A={0;1;2;…;7}  Không gian mẫu:  3  8  C W =  .  A= ‘’Biến cố lấy ra 3 sô có tổng là số chẵn’’.  Để 3 số lấy ra có tổng ba số là số chẵn thì hoặc cả ba số đều là số  0,25 chẵn, hoặc 1 số chẵn và 2 số lẻ nên :  3 1 2  4 4 4  .  A  C C C W = +  Khi đó xác suất là :  3 1 2  4 4 4  3  8  .  ( )  C C C  P A  C + =  0,5  0,25  6b  1điểm  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d 1 : 2x+y­2=0;  d 2 : x­2y+1=0. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của  điểm  5 12  ( ; )  13 13  M -  xuống d 1  , d 2  và trục Ox. Chứng minh rằng ba  điểm A, B, C thẳng hàng.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Giải.  A(a;2­2a) thuộc d 1 ; B(2b­1;b) thuộc d 2  5 38 18 12  ( ; 2 ); (2 ; )  13 13 13 13  MA a a MB b b - - - + uuur uuur  Từ  1  81 81 32  . 0 ( ; )  65 65 65  MAu a A = Þ = Þ - uuur ur  2  24 17 24  . 0 ( ; )  65 65 65  MB u b B = Þ = Þ - uuur uur  Mặt khác :  5  ( ;0)  13  C  khi đó :  56 32 42 24 3  ( ; ); ( ; )  65 65 65 65 4  AC BC BC AC - - Þ = - uuur uuur uuur uuur  Vậy A, B, C thẳng hàng.  7b  1điểm  Tương tự (7a). Tâm mặt cầu là I và bán kính MN/2  8b  1điểm  Cho  3  1  1  i  z  i + æ ö = ç ÷ - è ø  chứng minh rằng z  5  +z  6  +z  7  +z  8  =0.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Ta có:  5  5 5  2  5  2  1 1 2 2  1 1 2  i i i i  z i i  i i æ ö + + + æ ö æ ö = = = = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø è ø è ø  Do đó : z  5  +z  6  +z  7  +z  8  =z  5  (1+z+z  2  +z  3  )=(i)  5  (1+i+i  2  +i  3  ) = 0  0,5  0,5  Cảm ơn bạn Đào Văn Lương (luongthpt@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl . TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI  ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2 012 ­2 013   Tổ Toán  Tin học MÔN: TOÁN (KHỐI A+A1+B+D) Hướng dẫn chấm gồm 5 trang  Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương đương với biểu điểm chấm. . 1) - = +  nên  1 1 1 m  k ;k  1 m 4 - = = -  Suy ra:  1 1 1 m 1 1 m 1 1 m  k k (do . 0)  1 m 4 1 m 4 1 m 4 - - - + = + = + > - - -  Mà:  Cauchy  1