bài toán con bướm

Chuyên đề 9.1 Bài toán bướm với đường trịn Theorem 1.27 (Bài tốn bướm với đường trịn) Cho đường trịn (O) dây cung AB khơng qua tâm Qua trung điểm I AB vẽ hai dây cung tùy ý P Q RS Gọi M, N theo thứ tự giao điểm P S, RQ với đường thẳng AB Khi I trung điểm M N Proof Ta xét trường hợp thứ nhất, P R nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB P E S I M R N F O Q Gọi E, F theo thứ tự trung điểm P S RQ Các tứ giác M EIO, N F IO nội tiếp nên ta có: (OM, OI) = (EM, EI)( mod π), (ON, OI) = (F N, F I)( mod π) Ta lại có: ∆IP S v ∆IRQ(g, g) ⇒ ∆IES v ∆IF Q 143 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay d = IN [ Suy ra, SEI Q ⇒ (EM, EI) = (F N, F I)( mod π) \ [ ⇒M OI = N OI Từ tam giác OM N cân O Do đó: IM = IN Hay I trung điểm M N Trường hợp thứ 2, P R nằm khác phía với đường thẳng AB ta chứng  minh tương tự Lời giải xin dành cho bạn đọc Theorem 1.28 (Bài toán bướm suy rộng - định lý Sharygin) Cho đường trịn (O) dây cung AB khơng qua tâm Trên dây cung AB lấy điểm E, F cho AE = BF , qua E F vẽ hai dây cung P Q RS Gọi M, N theo thứ tự giao điểm P S, RQ với đường thẳng AB Khi EN = F M Proof I R P A E N M O F B S Q Gọi I giao điểm P Q RS Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IEF ta N E RF QI = 1, N F RI QE HK - ydp151094@gmail.com M E SF P I = M F SI P E 144 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay Mặt khác xét phương tích điểm I, E, F với đường trịn (O) ta có: P(I;(O)) = IP IQ = IR.IS, P(E;(O)) = EP EQ = EA.EB, P(F ;(O)) = F R.F S = F B.F A NE ME Từ đó: =1 NF MF ⇔ N E.M E = N F M F ⇔ N E.(M N + N E) = (N M + M F ).M F ⇔ M N (N E + M F ) + (N E − M F )(N E + M F ) = ⇔ (N E + M F )(M N + N E − M F ) = ⇔ (N E + M F )EF = Nếu EF = 0, trương hợp toán bướm với đường tròn ta chứng minh Nếu N E + M F = EN = F M Đó đpcm 9.2  Bài tốn bướm cặp đường thẳng Theorem 1.29 (Bài toán bướm cặp đường thẳng) Cho tam giác ABC Lấy điểm I trung điểm BC Qua I kẻ đường thẳng ∆ cắt AB, AC lại N, Q đường thẳng ∆0 cắt AB, AC lại P, M Gọi giao điểm M N, P Q với BC E, F Khi IE = IF Proof (see.Ex(1.15)) 9.3 Bài tập ví dụ Example 1.81 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, E F giao điểm BI HK - ydp151094@gmail.com 145 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay CI với đường tròn (O), M, N giao điểm EI với EF BC Biết AC + AC = 2BC CMR IM = IN Proof A F M E I B C N D Gọi D giao điểm AI đường tròn (O)(D 6= A) AD AC DC ∆ADC v ABN (g.g) ⇒ = = AB AN BN CD BN IN NC ⇒ = = = AD AB IA AC CD BN + N C BC = = = ⇒ AD AB + AC 2BC Dễ thấy, tam giác DIC cân D nên DI = DC ⇒ IA = AD Áp dụng tốn bướm với đường trịn cho dây cung AD có trung điểm I hai dây BF, CE qua I ta có IM = IN  Example 1.82 Cho tam giác nhọn ABC có AD đường cao Gọi O H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Qua D \ + AHC \ = 1800 kẻ đường thẳng vng góc với OD cắt AB K CMR DHK Proof HK - ydp151094@gmail.com 146 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay A H O K B C D E I Gọi E giao điểm thứ hai đường cao AD với đường tròn (O), I giao điểm EC KD Giả sử M N dây cung chứa K, L, D trung điểm M N Áp dụng tốn bướm ta có DK = DI \ = DEC \ Dễ thấy, DHC \ = DEI [ Mà, ∆KHD = ∆IDE(c.g.c) ⇒ DHK \ + AHC \ = DHC \ + AHC \ = 1800 Do đó: DHK 9.4  Bài tập đề nghị BT 1.71 (MOP 1998) Cho hai đường tròn (C ) (C ) có bán kính cắt hai điểm A B Dây cung CD đường tròn (C ) qua trung điểm O AB cắt (C ) P , dây cung EF đường tròn C qua trung điểm O AB cắt (C ) Q CMR, AB, CQ, EP đồng quy BT 1.72 (Sigapore 2010) Cho tam giác nhọn không cân (AB > AC), Gọi D chân đường cao hạ từ A, O, H thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác Lấy điểm Q AC cho HQ cắt BC P mà HK - ydp151094@gmail.com 147 Đi tìm chuyên đề sơ cấp hay \ = 900 DP = DB CMR, ODQ BT 1.73 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Các đường chéo AC, BD cắt I khác điểm O Qua I kẻ đường thẳng vng góc OI cắt AB, CD M N CMR, AB = CD BM = CN BT 1.74 (TH TT) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác Các đường thẳng BH, CH thứ tự cắt (O) điểm thứ hai B , C , B C cắt AH P Giả sử rẳng tan B tan C = CMR, P trung điểm AH HK - ydp151094@gmail.com 148 ... )EF = Nếu EF = 0, trương hợp tốn bướm với đường trịn ta chứng minh Nếu N E + M F = EN = F M Đó đpcm 9.2  Bài toán bướm cặp đường thẳng Theorem 1.29 (Bài toán bướm cặp đường thẳng) Cho tam giác... phía với đường thẳng AB ta chứng  minh tương tự Lời giải xin dành cho bạn đọc Theorem 1.28 (Bài toán bướm suy rộng - định lý Sharygin) Cho đường tròn (O) dây cung AB không qua tâm Trên dây cung... L, D trung điểm M N Áp dụng toán bướm ta có DK = DI = DEC Dễ thấy, DHC = DEI [ Mà, ∆KHD = ∆IDE(c.g.c) ⇒ DHK + AHC = DHC + AHC = 1800 Do đó: DHK 9.4  Bài tập đề nghị BT 1.71 (MOP