De thi hs gioi cap tinh toan 9

Phòng giáo dục Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thọ xuân THCS Năm học: 2006 - 2007 Trờng THCS Nam Giang Môn thi: toán (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) đề bài CâuI- (4đ) : Tính giá trị của biểu thức : 1, 5122935 2, 32 + + 3514 Câu II- (5đ) : Giải các phơng trình sau : 1, 1 x x + 1 1 + x = 1 2 2 x 2, 12 2 + xx + 44 2 + xx = 3 3, x 4 3x 3 + 4x 2 3x +1 = 0 Câu III- (3đ) : 1, Cho a,b,c là các số dơng , chứng minh rằng : 2 1 a +1 2 1 b +2 2 1 c + 8 abc 32 2, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : 1 + n - n > 12 1 + n Câu III (3đ) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : a, y = 942 12 2 2 ++ + xx xx b, y = 2 1 3 + x - 4 Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đờng cao AH . Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC c, Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH . d, TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c DENM -------------------&*&--------------------- Đáp án và biểu chấm môn: toán 9 Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a,(2đ) 5122935 = 2 )352(35 (0,5 đ) = 35235 + (0,5đ) = 5265 (0,25đ) = 2 )15(5 (0,5đ) = 155 + (0,25đ) = 1 b. (2đ) 32 + + 3514 = 2 351432(2 ++ (0,5đ) = 2 31028324 ++ (0,25đ) = 2 )35()13( 22 ++ (0,5đ) = 2 3513 ++ (0,5đ) = 23 2 6 = (0,25đ) Câu II: (5điểm) Giải phơng trình sau. a. (1,5đ) 1 2 1 1 1 2 = + + x xx x - Tìm đợc ĐKXĐ: x 1 (0,5đ) - Giải và tìm nghiệm x = 1 ĐKXĐ (1đ) x = - 3 ĐKXĐ b. 34412 22 =+++ xxxx . (1,5đ) Trang 1 - Biến đổi đa phơng trình về dạng. | x 1| + | x 2 | = 3 (0,5đ) - Xét đúng các trờng hợp của phơng trình (0,5đ) - Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3 (0,5đ) c. (2đ) x 4 3x 3 + 4x 2 3x + 1 = 0 Lý luận x = 0 không phải là nghiệm nếu phơng trình có nghiệm thì x 0 chia cả 2 vế cho x 2 ta đợc: x 2 3x + 4 - x 3 + 2 1 x = 0 (0,5đ) - Đa phơng trình về dạng: ( x 2 + 2 1 x ) 3 (x + x 1 ) + 4 = 0 (0,25đ) - Đặt đợc ẩn phụ và đa phơng trình về dạng (Đặt y = x + x 1 ) y 2 3y + 2 = 0 (0,5đ) - Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = 2 (0,25đ) - Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y đúng trong các trờng hợp (0,25đ) Nghiệm của phơng trình là x = 1 (0,25đ) Câu III: (3điểm) a.(1,5đ) Cho a,b,c là các số dơng. Chứng minh rằng: ( 2 1 a + 1 ) ( 2 1 b + 2 ) ( 2 1 c + 8 ) abc 32 - áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho các số dơng (1đ) 2 1 a + 1 2 2 1 a = a 2 2 1 b + 2 2 b b 222 2 = 8 1 2 + c 2 c c 248 2 = ( 2 1 a + 1 ) ( 2 1 b + 2 ) ( 2 1 c + 8 ) abc 32 (0,25đ) Dấu = xảy ra khi a = 1; b = 2 1 ; c = 22 1 (0,25đ) Trang 2 b.(1,5đ) Chứng minh rằng với mọi n N ta có 12 1 1 + >+ n nn - Biến đổi nn nnnn nn ++ +++ =+ 1 )1)(1( 1 = nn ++ 1 1 (0,25đ) - So sánh đợc: nn ++ 1 1 > 12 1 + n (0,5đ) - Từ đó suy ra: 12 1 1 + >+ n nn Câu IV:(3điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất các hàm số: a. (2đ)y = 942 12 2 2 ++ + xx xx = 942 2 11 )942( 2 1 2 2 ++ ++ xx xx (0,5đ) = 1884 11 2 1 2 ++ xx (0,25đ) = 14)1(4 11 2 1 2 ++ x (0,25đ) - Lý luận đợc y min khi 14)1(4 11 2 ++ x max (0,25đ) - Tìm 14)1(4 11 2 ++ x max = 14 11 khi x = -1 (0,25đ) - đợc y min = 7 2 14 11 2 1 = khi x = -1 (0,5đ) b.(1đ) y = 2 1 | x + 3 | - 4 - Lý luận đợc 2 1 | x + 3 | 0 x (0,25đ) Trang 3 2 1 | x + 3 | - 4 - 4 (0,25đ) y min = - 4 khi x = - 3 (0,5đ) Câu V: (5đ) Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm) (1đ) b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông (1đ). c. (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì: ID = IE = IA = IH (0,5đ) MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ) MD = MH MDH cân tại M MDH = MHD MDB = MBD (0,5đ) MBD cân ở M ta có MD = MB. MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH. Chứng ming .thì N là trung điểm của HC (0,5đ) d. (0,5đ) Từ câu c suy ra: DM = 2 1 BH = 2 1 . 4 = 2(cm) EN = 2 1 HC = 2 1 . 9 = 4,5(cm) (0,25đ) S DENM = 2 1 (DM + EN) DE = 2 1 (2 + 4,5) . 6 = 19,5 (cm 2 ) (0,25đ) Ghi chú: Mọi cách làm khác mà vẫn đúng đều cho điểm tối đa. --------------------&*&--------------------- Trang 4 . BH = 2 1 . 4 = 2(cm) EN = 2 1 HC = 2 1 . 9 = 4,5(cm) (0,25đ) S DENM = 2 1 (DM + EN) DE = 2 1 (2 + 4,5) . 6 = 19, 5 (cm 2 ) (0,25đ) Ghi chú: Mọi cách làm. AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9( cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC c, Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC